EBOC：永恒–静态块 观察-计算 统一理论

作者：Auric 日期：2025-10-18

摘要

目标. 提出 EBOC（Eternal-Block Observer-Computing）：一个无需显式全局时间的几何—信息统一框架，将永恒图元胞自动机（EG-CA）的无时间因果编码与静态块宇宙元胞自动机（SB-CA）的程序语义与观察-译码合并于同一形式系统，并给出可验证的信息律与构造算法。本文将静态块 $X_f$ 与永恒图边移位 $(Y_G,\sigma )$ 视为等价双表述；以下以 $X_f$ 为主叙述，但每条结论均可在 $(Y_G,\sigma )$ 上通过图移位（可数状态Markov移位）展示/编码等价重述；当满足T13的“时间可马尔可夫化“等假设时，可进一步得到sofic/有限型展示。

三大支柱.

1. 几何编码（Graph/SFT）：宇宙作为满足局部规则 $f$ 的静态块 $X_f\subset {\Sigma }^{{\mathbb{Z}}^{d+1}}$；其因果/一致性由永恒图 $G=(V,E)$ 与 子移位（SFT） 并行刻画。
2. 语义涌现（Observation = Decoding）：观察=因子译码。译码器 $\pi :{\Sigma }^B\to \Gamma$ 按可接受叶分层逐叶读取静态块（沿 $\tau$ 自层 $c$ 推进到 $c+b$ 的跨叶读取），输出可见语言；“语义塌缩“系从底层配置到可见记录的信息因子化。
3. 信息约束（不增律）：观察不创造信息： $$K(\pi (x{|}_W))\le K(x{|}_W)+K(\pi )+O(1),$$ 并在因果厚边界下给出条件复杂度上界与 Brudno 一致的熵极限。

统一比喻（RPG 游戏）. 宇宙如无限剧情的 RPG：游戏数据与演化规则早已写定（$(X_f,f)$），“选择”（表观自由意志）须与剧情线一致（决定论）。逐叶读取按既定节拍 $b$ 逐章解锁；“选择“是在兼容分支中选代表并排除不相容分支，本体“ROM“并未增减信息。

核心对象. $$\mathcal{U}=(X_f,G,\rho ,\Sigma ,f,\pi ,\mu ,\nu ),$$ 其中 $X_f$ 为空间-时间 SFT，$G$ 为永恒图，$\rho$ 给出可接受叶族（原始整协向量 ${\tau }^{\star }$ 的水平集，$⟨{\tau }^{\star },\tau ⟩=b\ge 1$），$\pi$ 为译码器，$\mu$ 为移位不变遍历测度，$\nu$ 为通用半测度（仅作典型性权重）。等价地，可用 $G$ 的边移位 $Y_G$ 及其路径移位 $(Y_G,\sigma )$ 表达所有结果；观察/信息律对两表述同样成立。

1. 引言与动机

传统 CA 以全局时间迭代呈现“演化“；块/永恒图视角一次性给定整段时空，“演化“仅是逐叶读取得到的路径叙述。动态视角依赖时间背景、难以背景独立；静态视角缺乏观测语义。EBOC 以”几何编码 × 语义译码 × 信息律“统一二者：SFT/图结构保证一致性与构造性；因子映射提供可见语言；复杂度/熵刻画守恒与极限。本文在极简公理下建立 T1–T26 定理族，给出细化证明与可复现实验流程。

2. 符号与先备

2.1 空间、字母表与配置

• 空间 $L={\mathbb{Z}}^d$，时空 $L\times \mathbb{Z}={\mathbb{Z}}^{d+1}$；有限字母表 $\Sigma$。
• 时空配置 $x\in {\Sigma }^{{\mathbb{Z}}^{d+1}}$。窗口 $W\subset {\mathbb{Z}}^{d+1}$ 的限制 $x{|}_W$。
• 约定 $|\cdot |$ 既记字长亦记集合基数（由上下文判别）。

2.2 邻域与全局演化

• 有限邻域 $N\subset {\mathbb{Z}}^d$，局部规则 $f:{\Sigma }^{|N|}\to \Sigma$： $$x(\mathbf{r}+N,t):=(x(\mathbf{r}+\mathbf{n},t){)}_{\mathbf{n}\in N}\in {\Sigma }^{|N|},x(\mathbf{r},t)=f(x(\mathbf{r}+N,t-1)).$$
• 全局映射 $$F:{\Sigma }^{{\mathbb{Z}}^d}\to {\Sigma }^{{\mathbb{Z}}^d},(F(x))(\mathbf{r})=f(x(\mathbf{r}+N)).$$

2.3 SFT 与永恒图

• 空间-时间 SFT $$X_f:=\{x\in {\Sigma }^{{\mathbb{Z}}^{d+1}}:\forall (\mathbf{r},t),x(\mathbf{r},t)=f(x(\mathbf{r}+N,t-1)\left)\right\}.$$
• 永恒图 $G=(V,E)$：顶点 $V$ 编码局部图案（事件），边 $E$ 编码因果/一致关系。
• 边移位 $$Y_G=\{(e_t{)}_{t\in \mathbb{Z}}\in E^{\mathbb{Z}}:\forall t,\mathrm{tail}(e_{t+1})=\mathrm{head}(e_t)\}.$$

2.4 叶状分解与逐叶读取协议

• Unimodular 变换：$U\in {\mathrm{GL}}_{d+1}(\mathbb{Z})$（整可逆，$\det U=\pm 1$），时间方向 $\tau =U{e}_{d+1}$。
• 可接受叶：存在原始整协向量 ${\tau }^{\star }\in ({\mathbb{Z}}^{d+1}{)}^{\vee }$ 及常数 $c$，叶为其水平集 $$\{\xi \in {\mathbb{Z}}^{d+1}:⟨{\tau }^{\star },\xi ⟩=c\},$$ 并满足 $$⟨{\tau }^{\star },\tau ⟩=b\ge 1,$$ 以保证跨叶的单调推进。
• 逐叶读取：采用块码 $\pi :{\Sigma }^B\to \Gamma$，按叶层 $c\mapsto c+b$ 逐叶推进，对相应窗口应用 $\pi$ 产出可见序列。$\pi$ 的核窗 $B$ 在时间方向的厚度为有限常数，与步长 $b$ 无需相等；只要有限即可由一次读取得到一个可见字母。
• 叶计数与时间片长方体族：对时间片长方体族窗口 $W=R\times [t_0,t_0+T-1]$（$R\subset {\mathbb{Z}}^d$），定义 $L(W)=T$ 为时间厚度（穿越的叶层数）。在步长 $b$ 的协议下，观察步数为 $\lfloor L(W)/b\rfloor$；精确计数：若核窗 $B$ 的时间厚度为 ${\delta }_B$，则严格计数为 $\lfloor (L(W)-{\delta }_B+1)/b\rfloor$，该差异为 $O(1)$；边界效应 $O(1)$ 对熵/复杂度密度极限无影响。此类窗口族与时间子作用 ${\sigma }_{\mathrm{time}}$ 的一维Følner理论相容。
• 时间子作用记号：记 ${\sigma }_{\mathrm{time}}$ 为 $X_f$ 沿时间坐标的一维子作用，${\sigma }_{\Omega }$ 为 $\Omega (F)$ 的时间移位。

