Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

第二章：参数化宇宙与信息几何

2.1 状态空间的黎曼结构：量子费希尔信息度量（QFIM）的构造

在第一章中，我们确立了物理实在的希尔伯特空间维数是有限的，且量子信息是其本体论基础。这就引出了一个深刻的问题：如果世界的基础是离散的量子态，那么我们所熟悉的“连续时空几何“从何而来？

本节将论证，几何并非先验存在的背景舞台，而是从量子状态空间的统计结构中涌现的派生量。我们将通过严格的数学推导，证明量子态空间天然具备黎曼流形结构，其上的距离度量——量子费希尔信息度量（Quantum Fisher Information Metric, QFIM）——即为物理世界最底层的“尺子“。

2.1.1 从希尔伯特空间到射影流形

在标准量子力学中，物理态通常由希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 中的非零矢量 $|\psi ⟩$ 描述。然而，物理态具有两个重要的冗余性：

1. 归一化冗余：$|\psi ⟩$ 与 $c|\psi ⟩$ ($c\in {\mathbb{R}}^{+}$) 描述同一物理态。

2. 相位冗余：$|\psi ⟩$ 与 $e^{i\varphi }|\psi ⟩$ ($\varphi \in \mathbb{R}$) 描述同一物理态。

因此，真正的物理状态空间不是线性空间 $\mathcal{H}\cong {\mathbb{C}}^N$，而是去除上述冗余后的商空间，即复射影空间（Complex Projective Space）：

$$\mathcal{P}(\mathcal{H})\cong \mathbb{C}{P}^{N-1}={\mathbb{C}}^N/{\mathbb{C}}^{\ast }$$

这是一个紧致的、单连通的凯勒流形（Kähler Manifold）。在这个流形上，我们不能简单地使用线性空间中的欧几里得距离 $\Vert {\psi }_1-{\psi }_2\Vert$，而必须定义一个内禀的几何度量。

定义 2.1.1 (参数化量子态)

设物理系统由一组实参数 $\mathbf{\theta }=({\theta }^1,{\theta }^2,\dots ,{\theta }^M)$ 描述，这些参数可以是经典外场、时空坐标或系统内部的控制量。系统处于参数化纯态 $|\psi (\mathbf{\theta })⟩\in \mathcal{H}$。我们要求映射 $\mathbf{\theta }\mapsto |\psi (\mathbf{\theta })⟩$ 是光滑的，且满足归一化条件 $⟨\psi (\mathbf{\theta })|\psi (\mathbf{\theta })⟩=1$。

2.1.2 距离即由可区分性定义：富比尼-施图迪度量的推导

在“It from Bit“的本体论中，两个物理态之间的“距离“应当衡量它们在统计上的可区分度（Distinguishability）。若两个态完全重合，距离为零；若它们正交（完全可区分），距离最大。

我们引入保真度（Fidelity）作为重叠程度的度量：

$$F(\mathbf{\theta },\mathbf{\theta }+d\mathbf{\theta })=|⟨\psi (\mathbf{\theta })|\psi (\mathbf{\theta }+d\mathbf{\theta })⟩|$$

物理距离 $d{s}^2$ 定义为偏离完美重叠的程度：

$$d{s}^2\equiv 1-F^2(\mathbf{\theta },\mathbf{\theta }+d\mathbf{\theta })$$

这一距离在物理上对应于：当我们在参数空间移动微小量 $d\mathbf{\theta }$ 时，量子态发生的可观测变化的量度。

定理 2.1.2 (量子几何张量的构造)

对参数化量子态 $|\psi (\mathbf{\theta })⟩$ 进行泰勒展开至二阶，可得参数空间上的线元形式：

$$d{s}^2=\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }d{\theta }^{\mu }d{\theta }^{\nu }$$

其中 $g_{\mu \nu }$ 为量子费希尔信息度量（亦称富比尼-施图迪度量，Fubini-Study Metric），其显式为：

$$g_{\mu \nu }=4\mathrm{Re}\left(⟨{\partial }_{\mu }\psi |{\partial }_{\nu }\psi ⟩-⟨{\partial }_{\mu }\psi |\psi ⟩⟨\psi |{\partial }_{\nu }\psi ⟩\right)$$

此处 ${\partial }_{\mu }\equiv \partial /\partial {\theta }^{\mu }$。

证明：

考虑微小位移 $d\mathbf{\theta }$，态矢量展开为：

$$|\psi (\mathbf{\theta }+d\mathbf{\theta })⟩=|\psi ⟩+|{\partial }_{\mu }\psi ⟩d{\theta }^{\mu }+\frac{1}{2}|{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\psi ⟩d{\theta }^{\mu }d{\theta }^{\nu }+\mathcal{O}(d{\theta }^3)$$

计算内积 $⟨\psi |\psi +d\psi ⟩$：

$$⟨\psi |\psi +d\psi ⟩=1+⟨\psi |{\partial }_{\mu }\psi ⟩d{\theta }^{\mu }+\frac{1}{2}⟨\psi |{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\psi ⟩d{\theta }^{\mu }d{\theta }^{\nu }$$

