第六编：时间的拓扑结构

第十章：时间平移对称性的破缺

在前九章中，我们讨论的时间大多是“连续“的有效描述（如散射延迟 $\tau$ 或哈勃膨胀 $H$）。然而，QCA 的底层本体论是离散的（$U^n$）。一个自然的问题是：这种底层的离散节律（Tick）是否会在宏观物理中留下可观测的痕迹？

本章将引入离散时间晶体（Discrete Time Crystal, DTC） 的概念。我们将证明，DTC 不仅仅是一种奇异的凝聚态相，更是 QCA 宇宙中时间维度的拓扑骨架。它揭示了时间平移对称性（TTS）在离散系统中是如何自发破缺的，并由此产生受拓扑保护的 ${\mathbb{Z}}_2$ 周期性结构。

10.1 离散时间晶体（DTC）的定义：Floquet 系统的次谐波响应

在连续时间系统中，能量守恒对应于连续时间平移对称性。然而，如果系统本身由一个周期性的驱动场（或离散 QCA 更新 $U$）驱动，连续对称性便降级为离散对称性 $t\to t+T$（$T$ 为驱动周期）。

定义 10.1.1 (Floquet 系统)

考虑一个哈密顿量显含时间的系统 $H(t)=H(t+T)$。系统的演化由一个周期的Floquet 算符 $U_F$ 描述：

$$U_F=\mathcal{T}\exp \left(-i{\int }_0^{T}H(t)\mathrm{d}t\right)$$

这正好对应于 QCA 中的单步更新算符 $U$（其中 $T$ 是普朗克时间步长）。

10.1.1 时间平移对称性破缺（TTSB）

在热力学极限下，如果系统的某个可观测量 $\mathcal{O}$ 的期望值表现出比驱动周期 $T$ 更长的周期性（通常是 $nT$），则称发生了离散时间平移对称性自发破缺。

定义 10.1.2 (离散时间晶体)

一个量子多体系统被称为离散时间晶体，如果对于某些局域序参量 $\mathcal{O}$：

1. 次谐波响应（Subharmonic Response）：$⟨\mathcal{O}(t)⟩$ 展现出 $kT$ 的周期性（$k>1$ 为整数），即 $⟨\mathcal{O}(t+T)⟩\ne ⟨\mathcal{O}(t)⟩$，但 $⟨\mathcal{O}(t+kT)⟩=⟨\mathcal{O}(t)⟩$。

2. 长程时空有序：这种振荡在无限大体积极限 $V\to \infty$ 和无限长时间 $t\to \infty$ 下是稳健的（Robust），不随微小扰动而消失。

最常见的是 ${\mathbb{Z}}_2$ 时间晶体，其周期为 $2T$。这意味着系统在每一步更新 $U$ 后并不回到原状，而是发生了翻转（Flip），需要两步 $U^2$ 才能复原。这正是费米子统计（旋转 $4\pi$ 复原）的时间域对应物。

10.1.2 有效哈密顿量与 $\pi$-模

为了理解 DTC 的微观机制，我们考察 $U_F$ 的谱性质。

$$U_F|n⟩=e^{-i{\epsilon }_{n}T}|n⟩$$

其中 ${\epsilon }_n$ 称为准能量（Quasi-energy），定义在圆周 $[-\pi /T,\pi /T)$ 上。

定理 10.1.3 (DTC 的谱特征)

离散时间晶体相对应于准能量谱中的配对结构。特别是对于周期倍增（Period-doubling）的 DTC，系统的本征态成对出现 $(|{\psi }_{+}⟩,|{\psi }_{-}⟩)$，其准能量差严格锁定为 $\pi /T$（即频率的一半）：

$${\epsilon }_{+}-{\epsilon }_{-}=\frac{\pi }{T}(\text{mod }\frac{2\pi }{T})$$

这意味着，演化算符在由这两个态张成的子空间中表现为：

$$U_F\approx e^{-i\frac{\pi }{2}{\sigma }_x}=-i{\sigma }_x$$

这是一个完美的自旋翻转操作。特征值 $e^{-i\epsilon T}$ 分别为 $e^{\mp i\pi /2}=\mp i$。这种位于准能量区域边界的模式被称为 $\pi$-模（$\pi$-modes）。

10.1.3 刚性与拓扑保护

DTC 之所以被称为“晶体“，是因为它具有刚性。如果驱动参数（如哈密顿量中的脉冲强度）发生微小偏离，一般的 Rabi 振荡频率会随之连续变化。但在 DTC 相中，尽管参数改变，响应频率锁定在精确的 $\omega /2$ 处不变。

物理机制：

这种锁定源于多体局域化（Many-Body Localization, MBL） 或 预热化（Prethermalization） 机制。

• 在 MBL-DTC 中，系统的本征态在大范围内保持了长程纠缠结构，使得 $\pi$-模成为受拓扑保护的边缘态（在 Floquet 算符的能谱上）。

• 这种保护类似于拓扑绝缘体：除非发生相变（Gap Closing），否则准能量差无法从 $\pi$ 连续变化到其他值。

10.1.4 QCA 宇宙中的 DTC 意义

在本书的框架下，DTC 不仅仅是一个凝聚态模型，它是 QCA 宇宙**“固有频率”**的体现。

1. 宇宙的节拍器：如果 QCA 的微观更新规则 $U$ 处于 DTC 相，那么宇宙的宏观可观测量将不会在每一个普朗克时间步都发生变化，而是以 $2T$（或 $kT$）为周期进行“宏观滴答“。这定义了物理时间的最小分辨率。

2. 费米子的起源：$\pi$-模的出现（$U^2=1$ 但 $U\ne 1$）在数学上同构于旋量的 ${\mathbb{Z}}_2$ 性质。我们在 4.2 节导出的狄拉克方程，其微观硬币算符 $C(\theta )$ 在 $\theta \to \pi /2$ 时正是一个 $\pi$-模翻转操作。这暗示了费米子可能就是时空背景上的局域时间晶体缺陷。

总结

本节定义了离散时间晶体，并将其识别为 Floquet 系统中准能量谱的刚性配对现象。这为时间维度的拓扑结构（${\mathbb{Z}}_2$ 周期性）奠定了物理基础。

在下一节中，我们将深入其拓扑本质，引入 ${\mathbb{Z}}_2$ 同痕（Holonomy） 概念，证明 DTC 的稳定性源于参数空间中的非平凡拓扑环路。