2.5 复杂度与测度

• 采用前缀 Kolmogorov 复杂度 $K(\cdot )$ 与条件复杂度 $K(u|v)$。
• $\mu$：对时间子作用 ${\sigma }_{\mathrm{time}}$ 不变且遍历（除非另行注明）；$\nu$：通用半测度（算法概率）。
• 窗口描述复杂度：$K(W)$ 为生成 $W$ 的最短程序长度；Følner 族 $\{W_k\}$ 满足 $|\partial W_k|/|W_k|\to 0$。
• 熵符号约定：本文区分两类熵：$h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})$（与叶计数 $L(W)$ 归一化相容）与 $h_{\mu }^{(d+1)}$（与体素数 $|W|$ 归一化相容）。二者一般无固定换算关系；本文各处结论均在各自相容的归一化下陈述与证明，不进行跨归一化换算。进一步地，对任意有限空间截面 $R\subset {\mathbb{Z}}^d$，记时间子作用的观测分割为 $${\alpha }_R:=\{[p{]}_{R\times \{0\}}:p\in {\Sigma }^R\},$$ 定义相对熵 $h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R)$；并以 Kolmogorov–Sinai 定义 $$h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}}):=\underset{R\text{ 有限}}{\sup }{h}_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R).$$ 对观察因子 $\pi$，相应观测分割记作 $${\alpha }_R^{\pi }:=\{[q{]}_{R\times \{0\}}^{\pi }:q\in \pi ({\Sigma }^B{)}^R\},$$ 其中 $[q{]}_{R\times \{0\}}^{\pi }$ 表示在 $R\times \{0\}$ 施加 $\pi$ 的块读取得到可见图案 $q$ 的柱集。

2.6 因果厚边界（用于 T4）

• 明确采用 $\infty$-范数： $$r:=\underset{\mathbf{n}\in N}{\max }|\mathbf{n}{|}_{\infty }.$$

• 定义 $$t_{-}=\min \{t:(\mathbf{r},t)\in W\},t_{+}=\max \{t:(\mathbf{r},t)\in W\},T=t_{+}-t_{-}+1.$$

• 底层 $\mathrm{base}(W)=\{(\mathbf{r},t_{-})\in W\}$。

• 逐层依赖域（一般窗口）：对任意窗口 $W\subset {\mathbb{Z}}^{d+1}$，记 $s$ 层的空间投影为 $${\mathrm{Proj}}_s(W):=\{\mathbf{r}\in {\mathbb{Z}}^d:(\mathbf{r},s)\in W\}.$$ 定义逐层过去因果依赖域为 $${\Delta }_{\mathrm{dep}}^{-}(W):=\left(\bigcup _{s=t_{-}}^{t_{+}}\right({\mathrm{Proj}}_s(W)+[-r(s-t_{-}+1),r(s-t_{-}+1){]}^d))\times \{t_{-}-1\}.$$ 这覆盖了 $x{|}_W$ 的全部因果依赖。对可描述窗口族，有 $K({\Delta }_{\mathrm{dep}}^{-}(W))=O(K(W)+\log |W|)$。

• 时间片长方体特例：当 $W=R\times [t_{-},t_{+}]$ 为时间片长方体时， $${\Delta }_{\mathrm{dep}}^{-}(W)=(R+[-rT,rT{]}^d)\times \{t_{-}-1\}=:{\partial }_{\downarrow }^{(r,T)}{W}^{-}.$$

约定：本节及后续 T4 中的 $T$ 皆指穿越的时间层数（与 §2.4 的 $L(W)$ 一致）。 非标准叶情形先用 $U^{-1}$ 回到标准坐标后取像。本文一律按固定的规范编码记 $K(W)$，其中包含可能的坐标切换描述。

2.7 永恒图的坐标相对化（Anchored Chart）

$G$ 不携带全局坐标。选锚 $v_0$，相对嵌入 ${\phi }_{v_0}:{\mathrm{Ball}}_G(v_0,R_0)\to {\mathbb{Z}}^{d+1}$ 满足 ${\phi }_{v_0}(v_0)=(0,0)$，沿 $\tau$ 的路径层函数单调不减，空间邻接为有限移位。事先固定按“局部图案 $\to$ 顶点“的最小展示半径 $R_0$，以下相关定义与构造一律采用该固定 $R_0$。 层函数 $$\ell (w):=⟨{\tau }^{\star },{\phi }_{v_0}(w)⟩,{\mathrm{Cone}}_{\ell }^{+}(v):=\{w\in \mathrm{Dom}({\phi }_{v_0}):\exists v⇝w\text{且 }\ell \text{沿途单调不减}\}.$$ SBU（静态块展开） $$X_f^{(v,\tau )}:=\{x\in X_f:x{|}_{{\phi }_{v_0}({\mathrm{Ball}}_G(v,R_0))}=\mathrm{pat}(v)\text{且}x\text{在}{\phi }_{v_0}({\mathrm{Cone}}_{\ell }^{+}(v)\left)\text{上为该锚的一致扩张}\right\},$$ 其中“一致扩张“指：在该锥内所有由 $v$ 与局部规则强制得到的单元与 $x$ 匹配。此处“强制“指：仅凭锚 $v$ 在所给锥域内经有限步局部约束闭包后唯一决定的格点取值；SBU 仅要求与这些唯一定值匹配。“有限步闭包“可实现为半径单调扩张的迭代过程；若某单元在有限迭代步内仍未唯一确定，则不计入强制域。

2.8 永恒图—SFT 的双表述（工作准则）

• 双表示：本文所有以静态块 $X_f$ 叙述的结论，均存在以永恒图边移位 $(Y_G,\sigma )$ 的等价版本；二者通过图移位（可数状态Markov移位）展示/编码互相给出；当满足T13的“时间可马尔可夫化“等假设时，可进一步得到sofic/有限型展示。为简洁起见，正文以 $X_f$ 为主，必要处以“（EG）“括注路径版表述。
• 对应关系：窗口 $W$ 与厚边界对应于有限路径段与有限邻接半径；逐叶读取对应于沿路径的时间移位读取；观察因子 $\pi$ 在 $X_f$ 上的定义可在 $Y_G$ 上通过路径块码 ${\pi }_G$ 等价实现。若为一般 $X_f$，$Y_G$ 可取可数状态图，使窗口依赖以有限邻接半径表达；当满足T13的有限记忆条件时，$Y_G$ 可收束为sofic/SFT。

下文仅在存在该相对嵌入的图域上讨论 SBU。

定义·可实现事件. 设永恒图 $G=(V,E)$。称 $v\in V$ 可实现，若存在 $x\in X_f$ 与某相对嵌入 ${\phi }_{v_0}$ 及半径 $R_0$ 使得 $x{|}_{{\phi }_{v_0}({\mathrm{Ball}}_G(v,R_0))}$ 与 $v$ 的局部图案一致（按文中“局部图案→顶点“的编码约定）。

3. 极简公理（A0–A3）

A0（静态块） $X_f$ 为局部约束的模型集合。 A1（因果-局域） $f$ 邻域有限；读取采用可接受叶。 A2（观察=因子译码） 逐叶读取并施加 $\pi$ 得 ${\mathcal{O}}_{\pi ,\varsigma }(x)$。 A3（信息不增） 任意窗口 $W$ 下，$K(\pi (x{|}_W))\le K(x{|}_W)+K(\pi )+O(1)$。

