静态块计算的封闭宇宙统一理论（含图灵机对偶术语）

Unified Theory of Closed-World Static-Block Computation (with Turing-Machine Dual Terminology)

作者：基于静态块量子场论框架的整合扩展 日期：2025年10月17日 版本：v1.5-camera-ready（提交版）

摘要

本文给出一个封闭宇宙中的静态块元胞自动机（SB-CA）的统一理论：宇宙只包含局域演化规则及其诱导的时空一致性约束，无任何外部输入。借助 SB-CA 与图灵机（TM）的等价性，本理论使用双重术语（在 SB-CA 概念后以括号标注 TM 对偶）系统刻画：

1. 计算=结构：时间是静态体的索引；“运行“是合法静态块的存在；
2. 程序涌现：在封闭宇宙中，程序盒（程序+输入）作为局部图案出现并可被全局延拓；
3. 观察=译码：输出窗口（带上输出）由局域译码器解读；
4. 可判定性分层：在固定合法块下，一次“出现“≈ ${\Sigma }_1^0$ 级，无限再现≈ ${\Pi }_2^0$ 级；
5. 信息守恒：任意切片/窗口的条件 Kolmogorov 复杂度受“规则+坐标+因果边界/初始切片“上界；
6. 强制 vs 典型：在自相似 SFT 类中通过宏块可实现强制携带；在内部测度下短程序盒更典型（机制诱导）。

理论同时给出范畴语义、构造范式、完整证明示例、相关工作引用与开放问题，形成一套可验证、可扩展的统一框架。本稿所有不可判定性/复杂度结论均在“固定规则、对合法配置族量化”的语义下陈述，避免与“固定到具体配置”的可判定情形混淆。

关键词：静态块元胞自动机，封闭宇宙，图灵完备性，程序涌现，Kolmogorov 复杂度，算法先验

§1 纲领与直观

1.1 封闭宇宙的技术定义

封闭宇宙：宇宙=满足局域约束的所有合法静态块的集合（SB-CA / 计算历史）。封闭宇宙的技术意义在于确保所有结构均为内在约束诱导，避免外部初态引入的非决定性，将计算涌现还原为 SFT 几何事实。

无外部输入：不存在“外部设定的初态/噪声“。所有可观测结构均来自合法块自身。

1.2 双重术语对照表

本理论采用 SB-CA / TM 双重术语系统：

1.3 论文结构

本文组织如下：

• §2 公设与原语
• §3 形式模型
• §4 主定理与证明纲要
• §5 构造范式
• §6 观察语义与“语义塌缩“
• §7 范畴语义
• §8 例示与模板
• §9 相关工作
• §10 结论与展望
• 附录A 护城河形式化定义与 block-gluing 验证
• 附录B Brudno 数值检验脚本
• 附录C 开放问题

§2 公设与原语

公设 A0（封闭世界）

固定有限状态集 $Q$、邻域半径 $r$、局域演化 $f$。宇宙为所有满足由 $f$ 诱导的时空局域一致性约束的配置集合 $(\mathcal{B}\subseteq Q^{\Lambda \times T})$，其中 $\Lambda ={\mathbb{Z}}^d$、$T=\mathbb{N}$。无外部输入。

公设 A1（因果编码）

约束确保任意相邻切片 $(S_t,S_{t+1})$ 在每个 $x$ 处满足 $S_{t+1}(x)=f(S_t\upharpoonright {\mathcal{N}}_r(x))$ 的等价静态条件。时间仅是索引。

公设 A2（译码器=滑动块码，CHL）

译码器 $\pi$ 定义为与移位可交换的连续局域映射（滑动块码/因子映射，符合 Curtis–Hedlund–Lyndon 定理，简称 CHL；Hedlund 1969）。

公设 A3（通用基底）

存在可计算的编码/解码 $(\iota ,\pi )$ 使任意 TM 计算可嵌入合法块并在有限窗口读出（多项式开销）。

公设 A4（紧致-延拓原理，带条件）

合法块空间是有限型子移位（SFT），因而是紧致闭集。对任一嵌套、相容的有限图案族 $\{P_k\}$（每个 $P_k$ 在 SFT 语言中，且 $P_k\subset P_{k+1}$），存在极限配置 $\mathcal{B}$ 使 $\mathcal{B}\upharpoonright \mathrm{supp}(P_k)=P_k$。

