Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

5.3 长球波函数 (PSWF)：有限观测窗口下的最优基底与信息截断

在 5.1 节中，我们证明了在无限区间上，物理采样定理保证了离散格点与连续带限场之间的完美等价性。在 5.2 节中，我们引入离散-连续误差控制（DCEC）来处理边界项。然而，任何真实的物理观测或数值模拟都必须在有限的时间或空间窗口内进行。

当我们将一个带限信号（QCA 的连续极限）限制在一个有限区间 $[-T,T]$ 内时，海森堡不确定性原理告诉我们，信号的频带将不再严格受限，而是发生扩散（谱泄漏）。这导致了信息论中著名的悖论：一个函数不能既是时间有限的（Time-limited），又是带宽有限的（Band-limited）。

本节将引入长球波函数（Prolate Spheroidal Wave Functions, PSWF） 及其离散对应物 DPSS（Discrete Prolate Spheroidal Sequences），证明它们构成了在有限观测窗口下捕捉物理信息的最优正交基底。这不仅解决了吉布斯现象带来的误差，更深刻地揭示了：对于一个有限时空区域，有效物理自由度的数目不仅是有限的，而且由香农数（Shannon Number） 精确界定。

5.3.1 有限观测的算子表述与不确定性困境

设全空间的物理状态空间为 $L^2(\mathbb{R})$。我们需要考察两个非对易的投影算子：

1. 带限算子（Band-limiting Operator） $B_{\Omega }$：将物理场限制在动量截断 $[-\Omega ,\Omega ]$ 内。

   $$(B_{\Omega }f)(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \Omega (t-s)}{\pi (t-s)}f(s)\mathrm{d}s$$

   这对应于 QCA 的紫外截断 $\Omega =\pi /a$。

2. 时限算子（Time-limiting Operator） $D_T$：将观测限制在时间窗口 $[-T,T]$ 内。

   $$(D_{T}f)(t)=\{\begin{array}{ll}f(t)& |t|\le T\\ 0& |t|>T\end{array}$$

引理 5.3.1 (帕利-维纳定理的推论)

算子 $B_{\Omega }$ 和 $D_T$ 不存在公共的非零本征函数。即不存在非零函数 $f$ 同时满足 $\text{supp}(f)\subset [-T,T]$ 和 $\text{supp}(\hat{f})\subset [-\Omega ,\Omega ]$。

这意味着，任何试图在这个有限窗口内完美重建原始物理场的尝试，在数学上都是注定有误差的。我们的目标转向寻找“损失最小“的基底。

5.3.2 斯莱皮恩-兰道-波拉克（SLP）问题

为了量化信息的保留程度，我们要寻找一组带限函数 $f\in B_{\Omega }{L}^2(\mathbb{R})$，使其在观测窗口 $[-T,T]$ 内的能量占比（能量集中度）最大。

定义 5.3.2 (能量集中度泛函)

定义能量集中比 $\lambda$ 为：

$$\lambda =\frac{\Vert D_{T}f{\Vert }_2^2}{\Vert f{\Vert }_2^2}=\frac{{\int }_{-T}^T|f(t){|}^2\mathrm{d}t}{{\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^2\mathrm{d}t}$$

寻找使 $\lambda$ 最大的函数 $f$ 等价于求解以下变分问题：

$$\delta \left(\Vert D_{T}f{\Vert }_2^2-\lambda \Vert f{\Vert }_2^2\right)=0,f\in B_{\Omega }{L}^2(\mathbb{R})$$

利用 $f=B_{\Omega }f$，变分方程导出了以下积分方程：

$$B_{\Omega }{D}_T{B}_{\Omega }f=\lambda f$$

或者在时域上，这对应于本征值问题：

$${\int }_{-T}^T\frac{\sin \Omega (t-s)}{\pi (t-s)}f(s)\mathrm{d}s=\lambda f(t)$$

5.3.3 长球波函数（PSWF）作为最优基底

上述积分算子 $K_c=B_{\Omega }{D}_T{B}_{\Omega }$ 的核函数 $K(t,s)=\frac{\sin \Omega (t-s)}{\pi (t-s)}$ 是实对称且正定的。根据希尔伯特-施密特（Hilbert-Schmidt）算子理论，它拥有离散的谱。

定理 5.3.3 (PSWF 的谱性质)

积分算子 $K_c$ 存在可数无穷个实本征值 ${\lambda }_n$ 和对应的本征函数 ${\psi }_n(t)$（即长球波函数），满足：

1. 谱的有序性：$1>{\lambda }_0>{\lambda }_1>\cdots >0$。

2. 双重正交性：$\{{\psi }_n(t)\}$ 在有限区间 $[-T,T]$ 上正交，同时在全实轴 $(-\infty ,\infty )$ 上也是正交的。

   $${\int }_{-T}^T{\psi }_n(t){\psi }_m(t)\mathrm{d}t={\lambda }_n{\delta }_{nm},{\int }_{-\infty }^{\infty }{\psi }_n(t){\psi }_m(t)\mathrm{d}t={\delta }_{nm}$$