4. 叶-语言与观察等价

固定 $(\pi ,\varsigma )$ 与叶族 $\mathcal{L}$， $${\mathsf{Lang}}_{\pi ,\varsigma }(X_f):=\{{\mathcal{O}}_{\pi ,\varsigma }(x)\in {\Gamma }^{\mathbb{N}}:x\in X_f,\text{按 }\mathcal{L}\text{ 分层逐叶读取}\},x{\sim }_{\pi ,\varsigma }y⟺{\mathcal{O}}_{\pi ,\varsigma }(x)={\mathcal{O}}_{\pi ,\varsigma }(y).$$

5. 预备引理

引理 5.1（可计算变换的复杂度守恒）. 若 $\Phi$ 可计算，则 $$K(\Phi (u)|v)\le K(u|v)+K(\Phi )+O(1).$$ $\square$

引理 5.2（可描述窗口族）. 对 $d+1$ 维轴对齐平行多面体或以 $O(\log |W|)$ 个参数描述的规则窗口，有 $K(W)=O(\log |W|)$。$\square$

引理 5.3（因果依赖域覆盖性）. 对任意窗口 $W\subset {\mathbb{Z}}^{d+1}$，半径 $r={\max }_{\mathbf{n}\in N}|\mathbf{n}{|}_{\infty }$ 与时间跨度 $T$ 下，${\Delta }_{\mathrm{dep}}^{-}(W)$（见 §2.6）覆盖计算 $x{|}_W$ 的全部因果依赖（传播半径以 $|\cdot {|}_{\infty }$ 计）。对时间片长方体 $W=R\times [t_{-},t_{+}]$，该域退化为 ${\partial }_{\downarrow }^{(r,T)}{W}^{-}$。$\square$

引理 5.4（因子熵不增）. 若 $\varphi :(X,T)\to (Y,S)$ 为因子，则 $h_{\mu }(T)\ge h_{{\varphi }_{\ast }\mu }(S)$。$\square$

引理 5.5（时间子作用版 SMB/Brudno）. 对**${\sigma }_{\mathrm{time}}$-不变且遍历的 $\mu$ 与时间片长方体族** $W_k=R\times [t_k,t_k+T_k-1]$，其中 $T_k\to \infty$，且 $R\subset {\mathbb{Z}}^d$ 为固定的有限集合。

归一化适用范围（防御性提醒）. 若改用一般Følner窗或以 $|W|$ 归一化，则极限对应 $h_{\mu }^{(d+1)}$ 而非时间熵；本引理与T5不覆盖该情形。仅当采用时间片长方体族+以 $L(W)=T$ 归一化方可对接时间子作用熵。

编码约定. 以下将 $x{|}_{W_k}=x{|}_{R\times [t_k,t_k+T_k-1]}$ 按时间推进顺序串接为长度 $T_k$ 的字母表 ${\Sigma }^R$ 序列，采用固定可逆的规范编码；由此二维块与序列的相互变换仅带来 $O(\log T_k)$ 的描述开销，不影响密度极限。

记 $L(W_k)=T_k$（时间厚度），有 $$-\frac{1}{T_k}\log \mu ([x{|}_{W_k}])\to h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R)(\mu \text{-a.e.}),\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{K(x{|}_{W_k})}{T_k}=h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R)(\mu \text{-a.e.}).$$ 此为针对时间子作用 ${\sigma }_{\mathrm{time}}$ 或等价地 $(\Omega (F),{\sigma }_{\Omega })$ 的一维SMB/Brudno定理。窗口形状必须为时间片长方体族（或满足等价“时间均匀切片“条件），以保证柱集 $[x{|}_{W_k}]$ 由时间子作用的一维生成划分迭代生成，从而归一化与作用匹配。若采用一般 $W_k$，仅能保证以 $|W_k|$ 归一化时极限为 ${\mathbb{Z}}^{d+1}$ 作用熵 $h_{\mu }^{(d+1)}$，或在附加均匀切片/密度假设下再得时间熵极限。$\square$ 此外，对于固定有限 $R$，上述极限等于 $h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R)$；取 ${\sup }_R$ 恢复 $h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})$。若改用空间增长截面族 $R_k\uparrow {\mathbb{Z}}^d$ 且 ${\bigvee }_{i\in \mathbb{Z}}{\sigma }_{\mathrm{time}}^i{\alpha }_{R_k}$ 生成整个 $\sigma$-代数（从而对应生成分割），则极限直接等于完整的 $h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})$（此情形为补充说明，不在本引理的固定 $R$ 前提内）。 【注】仅当采用空间增长截面族 $R_k\uparrow {\mathbb{Z}}^d$，使得 ${\bigvee }_{i\in \mathbb{Z}}{\sigma }_{\mathrm{time}}^i{\alpha }_{R_k}$ 生成整个 $\sigma$-代数（或等价地对生成分割取上确界）时，极限才等于完整的 $h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})$；固定有限 $R$ 时，极限为相对熵 $h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R)$。

6. 主定理与详细证明（T1–T26）

T1（Block–自然扩张共轭）

命题. 若 $X_f\ne \varnothing$，则 $$\boxed{(X_f,{\sigma }_{\mathrm{time}})\cong (\Omega (F),{\sigma }_{\Omega })},\Omega (F)=\{(\dots ,x_{-1},x_0,x_1,\dots ):F(x_t)=x_{t+1}\}.$$

证明. 定义 $\Psi :X_f\to \Omega (F)$，$(\Psi (x){)}_t(\mathbf{r})=x(\mathbf{r},t)$。由 SFT 约束得 $F((\Psi (x){)}_t)=(\Psi (x){)}_{t+1}$。定义逆 $\Phi :\Omega (F)\to X_f$，$\Phi ((x_t))(\mathbf{r},t)=x_t(\mathbf{r})$。显然 $\Phi \circ \Psi =\mathrm{id}$、$\Psi \circ \Phi =\mathrm{id}$，且 $\Psi \circ {\sigma }_{\mathrm{time}}={\sigma }_{\Omega }\circ \Psi$。连续性与 Borel 可测性由乘积拓扑与柱集结构给出。$\square$

T2（Unimodular 协变性；复杂度密度的坐标对齐表达）

技术假设（前置声明）. 本定理要求以下三条技术条件：（i）窗口族为各自时间方向上的时间片长方体Følner族，且空间截面固定有限；（ii）配对常数 $b_i=⟨{\tau }_i^{\star },{\tau }_i⟩\ge 1$ 与 $k$ 无关；（iii）存在与 $k$ 无关的常数 $c_{-},c_{+}>0$ 使两组叶厚度可比：$c_{-}L(W_k)\le L({\tilde{W}}_k)\le c_{+}L(W_k)$。这些条件并非由 $U\in {\mathrm{GL}}_{d+1}(\mathbb{Z})$ 自动推出，而是对窗口族与叶分层的额外几何约束。