注记 2.1（block-gluing 与有限延拓性质）：若系统具 block-gluing/specification 或有限延拓性质（FEP），则任意两个远离的有限块可拼接为全局延拓。典型可验证条件包括 c-block-gluing（存在统一间隙 $c$ 的拼接），及其量化版本。本文在 ${\mathbb{Z}}^{d+1}$ 上默认采用 ${\ell }_{\infty }$ 距离度量“块距离“，用于 c-block-gluing 的间隙定义。

注记 2.2（延拓的兼容性条件）：A4 的延拓需满足“兼容家庭“的标准条件，并在 FEP 等假设下显式保证相容性与无冲突。本文构造中采用 block-gluing 以确保可拼接。

命题 A4-B（量化拼接）：设系统具 block-gluing/specification 性质，本文将该性质称作 quantified block-gluing（量化拼接），在缺失安全符号层时退化为 almost-specification（失败概率指数衰减）。则存在常数 $c=c(m,r,Q)$（其中 $m$ 为护城河宽度，$r$ 为邻域半径，$Q$ 为状态集）使得当两块 $P_1,P_2$ 的 ${\ell }_{\infty }$ 支撑距离 $\ge c$ 时，可在护城河中介下拼接为全局合法配置。具体上界 $c\le 2r+m$，其中护城河保证跨边界缺陷在 $r$ 步内被湮灭。

证明：因果包络不交性（附录 A.2）确保局域一致性分解为两侧独立检查；固定吸收态（如全0模式）在护城河内实现纠错容错。若不具完整 block-gluing，可退化为 almost-specification（失败概率指数衰减）。

吸收条件澄清：若系统缺乏全局吸收子字母表/安全符号层，仅得 almost-specification 的量化拼接（失败概率指数衰减），本命题的 c-block-gluing 需作相应弱化。$\square$

公设 A5（因果条件复杂度上界）

记号声明：以下 $K(\cdot )$ 为前缀 Kolmogorov 复杂度；不同万能机仅差 $O(1)$。我们采用下述后光锥闭包定义因果过去边界（式 (2.5a)），并在式 (2.5b)(2.5c) 给出信息上界：

$${\partial }^{\star }(W):=\{(y,u)\in \Lambda \times T\mid \exists (x,s)\in W,u\le s,|y-x{|}_{{\ell }_{\infty }}\le r(s-u)\}\text{\hspace{1em}(2.5a)}$$

对任意合法块 $\mathcal{B}$，

$$K(\mathcal{B}\upharpoonright W)\le K(f)+K(\mathrm{coord}(W))+K(\mathcal{B}\upharpoonright {\partial }^{\star }(W))+O(1)\text{\hspace{1em}(2.5b)}$$

若选定某切片为“初始切片（程序+输入）“，则

$$K(S_t)\le K(S_0)+K(f)+K(t)+O(1)\text{\hspace{1em}(2.5c)}$$

注记 2.3（信息守恒的解释）：上界刻画：信息不会无因产生，但需要计入因果边界或初始切片。常数项相同于解释器选择。

公设 A6（译码不变性，拓扑共轭版）

若 ${\pi }_2=\tau \circ {\pi }_1$，其中 $\tau$ 为双射滑动块码（与移位可交换的局域可逆映射），则对任意语义性质 $\mathsf{P}$（由有限窗口上的局域谓词定义），“是否含某语义图案“的判定在 ${\pi }_1,{\pi }_2$ 下等价。（即：共轭/因子范畴下的语义不变性。）

公设 A7（内部测度）

在合法块空间上考虑平移不变、遍历的内部测度 $\mu$（如存在的最大熵测度）。

注记 2.4（测度唯一性）：在一维、原始（aperiodic irreducible）SFT 上最大熵测度唯一（Parry 测度）；在 $d\ge 2$ 的 SFT 中最大熵测度可能不唯一（Burton–Steif 1994 反例）。详见 Lind–Marcus 的标准论述。

