Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

16.2 统一联络 $\mathbb{A}$：引力自旋联络与杨-米尔斯规范势的融合

在 16.1 节中，我们确立了“规范场即几何连接“的观点，将物理相互作用视为总空间（Total Space）上的纤维丛结构。然而，在标准的广义相对论和杨-米尔斯理论中，引力场（度规 $g_{\mu \nu }$）和规范场（$A_{\mu }$）通常被视为截然不同的对象：前者描述时空的弯曲，后者描述内部空间的扭曲。

本节将打破这一界限。我们将引入统一联络（Unified Connection） $\mathbb{A}$，证明引力和规范场不过是同一几何对象在不同代数子空间上的投影。具体而言，我们将利用嘉当（Cartan）移动标架法，将引力的自旋联络（Spin Connection）${\omega }_{\mu }^{ab}$ 与杨-米尔斯势 $A_{\mu }^I$ 融合为一个定义在总空间主丛上的单一联络形式。

16.2.1 标架丛与引力的规范化

为了统一引力与规范场，首先必须将引力“规范化“。在广义相对论中，度规 $g_{\mu \nu }$ 并不是最基本的变量，更基本的是标架场（Vierbein / Tetrad） $e_{\mu }^a$ 和自旋联络 ${\omega }_{\mu }^{ab}$。

定义 16.2.1 (局域洛伦兹规范对称性)

在弯曲时空的每一点 $x$，我们可以选取一组正交归一的切空间基底 $\{e_a\}$（局域惯性系）。这就引入了一个局域洛伦兹群 $SO(1,3)$ 的规范自由度：

$$e_{\mu }^{\prime a}(x)={\Lambda }^a{}_b(x)e_{\mu }^b(x)$$

为了比较邻近点的标架，我们需要一个联络，即自旋联络 ${\omega }_{\mu }^{ab}$。它定义了标架在平行移动下的旋转：

$$D_{\mu }{v}^a={\partial }_{\mu }{v}^a+{\omega }_{\mu }^{ab}{v}_b$$

这与杨-米尔斯场 $D_{\mu }\psi ={\partial }_{\mu }\psi -ig{A}_{\mu }\psi$ 在数学结构上完全等价。引力就是局域洛伦兹群的规范场。

16.2.2 统一李代数与总联络 $\mathbb{A}$

现在考虑一个包含引力和内波规范群（如 $SU(N)$）的物理系统。总的局域对称性群是直积群 $G_{total}=SO(1,3)\times G_{int}$。

其李代数 ${\mathfrak{g}}_{total}$ 分解为时空旋转生成元 $J_{ab}$ 和内部对称性生成元 $T_I$：

$$[J_{ab},J_{cd}]\sim J,[T_I,T_J]\sim T,[J,T]=0$$

定义 16.2.2 (统一联络 / Unified Connection)

在总空间主丛 $P$ 上，我们定义一个取值为 ${\mathfrak{g}}_{total}$ 的 1-形式 $\mathbb{A}$。在底流形的局域坐标系下，它可以展开为：

$${\mathbb{A}}_{\mu }=\frac{1}{2}{\omega }_{\mu }^{ab}{J}_{ab}+A_{\mu }^I{T}_I$$

其中：

• ${\omega }_{\mu }^{ab}$ 是引力部分（自旋联络），负责时空指标的平行移动。

• $A_{\mu }^I$ 是规范部分（杨-米尔斯势），负责内部色/味指标的平行移动。

物理意义：

$\mathbb{A}$ 是一个单一的几何对象。它告诉我们，当我们从 $x$ 移动到 $x+dx$ 时，物理参考系（包括标尺和时钟的方向，以及电子相位的基准）发生了怎样的广义旋转。

16.2.3 协变导数的统一形式

利用统一联络，我们可以写出一个适用于所有物质场（费米子、希格斯场等）的统一致变导数。

设物质场 $\Psi$ 是总群 $G_{total}$ 的表示（即它既有自旋指标，也有内部规范指标）。例如，一个夸克场 ${\psi }_i^{\alpha }$（$\alpha$ 为旋量指标，$i$ 为颜色指标）。