命题. 对任意移位不变遍历测度 $\mu$ 与两组可接受叶（由 $U_1,U_2\in {\mathrm{GL}}_{d+1}(\mathbb{Z})$ 给出），令 $W_k=U_2{U}_1^{-1}(W_k)$。假设：（i）$\{W_k\}$ 与 $\{W_k\}$ 分别为各自时间方向上的时间片长方体Følner族：$W_k=R\times [t_k,t_k+T_k-1]$、$W_k=R\times [t_k,t_k+T_k-1]$，其中 $R,R$ 各自为固定有限集合且均不随 $k$ 变化；（ii）两组叶族分别由原始整协向量–时间向量对 $({\tau }_i^{\star },{\tau }_i)$ 给出，配对常数 $b_i=⟨{\tau }_i^{\star },{\tau }_i⟩\ge 1$ 为与 $k$ 无关的常数；（iii）存在由 $(U,{\tau }_1^{\star },{\tau }_1,{\tau }_2^{\star },{\tau }_2)$ 决定且与 $k$ 无关的常数 $c_{-},c_{+}>0$，使得 $c_{-}L(W_k)\le L({\tilde{W}}_k)\le c_{+}L(W_k)$。

假设说明. 上述假设等价于：两组整变换分别将标准时间轴 $e_{d+1}$ 送至各自的时间方向 ${\tau }_i$，并选取与之对齐的切片坐标，使像集仍为与各自 ${\tau }_i$ 对齐的时间片长方体。

则对 $\mu$-a.e. 的 $x$， $$\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{K(\pi (x{|}_{W_k}))}{L(W_k)}=h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R^{\pi }),\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{K(\pi (x{|}_{W_k}))}{L(W_k)}=h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_{\tilde{R}}^{\pi }).$$

证明. 以下均在假设（i）–（iii）前提下成立。 整同构 $U=U_2{U}_1^{-1}$ 保持 Følner 性质：$\{W_k\}$ 为 Følner 族则 $\{W_k\}$ 亦然，且 $|W_k|=|W_k|$（整行列式 $\pm 1$；此处 $W_k$ 指格点像集 $U(W_k)$，即使形状非轴对齐，格点数仍相等）。由假设（iii），叶计数（时间厚度）按常数倍缩放，该界由线性映射对叶法向量的作用与固定截面 $R,R$ 的有界几何畸变给出。

（技术澄清） 应用引理 5.5 时，我们分别在由 $U_1$、$U_2$ 确定的切片坐标中判断“时间片长方体“形状；在统一的标准坐标下，$U(W_k)$ 通常为倾斜多面体，但这不影响在各自坐标中使用引理 5.5 的正确性。

分别对两窗族将引理 5.5 应用于因子系统，得到相对于各自观察分割的时间熵极限：$h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R^{\pi })$ 与 $h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_{\tilde{R}}^{\pi })$。若两观察方案由沿时间子作用的有限记忆可逆块码互为同构，则两者等价并给出相同熵率；在此条件下坐标选择不改变极限值。

附注. 若 $U$ 不使像集保持时间片长方体，可改以与 ${\tau }_2$ 对齐的新坐标系重写 $W_k=R\times [t_k,t_k+T_k-1]$，从而可对 $W_k$ 直接应用引理 5.5；结论依然遵循引理 5.5 的窗口前提（改用对齐坐标）。$\square$

T3（观察=译码的语义塌缩）

命题. ${\mathcal{O}}_{\pi ,\varsigma }:X_f\to {\Gamma }^{\mathbb{N}}$ 为时间子作用的因子映射，诱导等价类 $x{\sim }_{\pi ,\varsigma }y$。一次观察在等价类中选代表，底层 $x$ 不变。$\square$

T4（信息上界：条件复杂度版）

$$\boxed{K(\pi (x{|}_W)|x{|}_{{\Delta }_{\mathrm{dep}}^{-}(W)})\le K(f)+K(W)+K(\pi )+O(\log |W|)}.$$ 其中 ${\Delta }_{\mathrm{dep}}^{-}(W)$ 为逐层因果依赖域（见 §2.6）。对时间片长方体 $W=R\times [t_{-},t_{+}]$，该域退化为 ${\partial }_{\downarrow }^{(r,T)}{W}^{-}$。 【前提说明】以下上界在 §2.2 的单步时间依赖前提下成立；若规则对过去 $m>1$ 层有依赖，则将逐层依赖域相应扩展为前 $m$ 层的联合，并调整传播半径，其余推理不变。

证明. 构造通用程序 $\mathsf{Dec}$：

1. 输入：$f$ 的编码、窗口 $W$ 的编码（含 $(t_{-},T)$ 与几何参数）、$\pi$ 的编码，以及条件串 $x{|}_{{\Delta }_{\mathrm{dep}}^{-}(W)}$。
2. 递推：自 $t_{-}$ 层起按时间子作用逐层生成。对任一 $(\mathbf{r},s)\in W$，以 $$x(\mathbf{r},s)=f(x(\mathbf{r}+N,s-1))$$ 计算之；所需右端由前一层已生成或来自条件边界（引理 5.3）。按 $s=t_{-},t_{-}+1,\dots ,t_{+}$ 逐层生成，避免依赖循环。对每个层 $s$，先在传播锥内生成 $W$ 的前向闭包所需的全部单元（允许临时产生 $W$ 之外但位于 $[-r(s-t_{-})$, $r(s-t_{-}){]}^d\times \{s\}$ 内的值），最终再限制到 $W$。不变点澄清：临时生成的区域仅用于保障可计算性，最终输出严格限制在 $W$；此举不改变条件复杂度的不等式方向与常数项阶数。
3. 译码：按协议在 $W$ 内应用 $\pi$ 得 $\pi (x{|}_W)$。

程序体积为常数，输入长度为 $K(f)+K(W)+K(\pi )+O(\log |W|)$（$\log |W|$ 为层深/对齐成本）。若需坐标切换/整仿射 $U$，其描述长度并入 $K(W)$ 或常数项，整体仍为 $K(f)+K(W)+K(\pi )+O(\log |W|)$。由前缀复杂度定义即得上界。$\square$

T5（Brudno 对齐与因子熵）

术语说明. “Brudno对齐/一致“指仅在本节指定的窗口族（时间片长方体）与归一化（时间厚度$L(W)$）之下，Kolmogorov复杂度密度极限等于测度熵；不表示无条件等价或跨归一化的一般性等式。

命题. 对固定有限的空间截面 $R$ 与时间片长方体族 $\{W_k=R\times [t_k,t_k+T_k-1]\}$（其中 $T_k\to \infty$，且满足引理5.5的窗口前提），采用引理 5.5 的编码约定（将二维块按时间推进顺序串接为序列），以时间厚度 $L(W_k)=T_k$ 归一化： $$\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{K(x{|}_{W_k})}{T_k}=h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R),\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{K(\pi (x{|}_{W_k}))}{T_k}=h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R^{\pi })\le h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}}).$$ 注：固定有限 $R$ 情形，上述等式指向相对熵 $h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R)$。仅当采用空间增长截面族 $R_k\uparrow {\mathbb{Z}}^d$，使得 ${\bigvee }_{i\in \mathbb{Z}}{\sigma }_{\mathrm{time}}^i{\alpha }_{R_k}$ 生成整个 $\sigma$-代数（或等价地对生成分割取上确界）时，极限才等于完整的 $h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})$。

