Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

26.2 介观导体中的时间延迟测量：电子干涉与量子电容

在 26.1 节中，我们利用宏观的微波混沌腔验证了统一时间恒等式 $\kappa (E)=\rho (E)$ 对于玻色子（光子）场的有效性。然而，QCA 本体论中的物质基础是费米子（第 17 章）。费米子服从泡利不相容原理，其“态密度“直接关联到粒子数的填充和电荷的积累。

本节将把实验验证推进到介观电子学（Mesoscopic Electronics） 领域。我们将证明，在量子点或介观干涉仪中，电子的散射相移（Scattering Phase Shift） 不仅决定了时间延迟，还直接定义了系统的量子电容（Quantum Capacitance）。这一实验事实为“时间即物质“提供了最直接的电学证据：滞留时间越长，系统储存电荷（物质）的能力就越大。

26.2.1 量子点作为 QCA 节点的物理实现

介观量子点（Quantum Dot, QD）是一个人工制造的“人造原子“，它通过隧道结与外部引线（Source/Drain）相连。

在 QCA 离散模型中，量子点完美对应于网络中的一个散射节点（Scattering Node）。

• 输入/输出：电子波函数 ${\psi }_{in/out}$ 通过引线传输。

• 内部状态：量子点内部的离散能级 $\{E_n\}$ 对应于 QCA 的内部希尔伯特空间。

• 控制参数：栅极电压 $V_g$ 可以调节内部势能，相当于扫描能量 $E$。

我们的目标是验证对于费米子系统，Wigner-Smith 时间延迟 ${\tau }_W$ 与局域态密度 $\rho (E)$ 仍然满足严格的线性关系：

$${\tau }_W(E)=2\pi \hslash \rho (E)$$

26.2.2 理论桥梁：量子电容与 RC 时间常数

在宏观电路中，电容 $C=dQ/dV$ 是纯几何量。但在介观尺度，当我们将一个电子加入量子点时，必须付出两部分能量：经典的库仑排斥能 $E_C$ 和量子的能级间隔 $\Delta E$。

定义 26.2.1 (电化学电容 / Electrochemical Capacitance)

系统的总电容 $C_{\mu }$ 定义为注入电荷 $dN$ 所需的化学势变化 $d\mu$ 的倒数：

$$\frac{1}{C_{\mu }}=\frac{1}{e^2}\frac{d\mu }{dN}=\frac{1}{C_{geo}}+\frac{1}{C_q}$$

其中 $C_{geo}$ 是几何电容，而 量子电容（Quantum Capacitance） $C_q$ 直接由态密度定义：

$$C_q(E)=e^2\rho (E)$$

推论 26.2.2 (时间-电容恒等式)

结合统一时间恒等式 $\tau =h\rho$（此处 $h=2\pi \hslash$），我们得到一个惊人的电学关系：

$${\tau }_W(E)=\frac{h}{e^2}{C}_q(E)=R_K{C}_q(E)$$

其中 $R_K=h/e^2\approx 25.8\text{k}\Omega$ 是 冯·克利青常数（von Klitzing Constant），即电阻量子。

物理含义：

这一公式表明，微观散射的时间延迟 ${\tau }_W$ 本质上是一个 RC 时间常数，其中的“电阻“是普适的真空阻抗 $R_K$，而“电容“是表征物质态密度的量子电容 $C_q$。

这不仅验证了 Friedel 求和规则（$\Delta N=\frac{1}{\pi }\delta$），更将抽象的“时间“转化为了可测量的“电容“。物体之所以有质量（能储存电荷/信息），是因为它能延迟时间。

26.2.3 实验方案：阿哈罗诺夫-波姆（AB）干涉仪

为了直接测量散射相位 $\delta (E)$（从而得到 ${\tau }_W\sim d\delta /dE$），我们需要一个相位敏感的实验装置。

实验设置：

1. AB 环：构建一个介观尺度的导电环，电子可以从源极（S）流向漏极（D）。

2. 嵌入量子点：在环的一臂中嵌入一个量子点（待测 QCA 节点），另一臂作为参考路径。

3. 磁通控制：穿过环的磁通 $\Phi$ 引入一个可控的阿哈罗诺夫-波姆相位 ${\phi }_{AB}=2\pi \Phi /{\Phi }_0$。

测量原理：

通过量子点的透射振幅 $t_{QD}=|t|e^{i\delta }$ 与参考臂振幅 $t_{ref}$ 干涉。总电导 $G$ 随磁通 $\Phi$ 振荡：

$$G(\Phi )\propto |t_{QD}+t_{ref}{e}^{i{\phi }_{AB}}{|}^2=A+B\cos ({\phi }_{AB}+\delta )$$

通过测量干涉条纹的相位移动，我们可以直接读取量子点的透射相位 $\delta (V_g)$。

实验操作：

1. 调节栅压 $V_g$，改变量子点能级与费米面的对齐情况（扫描能量 $E$）。

2. 在每个 $V_g$ 点，扫描磁通 $\Phi$，提取相位 $\delta$。

3. 计算相位导数 $\frac{d\delta }{d{V}_g}\propto {\tau }_W$。

4. 同时，通过库仑阻塞峰（Coulomb Blockade Peaks）的宽度和间距，独立测量态密度 $\rho (E)$ 或量子电容 $C_q$。

26.2.4 实验证据与相位失效（Phase Lapse）的修正

早期的 AB 干涉实验（如 Yacoby et al., 1995）确实观测到了相位随能量的连续演化，但也发现了一个被称为“相位失效“（Phase Lapse）的现象：在两个共振峰之间，相位有时会发生 $\pi$ 的突变。

这曾被视为对 Friedel 规则的挑战。但在 QCA 框架下，这得到了完美的解释：

• 多通道效应：真实的量子点不是单通道的。根据 6.4 节的 $\mathsf{Q}$ 矩阵理论，测量的相位是 $S$ 矩阵某个分量的相位 ${\theta }_t$，而 Friedel 规则关联的是总相位 $\Phi =\det S$。

• 通用验证：后续更精密的实验（如 Schuster et al., 1997）通过控制通道数，证实了在单通道极限下，相位演化 $\Delta \delta$ 在穿过一个共振峰时精确为 $\pi$。

这对应于 $\Delta N=1$，即量子点内增加了一个电子。

$${\int }_{\text{resonance}}{\tau }_W(E)dE=\int \hslash \frac{d\delta }{dE}dE=\hslash \pi =\frac{h}{2}$$

这与量子不确定性原理 $\Delta E\Delta t\sim \hslash$ 也是一致的。

26.2.5 结论：电子学的时空本质

介观干涉实验提供了微观世界中“时间-物质“对偶性的强力证据。

1. 电容即延迟：我们不仅验证了统一时间恒等式，还赋予了它电学意义：$C_q={\tau }_W/R_K$。电子学元件的参数（电容）本质上是时空几何参数（时间延迟）。

2. 计数即几何：向系统增加一个粒子（$\Delta N=1$），等价于将系统的边界波函数相位卷绕 $\pi$（$\Delta \delta =\pi$）。这是 Levinson 定理（7.4 节）的实验再现。

这一节的验证表明，QCA 理论不仅适用于普朗克尺度的引力，也无缝地描述了纳米尺度的电子输运。在下一节 26.3 中，我们将尺度推向宏观，利用原子钟来检验引力红移中的态密度效应。