谱理论：算符的“频谱分析“

“就像光可以分解成彩虹，算符也可以分解成’本征值谱’。”

🎯 什么是谱理论？

想象你在听一段音乐：

• 时域：你听到的是随时间变化的声波
• 频域：实际上这是许多不同频率的正弦波叠加

傅里叶变换就是把时域信号分解成频域“频谱“：

graph LR
    T["时域信号<br/>f(t)"] --> |"傅里叶变换"| F["频谱<br/>F(ω)"]
    F --> |"逆变换"| T

    style T fill:#e1f5ff
    style F fill:#ffe1e1

谱理论做的是类似的事情，但对象是算符而不是函数：

把复杂的算符 $H$ 分解成简单的“本征值“和“本征向量“。

🌈 比喻：三棱镜分光

graph LR
    W["白光<br/>（复杂算符H）"] --> P["三棱镜<br/>（谱分解）"]
    P --> R["红光 λ₁"]
    P --> O["橙光 λ₂"]
    P --> Y["黄光 λ₃"]
    P --> G["绿光 λ₄"]
    P --> B["蓝光 λ₅"]
    P --> V["紫光 λ₆"]

    style W fill:#fff4e1
    style P fill:#e1f5ff
    style R fill:#ffcccc
    style O fill:#ffd4b3
    style Y fill:#fff4b3
    style G fill:#ccffcc
    style B fill:#b3d9ff
    style V fill:#e6b3ff

• 白光 = 复杂算符 $H$
• 三棱镜 = 谱分解
• 各色光 = 本征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots$

每个本征值对应一个“纯色“——系统的一个简单模式。

📐 自伴算符与谱分解

什么是自伴算符？

在量子力学中，所有可观测量都用自伴算符表示：

$$H^{†}=H$$

（这里 $†$ 表示共轭转置）

为什么要求自伴？

因为自伴算符的本征值一定是实数——这样才能对应物理上可测量的量！

谱定理（Spectral Theorem）

定理：任何自伴算符 $H$ 都可以“对角化“——写成本征值和投影的和：

$$H={\int }_{\sigma (H)}\lambda dE(\lambda )$$

其中：

• $\sigma (H)$：算符 $H$ 的谱（所有本征值的集合）
• $\lambda$：本征值
• $E(\lambda )$：谱测度（投影值测度）

物理意义：

任何测量都可以分解成对各个本征态的投影测量！

离散谱 vs 连续谱

离散谱：本征值可数（例如氢原子能级）

$$H=\sum _{n=1}^{\infty }{E}_n|n⟩⟨n|$$

graph TB
    subgraph "离散谱（氢原子）"
        E1["E₁ = -13.6 eV"]
        E2["E₂ = -3.4 eV"]
        E3["E₃ = -1.5 eV"]
        E4["E₄ = ..."]
    end

    style E1 fill:#ffe1e1
    style E2 fill:#ffe1e1
    style E3 fill:#ffe1e1
    style E4 fill:#ffe1e1

连续谱：本征值连续（例如自由粒子动量）

$$H={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{p^2}{2m}|p⟩⟨p|dp$$

graph TB
    subgraph "连续谱（自由粒子）"
        C["能量可以取任意正值<br/>E ∈ [0, ∞)"]
    end

    style C fill:#e1f5ff

🔬 谱移函数：散射的“指纹“

从自由系统到散射系统

考虑两个哈密顿量：

• $H_0$：自由系统（无相互作用）
• $H=H_0+V$：散射系统（有势 $V$）

问题：$H$ 的谱与 $H_0$ 的谱有什么关系？

答案：用谱移函数 $\xi (\omega )$ 描述！

谱移函数的定义

直观想法：

$H$ 比 $H_0$ 多了多少“谱权重“在能量 $\omega$ 附近？

数学定义（Krein公式）：

对任何光滑试探函数 $f$：

$$\text{tr}(f(H)-f(H_0))={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^{\prime }(\omega )\xi (\omega )d\omega$$

物理意义：

$\xi (\omega )$ 度量散射势 $V$ 在能量 $\omega$ 处“移动“了多少谱权重。

graph TB
    subgraph "自由系统谱"
        F["ρ₀(ω)<br/>态密度"]
    end

    subgraph "散射系统谱"
        S["ρ(ω)<br/>态密度"]
    end

    F --> |"加势 V"| S
    S -.-> |"谱移 ξ(ω)"| D["ρ(ω) - ρ₀(ω)"]

    style F fill:#e1f5ff
    style S fill:#ffe1e1
    style D fill:#fff4e1

谱移与态密度

关键关系：

$${\xi }^{\prime }(\omega )=\rho (\omega )-{\rho }_0(\omega )=:{\rho }_{\text{rel}}(\omega )$$

其中：

• $\rho (\omega )=\text{tr}\delta (\omega -H)$：$H$ 的态密度
• ${\rho }_0(\omega )=\text{tr}\delta (\omega -H_0)$：$H_0$ 的态密度
• ${\rho }_{\text{rel}}(\omega )$：相对态密度

物理意义：

谱移函数的导数 = 散射系统比自由系统多出的态密度！

⚡ Birman-Kreĭn公式：核心工具

这是GLS理论中最重要的数学公式之一！

S-矩阵与谱移的关系

Birman-Kreĭn公式：

$$\boxed{\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}}$$

其中：

• $S(\omega )$：散射矩阵（依赖能量 $\omega$）
• $\xi (\omega )$：谱移函数
• $\det$：行列式

推论：取对数并对 $\omega$ 求导：

$$\frac{d}{d\omega }[-i\ln \det S(\omega )]=2\pi {\xi }^{\prime }(\omega )=-2\pi {\rho }_{\text{rel}}(\omega )$$