证明. 由引理 5.5（时间子作用版SMB/Brudno，窗口族形状与归一化匹配），第一条的 limsup 等式成立。对因子像，$\pi$ 为可计算变换且因子熵不增（引理 5.4），故第二条的 limsup 等式成立且不超过 $h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})$。此外，对因子系统 $(\pi (X_f),{\sigma }_{\mathrm{time}},{\pi }_{\ast }\mu )$ 应用引理 5.5（同一窗口前提），得 $({\pi }_{\ast }\mu )$-a.e. 的 limsup 值为 $h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R^{\pi })$；由 $\mu ({\pi }^{-1}A)={\pi }_{\ast }\mu (A)$ 可知上述 limsup 等式对 $\mu$-a.e. 的 $x$ 亦成立。若采用空间增长截面族 $R_k\uparrow {\mathbb{Z}}^d$ 形成生成分割，则右侧可逼近完整的 $h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})$。$\square$

T6（程序涌现：宏块-强制；SB-CA $\Rightarrow$ TM）

命题. （允许经有限高阶块表示/字母扩展）存在宏块-强制嵌入方案 $\mathsf{Emb}(M)$，使得若该方案的有限型约束族非空（扩展 SFT 非空），则存在 $x^{\mathrm{ext}}\in X_f^{\mathrm{ext}}$（若仅采用高阶块而无字母扩展，则写作 $x^{[k]}\in X_f^{[k]}\cong X_f$）可在译码器 $\pi$ 下译读为某一条（预期的）图灵机 $M$ 的运行轨迹。若进一步假设嵌入约束完备且无伪解，则得到“若且唯若“。

证明（构造）. 取宏块大小 $k$。扩展字母表为 ${\Sigma }^{\prime }=\Sigma \times Q\times D\times S$（机状态、带符号、头移动、同步相位）。在宏块尺度上以有限型局部约束实现转移 $(q,a)\mapsto (q^{\prime },a^{\prime },\delta )$，并以相位信号实现跨宏块同步。记由上述有限型约束得到的扩展 SFT 为 $X_f^{\mathrm{ext}}$，并记忘却投影 $\rho :{\Sigma }^{\prime }\to \Sigma$（如需将扩展配置关联回底层）。译码器 $\pi$ 读取宏块中心行输出带内容。若这些有限型约束族全局相容（扩展 SFT 非空），则由紧致性可取极限得到全局配置 $x^{\mathrm{ext}}$；非空性因此依赖于相容性前提，而非由紧致性自动推出。$\square$

小结. 在相容但未声明无伪解时，仅有“非空 $\Rightarrow$ 存在某条可译读轨迹“；在完备且无伪解时，得到“若且唯若“（与T9的停机见证等价配合）。

T7（程序权重的通用半测度界）

命题. 令程序码为前缀无歧义，则对任意可译读程序 $p$，有 $\nu (p)\le C\cdot 2^{-|p|}$。

证明. 由 Kraft 不等式 ${\sum }_p{2}^{-|p|}\le 1$，通用半测度 $\nu$ 作为加权和满足上界，常数 $C$ 仅依赖所选机。$\square$

T8（截面–自然扩张对偶；熵保持）

命题. $X_f$ 与 $\Omega (F)$ 互为截面/自然扩张对偶，且时间熵相等。

证明. 由 T1 的共轭 $(X_f,{\sigma }_{\mathrm{time}})\cong (\Omega (F),{\sigma }_{\Omega })$。自然扩张不改熵；共轭保持熵，故结论成立。$\square$

T9（停机见证的静态化）

命题. 在 T6 的相容且无伪解的嵌入方案下（即对应扩展 SFT 非空且嵌入约束完备无伪解），$M$ 停机当且仅当存在 $x^{\mathrm{ext}}\in X_f^{\mathrm{ext}}$ 与有限窗口 $W$，使得可见图案 $\pi \left(x^{\mathrm{ext}}{|}_W\right)$ 包含“终止标记“ $\square$；反之亦然。

证明. “若“向：若 $M$ 在步 $\hat{t}$ 停机，则宏块中央的译码输出出现 $\square$，形成有限可见图案。“唯若“向：若可见层出现 $\square$，由无伪解可知 $\square$ 仅由停机转移产生；由局部一致性回溯至停机转移。上述等价均以嵌入方案全局相容（扩展 SFT 非空）且无伪解为前提。$\square$

防御性总结（T6/T9）. 所有涉及程序涌现的“若且唯若“型断言均默认采用“无伪解“版本嵌入；若仅有非空相容性，则相应命题自动降格为“充分不必要“。本文后续不再逐处重复此前提。

T10（Unimodular 协变性的信息稳定）

命题. 若窗口族满足 $K(W_k)=O(\log |W_k|)$，则任意整变换 $U\in {\mathrm{GL}}_{d+1}(\mathbb{Z})$ 下，T4 上界与 T3 语义保持；变换后窗口的窗口描述复杂度差 $O(\log |W_k|)$，不涉及数据复杂度 $K(x{|}_{W_k})$ 或 $K(\pi (x{|}_{W_k}))$ 的逐样本上界。

证明. 由引理 5.1–5.2，窗口描述复杂度 $K(W)$ 为生成窗口几何参数的最短程序长度。整变换 $U$ 与平移的编码仅增加 $O(1)$ 常数；厚边界 ${\partial }_{\downarrow }^{(r,T)}{W}^{-}$ 在 $U$ 下的有界畸变吸收进 $O(\log |W_k|)$。由 T2 可知：在各自与时间方向对齐的时间片长方体族与相应观测分割下，归一化复杂度密度分别等于对应的相对熵；仅当两观察方案由沿时间的有限记忆可逆块码互为同构时，二者数值相同；否则一般不同。$\square$

T11（模型集合语义）

命题. $$X_f={\mathcal{T}}_f(\mathsf{Conf})=\{x\in {\Sigma }^{{\mathbb{Z}}^{d+1}}:\forall (\mathbf{r},t)x(\mathbf{r},t)=f(x(\mathbf{r}+N,t-1))\}.$$ 证明. 按定义。$\square$

T12（计算模型对应）

命题. (i) SB-CA 与 TM 互相模拟；(ii) 若干 CSP/Horn/$\mu$-安全公式 $\Phi$ 可等价嵌入 EG-CA。

证明. (i) 由 T6 及标准“TM 模拟 CA“得双向模拟。 (ii) 将每条半径 $\le r$ 的子句转为禁形集 ${\mathcal{F}}_{\Phi }$，得 $X_{f_{\Phi }}$。解的模型与 $\Phi$ 的模型等价（有限型 + 紧致性）。$\square$

T13（叶-语言的 $\omega$-自动机刻画；sofic 化充分条件）

命题. 若（i）采用路径版 $(Y_G,\sigma )$ 或存在 $k$ 使 $X_f$ 在时间子作用上可经高阶块表示 $X_f^{[k]}$ 令跨叶一致性仅依赖相邻 $k$ 层（时间方向可马尔可夫化）；且（ii）译码器 $\pi :{\Sigma }^B\to \Gamma$ 的核窗 $B$ 具有有限跨叶厚度（见 §2.4，$B$ 在时间方向的厚度为有限常数），则 ${\mathsf{Lang}}_{\pi ,\varsigma }(X_f)$ 为 sofic（因而 $\omega$-正则），可由某 Büchi 自动机 $\mathcal{A}$ 接受： $${\mathsf{Lang}}_{\pi ,\varsigma }(X_f)=L_{\omega }(\mathcal{A}).$$

