Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

11.3 纠缠第一定律：模哈密顿量（Modular Hamiltonian）与能量动量张量

在 11.2 节中，我们将广义熵 $S_{\text{gen}}$ 定义为几何面积项与物质纠缠熵项的总和。为了构建引力的动力学方程，我们需要知道当系统状态发生微小变化时，这些熵项是如何演化的。在经典热力学中，能量变化与熵变通过第一定律 $dE=TdS$ 相联系。在量子信息论中，存在一个与之严格对应的定律——纠缠第一定律（First Law of Entanglement）。

本节将证明，对于任何量子态的微小扰动，纠缠熵的变化精确等于一个特定算符——模哈密顿量（Modular Hamiltonian）——的期望值变化。更关键的是，对于小因果菱形中的真空态，这个抽象的信息算符直接对应于物理上的能量动量张量通量。这建立了“信息（熵）“与“物质（能量）“之间最坚实的数学桥梁。

11.3.1 模哈密顿量的代数定义

考虑希尔伯特空间中的一个密度矩阵 $\rho$。由于 $\rho$ 是正定厄米算符（假设满秩），我们可以将其写成指数形式。

定义 11.3.1 (模哈密顿量)

对于任意密度矩阵 $\rho$，其模哈密顿量 $K_{\rho }$ 定义为：

$$K_{\rho }\equiv -\ln \rho$$

这使得 $\rho =e^{-K_{\rho }}$（通常归一化使得 $\text{Tr}(e^{-K_{\rho }})=1$，或者将归一化因子吸收到 $K$ 的常数项中，即 $\rho =e^{-K}/Z$）。

物理意义：

虽然 $K_{\rho }$ 被称为“哈密顿量“，但它通常不是控制系统时间演化的物理哈密顿量 $H$。它是一个由系统状态 $\rho$ 内禀定义的算符，描述了该状态在信息几何意义下的“能量“权重。只有在热平衡态（吉布斯态 $\rho =e^{-\beta H}/Z$）下，$K_{\rho }$ 才与物理哈密顿量成正比（$K_{\rho }=\beta H+\ln Z$）。

11.3.2 纠缠第一定律的严格推导

现在考察系统状态从基准态 $\sigma$（例如真空态）发生微小偏离，变为 $\rho =\sigma +\delta \rho$。我们需要计算纠缠熵 $S(\rho )=-\text{Tr}(\rho \ln \rho )$ 的变化 $\delta S$。

定理 11.3.2 (纠缠第一定律)

设 $\sigma$ 为任意参考态，$\rho =\sigma +\delta \rho$ 为其微扰态（满足 $\text{Tr}(\delta \rho )=0$ 以保持归一化）。在 $\delta \rho$ 的一阶近似下，冯·诺依曼熵的变化量 $\delta S$ 等于模哈密顿量 $K_{\sigma }$ 的期望值变化量：

$$\delta S=\delta ⟨K_{\sigma }⟩\equiv \text{Tr}(K_{\sigma }\delta \rho )$$

证明：

相对熵（Relative Entropy）$S(\rho \Vert \sigma )$ 定义为：

$$S(\rho \Vert \sigma )=\text{Tr}(\rho \ln \rho )-\text{Tr}(\rho \ln \sigma )=-S(\rho )+\text{Tr}(\rho K_{\sigma })$$

即 $S(\rho \Vert \sigma )=⟨K_{\sigma }{⟩}_{\rho }-S(\rho )$。

对于微小扰动 $\rho =\sigma +ϵ\Delta \rho$，相对熵具有二阶极小性（即 $S(\sigma +ϵ\Delta \rho \Vert \sigma )\sim \mathcal{O}({ϵ}^2)$），这是因为 $\sigma$ 使 $S(\cdot \Vert \sigma )$ 在一阶变分下为零（类似于自由能在平衡态取极小值）。

