第2章 公理与基础定义

2.1 自指完备 (Self-Reference Completeness)

定义 D2.1（自指完备系统）

一个形式系统 $S$ 称为自指完备 (self-reference complete)，当且仅当存在编码函数 $\mathsf{code}:S\to S$ 和求值函数 $\mathsf{eval}:S\times S\to S$，满足：

1. 自指可达性：存在 $\mathsf{self}\in S$ 使得 $$\mathsf{eval}(\mathsf{self},\mathsf{code}(\mathsf{self}))\text{ 收敛且}\in S$$

2. 操作内生性：对系统中每个可计算操作 $f:S^k\to S$，存在程序 $p_f\in S$ 使得 $$\forall (x_1,\dots ,x_k)\in S^k,\mathsf{eval}(p_f,(x_1,\dots ,x_k))=f(x_1,\dots ,x_k)$$

3. 执行封闭性： $$\forall p,x\in S,\mathsf{eval}(p,x)\text{ 收敛}\Rightarrow \mathsf{eval}(p,x)\in S$$

理论补充：定义D2.1的抽象性得到自动机系统理论的具体支撑。该理论提供了3状态自动机 ${\mathcal{A}}_{\phi }=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$ 作为自指完备系统的可操作实现，其中状态转移精确对应自指执行的语义，使得抽象定义获得了计算模型的严格基础。

定义 D2.2（执行轨迹与记录生成）

设 ${\sigma }_t$ 为系统在时刻 $t$ 的全局状态。一次自指执行 $\mathsf{SelfExec}({\sigma }_t)$ 定义为：

$$\mathsf{SelfExec}({\sigma }_t)={\sigma }_{t+1}={\sigma }_t\oplus \mathsf{trace}({\sigma }_t)$$

其中：

• $\mathsf{trace}({\sigma }_t)\in S$ 是执行轨迹记录，满足 $\mathsf{trace}({\sigma }_t)\ne \varnothing$
• $\oplus$ 是状态扩展操作，保证 $|{\sigma }_{t+1}|>|{\sigma }_t|$（严格长度增加）
• 执行轨迹 $\mathsf{trace}({\sigma }_t)$ 在 ${\sigma }_t$ 中唯一确定

记录不变量：每次自指执行必产生新的、不与历史重复的轨迹信息。

2.2 熵 (Entropy)

定义 D2.3（状态空间与信息熵）

设 $S$ 为自指完备系统，${\Sigma }_0$ 为初始状态空间。定义第 $t$ 步后的可达状态空间：

$${\Sigma }_t=\{\sigma :\exists \text{执行序列}({\sigma }_0,{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_t),{\sigma }_0\in {\Sigma }_0,{\sigma }_i=\mathsf{SelfExec}({\sigma }_{i-1}),\sigma ={\sigma }_t\}$$

系统在时刻 $t$ 的信息熵定义为：

$$H_t:=H({\Sigma }_t)={\log }_2|{\Sigma }_t|$$

熵的可计算性条件：

1. ${\Sigma }_t$ 可枚举且 $|{\Sigma }_t|<\infty$（有限性）
2. ${\Sigma }_0⊊{\Sigma }_1⊊{\Sigma }_2⊊\cdots$（严格单调性）
3. $\forall t\ge 0:|{\Sigma }_{t+1}|\ge |{\Sigma }_t|+1$（最小增长保证）

物理解释：$H_t$ 量化了在时刻 $t$ 区分系统所有可能状态所需的最小比特数。

2.3 公理陈述

公理 A1（自指完备熵增公理, SRA）

陈述：对任意自指完备系统 $S$ 及其状态空间演化序列 $\{{\Sigma }_t{\}}_{t\ge 0}$：

$$\boxed{\forall t\ge 0:H_{t+1}>H_t}$$

等价形式： $$\forall t\ge 0:|{\Sigma }_{t+1}|>|{\Sigma }_t|\wedge {\log }_2|{\Sigma }_{t+1}|>{\log }_2|{\Sigma }_t|$$

理论补充：A1公理的非假设性得到自指循环完备性理论的严格证明。该理论通过自指算子的不动点分析，证明了当系统满足ψ = ψ(ψ)的循环完备条件时，熵增不是外加的假设，而是自指结构在数学上的必然结果，为公理提供了逻辑必然性的坚实基础。