证明（构造）. 在时间方向有限记忆条件下，取高阶块表示 $X_f^{[k]}$，将有限状态集 $Q$ 编码入扩展字母表并以有限型约束实现转移 $\delta$。跨叶一次读取对应一次自动机步。接受条件以局部安全/正则约束实现（如“无限次访问 $F$“由循环记忆位实现）。于是得到等价 $\omega$-语言。$\square$

T14（任意可实现事件的 SBU 存在）

命题. 对可实现 $v$ 与可接受 $\tau$，$(X_f^{(v,\tau )},{\rho }_{\tau })$ 非空。

证明. 取以 $v$ 一致的有限窗口族，按包含构成有向集；有限一致性由“可实现“与局部约束给出。由紧致性（乘积拓扑）与 Kőnig 引理，存在极限配置 $x\in X_f$ 与 $v$ 一致，故非空。$\square$

T15（因果一致扩张与悖论排除）

命题. $X_f^{(v,\tau )}$ 仅包含与锚 $v$ 一致之全局解的限制；矛盾事件不共存。

证明. 若某 $x\in X_f^{(v,\tau )}$ 同时包含与 $v$ 矛盾之事件，则在 ${\phi }_{v_0}({\mathrm{Cone}}_{\ell }^{+}(v))$ 上既一致又矛盾，违背一致性定义。$\square$

T16（时间=确定性推进（表观选择））

命题. 在确定性 $f$ 与厚边界条件下，$\ell$ 的每次最小正增量推进等价于对未来一致扩张族作确定性推进；在确定性 CA 下唯一。

证明. 由 T4 的构造，给定上一层与厚边界，下一层值由 $f$ 唯一定义；如存在两种不同推进，则某单元下一层取值不等，违背确定性。$\square$

T17（多锚观察者与主观时间率）

命题. 有效步长 $b=⟨{\tau }^{\star },\tau ⟩\ge 1$ 反映章节节拍。对时间片长方体Følner族且固定有限空间截面 $R$，以时间厚度 $L(W_k)=T_k$ 归一化的熵率为 $$\frac{1}{b}{h}_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}}^b,{\alpha }_R^{\pi }),$$ 因而随步长 $b$ 单调非增。若采用空间增长截面族 $R_k\uparrow {\mathbb{Z}}^d$ 形成生成分割，则极限趋近 $h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})$（见下述证明）。

证明. 时间子作用改为 ${\sigma }_{\mathrm{time}}^b$ 等效于对 $\mathbb{Z}$ 子作用“抽样“（${\sigma }_{\Omega }^b$）。对时间片长方体 $W$，观察步数为 $\lfloor L(W)/b\rfloor$（见 §2.4），而归一化采用时间厚度 $L(W)=T$。因而对固定有限截面 $R$， $$\frac{K(\pi (x{|}_W))}{L(W)}\sim \frac{\lfloor L(W)/b\rfloor }{L(W)}\cdot h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}}^b,{\alpha }_R^{\pi })=\frac{1}{b}\cdot h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}}^b,{\alpha }_R^{\pi }).$$

结论（修正）：对固定有限截面 $R$ 与时间片长方体族， $$\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{K(\pi (x{|}_{W_k}))}{L(W_k)}=\frac{1}{b}{h}_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}}^b,{\alpha }_R^{\pi })\le h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}},{\alpha }_R^{\pi }).$$ 因而随步长 $b$ 单调非增。若改用空间增长截面族 $R_k\uparrow {\mathbb{Z}}^d$ 形成生成分割，则右端趋近 $$\frac{1}{b}{h}_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}}^b)=h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}}),$$ 即在生成分割极限下与 $b$ 的选择无关。

由引理 5.5，对 $\mu$-a.e. 的 $x$ 两族密度极限一致。

补充说明. 上述分析在以**时间厚度 $L(W)$**归一化的情形下成立；若改用体素数归一化或非时间片长方体窗族，则对应的是 $h_{\mu }^{(d+1)}$ 而非时间熵（见 §2.5 与 §7.5 的注释）。$\square$

T18（锚定图的坐标相对化不变性）

命题. 两组嵌入 $({\phi }_{v_0},{\phi }_{v_1})$ 若源自同一整仿射嵌入 $\Phi$ 的限制，则在交域去除常数半径带后，仅差 ${\mathrm{GL}}_{d+1}(\mathbb{Z})$ 整仿射与有限半径重标定；两组嵌入间观察协议的额外编码/描述开销 $\le O(K(W))$（对可描述窗口族为 $O(\log |W|)$），不涉及对观测序列本身的数据复杂度或熵差给出逐窗口上界。

证明. 存在 $U\in {\mathrm{GL}}_{d+1}(\mathbb{Z})$ 与平移 $t$ 使 ${\phi }_{v_1}=U\circ {\phi }_{v_0}+t$ 于交域成立。有限半径差异对应剔除边界带。窗口在两坐标下的编码仅多出 $U,t$ 的有限描述；这是协议间转换的额外描述成本，被 $O(K(W))$ 吸收（引理 5.1–5.2）。观测序列的数据复杂度由 T2 的测度论版本给出归一化后的坐标无关性。$\square$

T19（$\ell$-后继的确定性与同层排他性）

命题. 确定性 $f$、半径 $r$ 下，若 $u$ 的上下文覆盖下一层生成所需信息，则存在唯一 ${\mathrm{succ}}_{\ell }(u)$；边 $u\to {\mathrm{succ}}_{\ell }(u)$ 对同层备选具排他性。

证明. 下一层取值由 $f$ 的局部函数唯一决定；若存在同层两个不同备选均可接续且相互冲突，则在某公共单元产生不一致赋值，矛盾。$\square$

T20（相容原则：表观选择与决定论统一）

命题. 逐叶推进在操作层面表现为“代表选择“，而整体静态编码为“唯一一致扩张“；决定论成立，且与 A3/T4 相容。

证明. 由 T14 存在全局一致扩张；T15 排斥矛盾分支；T3 表明“观察=在等价类中选代表“；T4/A3 确保选择不增信息。故表观自由与本体决定论一致。$\square$

T21（信息不增律：一般 CA 与观察因子）

命题. 设 $F$ 为半径 $r$ 的 $d$ 维 CA，取任意 Følner 窗口族 $\{W_k\}$（轴对齐平行多面体满足 $K(W_k)=O(\log |W_k|)$）。定义空间信息密度（每格） $$I(x):=\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{K\left(x{|}_{W_k}\right)}{|W_k|},I_{\pi }(x):=\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{K(\pi (x{|}_{W_k}))}{|W_k|}.$$ 则对每个固定的 $T\in \mathbb{N}$ 与配置 $x$，有 $$I\left(F^{T}x\right)\le I(x),I_{\pi }\left(F^{T}x\right)\le I\left(F^{T}x\right)\le I(x).$$ 注（归一化提醒）：此定理针对 $d$ 维空间配置，按体素数归一化（用于纯空间配置）。应用于时空SFT的时间子作用时，必须改用时间厚度 $L(W)$ 归一化（见T5）。跨归一化混用将导致错误结论。

