Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

15.4 黑洞蒸发与 Page 曲线：QCA 幺正演化下的信息回收机制

在 15.1 至 15.3 节中，我们确立了黑洞熵的微观起源及其系数 $1/4$ 的全息必要性。然而，黑洞物理学最严峻的挑战并非静态的熵公式，而是动态的黑洞信息悖论（Black Hole Information Paradox）。霍金（Hawking）在 1976 年的半经典计算表明，黑洞辐射是纯热的，这意味着黑洞蒸发是一个非幺正过程，初态的纯量子信息似乎在奇点处被永久销毁了。

本节将利用 QCA 离散本体论的严格幺正性，证明信息守恒是 QCA 动力学的必然结果。我们将展示，黑洞视界并非信息的吞噬者，而是一个信息的加扰器（Scrambler）和再辐射器。通过将黑洞蒸发建模为 QCA 网络中子系统维度的动态演化，我们将推导出著名的 Page 曲线，揭示信息是如何在蒸发的晚期被精确回收的。

15.4.1 悖论的本质：半经典近似的失效

霍金的原始计算基于在固定的弯曲时空背景上进行量子场论（QFT）演化。在这种近似下，视界产生纠缠对 $(b_{in},b_{out})$。$b_{in}$ 落入奇点，$b_{out}$ 逃逸。由于 $b_{in}$ 的自由度不断累积且从未返回，外部辐射的纠缠熵 $S_{rad}$ 随时间单调增加。当黑洞完全蒸发消失时，$S_{rad}$ 依然很大，导致纯态演化为混合态。

在 QCA 宇宙中，这一图景是错误的，原因有二：

1. 奇点不存在：如第 14.4 节所述，奇点被信息饱和机制截断。内部自由度不会“掉出“宇宙，而是滞留在高密度的 QCA 核心中。

2. 背景非固定：QCA 演化算符 $U$ 同时更新几何（连接结构）和物质。随着辐射带走能量，黑洞对应的 QCA 子图规模 $N_{BH}$ 必须减小。

15.4.2 黑洞蒸发的 QCA 模型

我们将全宇宙希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 分解为两部分：

$$\mathcal{H}={\mathcal{H}}_{BH}(t)\otimes {\mathcal{H}}_{rad}(t)$$

其中 ${\mathcal{H}}_{BH}$ 是视界内部的 QCA 节点集合，${\mathcal{H}}_{rad}$ 是视界外部已逃逸的辐射模式。

随着蒸发进行，离散时间步 $n$ 增加，$\dim {\mathcal{H}}_{BH}$ 减小，$\dim {\mathcal{H}}_{rad}$ 增加，但总维数 $D=\dim \mathcal{H}$ 保持不变（假设宇宙是封闭系统）。

公理 15.4.1 (QCA 局域加扰假设 / Local Scrambling Hypothesis)

黑洞内部的 QCA 动力学 $U_{BH}$ 是高度混沌的（Fast Scrambler）。在经过短短的加扰时间（$t_{scr}\sim \log N_{BH}$）后，黑洞内部状态对于任何局域观测者而言都近似于Haar 随机态（Random State）。

这意味着，黑洞内部的信息被迅速涂抹到整个视界表面，并通过与外部辐射模式的耦合 $U_{int}$ 随机地泄露出去。

15.4.3 Page 曲线的严格推导

基于上述假设，我们可以直接应用 Don Page (1993) 关于随机量子系统的熵定理。

定理 15.4.2 (QCA 辐射熵定理)

设全系统处于纯态 $|\Psi ⟩$。辐射子系统 ${\mathcal{H}}_{rad}$ 的冯·诺依曼熵 $S_{rad}(t)$ 由两个子系统维度的比值决定：

$$S_{rad}(t)\approx \min \left(S_{BH}(t),S_{rad}^{therm}(t)\right)$$

其中 $S_{BH}\propto \text{Area}$ 是黑洞当前的粗粒化熵（容量），$S_{rad}^{therm}\propto t$ 是辐射累积的热力学熵（若不考虑纠缠）。