公理的逻辑结构：

1. 执行必然性：$\mathsf{SelfExec}({\sigma }_t)$ 总是产生 $\mathsf{trace}({\sigma }_t)\ne \varnothing$
2. 轨迹唯一性：$\mathsf{trace}({\sigma }_t)\notin \{\mathsf{trace}({\sigma }_s):s<t\}$
3. 状态扩展性：${\sigma }_{t+1}={\sigma }_t\oplus \mathsf{trace}({\sigma }_t)\Rightarrow |{\sigma }_{t+1}|>|{\sigma }_t|$
4. 可达性传递：新状态 ${\sigma }_{t+1}\in {\Sigma }_{t+1}\setminus {\Sigma }_t$
5. 熵增必然：$|{\Sigma }_{t+1}|\ge |{\Sigma }_t|+1\Rightarrow H_{t+1}>H_t$

不变量：系统的自指完备性在执行过程中保持不变。

2.4 命题：自指与熵增的基本关系

引理 L2.1（状态长度严格增长）

若系统 $S$ 自指完备，则其任意自指执行都导致状态长度严格增长： $$\forall t\ge 0:|\mathsf{SelfExec}({\sigma }_t)|>|{\sigma }_t|$$

严格证明：

1. 设 ${\sigma }_{t+1}=\mathsf{SelfExec}({\sigma }_t)={\sigma }_t\oplus \mathsf{trace}({\sigma }_t)$
2. 由定义D2.2，$\mathsf{trace}({\sigma }_t)\ne \varnothing$，故 $|\mathsf{trace}({\sigma }_t)|\ge 1$
3. 由状态扩展操作 $\oplus$ 的定义，$|{\sigma }_t\oplus \mathsf{trace}({\sigma }_t)|=|{\sigma }_t|+|\mathsf{trace}({\sigma }_t)|$
4. 因此：$|{\sigma }_{t+1}|=|{\sigma }_t|+|\mathsf{trace}({\sigma }_t)|\ge |{\sigma }_t|+1>|{\sigma }_t|$ ∎

引理 L2.2（状态空间扩展的熵增性）

对自指完备系统，状态空间的严格扩展必然导致信息熵的严格增长：

$$|{\Sigma }_{t+1}|>|{\Sigma }_t|\Rightarrow H_{t+1}>H_t$$

构造性证明：

1. 执行起点：取任意 ${\sigma }_t\in {\Sigma }_t$
2. 轨迹生成：${\mathsf{trace}}_t:=\mathsf{trace}({\sigma }_t)$ 由执行过程唯一确定
3. 新状态构造：${\sigma }_{t+1}^{\prime }:={\sigma }_t\oplus {\mathsf{trace}}_t$
4. 封闭性验证：由D2.1(执行封闭性)，${\sigma }_{t+1}^{\prime }\in S$
5. 新颖性证明：假设 ${\sigma }_{t+1}^{\prime }\in {\Sigma }_t$，则存在 $s<t$ 使得某状态经 $s$ 步达到 ${\sigma }_{t+1}^{\prime }$。但 $|{\sigma }_{t+1}^{\prime }|>|{\sigma }_t|\ge \max \{|\sigma |:\sigma \in {\Sigma }_t\}$，矛盾。
6. 状态扩展：${\sigma }_{t+1}^{\prime }\in {\Sigma }_{t+1}\setminus {\Sigma }_t$
7. 基数增长：$|{\Sigma }_{t+1}|\ge |{\Sigma }_t\cup \{{\sigma }_{t+1}^{\prime }\}|=|{\Sigma }_t|+1$
8. 熵严格增长：$H_{t+1}={\log }_2|{\Sigma }_{t+1}|>{\log }_2|{\Sigma }_t|=H_t$ ∎

关键洞察：轨迹的唯一性保证了状态空间的真正扩展，而非重复。

2.5 公理体系总结

本章构建的严格数学框架包含：

核心定义体系

1. 自指完备系统 (D2.1)：具备自指可达性、操作内生性、执行封闭性的形式系统
2. 执行轨迹与记录生成 (D2.2)：自指执行的状态扩展操作及其不可逆轨迹记录
3. 状态空间与信息熵 (D2.3)：可达状态的演化集合及其信息度量

基本公理

4. 自指完备熵增公理 (SRA)：$\forall t\ge 0:H_{t+1}>H_t$ - 任意自指完备系统的熵严格单调递增

推导体系

5. 状态长度严格增长 (L2.1)：自指执行 ⇒ 轨迹记录 ⇒ 状态长度增加
6. 状态空间扩展的熵增性 (L2.2)：新状态生成 ⇒ 状态空间扩展 ⇒ 信息熵增长

逻辑链条

自指完备性 → 执行轨迹唯一性 → 状态长度增长 → 状态空间扩展 → 熵严格增长

在这个框架中，ψ = ψ(ψ) 不仅是符号表达，更是系统自我认知的数学本质。