第一卷：离散本体论 —— 信息的物理基础

第一编：有限信息公理与状态空间几何

第一章：全息原理与有限性公理

1.1 贝肯斯坦界限（Bekenstein Bound）的严格推导与普朗克信息密度

物理学的基础通常建立在时空连续统的假设之上，然而，热力学与广义相对论的结合——特别是黑洞物理学的进展——强有力地暗示了物理实在的信息容量是有限的。本节旨在从第一性原理出发，严格推导贝肯斯坦界限（Bekenstein Bound），并由此引入普朗克信息密度的概念，为本书后续建立离散量子元胞自动机（QCA）本体论提供物理学依据。

1.1.1 熵与能量的几何对偶

考虑一个处于渐近平坦时空中的弱引力系统，其空间体积为 $V$，总能量为 $E$，特征线性尺度为 $R$。在经典热力学中，系统的熵 $S$ 原则上可以是无限的（例如在连续场论中，给定体积内的模式数随频率截断发散）。然而，引力的介入施加了一个基本限制：当能量密度过高时，系统将坍缩为黑洞。

为了严格表述这一限制，我们引入广义熵（Generalized Entropy）的概念。设 $\rho$ 为系统在某时刻的量子态，$\sigma$ 为真空态（或热平衡态）。根据量子相对熵（Quantum Relative Entropy）的非负性，我们有：

$$S(\rho \Vert \sigma )=\mathrm{Tr}(\rho \ln \rho )-\mathrm{Tr}(\rho \ln \sigma )\ge 0$$

若 $\sigma$ 为吉布斯态 $\sigma =Z^{-1}{e}^{-\beta H}$，其中 $\beta$ 为逆温度，$H$ 为哈密顿量（在渐近平坦背景下可取为模哈密顿量 $K$），则相对熵可重写为自由能差的形式：

$$S(\rho \Vert \sigma )=\beta ⟨H{⟩}_{\rho }-S(\rho )-(\beta ⟨H{⟩}_{\sigma }-S(\sigma ))\ge 0$$

由此可得 $S(\rho )\le \beta (⟨H{⟩}_{\rho }-F_{\sigma })$。这表明熵被能量（或模能量）所界定。

在引力背景下，贝肯斯坦（Bekenstein）最初通过考虑将一个熵为 $S$、能量为 $E$ 的物体绝热降入黑洞的思想实验，论证了熵必须满足：

$$S\le \frac{2\pi k_{B}RE}{\hslash c}$$

其中 $k_B$ 为玻尔兹曼常数，$\hslash$ 为约化普朗克常数，$c$ 为光速。

定理 1.1.1 (卡西尼-贝肯斯坦界限)：

在量子场论中，若考虑限制在林德勒楔（Rindler Wedge）或其他具有基尔灵视界（Killing Horizon）的区域内的局域代数 $\mathcal{A}(V)$，且该区域满足量子零能条件（QNEC），则对于任意局域激发态 $\rho$，其冯·诺依曼熵 $S_V(\rho )$ 与真空减除能量（Vacuum-subtracted Energy）$E_V$ 满足：

$$S_V(\rho )\le 2\pi {\int }_V{\mathrm{d}}^{d-1}x\xi T_{00}$$

其中 $T_{00}$ 为能量动量张量分量，$\xi$ 为与几何尺度相关的权函数。在球对称与弱引力极限下，此不等式回归到 $S\le 2\pi RE/\hslash c$ 的形式。

证明概要：

基于相对熵的单调性。考虑一个空间区域 $V$，其补集为 $\bar{V}$。真空态 $|\Omega ⟩$ 在 $V$ 上的约化密度矩阵为 ${\sigma }_V={\mathrm{Tr}}_{\bar{V}}|\Omega ⟩⟨\Omega |$。根据 Bisognano-Wichmann 定理，对于林德勒楔，${\sigma }_V=e^{-K_V}/Z$，其中 $K_V$ 为模哈密顿量，且 $K_V=2\pi \int x{T}_{00}\mathrm{d}x$。

对于任意态 ${\rho }_V$，其相对于真空的相对熵 $S({\rho }_V\Vert {\sigma }_V)=⟨K_V{⟩}_{\rho }-S({\rho }_V)\ge 0$。

假设真空熵 $S({\sigma }_V)$ 归一化为零（或考虑熵差），则有 $S({\rho }_V)\le ⟨K_V{⟩}_{\rho }$。将模哈密顿量的几何形式代入，即得熵与能量矩（Energy Moment）的不等式。$\square$