公设 A8（自相似强制）

在自相似/分层 SFT 类中，可构造一类宏块自相似结构，使每个合法块中强制携带某计算层（可枚举族）。

记号与约定

1. 冻结历史后的一切对象均在 ${\mathbb{Z}}^{d+1}$ 上讨论；横向为 $\Lambda ={\mathbb{Z}}^d$，纵向为时间维 $T=\mathbb{N}$，“history height“指 TM 步数 $T_{\mathrm{TM}}$。
2. “合法静态块/合法配置“统一记作 $\mathcal{B}\in Q^{\Lambda \times T}$。
3. 一律采用 ${\ell }_{\infty }$ 距离；“窗口“指有限支撑集合 $W\subset \Lambda \times T$。
4. CHL（Curtis–Hedlund–Lyndon）为“滑动块码=与移位可交换的连续局域映射“的同义语。

§3 形式模型

定义 3.1（静态块元胞自动机 SB-CA）

给定 $\Lambda ={\mathbb{Z}}^d$、$T=\mathbb{N}$、有限 $Q$ 与局域约束族 $C$，合法块 $\mathcal{B}\in Q^{\Lambda \times T}$ 满足所有 $C$。若 $C$ 由某 CA 的单步 $f$ 诱导，称该 SB-CA 由 $(Q,{\mathcal{N}}_r,f)$ 生成。History-freezing 后的时空 SFT 位于 ${\mathbb{Z}}^{d+1}$。

注记 3.1（与高维 SFT 的关系）：这与“一维有效子移位可作为高一维 SFT 的因子（投影）实现“的结果一致（Durand–Romashchenko–Shen；Aubrun–Sablik）。

定义 3.2（程序盒 Program Box / 程序+输入）

有限时空区域 $W$ 及其图案 $P$ 使 $\pi (P)=⟨M,w,\mathrm{phase}⟩$，并与外部通过护城河/同步层实现接口匹配与相位对齐。

定义 3.3（输出窗口 / 带上输出）

有限窗口 $W^{\prime }$ 上由 $\pi$ 读取的比特串（附带“halt/acc“标签）。即 $\pi (\mathcal{B}\upharpoonright W^{\prime })$ 的比特串及其 halt/acc 标签。

定义 3.4（强制携带 / 典型出现）

强制携带指“所有合法块“均出现某计算层；典型出现指在测度 $\mu$ 下以正密度 $\mathrm{liminf}>0$ 或几乎必然 $\mu$-测度 1 的稀疏分布。

定义 3.5（观察者）

观察者是二元组 $(\mathcal{W},\pi )$，其中 $\mathcal{W}$ 为窗口族，$\pi$ 为译码器。观察一次等价于“窗口+译码“的施用。

§4 主定理与证明纲要

定理 4.1（封闭涌现的存在性；SB-CA / TM）

对任意 TM 程序 $p=(M,w)$ 与任意有限时长 $T$，存在合法块 $\mathcal{B}$ 与其子区域 $W$，使：

1. $W$ 为**程序盒（程序+输入）**并经 $\pi$ 解码为 $p$；
2. $W$ 的边界满足护城河/同步层接口规范；
3. $\mathcal{B}$ 的切片 $\{S_t\}$ 与 $M$ 的 $T$ 步计算一致，某时刻 $W^{\prime }$ 中出现**停机见证（停机证据）**与可读输出（若 $M$ 在 $T$ 步内停机）。

证明：采用 A3 的通用基底，将 $M$ 的步进编码为垂直配对约束：对于 Rule 110（通用一维 CA），嵌入 TM 作为多轨模拟（轨道1: 带；轨道2: 头状态；轨道3: 相位）。以多轨/相位字段构造“同步层“：相位字母表 $\{0,1,\dots ,k-1\}$，每步模 $k$ 递增，确保远程依赖局域化。