3. 完备性：$\{{\psi }_n\}$ 构成了带限函数空间 $B_{\Omega }{L}^2(\mathbb{R})$ 的完备基。

物理意义：

PSWF $\{{\psi }_n(t)\}$ 是信息的自然模式。${\lambda }_n$ 代表第 $n$ 个模式在观测窗口内的“能见度“。${\lambda }_n\approx 1$ 意味着该模式的信息几乎完全落在观测窗口内；${\lambda }_n\approx 0$ 意味着该模式虽然在物理上存在，但几乎完全位于观测视界之外，无法被通过有限窗口获取。

5.3.4 香农数与信息截断的相变

本征值 ${\lambda }_n$ 的分布呈现出极其显著的相变行为，这是物理信息有限性的直接体现。

定义 5.3.4 (香农数 / Shannon Number)

定义无量纲参数 $c=\Omega T$（时间-带宽积）。香农数 $N_{DoF}$ 定义为：

$$N_{DoF}=\frac{2\Omega T}{\pi }=\frac{2c}{\pi }$$

这在离散 QCA 中对应于观测窗口内的格点数 $N_{sites}\approx 2W\cdot N_{steps}$。

定理 5.3.5 (谱的阶梯分布)

对于大 $c$，本征值 ${\lambda }_n$ 的分布呈现阶梯状：

• 通带区 ($n<N_{DoF}$)：${\lambda }_n\approx 1$。这些模式是完全可观测的“信息通道“。

• 过渡区 ($n\approx N_{DoF}$)：${\lambda }_n$ 在宽度为 $O(\ln c)$ 的窄带内从 1 急剧下降到 0。

• 阻带区 ($n>N_{DoF}$)：${\lambda }_n\approx 0$（指数级衰减）。这些模式是被观测视界“屏蔽“的自由度。

物理推论（信息截断的合法性）：

当我们用有限窗口观测 QCA 宇宙时，我们不需要（也不可能）获取无穷维希尔伯特空间的所有信息。我们只需要保留前 $N_{DoF}$ 个 PSWF 模式。

截断误差 $E_{trunc}$ 由被丢弃的本征值之和控制：

$$E_{trunc}\le \sum _{n>N_{DoF}}{\lambda }_n$$

由于 ${\lambda }_n$ 在 $N_{DoF}$ 之后呈指数衰减，这种截断是物理上安全的。这解释了为什么有限的实验数据可以精确验证连续的物理定律：因为无论是离散本体还是连续模型，在有限窗口下的有效自由度都是 $N_{DoF}$。

5.3.5 离散对应物：DPSS 与数值实现

对于 QCA 的实际计算，我们需要 PSWF 的离散版本。设我们在长度为 $N$ 的格点链上观测，物理带宽为 $W$（归一化频率 $0<W<1/2$）。

定义 5.3.6 (DPSS 序列)

离散长球波序列（DPSS）是以下 $N\times N$ 托普利茨（Toeplitz）矩阵的本征向量 $v^{(k)}$：

$$[T_{N,W}{]}_{mn}=\frac{\sin 2\pi W(m-n)}{\pi (m-n)},0\le m,n\le N-1$$

其本征值 ${\lambda }_k(N,W)$ 同样表现出香农相变，临界维度为 $K\approx 2NW$。

DCEC 算法应用：

在第 5.2 节的 DCEC 框架中，如果我们选择 DPSS 的前 $K$ 个向量作为基底来展开离散物理场，我们可以最大程度地减少边界截断带来的吉布斯振荡。此时，欧拉-麦克劳林余项 $R_k$ 被 DPSS 的极高能量集中度自然压低。

总结

本节为“有限观测“提供了最优的数学工具。

1. PSWF/DPSS 是连接无限本体与有限观测的桥梁。

2. 香农数 $2\Omega T/\pi$ 给出了任何有限时空区域内所含物理信息的硬性上限（自由度计数）。

3. 谱泄漏 不是无法控制的噪声，而是可以通过选择最优基底被指数级抑制的解析尾项。

至此，我们完成了第一卷的全部数学准备。我们已经证明：离散、有限、带限的 QCA 模型，在长波极限下不仅能导出连续场论（第四章），而且在数学结构上拥有严格的误差控制体系（第五章）。这为我们在后续卷中探讨更深层的物理问题——时间的本质——奠定了坚不可摧的基础。