Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

8.3 引力红移的散射机制：势场对局域态密度的重标度效应

在 8.1 节和 8.2 节中，我们建立了统一时间恒等式 $\kappa (E)=\rho (E)$，并提出了“时间即物质“的观点：时间流逝的速率由局域态密度决定。这一微观视角为广义相对论中最经典的效应之一——引力红移（Gravitational Redshift）——提供了一个纯粹基于量子统计的解释机制。

在传统广义相对论中，引力红移被解释为时空度量 $g_{00}$ 导致的几何效应：深引力势井中的时钟走得慢。而在本书的离散本体论中，没有先验的背景度量，引力势表现为哈密顿量的局域修正。本节将证明，引力红移本质上是势场对局域态密度的重标度（Rescaling），而这一重标度通过 Wigner-Smith 时间延迟直接导致了观测到的时间延缓。

8.3.1 引力势作为哈密顿量的乘性因子

考虑一个位于引力势 $\Phi (\mathbf{x})$ 中的量子系统（如原子钟或散射靶）。在弱场近似下（或在静态球对称度量 $d{s}^2=-(1+2\Phi )d{t}^2+\dots$ 中），局域能量 $E_{loc}$ 与无穷远处观测者的能量 $E_{\infty }$ 满足如下关系（Tolman 关系）：

$$E_{\infty }=E_{loc}\sqrt{g_{00}}\approx E_{loc}(1+\Phi )$$

其中 $\Phi <0$ 为引力势。

对于量子系统，这意味着其有效哈密顿量 $H_{eff}$ 相对于平直空间哈密顿量 $H_0$ 发生了乘性重标度，而不仅仅是加性位移。对于质量为 $m$ 的粒子，静能量 $m{c}^2$ 占主导，重标度效应最为显著：

$$H(\mathbf{x})=\sqrt{g_{00}(\mathbf{x})}{H}_0\approx (1+\Phi (\mathbf{x}))H_0$$

这与薛定谔方程中 $V$ 作为加性势不同，但在相对论极限下，度量确实作为乘性因子耦合于能量。这种能量标度的局域收缩是引力红移的动力学起源。

8.3.2 态密度的重标度变换

利用统一时间恒等式 $\kappa =\rho$，我们考察这一能量重标度如何影响态密度 $\rho (E)$，进而影响时间延迟 $\tau$。

设系统在局域参考系（Local Inertial Frame）中的态密度为 ${\rho }_{loc}(E_{loc})$。这是由系统内部结构（如原子能级间距）决定的内禀属性，不随位置改变。

对于无穷远处的观测者，他所测量的能量是 $E_{\infty }$。根据能级数守恒（微分同胚不变性）：

$$dN={\rho }_{loc}(E_{loc})d{E}_{loc}={\rho }_{\infty }(E_{\infty })d{E}_{\infty }$$

态密度 ${\rho }_{\infty }$ 是观测者“看到“的有效态密度。利用 $E_{loc}=E_{\infty }/\sqrt{g_{00}}$，我们有：

$$\frac{d{E}_{loc}}{d{E}_{\infty }}=\frac{1}{\sqrt{g_{00}}}$$

代入守恒式：

$${\rho }_{\infty }(E_{\infty })={\rho }_{loc}\left(\frac{E_{\infty }}{\sqrt{g_{00}}}\right)\frac{1}{\sqrt{g_{00}}}$$

这意味着，对于外部观测者而言，引力势井中的态密度被放大了。因子 $1/\sqrt{g_{00}}>1$（因为 $\Phi <0,g_{00}<1$）直接增加了单位能量间隔内的状态数。

8.3.3 时间延迟的红移公式推导

现在应用统一时间恒等式 $\tau (E)=2\pi \rho (E)$（在自然单位制下）。

• 局域时间延迟：${\tau }_{loc}=2\pi {\rho }_{loc}(E_{loc})$。这是原子钟内部过程（如电子跃迁）经历的固有时间。

• 观测时间延迟：${\tau }_{\infty }=2\pi {\rho }_{\infty }(E_{\infty })$。这是无穷远观测者测量到的过程持续时间。