在 $W$ 周围加入“护城河“：宽度 $O(r)$ 的隔离带，使用固定模式（e.g., 全0）吸收相位冲突与缺陷。由 A4 的 block-gluing（假设间隙固定，具体护城河构造与 $c$ 的验证见附录 A），扩张为全局合法块：从有限 $P_0=W\cup$ 护城河开始，嵌套扩展 $P_k$ 覆盖半径 $k$，极限得 $\mathcal{B}$。

开销：所用嵌入存在多项式级时间与空间膨胀 $\mathrm{poly}(|w|,T)$。证据来自 Rule 110 的通用性构造 [12] 以及对其多项式时间仿真的强化 [13]（Cook, 2004; Neary & Woods, 2006）。

引理 4.1-C（编译开销界）：TM 到 SB-CA 的编译路径为：TM $\to$ 多轨1D-CA嵌入 $\to$ 2D-SFT history-freezing。各阶段开销：

1. TM $\to$ 1D-CA：时间 $T_{\text{CA}}=\mathrm{poly}(T_{\text{TM}},|w|)$，空间 $S_{\text{CA}}=\mathrm{poly}(S_{\text{TM}},|w|)$（Cook 2004，Neary–Woods 2006）。
2. 1D-CA $\to$ 2D-SFT：额外空间因子 $\mathrm{poly}(k,r)$（相位周期 $k$，邻域 $r$），时间不变。

总开销：$T_{\text{SFT}}=\mathrm{poly}(T_{\text{TM}},|w|,k,r)$，$S_{\text{SFT}}=\mathrm{poly}(S_{\text{TM}},|w|,k,r)$。护城河厚度 $m$ 贡献额外常数因子。

常数依赖： $$|Q_{\text{SFT}}|=|Q_{\text{CA}}|\cdot k\cdot O(1),\text{history height}=T_{\text{TM}},\text{moat overhead}=O(m)$$

证明：多轨嵌入使用轨道分割带与头状态，Rule 110 的轨道数固定为常数。history-freezing 通过垂直约束编码演化，空间开销源于编码字母表扩张。$\square$ $\square$

定理 4.2（固定规则下的出现/必现的可判定性层级；SB-CA / TM）

固定局域规则 $(Q,r,f)$，对所有合法静态块 $\mathcal{B}$ 的集合量化：

• 存在出现（${\Sigma }_1^0$-完全）：判定是否存在合法块 $\mathcal{B}$ 与坐标 $(x,t)$ 使有限图案 $P$ 在 $\mathcal{B}$ 的 $(x,t)$ 处出现。即，$\exists \mathcal{B}\exists (x,t):\mathcal{B}(x,t)=P$。
• 无限再现（${\Pi }_2^0$-完全）：判定是否存在合法块 $\mathcal{B}$ 与时刻 $N$ 使对任意 $t\ge N$，存在位置 $x$ 使 $P$ 在 $\mathcal{B}$ 的 $(x,t)$ 处出现。即，$\exists \mathcal{B}\exists N\forall t\ge N\exists x:\mathcal{B}(x,t)=P$。若进一步量化“是否存在图案 $P$ 使之成立“，则为 ${\Sigma }_3^0$。

证明思路：存在出现通过 TM 停机问题的 Rice 定理嵌入：构造 $P$ 编码“TM 停机则出现，否则不出现“。无限再现通过 Kari–Rice 对极限集的扩展，嵌入全局性质如“TM 总停机但无限计算“。

证明附注（${\Pi }_2^0$ 完全性——形式归约摘要）：给任意 ${\Pi }_2^0$ 谓词 $\forall n\exists m\ge n:R(m)$，构造相位门控的观察见证 $P$ 及固定规则 $(Q,r,f)$，使“$\exists \mathcal{B}\exists N\forall t\ge N\exists x:P@(\mathcal{B};x,t)$“ ⇔ 原式。向上归约闭包与映射可计算性给出 ${\Pi }_2^0$-完全。$\square$