定义总散射相位：

$$\Phi (\omega )=-i\ln \det S(\omega )$$

则有 $\Phi (\omega )=-2\pi \xi (\omega )$，从而

$$\boxed{\frac{{\Phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }=-2{\xi }^{\prime }(\omega )=2{\rho }_{\text{rel}}(\omega )}$$

或写成：

$$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\text{rel}}(\omega )}$$

（这里 $\phi =\Phi /2$ 是半相位）

连接Wigner-Smith延迟

回忆Wigner-Smith时间延迟矩阵：

$$Q(\omega )=-iS(\omega {)}^{†}\frac{\partial S(\omega )}{\partial \omega }$$

它的迹是：

$$\text{tr}Q(\omega )=-i\text{tr}\left(S^{†}{\partial }_{\omega }S\right)=-i\frac{\partial }{\partial \omega }\text{tr}\ln S=\frac{\partial \Phi }{\partial \omega }$$

结合Birman-Kreĭn公式与上式 ${\Phi }^{\prime }(\omega )=-2\pi {\xi }^{\prime }(\omega )=2\pi {\rho }_{\text{rel}}(\omega )$，得到

$$\boxed{\frac{1}{2\pi }\text{tr}Q(\omega )=\frac{{\Phi }^{\prime }(\omega )}{2\pi }=-{\xi }^{\prime }(\omega )={\rho }_{\text{rel}}(\omega )}$$

这就是统一时间刻度同一式的数学来源！

graph TB
    S["散射矩阵<br/>S(ω)"] --> |"行列式"| D["det S(ω)"]
    D --> |"Birman-Kreĭn"| Xi["谱移函数<br/>ξ(ω)"]
    Xi --> |"求导"| Rho["相对态密度<br/>ρ_rel(ω)"]

    S --> |"Wigner-Smith"| Q["延迟矩阵<br/>Q(ω)"]
    Q --> |"取迹/2π"| Rho

    style S fill:#e1f5ff
    style Xi fill:#fff4e1
    style Rho fill:#ffe1e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style Q fill:#e1ffe1

🧮 简单例子：单通道散射

问题设定

考虑一维散射，单通道，散射矩阵是 $1\times 1$ 矩阵（就是一个复数）：

$$S(\omega )=e^{2i\delta (\omega )}$$

其中 $\delta (\omega )$ 是散射相移。

计算谱移函数

由Birman-Kreĭn公式：

$$\det S(\omega )=S(\omega )=e^{2i\delta (\omega )}=e^{-2\pi i\xi (\omega )}$$

比较指数：

$$2i\delta (\omega )=-2\pi i\xi (\omega )$$

得到：

$$\xi (\omega )=-\frac{\delta (\omega )}{\pi }$$

计算态密度

相对态密度：

$${\rho }_{\text{rel}}(\omega )={\xi }^{\prime }(\omega )=-\frac{1}{\pi }\frac{d\delta (\omega )}{d\omega }$$

这正是著名的Friedel求和规则！

计算时间延迟

Wigner-Smith矩阵（1×1情况）：

$$Q(\omega )=-i{e}^{-2i\delta }\frac{d}{d\omega }{e}^{2i\delta }=-i\cdot 2i\frac{d\delta }{d\omega }=2\frac{d\delta }{d\omega }$$

时间延迟：

$${\tau }_W=\frac{Q(\omega )}{2\pi }=\frac{1}{\pi }\frac{d\delta }{d\omega }=-{\rho }_{\text{rel}}(\omega )$$

完美验证了公式！

🔗 在GLS理论中的应用

1. 统一时间刻度

Birman-Kreĭn公式给出：

$$\kappa (\omega )={\rho }_{\text{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\text{tr}Q(\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }$$

这是统一时间刻度同一式的数学基础！

2. 态密度与熵

相对态密度 ${\rho }_{\text{rel}}$ 直接关联到熵：

$$S=k_B\ln \Omega \approx k_B\int \rho (\omega )\ln \rho (\omega )d\omega$$

3. 因果与谱

谱的非负性 ${\rho }_{\text{rel}}(\omega )\ge 0$ 确保时间刻度的单调性，进而被认为保证了因果性。

📝 关键公式总结

🎓 深入阅读

• 理论文档：unified-time-scale-geometry.md 附录A
• 原始论文：Birman & Kreĭn, “On the theory of wave operators and scattering operators” (1962)
• Strohmaier & Waters, “The Birman-Krein formula for differential forms” (arXiv:2104.13589)
• 下一篇：02-noncommutative-geometry.md - 非交换几何

🤔 练习题

1. 概念理解：

   • 为什么自伴算符的本征值一定是实数？
   • 谱移函数 $\xi (\omega )$ 为什么叫“移“（shift）？
   • 相对态密度为什么重要？

2. 计算练习：

   • 验证：$\det (AB)=\det A\cdot \det B$
   • 对 $S(\omega )=e^{2i\delta (\omega )}$，计算 $Q(\omega )$
   • 证明：$\text{tr}\ln A=\ln \det A$（有限维）

3. 物理应用：

   • 氢原子的能级是离散谱还是连续谱？
   • 自由粒子的谱是什么？
   • 散射相移 $\delta (\omega )$ 的物理意义是什么？

4. 进阶思考：

   • 如果 $V$ 是吸引势，${\rho }_{\text{rel}}$ 的符号是什么？
   • Birman-Kreĭn公式对多通道散射如何推广？
   • 谱移函数与Levinson定理有什么关系？

下一步：在理解了谱理论之后，我们将学习非交换几何——如何用代数定义几何，这是边界理论的数学语言！