利用归一化条件 $⟨\psi |\psi ⟩=1$ 的导数性质：

$${\partial }_{\mu }⟨\psi |\psi ⟩=⟨{\partial }_{\mu }\psi |\psi ⟩+⟨\psi |{\partial }_{\mu }\psi ⟩=0⟹\mathrm{Re}(⟨\psi |{\partial }_{\mu }\psi ⟩)=0$$

$${\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }⟨\psi |\psi ⟩=⟨{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\psi |\psi ⟩+⟨{\partial }_{\mu }\psi |{\partial }_{\nu }\psi ⟩+\cdots =0$$

可得 $⟨\psi |{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\psi ⟩+c.c.=-(⟨{\partial }_{\mu }\psi |{\partial }_{\nu }\psi ⟩+⟨{\partial }_{\nu }\psi |{\partial }_{\mu }\psi ⟩)$。

将内积模方展开至二阶：

$$\begin{array}{rl}|⟨\psi |\psi +d\psi ⟩{|}^2& =\left(1+⟨\psi |d\psi ⟩+\frac{1}{2}⟨\psi |d^2\psi ⟩\right)\left(1+⟨d\psi |\psi ⟩+\frac{1}{2}⟨d^2\psi |\psi ⟩\right)\\ & \approx 1+(⟨\psi |d\psi ⟩+c.c.)+⟨d\psi |d\psi ⟩+\frac{1}{2}(⟨\psi |d^2\psi ⟩+c.c.)+|⟨\psi |d\psi ⟩{|}^2\end{array}$$

代入导数关系化简，最终得到距离 $d{s}^2=1-|⟨\psi |\psi +d\psi ⟩{|}^2$ 的二阶项为：

$$d{s}^2=\left(⟨{\partial }_{\mu }\psi |{\partial }_{\nu }\psi ⟩-⟨{\partial }_{\mu }\psi |\psi ⟩⟨\psi |{\partial }_{\nu }\psi ⟩\right)d{\theta }^{\mu }d{\theta }^{\nu }$$

上式括号内的张量通常记为 ${\chi }_{\mu \nu }$，称为量子几何张量（Quantum Geometric Tensor, QGT）。其定义为：

$${\chi }_{\mu \nu }\equiv ⟨{\partial }_{\mu }\psi |(1-|\psi ⟩⟨\psi |)|{\partial }_{\nu }\psi ⟩$$

由于 $d{s}^2$ 必须为实数，实际上物理距离由 ${\chi }_{\mu \nu }$ 的对称实部决定。在信息几何的标准定义中，通常取因子 4 以匹配经典费希尔信息，即得 $g_{\mu \nu }=4\mathrm{Re}({\chi }_{\mu \nu })$。$\square$

2.1.3 黎曼度量与辛结构的统一：量子几何张量

定理 2.1.2 揭示了一个深刻的结构：量子几何张量 ${\chi }_{\mu \nu }$ 并非纯实数，它自然分解为实部和虚部：

$${\chi }_{\mu \nu }=\frac{1}{4}{g}_{\mu \nu }-\frac{i}{2}{\Omega }_{\mu \nu }$$

其中：

• 实部 $g_{\mu \nu }$：是对称的黎曼度量张量（QFIM），度量参数空间中的“距离“。它描述了量子态在参数变化下的正交性速率。

• 虚部 ${\Omega }_{\mu \nu }$：是反对称的辛形式（Symplectic Form），即著名的贝里曲率（Berry Curvature）：

  $${\Omega }_{\mu \nu }=i\left(⟨{\partial }_{\mu }\psi |{\partial }_{\nu }\psi ⟩-⟨{\partial }_{\nu }\psi |{\partial }_{\mu }\psi ⟩\right)$$

  它描述了量子态在参数空间闭合路径演化中积累的几何相位。

推论 2.1.3 (几何与拓扑的统一)

在参数化量子宇宙中，黎曼几何（引力/距离）与辛几何（规范场/相位）是同一物理对象——量子几何张量——的两个侧面。距离衡量了信息的差异，而曲率衡量了信息的完整性（Holonomy）。

2.1.4 物理诠释：克拉美-罗下界（Cramér-Rao Bound）

为什么我们要把这个度量称为“信息度量“？因为它直接决定了物理测量的极限精度。

考虑对参数 $\theta$ 的任意无偏估计量 $\hat{\theta }$。根据量子克拉美-罗定理（Quantum Cramér-Rao Theorem），估计量的方差受限于 QFIM 的逆：

$$\mathrm{Var}(\hat{\theta })\ge \frac{1}{N_{meas}{g}_{\theta \theta }}$$

其中 $N_{meas}$ 为测量次数。

这赋予了黎曼几何以严格的操作主义意义：

• 大 $g_{\mu \nu }$：意味着参数微小的变化会导致量子态急剧变化（正交化），因此该处的物理参数很容易被精确测量（高分辨区）。

• 小 $g_{\mu \nu }$：意味着量子态对参数变化不敏感，物理实在在该区域是“模糊“的。

总结

本节我们完成了从离散量子态到连续黎曼几何的跨越。我们证明了，只要物理系统可以被参数化，其参数空间就必然具备黎曼结构。这个结构不是人为设定的，而是由量子态区分度的统计学性质（QFIM）唯一确定的。

在接下来的章节中，我们将看到，如果我们把这些“参数“解释为时空坐标，那么广义相对论中的爱因斯坦场方程，实际上就是这一信息几何在最大纠缠熵原理下的动力学方程。