1.1.2 普朗克信息密度与全息截断

上述不等式不仅限制了熵，更揭示了微观自由度的计数问题。如果我们将上述界限应用于一个黑洞，即 $R$ 为史瓦西半径 $R_s=2GE/c^2$，代入不等式可得：

$$S\le \frac{2\pi k_B{R}_s}{\hslash c}\left(\frac{c^4{R}_s}{2G}\right)=\frac{\pi k_B{c}^3{R}_s^2}{\hslash G}=\frac{k_B}{4}\frac{4\pi R_s^2}{l_P^2}=\frac{k_{B}A}{4l_P^2}$$

这正是著名的贝肯斯坦-霍金熵（Bekenstein-Hawking Entropy），其中 $l_P=\sqrt{\hslash G/c^3}$ 为普朗克长度，$A$ 为视界面积。

此结果表明，一个物理系统的最大信息量并非正比于其体积 $V$，而是正比于其边界表面积 $A$。这被称为全息原理（Holographic Principle）。然而，对于非黑洞的局域物理过程，若我们假设局域平坦性且未达到黑洞密度，我们仍可以定义一个体积意义下的有效信息密度上限。

定义 1.1.2 (普朗克信息密度)：

定义物理实在的最小可分辨体积元为普朗克体积 $V_P\sim l_P^3$。对于一个宏观体积 $V$，如果全息界限未饱和（即处于弱引力极限），局域场论给出的自由度看似是体积广延的。但在本体论层面，为了避免紫外发散并与引力熵相容，我们必须引入自然截断（Natural Cutoff）。

设系统的最大信息容量为 $I_{\max }$。若要求理论在包括黑洞形成过程在内的所有物理过程中自洽，则任意半径为 $R$ 的球体内的信息量 $I$ 必须满足：

$$I(R)\le \min \left(\frac{V}{l_P^3},\frac{A}{4l_P^2}\right)$$

在微观尺度（$R\to l_P$）下，体积项与面积项量级相同。我们定义普朗克信息密度为：

$${\rho }_{\text{info}}=\frac{1}{V_P\ln 2}(\text{bits/unit volume})$$

这意味着，物理空间并非连续统，而是具有离散信息承载能力的网格。

1.1.3 连续统假设的物理失效

传统物理学中，希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的维数通常被假设为无限（例如 $L^2({\mathbb{R}}^3)$）。然而，由定理 1.1.1 可知，若限定在一个具有有限能量 $E$ 和有限尺度 $R$ 的区域内，物理允许的正交态数目 $W=e^{S/k_B}$ 必须是有限的。

推论 1.1.3 (希尔伯特空间维数的有限性)：

对于宇宙中任意一个因果封闭的有界区域（例如一个因果菱形或观察者的视界内区域），其对应的物理希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_{\text{phys}}$ 的维数 $D=\dim ({\mathcal{H}}_{\text{phys}})$ 必定满足：

$$\ln D\le \frac{A_{\partial V}}{4l_P^2}$$

其中 $A_{\partial V}$ 为该区域边界的面积。

证明：若 $\dim ({\mathcal{H}}_{\text{phys}})$ 无限，则存在熵任意大的混合态（例如 $N$ 个正交基的等概率混合，熵为 $\ln N$）。这违反了贝肯斯坦界限。因此，物理上可实现的希尔伯特空间必须是有限维的。$\square$

这一结论构成了本书离散本体论的基石：物理世界在底层并非定义在连续流形上的场，而是定义在有限维希尔伯特空间（由大量离散元胞张量积构成）上的代数结构。连续时空与量子场论仅仅是这一离散结构在长波极限下的有效近似。

1.1.4 从界限到公理

基于上述推导，我们在本书中确立第一条核心公理。

公理 A1 (有限信息密度公理)：

物理实在由离散的信息单元构成。对于任意三维空间体积 $V$，其包含的独立物理自由度数目 $N(V)$ 是有限的，且存在普朗克尺度的自然截断，使得局域希尔伯特空间同构于有限维复空间 ${\mathbb{C}}^d$ 的张量积。

具体地，我们模型化宇宙为图 $G=(\Lambda ,E)$ 上的量子系统，每个节点 $x\in \Lambda$ 关联一个有限维希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_x$，使得全系统的态空间为：

$${\mathcal{H}}_{\text{total}}=\underset{x\in \Lambda }{⨂}{\mathcal{H}}_x$$

贝肯斯坦界限不再是一个导出的限制，而是该离散结构的自然几何性质在连续极限下的体现。