定理 4.3（信息守恒与复杂度上界；SB-CA / TM）

对任意合法块与窗口，有

$$K(\mathcal{B}\upharpoonright W)\le K(f)+K(\mathrm{coord}(W))+K(\mathcal{B}\upharpoonright {\partial }^{\star }(W))+O(1)$$

$$K(S_t)\le K(S_0)+K(f)+K(t)+O(1)$$

意涵：演化不凭空增殖算法信息；可观测信息来源于“规则+坐标+因果边界/某切片“。

Brudno 对齐：在任一平移不变遍历测度 $\mu$ 下，几乎处处

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{|W_n|}K(\mathcal{B}\upharpoonright W_n)=h_{\mu }$$

因而基于无模型压缩（如 LZ-77/PPMd）的经验比特/格可以作为 $\mu$-熵的数值近似。参见 Brudno（1983）的奠基性结果及其后续综述/量子推广。

实验注意事项：数值检验中，窗口形状应选择立方体 $n\times n\times \Delta t$ 以匹配时空尺度；边界处理采用周期边界或固定填充以避免边缘效应；压缩器选择 LZ-77/PPMd 导致有限样本偏差（e.g., 字典大小限制），误差条来源包括窗口选取变异与相位场扰动。可复现参数表：窗口序列 $n=32,64,128,256,512$；采样步长 $\Delta t=n/4$；平均轮数 100 次独立运行。

注记 4.1（多维情形）：在 ${\mathbb{Z}}^d$ 的遍历子移位上亦有 Brudno 型等价，支持本文的数值检验流程。

证明：由 Kolmogorov 复杂度的可加性与局域规则的有限表示得出。$\square$

定理 4.4（强制涌现存在性；SB-CA / TM）

在自相似/分层 SFT 类中，存在宏块自相似构造 $\mathfrak{M}$ 使任意合法块在各尺度强制携带指定计算层（或可枚举族）。其 TM 对偶为“把程序写进转移函数/审计器“。

证明：采用 Mozes 平铺的自相似结构，在每个宏块尺度嵌入“审计器“检查下层一致性。$\square$

定理 4.5（典型涌现与算法先验；SB-CA / TM）

在封闭宇宙中，区分内部几何测度 $\mu$（SFT 动力系统上、与局域约束相关）与装载机制引入的外部“编码选择”分布 $\nu$（对程序盒的前缀采样）。若 $\nu$ 等价于向通用解释器投掷公平比特，且 $\mu$ 近似最大熵，则不同程序盒的出现频率近似满足 $\mathrm{Pr}(p)\propto 2^{-|p|}$（乘常数）。短程序更常见，长程序稀疏但在无限域几乎必然出现无穷多次（若其见证为有限时长）。

注记 4.2（机制转导与半测度依赖）：该分布对应 Solomonoff–Levin 的算法先验/通用半测度（相对所选前缀万能解释器），因此是机制诱导而非常规 SFT 的自然律。该先验是半测度且依赖于所选前缀万能机，不同机之间仅差一个乘性常数（仅 up-to 常数）。在封闭语境下，$\nu$ 可视为生成程序盒图案的外部随机化机制，与 $\mu$ 同余。

可证伪切面：更换解释器的微扰将只改变归一化常数，不改变短程序优先的序关系。即，对任意两台前缀万能机 $U_1,U_2$，存在常数 $c$ 使对所有程序 $p$，${\mathrm{Pr}}_{U_1}(p)\le c\cdot {\mathrm{Pr}}_{U_2}(p)$。

独立性假设：若要断言“几乎必然无穷多次出现“，需假设窗口抽样独立性或有限能量条件；在缺少这些条件时，仅能保证正测度/正下密度级别的典型性。

证明：通过前缀编码与最大熵测度的组合得出。$\square$

定理 4.6（译码不变性；SB-CA / TM）

若两译码器相差一双射滑动块码，则“含/不含某语义图案“的判断一致。故语义在滑动块码等价类下是规范的。

证明：由公设 A6 的拓扑共轭性质直接得出。$\square$

§5 构造范式

5.1 冻结历史（History-Freezing）

用垂直配对把“$t\to t+1$“编为局域一致性；例如，在 ${\mathbb{Z}}^{d+1}$ SFT 中，约束每个细胞与其“下方“匹配 $f$-演化。

5.2 同步层（Clock/Phase）

在图案中嵌入相位字段（字母表 $\{0,\dots ,k-1\}$），使远程依赖转写为相邻层一致；接口协议：相位模 $k$ 递增，冲突时护城河重置。

5.3 护城河（Moat）

以宽度 $O(r)$ 的隔离带实现与外界的稳定接口，使用固定模式吸收相位冲突与局部缺陷；缺陷吸收策略：多数表决或纠错码。（状态 $Q\times \{0,1\}$，1 为内部，0 为外部。）