因此，在一阶近似下：

$$0=\delta ⟨K_{\sigma }⟩-\delta S⟹\delta S=\delta ⟨K_{\sigma }⟩$$

$\square$

物理诠释：

这一公式是热力学第一定律 $dS=dE/T$ 的量子推广。在这里，模哈密顿量 $K_{\sigma }$ 扮演了“能量/温度“的角色。它告诉我们，要改变一个量子态的纠缠熵，必须在模哈密顿量的共轭方向上注入“模能量“。

11.3.3 几何化：Bisognano-Wichmann 定理

对于任意量子系统，模哈密顿量 $K$ 往往是非局域的、复杂的。然而，在量子场论和小因果菱形的背景下，$K$ 具有惊人的几何简单性。

考虑闵可夫斯基真空态 $|\Omega ⟩$ 限制在小因果菱形（或林德勒楔）$\Sigma$ 内的约化密度矩阵 ${\sigma }_{\Sigma }$。根据 Bisognano-Wichmann 定理，模哈密顿量 $K_{\Sigma }$ 生成的流不仅是代数上的自同构，更是时空几何上的共形基尔灵流（Conformal Killing Flow）。

定理 11.3.3 (模哈密顿量的几何形式)

对于小因果菱形 $\Sigma$，其真空模哈密顿量 $K_{vac}$ 由能量动量张量 $T_{\mu \nu }$ 沿共形基尔灵矢量 ${\zeta }^{\mu }$ 的积分给出：

$$K_{vac}=\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\Sigma }{T}_{\mu \nu }{\zeta }^{\mu }d{\Sigma }^{\nu }+\text{const}$$

其中 ${\zeta }^{\mu }$ 是保持菱形边界 $\partial \Sigma$ 不变的矢量场。在菱形中心附近的惯性系中，${\zeta }^{\mu }$ 近似为洛伦兹推进（Boost）生成元，其模长与距离中心的距离成正比。

物理推论：

将纠缠第一定律 $\delta S=\delta ⟨K⟩$ 与几何形式结合，我们得到：

$$\delta S_{\text{mat}}=\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\Sigma }\delta ⟨T_{\mu \nu }⟩{\zeta }^{\mu }d{\Sigma }^{\nu }$$

这表明，物质纠缠熵的变化 $\delta S_{\text{mat}}$ 直接对应于穿过因果菱形的能量通量（Energy Flux）。

系数 $2\pi /\hslash$ 实际上包含了 Unruh 温度的信息（$T_U=\hslash a/2\pi$），使得上式在量纲上符合 $dS=dE/T$。

11.3.4 广义熵平衡与引力场方程的预演

至此，我们拥有了推导引力方程的所有组件：

1. 几何侧：根据 11.1 节，时空曲率导致菱形面积亏损 $\delta A\propto -G_{00}$。

2. 物质侧：根据本节，物质能量通量导致纠缠熵增加 $\delta S_{\text{mat}}\propto T_{00}$。

如果我们假设时空遵循广义熵平衡原理（即总熵 $S_{\text{gen}}=A/4G+S_{\text{mat}}$ 在真空微扰下保持极值或平衡），则几何熵的减少必须被物质熵的增加所补偿：

$$\delta S_{\text{grav}}+\delta S_{\text{mat}}=0$$

代入各自的表达式，我们将看到 $G_{00}$ 与 $T_{00}$ 之间必须存在线性关系。这正是第十二章要严格证明的内容。

总结

本节确立了纠缠第一定律 $\delta S=\delta ⟨K⟩$，并利用 Bisognano-Wichmann 定理将模哈密顿量识别为能量动量张量的积分。这一步至关重要，它将抽象的量子信息（熵）“翻译“成了具体的物理实体（能量），从而让爱因斯坦方程能够从纯粹的信息论原则中涌现出来。

在下一节 11.4 中，我们将引入描述几何聚焦效应的瑞查德乌利（Raychaudhuri）方程，它是连接几何改变（面积变化）与能量条件（QNEC）的最后一道几何工序。