证明. 厚边界与传播锥给出依赖域：存在 $W_k^{+rT}$ 使 $\left(F^{T}x\right){|}_{W_k}$ 可由 $x{|}_{W_k^{+rT}}$ 可计算恢复（见引理 5.3 的 $r,T$ 控制）。由可计算变换的复杂度上界， $$K((F^{T}x){|}_{W_k})\le K\left(x{|}_{W_k^{+rT}}\right)+O(\log |W_k|).$$ Følner 性给出 $|W_k^{+rT}|/|W_k|\to 1$。此处用到了 Følner 族对常数厚度膨胀的稳定性（Minkowski 之厚边界/体积比→0）。取 $\mathrm{limsup}$ 得 $I(F^{T}x)\le I(x)$。因子译码不增信息（A3，或引理 5.1 的可计算变换），得 $I_{\pi }(F^{T}x)\le I(F^{T}x)$。合并即得结论。$\square$

T22（信息守恒律：可逆 CA）

命题. 若 $F$ 可逆且 $F^{-1}$ 亦为 CA（可逆元胞自动机），则对每个固定的 $T\in \mathbb{N}$ 与配置 $x$，空间信息密度（每格）守恒： $$I\left(F^{T}x\right)=I(x),I_{\pi }\left(F^{T}x\right)\le I(x),$$ 其中等号在 $\pi =\mathrm{id}$ 或与 $F$ 共轭的无损因子下成立。若 $\mu$ 为移位不变遍历测度，应用于时空SFT的时间子作用 $(X_f,{\sigma }_{\mathrm{time}})$ 时，由 T1 的共轭与可逆性下熵保持可知 $h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})$ 不变；各时刻空间边缘分布 $({\nu }_t)$ 满足平稳性 ${\nu }_{t+1}=F_{\ast }{\nu }_t={\nu }_t$，该记号与 $h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})$ 的计算无直接混用。故 $\mu$-几乎处处时间方向的信息密度守恒。 注（归一化与守恒范围）：同T21，此处空间信息密度按体素数归一化（用于纯空间配置）；用于时空SFT的时间子作用时，必须改用时间厚度 $L(W)$ 归一化（见T5）。此处“信息守恒“指相同归一化下的守恒；跨归一化比较无意义。

证明. 由 T21 对 $F$ 与 $F^{-1}$ 分别应用得 $I(F^{T}x)\le I(x)$ 与 $I(x)\le I(F^{T}x)$，合并即 $I(F^{T}x)=I(x)$。关于 $\pi$ 的不增由 A3 给出。测度论版本由 $(X_f,{\sigma }_{\mathrm{time}})\cong (\Omega (F),{\sigma }_{\Omega })$ 的共轭与可逆性下熵保持（T8），配合叶计数归一化的Brudno定理（引理 5.5）得出。$\square$

T23（观测压力函数与信息几何）

【来源映射】对每个可见类目 $j$，令 $a_j$ 为译码后在单位时间片的先验权（或计数权），${\beta }_j$ 为对应逐叶统计特征（如频率向量/能量代价）的固定向量；当在窗口族 $W_k$ 上取极限时，$\{p_j(\eta )\}$ 即为这些观测统计的指数族重加权。

定义. 为避免与 §2 中的叶族记号 $\rho$ 混淆，以下以 $\eta$ 记参数。取一组可见类目（由译码/计数规则给出）索引为 $j=1,\dots ,J$（此处取 $J<\infty$），赋权 $a_j>0$ 与向量 ${\beta }_j\in {\mathbb{R}}^n$。定义 $$Z(\eta )=\sum _{j=1}^J{a}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\Re \eta ⟩},P(\eta )=\log Z(\eta ),p_j(\eta )=\frac{a_j{e}^{⟨{\beta }_j,\Re \eta ⟩}}{Z(\eta )}.$$ 在 $Z(\eta )$ 收敛的域内，且满足局部一致收敛从而允许求和/微分互换的标准条件，有 $${\nabla }_{\eta }P(\eta )={\mathbb{E}}_p[\beta ]=\sum _j{p}_j{\beta }_j,{\nabla }_{\eta }^{2}P(\eta )={\mathrm{Cov}}_p(\beta )⪰0.$$ 因此 $P$ 凸，其 Hessian 即 Fisher 信息。沿方向 $\eta (s)={\eta }_{\perp }+s\mathbf{v}$， $$\frac{d^2}{d{s}^2}P(\eta (s))={\mathrm{Var}}_p(⟨\beta ,\mathbf{v}⟩)\ge 0.$$ 若再记香农熵 $H(\eta )=-{\sum }_j{p}_j\log p_j$，则 $$H(\eta )=P(\eta )-\sum _j{p}_j\log a_j-⟨\Re \eta ,{\mathbb{E}}_p[\beta ]⟩.$$

证明要点. 由 log-sum-exp 的标准求导（在前述局部一致收敛条件下可交换求和与微分），得梯度与 Hessian 表达；方向二阶导即方差。熵恒等式由 $p_j\propto a_j{e}^{⟨{\beta }_j,\Re \eta ⟩}$ 代入 $H=-\sum p_j\log p_j$ 展开并整理得到。$\square$

T24（相变/主导切换的判别；有限 J 版）

命题. 令幅度 $A_j(\eta ):=a_j{e}^{⟨{\beta }_j,\eta ⟩}$，并定义 $$H_{jk}=\{\eta :⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\eta ⟩=\log \frac{a_k}{a_j}\},\delta (\eta ):=\underset{j<k}{\min }|⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\eta ⟩-\log \frac{a_k}{a_j}|.$$ 若 $\delta (\eta )>\log (J-1)$，则存在唯一索引 $j_{\star }$ 使 $A_{j_{\star }}(\eta )={\max }_j{A}_j(\eta )$ 且 $$\sum _{k\ne j_{\star }}{A}_k(\eta )<A_{j_{\star }}(\eta ),$$ 因而无主导切换；主导切换仅可能发生在 $\{\eta :\delta (\eta )\le \log (J-1)\}$ 的薄带内，其骨架为超平面族 $\{H_{jk}\}$。

证明. 由 $\delta (\eta )$ 的定义，$\log A_{j_{\star }}-\log A_k\ge \delta (\eta )$，故 $A_k\le e^{-\delta (\eta )}{A}_{j_{\star }}$，再求和得结论。$\square$

T25（方向化极点 = 增长指数；可数无限版）

命题. 固定方向 $\mathbf{v}$ 与分解 $\eta ={\eta }_{\perp }+s\mathbf{v}$。令索引族 $\{(a_j,{\beta }_j){\}}_{j\ge 1}$ 为可数无限，并假设存在 ${\eta }_0$ 使得 ${\sum }_{j\ge 1}{a}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\Re {\eta }_0⟩}<\infty$。设沿 $\mathbf{v}$ 的带权累积分布 $$M_{\mathbf{v}}(t)=\sum _{t_j\le t}{w}_j,t_j:=⟨-{\beta }_j,\mathbf{v}⟩,w_j:=a_j{e}^{⟨{\beta }_j,{\eta }_{\perp }⟩},$$ 当 $t\to +\infty$ 具有指数–多项式渐近（并假设 $M_{\mathbf{v}}$ 具界变差与温和增长） $$M_{\mathbf{v}}(t)=\sum _{\ell =0}^L{Q}_{\ell }(t)e^{{\gamma }_{\ell }t}+O\left(e^{({\gamma }_L-\delta )t}\right),{\gamma }_0>\cdots >{\gamma }_L,$$ 且 $M_{\mathbf{v}}$ 具界变差并满足温和增长。则其拉普拉斯–Stieltjes 变换 $${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s):={\int }_{(-\infty ,+\infty )}{e}^{-st}d{M}_{\mathbf{v}}(t)=\sum _j{w}_j{e}^{-s{t}_j}$$ 在 $\Re s>{\gamma }_0$ 收敛，并可亚纯延拓至 $\Re s>{\gamma }_L-\delta$，在 $s={\gamma }_{\ell }$ 处至多出现 $\mathrm{deg}{Q}_{\ell }+1$ 阶极点。特别地，右端收敛垂线的实部等于最大增长指数 ${\gamma }_0$。若 $J<\infty$，则上述和式为有限和，不出现极点情形。