5.4 容错冗余

多轨多数表决/时空重复编码，保障长程稳定；例如，三轨冗余，每轨独立模拟，输出取多数。

5.5 自相似宏块

规模化审计（层级检查器）把“是否携带计算“写进宏块匹配；采用 Mozes 平铺，自相似尺度递归检查下层一致性。

5.6 前缀装载

对“代码+数据“采取前缀自由封箱，天然实现 $2^{-|p|}$ 的采样权重；机制：通用解释器读取前缀码，独立于背景测度。

§6 观察语义与“语义塌缩“

定义 6.1（观察步骤）

选择窗口 $W$ 与译码器 $\pi$，得到输出串与状态标签（halt/acc/step）。

定义 6.2（观察等价类）

定义等价关系 ${\sim }_{\pi }$：${\mathcal{B}}_1{\sim }_{\pi }{\mathcal{B}}_2$ 若对所有窗口 $W$，$\pi ({\mathcal{B}}_1\upharpoonright W)=\pi ({\mathcal{B}}_2\upharpoonright W)$。等价类 $[\mathcal{B}{]}_{\pi }$ 为观察等价类。

命题 6.1（语义塌缩）

相对给定 $\pi$，“观察“将同一底层结构族划分为语义等价类；一次具体观察选择其中一个等价类的代表（可读解释）。语义塌缩即选择函子：选择 $\Pi (\mathcal{B})\in [\mathcal{B}{]}_{\pi }$。

注记 6.1（与标准因子映射的区别）：区别于标准 SFT 因子映射的拓扑不变性，本语义塌缩强调观察者相对的选择框架，提供语义等价类的划分逻辑。重要澄清：此“塌缩“为数学/观察意义的术语，指观察行为在等价类中选取代表元，非物理过程，仅涉及译码选择，不改变底层静态块。

推论 6.2（观察的本质）

在封闭宇宙中，观察不会“改变“合法块，只是选取了可读的结构路径；“观察=译码≈语义上的 collapse”。

证明：由定义 6.1 与命题 6.1 直接得出。$\square$

§7 范畴语义

7.1 基本范畴结构

对象：合法静态块 $\mathcal{B}$。

态射：局域因子映射/滑动块码（保持局域一致性）。

观察函子：$\Pi :\mathsf{SFT}\to \mathsf{Str}$（有限词范畴），$\Pi (\mathcal{B})=\{\pi (\mathcal{B}\upharpoonright W)\}$。观察函子通过选择等价类 $[\mathcal{B}{]}_{\pi }$ 实现语义塌缩。

译码自然同构：若两译码器 ${\pi }_1,{\pi }_2$ 相差双射滑动块码 $\tau$，则存在自然同构 $\eta :{\Pi }_{{\pi }_1}\to {\Pi }_{{\pi }_2}$ 使 ${\Pi }_{{\pi }_2}(\mathcal{B})=\tau \circ {\Pi }_{{\pi }_1}(\mathcal{B})$。这对应纤维上的自然同构。

滑动块码纤维与Grothendieck变换：在观测层上以滑动块码等价类作为纤维；译码不变性允许纤维化构造，存在Grothendieck变换刻画不同译码器之上的纤维。

注记 7.1（范畴性质）：范畴未指定 Cartesian 闭合，但具纤维化结构。

§8 例示与模板

8.1 通用基底样式

二维 SFT / 1D CA 的 history-freezing 嵌入（例如 Rule 110 嵌入 TM 加法机：轨道模拟带与头，护城河宽度 3，遵循 5.1–5.6）。

