Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

15.2 贝肯斯坦-霍金熵 $S=A/4G$ 的微观计数推导

在 15.1 节中，我们将黑洞视界定义为 QCA 网络的信息截断表面，并指出黑洞熵源于跨越视界的纠缠键计数。虽然这自然导出了面积律 $S\propto A$，但其中的比例系数 $1/4$ 一直是量子引力的圣杯。在圈量子引力（LQG）或弦论中，这一系数的推导往往依赖于特定的微观模型参数（如 Immirzi 参数）。

本节将证明，在 QCA 离散本体论与广义熵变分原理（IGVP）的统一框架下，系数 $1/4$ 是由幺正性（Unitarity）与广义相对论的一致性共同锁定的，不需要引入额外的人为参数。我们将进行精确的微观状态计数，展示每一个被视界切断的 QCA 链路（Link）如何贡献恰好 $1/4$ 个普朗克面积的熵。

15.2.1 视界微观自由度：自旋网络与穿刺点

在 QCA 宇宙图 $G=(\Lambda ,E)$ 中，视界 $\Sigma$ 是一个二维闭合曲面，它切断了一系列连接黑洞内部与外部的边。设穿过视界的边的总数为 $N$。

每条边 $e_i$ 携带一个希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_{e_i}$。为了简单起见，设 QCA 是基于 $SU(2)$ 自旋网络（Spin Network）构造的，每条边携带自旋量子数 $j_i$（例如 $j=1/2$ 对应于费米子 QCA）。

定义 15.2.1 (穿刺点面积谱)

根据圈量子引力的面积算符，每个穿刺点（Puncture） $p_i$ 对视界面积的贡献为：

$$A_i=8\pi l_P^2\sqrt{j_i(j_i+1)}$$

（注：这里采用了 LQG 的标准谱，但在 QCA 框架下，我们可以更一般地假设每条边贡献一个特征面积 $a_0$）。

总面积为 $A={\sum }_{i=1}^N{A}_i\approx N⟨A⟩$。

15.2.2 纠缠熵的微观计算

对于外部观测者，每一条被切断的边 $e_i$ 都是一个纠缠源。假设 QCA 处于典型的纠缠态（例如最大纠缠态或热态），则每条边贡献的冯·诺依曼熵为：

$$S_i=\ln (\dim {\mathcal{H}}_{e_i})$$

对于自旋 $j_i$ 的边，维度为 $2j_i+1$。

总熵为：

$$S_{BH}=\sum _{i=1}^N\ln (2j_i+1)$$

15.2.3 系数锁定的全息逻辑

现在我们面临一个匹配问题：

• 几何侧：$A=8\pi l_P^2\gamma \sum \sqrt{j(j+1)}$ （其中 $\gamma$ 是 Immirzi 参数）。

• 信息侧：$S=\sum \ln (2j+1)$。

为了使 $S=A/4l_P^2$ 成立，必须满足：

$$\frac{\ln (2j+1)}{8\pi \gamma \sqrt{j(j+1)}}=\frac{1}{4}$$

在 LQG 中，这通常用来固定参数 $\gamma$。但在 QCA 离散本体论中，我们有一个更深刻的原理：IGVP 的自洽性。

回顾第十二章，我们通过 $\delta S_{\text{gen}}=0$ 推导出了爱因斯坦方程 $G_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$。在这个推导中，我们利用了纠缠第一定律 $\delta S=\delta ⟨K⟩$ 和面积亏损定理 $\delta A\propto G_{00}$。

如果在推导中，$S$ 与 $A$ 的比例系数不是 $1/4G$，而是 $\alpha /G$，那么导出的场方程将是：

$$G_{\mu \nu }=\frac{2\pi }{\alpha }G{T}_{\mu \nu }$$

为了恢复牛顿引力极限（$G_{00}\approx {\nabla }^2\varphi =4\pi G\rho$），我们必须有 $2\pi /\alpha =8\pi$，即 $\alpha =1/4$。

定理 15.2.2 (系数锁定定理)

在满足广义相对论低能极限（即牛顿势）的 QCA 宇宙中，视界微观自由度的统计熵 $S$ 与几何面积 $A$ 的比值必须严格锁定为 $1/4l_P^2$。任何微观离散模型（如自旋 $j$ 的选取或格点间距 $a$）都必须在重整化流的不动点处满足这一比例，否则该模型将导致错误的宏观引力定律。

15.2.4 QCA 的“比特-面积“对应

我们可以反过来利用这个定理来约束 QCA 的微观结构。

假设 QCA 由最简单的量子比特（$j=1/2$, qubit）构成。

• 每个链接的维数 $\dim =2$，熵贡献 $\ln 2$。

• 每个链接的“物理面积“应为 $a_{qubit}=4l_P^2\ln 2$。

这意味着，普朗克长度 $l_P$ 本身就是由量子比特的信息密度定义的。

$$A=N\cdot (4\ln 2)l_P^2⟹S=N\ln 2=\frac{A}{4l_P^2}$$

这就是 “It from Bit” 的几何表达：时空面积 $A$ 不过是底层量子纠缠比特数 $N$ 的宏观度量（乘以常数 $4l_P^2\ln 2$）。

15.2.5 视界作为全息屏的饱和性

为什么系数是 $1/4$ 而不是 $1$？

因子 $4$ 暗示了时空自由度的某些不可用性或冗余性。

在全息原理的某些推导中（如 ’t Hooft 的砖墙模型），这个因子来源于场在视界附近的热层（Thermal Atmosphere）。

在 QCA 视角下，我们可以理解为：虽然每个普朗克面积单元在几何上可以承载 1 比特信息，但在动力学上，为了维持幺正演化和因果结构（光锥），只有 $1/4$ 的自由度是活跃的（Active），可以被外部观测者作为“熵“读取。其余的自由度被“冻结“在真空的短程关联中，不参与长程纠缠。

结论

贝肯斯坦-霍金熵 $S=A/4G$ 是 QCA 离散网络在满足爱因斯坦方程约束下的必然统计结果。

• $S\propto A$：源于 QCA 的局域连接性（边界切割）。

• 系数 $1/4$：源于广义相对论作为熵力动力学的自洽性要求（牛顿常数匹配）。

这一推导不需要引入弦论的D-膜或LQG的自旋网络细节，它是普适的（Universal），适用于任何能够涌现出经典引力的离散量子系统。

在下一节 15.3 中，我们将进一步探讨这个 $1/4$ 系数如何与幺正性（信息守恒）和 Page 曲线联系起来，解决黑洞信息悖论。