代入态密度的变换关系：

$${\tau }_{\infty }=2\pi {\rho }_{loc}(E_{loc})\frac{1}{\sqrt{g_{00}}}={\tau }_{loc}\frac{1}{\sqrt{g_{00}}}$$

即：

$${\tau }_{\infty }=\frac{{\tau }_{loc}}{\sqrt{1+2\Phi }}\approx {\tau }_{loc}(1-\Phi )$$

由于 $\Phi <0$，${\tau }_{\infty }>{\tau }_{loc}$。

这正是广义相对论的时间膨胀公式 $\Delta t_{\infty }=\Delta \tau /\sqrt{g_{00}}$。

物理诠释：

从散射时间理论的角度看，引力红移不是因为“时间流逝变慢了“，而是因为信息处理变慢了。

1. 引力势压缩了能量标度（$E_{\infty }<E_{loc}$）。

2. 能量标度的压缩导致态密度 $\rho (E)$ 的反向膨胀（挤压效应）。

3. 根据 $\text{Tr}\mathsf{Q}\propto \rho$，态密度的增加意味着散射通道更加拥挤。

4. 外部观测者发现，粒子在势井中完成一次量子跃迁（散射过程）需要穿越更多的微观状态，因此耗费了更多的坐标时间。

8.3.4 从微观 $\kappa (E)$ 重构度量 $g_{00}$

上述推导表明，时空度量分量 $g_{00}$ 并非基本量，而是相对态密度的一个宏观统计参数。我们可以反过来定义引力势：

定义 8.3.1 (熵引力势)

在 QCA 宇宙中，若空间各处的真空态密度 ${\rho }_{vac}(\mathbf{x},E)$ 存在非均匀分布，则定义有效引力势 $\Phi (\mathbf{x})$ 为态密度的对数偏差：

$$\Phi (\mathbf{x})\equiv -\ln \left(\frac{{\rho }_{vac}(\mathbf{x},E)}{{\rho }_{ref}(E)}\right)$$

或者更精确地，通过统一时间母尺 $\kappa$ 定义：

$$\sqrt{g_{00}(\mathbf{x})}=\frac{{\kappa }_{ref}(E)}{\kappa (\mathbf{x},E)}$$

这一公式揭示了引力即熵压力的微观机制。物质倾向于向 $\kappa$ 大（态密度高）的区域运动，这在统计力学上对应于最大化系统的微观状态数（熵力）。而在宏观几何上，这表现为物体落向引力源（引力源周围 $\kappa$ 较大）。

定理 8.3.2 (红移的散射普遍性)

对于任意满足统一时间恒等式 $\kappa =\text{Tr}\mathsf{Q}/2\pi$ 的系统，只要相互作用导致哈密顿量的乘性重标度 $H\to \lambda H$，则系统必然表现出红移效应，且红移量 $z={\lambda }^{-1}-1$。这不仅适用于引力，也适用于任何模拟引力的介质系统（如光学黑洞或声学度规）。

8.3.5 实验验证视角的统一

利用这一机制，我们可以重新审视著名的 Pound-Rebka 实验。

• 传统解释：光子在引力场中上升，损失能量，频率降低 ${\nu }^{\prime }<\nu$。

• 散射解释：位于塔底（势深处）的原子核（发射器）具有更高的局域态密度 ${\rho }_{bottom}$。位于塔顶的原子核（接收器）具有较低的局域态密度 ${\rho }_{top}$。

  发射过程的时间延迟 ${\tau }_{emit}\propto {\rho }_{bottom}$ 大于接收过程的时间延迟 ${\tau }_{absorb}\propto {\rho }_{top}$。

  为了发生共振（时间匹配），光子必须调整其频率（能量），以补偿两处“时间处理速率“的差异。红移是连接两个不同信息密度区域的阻抗匹配条件。

结论

本节证明了引力红移完全可以由势场对局域态密度的重标度效应推导出来。结合统一时间恒等式，我们无需假设弯曲时空背景，仅凭微观的散射统计性质（$\kappa$ 密度），就能复现广义相对论的时间延缓效应。这为第三卷将引力完全几何化为熵力铺平了道路。

在下一节，我们将把这一逻辑推广到弯曲时空中的相对散射行列式，展示如何通过测量散射数据来重构时空的黎曼度量。