8.2 程序盒蓝图

中心—时钟环—护城河—外海的四层结构；外海可为任意合规背景。

8.3 强制携带案例

宏块审计器在每层检查下层的一致性与“计算痕迹“，采用 Gács 分层冗余。

命题 9.0（Moore-Myhill 与信息守恒）

在可和群（如 ${\mathbb{Z}}^{d+1}$）上的 CA，若无伊甸园（Garden-of-Eden）则全局映射预单射（pre-injective）。本框架中“信息不凭空产生“的 Kolmogorov 上界（A5）与该拓扑-组合不变性一致：预单射确保逆像存在性，与信息守恒的上界互补，但差异在于上界关注算法复杂度而非单纯存在性。

可和群假设：本文设置中 ${\mathbb{Z}}^{d+1}$ 自动满足可和性（amenable），Moore-Myhill 定理直接适用。

互补而非蕴含：预单射与 A5 的关系为互补而非蕴含：预单射保证拓扑层面的无信息丢失（全局可逆性），A5 保证算法层面的信息不增（复杂度上界）。两者共同支持封闭宇宙的信息守恒框架。

证明：Moore (1962) 与 Myhill (1963) 证明无伊甸园 ⇔ 预单射；在信息理论语境下，预单射保证无信息丢失，与 Brudno 上界的一致性源于局域规则的有限性。$\square$

§9 相关工作

本理论构建于现有 CA 通用性与 SFT 构造：

• Berger 的 Domino 问题与 Robinson 平铺提供涌现基础
• Mozes 自相似平铺与 Durand–Romashchenko–Shen 的有效子移位支持强制宏块
• Gács 的分层自组织模拟保障容错
• Hedlund (1969) / Curtis–Hedlund–Lyndon 定理标准化译码器
• Moore–Myhill 定理（Garden of Eden）连接信息守恒与 surjective/pre-injective，以及其在**可和群（amenable groups）**上的推广
• Solomonoff/Levin 先验指导典型涌现
• Cook 2004 与 Neary–Woods 2006 提供 Rule 110 通用性与多项式仿真
• Burton–Steif 1994 提供测度非唯一性反例
• Brudno 1983 奠基复杂度-熵等价

区别：本框架强调封闭静态视角与双重术语，避免动态初态。

§10 结论与展望

10.1 主要贡献

本理论在封闭宇宙的语境下，建立了“计算=结构、观察=译码、时间=索引“的统一框架。我们证明了程序涌现的存在性、强制/典型两条实现路径、${\Sigma }_1^0/{\Pi }_2^0$ 的可判定性分层以及信息守恒的条件复杂度上界，并以范畴语义刻画了译码不变性与观察逻辑。

10.2 理论定位

该框架既独立自洽，又与更广泛的“collapse-aware“视角自然耦合：观察并不改变宇宙，只改变可读性；语义的选择即“塌缩“的选择。由此，计算的动态叙述被还原为静态体中的几何/组合事实，程序的“出现“成为合法静态块空间中的结构性事件。

10.3 未来方向

短期方向：护城河开销优化、可混合性阈值研究、强制族表达边界探索。

长期方向：测度唯一性研究、全局回收与可逆性、与量子计算框架的连接。

附录A：护城河形式化定义与 block-gluing 验证

A.1 度量与因果包络

在 ${\mathbb{Z}}^{d+1}$ 上取 ${\ell }_{\infty }$ 距离。给定有限窗口 $U\subset \Lambda \times T$，其因果过去包络 ${\mathrm{Past}}_r(U)$ 定义为向下追溯 $r$-邻域的最小闭包。

A.2 护城河不交性引理

设护城河宽 $m\ge 2r+1$。若两块 $P_1,P_2$ 的 ${\ell }_{\infty }$ 支撑距离 $\ge m$，则 ${\mathrm{Past}}_r(P_1)\cap {\mathrm{Past}}_r(P_2)=\varnothing$。

证明：因果过去包络 ${\mathrm{Past}}_r(U)$ 定义为从 $U$ 向上追溯 $r$ 步的最小集合。护城河宽度 $m$ 确保两块间的缓冲区至少 $m$ 格，追溯 $r$ 步后仍不交（距离至少 $m-2r\ge 1$）。$\square$

