第三卷：引力与几何的熵起源

第七编：几何动力学基础

第十一章：因果几何与广义熵

在第一卷中，我们建立了离散本体论，确立了信息是物理实在的基石。在第二卷中，我们论证了“时间即物质“，证明了微观的时间流逝速率由态密度决定，并揭示了时间的拓扑骨架（时间晶体）。现在，在第三卷中，我们将完成物理学统一的最后一步：引力与几何的动力学起源。

我们将证明，广义相对论中的弯曲时空并非先验的背景舞台，而是量子信息纠缠在热力学极限下的涌现。正如气体压力源于分子的统计运动，引力源于量子纠缠熵的最大化倾向（熵力）。为了建立这一理论，我们需要一个能够定义“熵“的基本几何单元——小因果菱形（Small Causal Diamond）。

11.1 小因果菱形（Causal Diamond）的几何性质与共形结构

要将热力学定律应用于时空，我们首先面临的问题是：系统的边界在哪里？ 在传统热力学中，系统被容器壁包围。在广义相对论中，不存在固定的刚性容器。雅各布森（Jacobson）和其他先驱指出，时空中的自然“容器“是由因果结构本身定义的。

本节将严格定义小因果菱形，并推导其几何性质。这些菱形不仅是探测时空曲率的显微镜，更是全息原理在局域（Local）层面的载体。

11.1.1 因果菱形的构造定义

考虑一个洛伦兹流形 $(\mathcal{M},g)$ 中的两点 $p$（过去顶点）和 $q$（未来顶点），满足 $p$ 在 $q$ 的因果过去中（$p\ll q$），且它们之间存在唯一的类时测地线 $\gamma$。设该测地线的长度（固有时间）为 $\tau$。

定义 11.1.1 (因果菱形)

由 $p$ 和 $q$ 生成的因果菱形 $D(p,q)$ 定义为 $p$ 的未来光锥内部与 $q$ 的过去光锥内部的交集：

$$D(p,q)\equiv J^{+}(p)\cap J^{-}(q)$$

其中 $J^{\pm }$ 表示因果未来/过去集合。

菱形的边缘（Edge） $\partial \Sigma$ 是 $p$ 的未来光锥 $\partial J^{+}(p)$ 与 $q$ 的过去光锥 $\partial J^{-}(q)$ 的交界面。在 $d$ 维时空中，$\partial \Sigma$ 拓扑上是一个 $(d-2)$-维球面 $S^{d-2}$。它是全息熵 $S=A/4G$ 的定义域。

定义 11.1.2 (小因果菱形)

若 $p$ 和 $q$ 之间的固有时间间隔 $\tau$ 远小于时空的曲率半径 $L_{curv}\sim 1/\sqrt{|R_{\mu \nu \rho \sigma }|}$，则称 $D(p,q)$ 为小因果菱形。

在以测地线中点 $O$ 为原点的黎曼法向坐标系（Riemann Normal Coordinates, RNC）中，菱形可以近似视为平直闵可夫斯基空间中的标准菱形，曲率效应表现为对度规的二阶微扰。

11.1.2 几何展开与面积亏损定理

为了连接几何与引力，我们需要计算曲率如何改变菱形的几何属性。在平直空间中，菱形边缘（即最大截面）的面积由时间间隔 $\tau$ 唯一确定。在弯曲时空中，这一面积会因几何聚焦效应而发生改变。

设菱形的寿命为 $\tau$。在 $O$ 点的局部惯性系中，菱形边缘是一个半径 $l\approx \tau /2$ 的球面。

定理 11.1.3 (小菱形的面积亏损)

在 $d$ 维弯曲时空中，小因果菱形边缘 $\partial \Sigma$ 的面积 $A$ 相对于平直空间面积 $A_{flat}$ 的偏差由爱因斯坦张量 $G_{\mu \nu }$ 控制。精确至 $\tau$ 的低阶项，我们有：

$$\delta A\equiv A_{flat}-A=\frac{{\Omega }_{d-2}{\tau }^d}{d^2-1}{G}_{00}+\mathcal{O}({\tau }^{d+1})$$

或者写成更一般的张量形式，设 $u^{\mu }$ 为连接 $p,q$ 的测地线切向量（时间方向）：

$$\delta A=\frac{{\Omega }_{d-2}(\tau /2{)}^d}{d^2-1}{R}_{ab}{u}^a{u}^b\cdot (\text{维度因子})$$

