Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

27.2 快速射电暴 (FRB) 的频谱闪烁：时空微观结构的统计指纹

在 27.1 节中，我们通过引力波的到达时间差约束了 QCA 晶格的一阶洛伦兹破坏。这是一种“硬“约束，针对的是传播速度的平均值（群速度）。然而，离散时空不仅会改变光速，还会引入随机相位噪声（Stochastic Phase Noise）。

在 QCA 离散本体论中，真空不是虚无，而是充满了处于基态的格点网络（见 9.4 节）。根据统一时间恒等式 $\kappa =\rho$，真空具有极高的微观态密度。虽然全息原理（15.2 节）限制了有效自由度，但微观的量子涨落（State Fluctuations）仍可能在长距离传播中累积，导致光子波包的退相干（Decoherence）。

本节将探讨快速射电暴（Fast Radio Bursts, FRBs） 作为宇宙学干涉仪的潜力。作为已知宇宙中亮度最高、相干性最强的射频信号，FRB 的频谱精细结构（闪烁图案）记录了其从源头到地球的完整散射历史。我们将证明，如果时空具有普朗克尺度的“颗粒感“，这种颗粒感将在 FRB 的频谱上留下一种独特的、不同于星际介质等离子体散射的统计指纹。

27.2.1 宇宙作为散射介质：统一时间视角的传播

考虑一个频率为 $\omega$ 的光子在 QCA 宇宙中传播距离 $L$。在经典连续时空中，其积累的相位是确定的 ${\Phi }_{cl}=\omega L/c$（忽略红移）。

但在 QCA 离散网络中，传播是由一系列局域幺正算符 $U_x$ 构成的链式散射过程。

根据第六章的 Wigner-Smith 理论，通过每个普朗克单元 $l_P$ 的时间延迟为 ${\tau }_P\approx l_P/c$。总传播时间是这些微观延迟的累积：

$$T_{total}=\sum _{i=1}^N{\tau }_i,N=L/l_P$$

根据统一时间恒等式 ${\tau }_i=2\pi \hslash {\rho }_i(E)$，微观态密度 ${\rho }_i$ 的量子涨落 $\delta {\rho }_i$ 会导致微观时间的涨落 $\delta {\tau }_i$。

定义 27.2.1 (时空相位噪声)

假设 QCA 真空的微观态密度涨落是统计独立的（或短程关联的），满足中心极限定理。光子积累的相位涨落 $\Delta \Phi$ 为：

$$\Delta \Phi =\omega \Delta T=\omega \sqrt{\sum (\delta {\tau }_i{)}^2}\approx \omega \sqrt{N}\delta {\tau }_P$$

代入 $N=L/l_P$ 和 $\delta {\tau }_P\sim l_P/c$（假设涨落与均值同量级），我们得到著名的随机游走相位公式：

$$\Delta \Phi \sim \omega \sqrt{\frac{L}{l_P}}\frac{l_P}{c}=\frac{\omega }{c}\sqrt{L{l}_P}$$

这通常被称为全息噪声（Holographic Noise） 或时空泡沫噪声。

27.2.2 频谱闪烁与退相干判据

这种相位噪声不仅导致到达时间的弥散（波包展宽），更会导致频谱相干性的丧失。

在频域上，FRB 的信号 $S(\omega )$ 会被调制。如果 $\Delta \Phi (\omega )\gtrsim \pi$，原本相干的波列将变得混乱。

定理 27.2.2 (QCA 诱导的闪烁带宽)

时空颗粒性会定义一个特征去相干带宽（Decoherence Bandwidth） $\Delta {\nu }_{QCA}$。当两个频率分量 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 的差值 $|{\omega }_1-{\omega }_2|>2\pi \Delta {\nu }_{QCA}$ 时，它们经历的相位涨落将不再相关。

由相位方差公式导出的限制为：

$$\frac{\Delta {\nu }_{QCA}}{\nu }\sim \frac{1}{\sqrt{L/l_P}}$$

对于宇宙学距离 $L\approx 1\text{Gpc}\approx 10^{26}\text{m}$，普朗克长度 $l_P\approx 10^{-35}\text{m}$，$L/l_P\approx 10^{61}$。

这意味着相对带宽限制为 $10^{-30.5}$。这一极小的数值表明，对于任何现实观测，一阶随机游走模型预测的相位噪声极其微小，不足以破坏 FRB 的相干性。

然而，如果 QCA 网络具有非局域的长程关联（如第 20 章所述的 MSCC 结构），涨落可能不再是 $\sqrt{N}$ 而是 $N^{\alpha }$（$\alpha >0.5$）。

27.2.3 区分等离子体散射与时空散射

FRB 的观测频谱确实充满了复杂的闪烁结构（Scintillation Patterns）。但这主要归因于星际介质（ISM） 和 星系际介质（IGM） 中的电子云散射。

为了寻找 QCA 的指纹，我们必须区分这两种效应。

特征对比：

1. 频率依赖性：

   • 等离子体散射：散射角 ${\theta }_s\propto {\lambda }^2\propto {\omega }^{-2}$，时间延迟 $\Delta t\propto {\omega }^{-4}$。闪烁带宽 $\Delta \nu \propto {\omega }^4$（或更高幂次，取决于湍流谱）。

   • QCA 时空散射：基于几何结构，通常表现为消色差（Achromatic） 或弱频率依赖（如 ${\omega }^0$ 或 ${\omega }^{-1}$），取决于离散色散关系的阶数。

2. 距离依赖性：

   • 等离子体：主要由银河系内的屏幕（Screen）主导，与源距离 $L$ 关系较弱（除非 IGM 贡献显著）。

   • QCA：累积效应严格随路径长度 $L$（或 $\sqrt{L}$）增长。遥远的 FRB 应比较近的 FRB 表现出更强的“本底“去相干。

27.2.4 实验约束：时空的“光洁度“

目前的 FRB 观测（如 CHIME, FAST）显示，即使在数十亿光年外，FRB 信号依然保持了极高的相干性。闪烁图案完全可以用等离子体多径传播模型拟合。

这一“零结果“对 QCA 模型提出了强约束。

推论 27.2.3 (真空态密度的平滑度)

如果 QCA 导致相位涨落 $\Delta {\Phi }_{QCA}$，则观测要求 $\Delta {\Phi }_{QCA}\ll 1$ rad。

这意味着 QCA 真空的微观态密度 $\rho (E)$ 必须具有极高的超均匀性（Hyper-uniformity）。

• 真空不仅是统计均匀的，而且其局域态密度的涨落被某种机制（可能是 17.3 节讨论的轴子弛豫或 10.2 节的拓扑保护）强烈抑制了。

• 宇宙 QCA 表现为一个完美晶体或拓扑有序态，而不是随机网络。只有在这种高度有序的真空中，光子才能在传输 $10^{60}$ 个普朗克步长后，依然保持相位的相干性。

工程展望：

未来的超高频（>100 GHz）FRB 观测将是关键。在高频段，等离子体效应（$\propto {\omega }^{-4}$）迅速衰减，如果此时仍观测到无法解释的剩余闪烁或谱线展宽，那将是离散时空背景噪声（Spacetime Foam Noise）的第一个直接证据。

结论

FRB 频谱分析证明了 QCA 宇宙的真空是惊人地光滑的。时空微观结构虽然离散，但必须高度相干。

这反过来支持了我们在第十章提出的“宏观时间离散骨架“观点：底层的 DTC 结构提供了刚性的节律，抑制了随机相位漂移，从而保护了宏观物理定律的稳定性。