统一协变导数定义为：

$${\mathbb{D}}_{\mu }\Psi ={\partial }_{\mu }\Psi +{\mathbb{A}}_{\mu }\Psi$$

展开后：

$$({\mathbb{D}}_{\mu }\Psi {)}_i^{\alpha }={\partial }_{\mu }{\psi }_i^{\alpha }+\frac{1}{2}{\omega }_{\mu }^{ab}({\Sigma }_{ab}{)}_{\beta }^{\alpha }{\psi }_i^{\beta }+A_{\mu }^I(t_I{)}_i^j{\psi }_j^{\alpha }$$

这里，${\Sigma }_{ab}$ 是洛伦兹生成元的旋量表示，$t_I$ 是规范群生成元的表示。

定理 16.2.3 (平行移动的分解)

统一平行移动算符 $U(x,y)=\mathcal{P}\exp (-{\int }_y^x\mathbb{A})$ 可以分解为时空旋转与内部旋转的乘积（在局域近似下）：

$$U(x,y)\approx U_{grav}(x,y)\otimes U_{gauge}(x,y)$$

这表明，引力效应和规范力效应是独立作用但形式统一的几何输运过程。

16.2.4 QCA 离散本体论中的实现

在 QCA 网络中，统一联络 $\mathbb{A}$ 具有极其直观的构造性定义。

微观构造：

1. 节点空间：每个格点 $x$ 携带一个全希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_x={\mathcal{H}}_{spin}\otimes {\mathcal{H}}_{internal}$。

2. 边算符：连接 $x$ 和 $y$ 的边携带一个幺正算符 $U_{xy}$。

3. 统一规范原理：$U_{xy}$ 是基底变换算符。为了比较 ${\mathcal{H}}_x$ 和 ${\mathcal{H}}_y$ 中的矢量，必须通过 $U_{xy}$ 进行映射。

根据 Stone 定理，对于无穷小间隔 $a$，幺正算符可以写为指数形式：

$$U_{xy}=\exp \left(ia{\mathbb{A}}_{\mu }{n}^{\mu }\right)$$

其中 ${\mathbb{A}}_{\mu }$ 就是统一联络。

推论 16.2.4 (引力与规范场的同源性)

在离散本体论中，引力和规范场没有本质区别。

• 引力是 $U_{xy}$ 在 ${\mathcal{H}}_{spin}$ 子空间上的非平凡分量。

• 规范场是 $U_{xy}$ 在 ${\mathcal{H}}_{internal}$ 子空间上的非平凡分量。

如果我们“关闭“自旋空间的弯曲（取 $\omega =0$），我们就得到了平直时空量子场论。如果我们“关闭“内部空间的扭曲（取 $A=0$），我们就得到了纯引力。

在 QCA 的底层，它们只是同一个量子传输门（Quantum Transport Gate） 的不同张量因子。

16.2.5 挠率（Torsion）与标架场的动力学

值得注意的是，统一联络 $\mathbb{A}$ 仅包含了 $\omega$ 和 $A$。标架场 $e_{\mu }^a$ 在哪里？

在嘉当几何中，标架场可以被视为与平移生成量 $P_a$ 相关的联络部分（庞加莱规范理论），或者作为独立的“焊接形式“（Soldering Form）。

在 IGVP 框架下，我们将 $e_{\mu }^a$ 视为度量结构的定义者，而 ${\omega }_{\mu }^{ab}$ 是独立的变量。变分原理对 $\omega$ 的变分导出挠率方程：

$$T_{\mu \nu }^a\equiv D_{\mu }{e}_{\nu }^a-D_{\nu }{e}_{\mu }^a=0(\text{无自旋流时})$$

这保证了 $\omega$ 不是任意的，而是与 $e$ 适配的列维-奇维塔联络。

总结

本节定义了统一联络 $\mathbb{A}$，将引力的自旋联络与规范场的势统一在同一个李代数结构中。这不仅简化了形式体系，更揭示了物理力的共同几何起源：力是总空间中平行移动的非对易性。

在下一节 16.3 中，我们将计算这个统一联络的曲率，证明黎曼曲率张量和杨-米尔斯场强张量只是统一曲率形式 $\mathbb{F}=d\mathbb{A}+\mathbb{A}\wedge \mathbb{A}$ 的不同分量。