演化阶段：

1. 早期（$t<t_{Page}$）：$\dim {\mathcal{H}}_{rad}\ll \dim {\mathcal{H}}_{BH}$。

   黑洞内部是个巨大的“纠缠库“。新产生的辐射粒子与黑洞内部高度纠缠。熵 $S_{rad}$ 随辐射粒子数线性增加，表现为热辐射。

   $$S_{rad}(t)\approx \beta E_{rad}(t)$$

2. Page 时间（$t=t_{Page}$）：$\dim {\mathcal{H}}_{rad}\approx \dim {\mathcal{H}}_{BH}$。

   当黑洞蒸发了一半自由度（约为初始面积的一半）时，熵达到最大值 $S_{max}\approx A_0/4G$。

3. 晚期（$t>t_{Page}$）：$\dim {\mathcal{H}}_{rad}\gg \dim {\mathcal{H}}_{BH}$。

   此时，黑洞内部剩余的自由度已不足以支持与外部辐射的独立纠缠。根据 Schmidt 分解，纠缠熵受限于较小系统的维数：

   $$S_{rad}(t)=S_{BH}(t)\le \frac{A(t)}{4G}$$

   随着黑洞面积 $A(t)$ 减小，$S_{rad}(t)$ 被迫下降。这意味着新辐射出的粒子不仅不增加纠缠，反而通过携带与早期辐射的关联（Purifying Partners），降低了总系统的熵。

4. 终态：黑洞消失，$A\to 0$，则 $S_{rad}\to 0$。辐射整体恢复为纯态。

这一倒 V 字形的熵演化曲线即为 Page 曲线。

15.4.4 信息回收的微观机制：全息通道

在 QCA 图像中，信息是如何“逃出“视界的？这依赖于视界作为全息通道的性质。

在 15.2 节中，我们证明了视界上的每一个普朗克面积元对应一个纠缠通道。

• 在早期，这些通道主要用于建立新的纠缠（发射热光子）。

• 在晚期（Page 时间后），黑洞内部高度混合。任何落入黑洞的新信息，会迅速与整个视界发生纠缠。

• 下一个发射的光子，其微观状态 ${\rho }_{out}$ 实际上携带了关于内部状态的微妙印记。由于内部状态已经与早期辐射高度关联，这个新光子实际上充当了早期辐射的密钥。

定义 15.4.3 (黑洞作为镜像)

在 QCA 晚期，黑洞表现为一个量子镜子。如果我们收集了所有的早期辐射，并将新发射的光子与之进行联合测量（解码操作），我们就可以以极高的保真度重构出当初落入黑洞的信息。信息的释放速率为每发射 1 比特能量，释放 $\approx 1$ 比特信息。

15.4.5 幺正性的胜利与防火墙的消解

传统的 Page 曲线推导曾引发“防火墙悖论“（AMPS Paradox）：如果晚期辐射必须与早期辐射纠缠（以降低熵），它就不能同时与黑洞内部纠缠（这违背了纠缠单夫性）。这似乎意味着视界处必须切断纠缠，形成高能火墙。

在 QCA 框架下，这一悖论通过非局域连接或虫洞几何得到缓解。

根据第十七章将讨论的ER=EPR猜想，黑洞内部与早期辐射之间通过微观虫洞（QCA 网络中的非局域链接）相连。

• 物理空间：辐射在黑洞之外，距离遥远。

• 信息空间：在 QCA 拓扑图上，晚期辐射产生于视界边缘，而早期辐射通过虫洞与视界内部紧密相连。

因此，视界附近的局域操作实际上总是作用在一个连通的量子网络上，不需要破坏视界的光滑性（即不需要防火墙）即可实现信息的转移。

结论

Page 曲线是 QCA 宇宙幺正演化的直接推论。

1. 守恒：信息从未丢失，只是被加扰（Scrambled）到了复杂的辐射纠缠态中。

2. 回收：视界是一个幺正的编码器。只要收集足够多的辐射（超过 Page 时间），信息就可以被解码。

3. 一致性：QCA 模型的有限维数使得熵不可能无限增加，强制了熵的下降，从而拯救了量子力学。

至此，我们完成了对黑洞热力学的微观重构。我们证明了黑洞是一个遵循量子统计规律的正常物理系统，其神秘的面积律熵和信息悖论，皆源于我们对时空离散本性和全息性质的忽视。

在接下来的第九编：相互作用的几何统一中，我们将离开单个黑洞，去探索更宏大的问题：如何将引力与标准模型中的其他力（规范场）统一在同一个几何框架下？这将引出卡鲁扎-克莱因（Kaluza-Klein）理论的现代复兴——总空间几何。