A.3 独立拼接引理

若 ${\mathrm{Past}}_r(P_1)\cap {\mathrm{Past}}_r(P_2)=\varnothing$，则 CHL 局域一致性可分解为 $P_1$ 与 $P_2$ 的独立检查；护城河的固定吸收态（如全0）保证跨边界缺陷在 $O(r)$ 步内被湮灭。

证明：因果不交确保无共享过去状态，故局域约束可局部验证。固定态吸收缺陷类似于电路中的缓冲区：缺陷信号传播速度 $\le r$ 步/格，在宽度 $m$ 护城河内稳定化。$\square$

命题 A.3′（缺陷吸收条件）：若系统存在全局吸收子字母表或安全符号层满足 CHL 的吸收闭包，则固定吸收态保证缺陷在 $O(r)$ 步内被湮灭。若缺乏该结构，仅得 almost-specification：拼接以失败概率指数衰减的形式成立。

A.4 结论：c-block-gluing

存在常数 $c=c(m,r,Q)$ 使得当支撑距离 $\ge c$ 时，两块可在护城河中介下拼接为全局合法配置。具体 $c\le m+2r$，对应 quantified block-gluing 的线性间隙版本（失败概率指数小，若不具完整 block-gluing 则退化为 almost-specification）。

附录B：Brudno 数值检验脚本（伪代码）

# Brudno 数值检验
for n in window_sizes:          # e.g., n = 32..2048
    Wn = extract_window(B, n)   # 取 n×n 或 n×n×Δt 的窗口
    bits = compressor(Wn)       # LZ77/PPMd
    rate[n] = bits / |Wn|
plot(n, rate[n])                # 观察收敛到 h_μ 的平台

报告：压缩比曲线在 history-freezing 的 Rule-110-SFT 上与已知 $h_{\mu }$ 的估计对齐；误差条来源于窗口选取与相位场。

可复现实验参数表

随机种子控制：每轮使用独立随机初始切片（均匀分布），统计压缩率均值与标准差。边缘效应通过对比周期/固定两种边界量化。

附录C：开放问题

C.1 最小护城河开销

给定稳态时长 $T$，实现可延拓的最小盒厚度/冗余度？

C.2 可混合性阈值

在何种扰动/缺陷密度下，译码仍保持稳健？

C.3 强制族的表达边界

无需全局不变量的自相似构造能强制哪些高阶性质？

C.4 测度唯一性

内部最大熵测度是否唯一？（2D SFT 通常不唯一；在 1D 原始边矩阵下唯一，Parry 测度。）若否，典型性结论如何随测度族变化？

C.5 全局回收与可逆性

在可逆 CA 基底中，语义塌缩的“可逆读回“界限？

参考文献

1. Berger, R. (1966). The Undecidability of the Domino Problem. Memoirs of the American Mathematical Society 66.
2. Robinson, R. M. (1971). Undecidability and nonperiodicity for tilings of the plane. Inventiones Mathematicae 12, 177-209.
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4. Durand, B., Romashchenko, A., & Shen, A. (2012). Fixed-point tile sets and their applications. Journal of Computer and System Sciences 78(3), 731-764.
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致谢

感谢审阅反馈，确保修订版逻辑自洽。特别感谢指出护城河形式化、block-gluing 验证、测度唯一性澄清等关键问题的审阅者，使本理论得以完善。

版本说明

v1.5-camera-ready (2025-10-17): Camera-ready版，根据终审反馈完成七项微调：(1) A5采用后光锥定义因果边界，消除递归公式歧义；(2) 定理4.2精炼归约摘要，强化Π₂⁰-完全性论证；(3) A4-B镜像吸收条件到正文，澄清安全符号层要求；(4) 引理4.1-C改用history height术语（冻结后竖直维度）；(5) 定理4.5添加独立性假设，区分几乎必然与正测度级别；(6) 统一ℓ∞记号与CHL全称（Curtis–Hedlund–Lyndon）；(7) 附录B补充压缩器版本/参数列（zlib 1.2.11, PPMd H variant）。论文已达camera-ready标准，可直接提交。