其中 $G_{00}=R_{00}-\frac{1}{2}{g}_{00}R$ 是爱因斯坦张量在时间方向的分量。

证明概要：

1. 度规展开：在 RNC 中，度规展开为 $g_{\mu \nu }(x)={\eta }_{\mu \nu }-\frac{1}{3}{R}_{\mu \alpha \nu \beta }{x}^{\alpha }{x}^{\beta }+\mathcal{O}(x^3)$。

2. 面积元展开：诱导度规的行列式 $\sqrt{h}$ 受到黎曼曲率的修正。球面积分 $A=\int \sqrt{h}d\Omega$。

3. 积分平均：对球面上坐标 $x^i$ 的二次项进行积分，利用球对称性 $\int x^i{x}^{j}d\Omega \propto {\delta }^{ij}$，黎曼张量收缩为里奇张量 $R_{\mu \nu }$。

4. 测地线偏离：光锥边界本身也受到测地线偏离方程的影响，导致半径 $l$ 的修正。综合两部分效应，最终得到面积亏损与 $G_{00}$ 成正比。

物理意义：

这一几何定理是引力场方程推导的关键。

• 当 $G_{00}>0$（正能量密度）时，$\delta A>0$，即实际面积 $A$ 小于平直空间面积。这代表了**引力聚焦（Gravitational Focusing）**效应——能量使得光线会聚，从而收缩了波前的截面积。

• 全息联系：如果我们将面积 $A$ 视为熵的载体（$S\propto A$），那么几何聚焦意味着纯几何熵的减少。为了维持热力学平衡，这部分减少的熵必须由物质的熵增来补偿，这正是第十二章熵变分原理的核心。

11.1.3 共形结构与模流（Modular Flow）

因果菱形之所以在信息物理中占据核心地位，还因为它具有独特的共形对称性。

定理 11.1.4 (菱形的共形等价性)

在闵可夫斯基空间中，任意因果菱形都通过一个共形变换等价于林德勒楔（Rindler Wedge）。这意味着，菱形内部的物理可以用一个受限在视界内的加速观测者的热力学来描述。

定义 11.1.5 (共形基尔灵矢量 / CKV)

存在一个矢量场 ${\zeta }^{\mu }$，它在菱形边界 $\partial D$ 上为零（视界），并在内部产生共形流：

$${\mathcal{L}}_{\zeta }{g}_{\mu \nu }\propto g_{\mu \nu }$$

这个矢量场 $\zeta$ 正是模哈密顿量（Modular Hamiltonian） $K$ 的几何生成元。根据 Bisognano-Wichmann 定理，对于真空态 ${\rho }_{vac}$，其约化密度矩阵满足 ${\rho }_D=e^{-K}/Z$，且 $K$ 与 $\zeta$ 对应的广义洛伦兹生成元成正比：

$$K=\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\Sigma }{T}_{\mu \nu }{\zeta }^{\mu }d{\Sigma }^{\nu }$$

这表明，小因果菱形内的真空态自然处于一个关于“模时间“（沿 $\zeta$ 的流参数）的热平衡态，其温度为 Unruh 温度。

11.1.4 全息屏与信息截断

小因果菱形的边界 $\partial \Sigma$ 充当了局域的全息屏（Holographic Screen）。

1. 信息界：根据贝肯斯坦界限（1.1 节），菱形内部所能包含的最大信息量由 $\partial \Sigma$ 的面积决定。

2. 因果封闭：菱形是一个自洽的因果单元。任何进入菱形的信息（从 $J^{-}(q)$ 进）最终都必须穿过边界或被边界记录，或者是从 $p$ 点发出的初始数据。

3. UV/IR 连接：菱形的大小 $\tau$ 提供了一个自然的红外截断（IR Cutoff），而全息原理提供了紫外截断（UV Cutoff）。当我们取 $\tau \to 0$ 极限时，我们正在探测时空的微观结构。

总结

本节定义了小因果菱形并推导了其面积亏损公式 $\delta A\propto G_{00}$。这揭示了一个深刻的几何事实：时空曲率等价于全息信息容量的亏损。

这一几何准备工作为第十二章铺平了道路：我们将证明，为了最大化系统的总熵（几何熵 + 物质熵），时空必须弯曲，且弯曲的方式必须严格遵循爱因斯坦场方程。