证明要点. 属于经典的拉普拉斯–Stieltjes Tauberian 词典：对指数–多项式渐近逐段积分并使用分部积分/留数控制，得极点位置与阶；绝对收敛域的临界由 ${\gamma }_0$ 给出。$\square$

T26（可逆与非可逆：判据与后果）

命题（判据）. 全局映射 $F:{\Sigma }^{{\mathbb{Z}}^d}\to {\Sigma }^{{\mathbb{Z}}^d}$ 为 CA 可逆 $⟺$ 它为双射且 $F^{-1}$ 也是 CA（存在有限半径的逆局部规则）。在 ${\mathbb{Z}}^d$ 上，Garden-of-Eden 定理给出：$F$ 满射 $⟺$ $F$ 预单射；可逆等价于同时满射与单射。

命题（后果）. 若 $F$ 可逆，则：

1. 信息密度守恒：$I(F^{T}x)=I(x)$（见 T22）；
2. 观察因子下不增：$I_{\pi }(F^{T}x)\le I(x)$；
3. 无真吸引子：不存在把开集压入真子集的单向吸引（每点具双向轨道，可能存在周期但无信息耗散到单一固定点的不可逆坍缩）。

证明. 判据为标准结论；后果 1–2 由 T21–T22 立即推出；后果 3 由可逆性与双向可达性给出（若存在真吸引子则与双射矛盾）。$\square$

7. 构造与算法

7.1 从规则到 SFT：由 $f$ 的局部一致性导出禁形集 $\mathcal{F}$，得 $X_f$。

7.2 从 SFT 到永恒图：以允许图案为顶点、合法拼接为边构造 $G_f$；用 $\ell$ 的等值面给出叶次序。

7.3 译码器设计：选核窗 $B$、块码 $\pi :{\Sigma }^B\to \Gamma$；定义按 $\ell$ 分层的逐叶读取协议 $\varsigma$。

7.4 宏块-强制程序盒：自相似平铺嵌入“状态-控制-带“并可译读（见 T6）。本文在涉及停机见证的“当且仅当“结论处，均默认采用无伪解的嵌入方案；若仅有相容性（非空）而未验证无伪解，则结论退化为“停机 ⇒ 终止标记出现“。

7.5 压缩-熵实验（可复现） $$y_k=\pi \left(x{|}_{W_k}\right),c_k=\mathrm{compress}(y_k),r_k=\frac{|c_k|}{|W_k|},\mathrm{plot}(r_k)(k=1,2,\dots ).$$ 注：此处用 $|W_k|$ 归一化便于实验操作；理论上对应时间子作用熵应改用时间厚度 $L(W_k)=T_k$ 归一化（见T5，需采用时间片长方体族）。若对齐时间子作用熵，宜以 $|c_k|/T_k$ 为主报告（保持 $R$ 固定有限），并将 $|c_k|/|W_k|$ 作为补充（对应 $h_{\mu }^{(d+1)}$ 量级）。若 $|R_k|$ 变化或采用一般 Følner 窗，则 $r_k$ 反映的是 $h_{\mu }^{(d+1)}$ 量级而非时间熵。

7.6 从事件节点构造 SBU（强制域传播） 输入：可实现 $v$、取向 $\tau$、容许误差 $ϵ$。 步骤：以 $v$ 与局部一致性为约束，进行双向约束传播/一致性检查，在增大的 $W_k$ 上计算被 $v$强制的单元集合，并按 $\ell$ 逐叶扩张至局部稳定。 输出：$\left(X_f^{(v,\tau )}\right)$ 在 $W_k$ 上的强制域近似与信息密度曲线。

7.7 锚定图的相对坐标构造：BFS 分层（按 $\ell$/空间邻接）→ 相对嵌入 ${\phi }_{v_0}$ → 半径 $r$ 一致性校验与等价类归并。

7.8 由 CSP / $\mu$-安全公式到 CA：给定 CSP 或 Horn/$\mu$-安全公式 $\Phi$，对每条半径 $\le r$ 子句生成禁形 ${\mathcal{F}}_{\Phi }$，定义 $f_{\Phi }$： $$X_{f_{\Phi }}={\mathcal{T}}_{f_{\Phi }}(\mathsf{Conf})=\{x:\forall (\mathbf{r},t),x(\mathbf{r},t)=f_{\Phi }(x(\mathbf{r}+N,t-1)\left)\right\},$$ 必要时以有限控制层保持同步（不改等价类）。

7.9 由 $\omega$-自动机到叶-语言：给定 Büchi 自动机 $\mathcal{A}=(Q,\Gamma ,\delta ,q_0,F)$，选择 $(\pi ,\varsigma )$ 并构造扩展 SFT $X_{f,\mathcal{A}}$ 使：

1. $\pi$ 将跨叶观测编码为 $\Gamma$-字；
2. 以有限型同步条件实现 $\delta$：在 $X_f$ 上叠加有限型“控制/同步层“（或等价地先取 $X_f^{[k]}$ 将 $Q$ 编码入字母表并以局部约束模拟转移），得到扩展 SFT $X_{f,\mathcal{A}}$；
3. 接受条件以安全/正则约束表达。于是 $${\mathsf{Lang}}_{\pi ,\varsigma }\left(X_{f,\mathcal{A}}\right)=L_{\omega }(\mathcal{A}).$$

8. 典型示例与玩具模型

Rule-90（线性）：三视角一致；任意锚的 SBU 由线性关系唯一递推；Følner 归一化后复杂度密度一致；叶-语言为 $\omega$-正则。

Rule-110（通用）：宏块-强制嵌入 TM（T6）；停机见证对应局部终止标记（T9）；逐叶推进排除同层备选（T19–T20）。

二染色 CSP（模型视角）：图二染色的局部约束 → 禁形；锚定某节点颜色并逐叶展开，构成因果一致事件锥体；叶-语言在适当条件下为 $\omega$-正则。

2×2 玩具块（锚–SBU–译码–表观选择） 参数：$\Sigma =\{0,1\}$，$d=1$，$N=\{-1,0,1\}$，$f(a,b,c)=a\oplus b\oplus c$（XOR，周期边界）。锚 $v_0$ 固定 $(t=0,\mathbf{r}=0)$ 的局部图案。按 T4 的因果厚边界与逐叶推进递推 $t=1$ 层，得到唯一一致扩张；与锚矛盾的同层点被排除（T19）。取 $$B=\{(\mathbf{r},t):\mathbf{r}\in \{0,1\},t=1\},$$ $\pi$ 读出二维块为可见二进制串——“下一步“仅读出，不增信息（A3）。