散射理论：S-矩阵的数学基础

“自然界不在意中间过程，只在意渐近态。” — Werner Heisenberg

🎯 本文目标

在核心思想篇，我们已经直观理解了散射理论。本文将深入其数学基础：

• S-矩阵的严格定义
• 渐近完备性
• Wigner-Smith矩阵的推导
• Møller波算符
• LSZ约化公式

📐 散射问题的数学设定

Hilbert空间分解

考虑哈密顿量：

$$H=H_0+V$$

其中：

• $H_0$：自由哈密顿（已知本征态）
• $V$：相互作用势（散射势）

定义三个Hilbert空间：

1. $\mathcal{H}$：完整系统的Hilbert空间
2. ${\mathcal{H}}_{\text{in}}$：过去渐近态空间
3. ${\mathcal{H}}_{\text{out}}$：未来渐近态空间

graph LR
    I["过去<br/>t → -∞"] --> |"演化 U(t)"| M["散射区<br/>相互作用"]
    M --> |"演化 U(t)"| O["未来<br/>t → +∞"]

    I -.-> |"渐近自由"| F1["自由态 ψ_in"]
    O -.-> |"渐近自由"| F2["自由态 ψ_out"]

    style I fill:#e1f5ff
    style M fill:#fff4e1
    style O fill:#ffe1e1

渐近条件

假设：当 $|t|\to \infty$ 时，相互作用 $V$ 变得可忽略。

数学上，存在极限：

$$\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\Vert U(t)\psi -U_0(t){\varphi }_{\pm }\Vert =0$$

对某些自由态 ${\varphi }_{\pm }$。

🌊 Møller波算符

定义

Møller波算符定义渐近态之间的映射：

$${\Omega }_{\pm }=\underset{t\to \mp \infty }{\lim }{U}^{†}(t)U_0(t)$$

或等价地：

$${\Omega }_{\pm }=s\text{-}\underset{t\to \mp \infty }{\lim }{e}^{iHt}{e}^{-i{H}_{0}t}$$

（$s$-lim 表示强极限）

物理意义：

• ${\Omega }_{-}$：将自由态映射到散射态（$t\to -\infty$）
• ${\Omega }_{+}$：将散射态映射到自由态（$t\to +\infty$）

graph TB
    F["自由态空间<br/>ℋ₀"] --> |"Ω₋"| S["散射态空间<br/>ℋ_scatt"]
    S --> |"Ω₊"| F2["自由态空间<br/>ℋ₀"]

    style F fill:#e1f5ff
    style S fill:#fff4e1
    style F2 fill:#e1ffe1

性质

1. 部分等距：${\Omega }_{\pm }^{†}{\Omega }_{\pm }=\mathbb{I}$（在适当的子空间上）
2. 交织性：$H{\Omega }_{\pm }={\Omega }_{\pm }{H}_0$
3. 完备性（渐近完备性假设）：${\Omega }_{\pm }{\Omega }_{\pm }^{†}=P_{\text{sc}}$（投影到散射态）

⚡ S-矩阵的定义

通过波算符定义

S-矩阵（散射矩阵）定义为：

$$\boxed{S={\Omega }_{+}^{†}{\Omega }_{-}}$$

物理意义：

S-矩阵连接过去和未来的渐近自由态：

$$|\text{out}⟩=S|\text{in}⟩$$

通过时间演化定义

等价地，可以写成：

$$S=\underset{t_{+}\to +\infty ,t_{-}\to -\infty }{\lim }{U}_0^{†}(t_{+})U(t_{+},t_{-})U_0(t_{-})$$

S-矩阵的性质

1. 幺正性： $$S^{†}S=S{S}^{†}=\mathbb{I}$$ （概率守恒）

2. 因果性： $S$ 只连接过去与未来，不破坏因果

3. 能量守恒： $$[S,H_0]=0$$

4. 洛伦兹协变： 在相对论情形，$S$ 是Lorentz标量

📊 能量表示中的S-矩阵

Fourier变换

在能量表示中，$S$ 依赖能量 $\omega$：

$$S(\omega )=\mathbb{I}-2\pi i\delta (\omega -H_0)T(\omega )$$

其中 $T(\omega )$ 是T-矩阵（跃迁矩阵）。

光学定理

光学定理（幺正性的结果）：

$$\text{Im}{T}_{ii}(\omega )=\pi \sum _f|T_{fi}(\omega ){|}^2$$

物理意义：

总散射截面（虚部）= 所有出射道的和（概率守恒）

🕰️ Wigner-Smith时间延迟矩阵

推导

考虑波包在散射区的平均驻留时间。

定义Wigner-Smith矩阵：

$$\boxed{Q(\omega )=-iS(\omega {)}^{†}\frac{\partial S(\omega )}{\partial \omega }}$$

物理解释

定理（Wigner 1955, Smith 1960）：

$Q(\omega )$ 的本征值 ${\tau }_n(\omega )$ 是第 $n$ 个通道的时间延迟。

总时间延迟：

$${\tau }_W(\omega )=\text{tr}Q(\omega )$$

Eisenbud-Wigner公式

对单通道散射 $S(\omega )=e^{2i\delta (\omega )}$：

$${\tau }_W(\omega )=\frac{\partial \delta (\omega )}{\partial \omega }$$

（相移对能量的导数）

与Birman-Kreĭn的联系

结合Birman-Kreĭn公式：

$$\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}$$

得到：

$$\frac{1}{2\pi }\text{tr}Q(\omega )=-{\xi }^{\prime }(\omega )={\rho }_{\text{rel}}(\omega )$$

这是统一时间刻度的数学基础！

🔬 LSZ约化公式

场论中的散射

在量子场论中，LSZ（Lehmann-Symanzik-Zimmermann）约化公式给出：

$$⟨f|S|i⟩={\text{i}}^{n+m}\int \prod _k\frac{d^4{x}_k}{\sqrt{Z}}{e}^{-i{p}_k\cdot x_k}({\square }_k+m^2)⟨\Omega |T\{\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_{n+m})\}|\Omega ⟩$$

物理意义：

S-矩阵元 = 渐近粒子腿的截肢 × 时间有序关联函数

Feynman规则

LSZ公式是推导Feynman规则的基础：

1. 外线：平面波因子 $e^{ip\cdot x}$
2. 内线：传播子 ${\Delta }_F(x-y)$
3. 顶点：相互作用 $-i\lambda$
4. 积分：$\int d^{4}x$

🌐 多通道散射

通道分解

对 $N$ 个通道，$S(\omega )$ 是 $N\times N$ 幺正矩阵：

$$S(\omega )=\left(\begin{array}{cccc}{S}_{11}& S_{12}& \cdots & S_{1N}\\ S_{21}& S_{22}& \cdots & S_{2N}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ S_{N1}& S_{N2}& \cdots & S_{NN}\end{array}\right)$$

Wigner-Smith矩阵的谱

$Q(\omega )$ 是 $N\times N$ Hermitian矩阵，有 $N$ 个实本征值：

$${\tau }_1(\omega ),{\tau }_2(\omega ),\dots ,{\tau }_N(\omega )$$

这些是 $N$ 个正交通道的时间延迟。

🔗 在GLS理论中的应用

1. 本体论基础

在GLS的矩阵宇宙理论中：

宇宙被建模为巨大的S-矩阵族 $\mathbb{S}(\omega )$

所有物理被认为从S-矩阵数据涌现。

2. 时间刻度

统一时间刻度由 $Q(\omega )$ 定义：

$$\tau (\omega )=\frac{1}{2\pi }\text{tr}Q(\omega )$$

3. 因果结构

S-矩阵的因果性被认为保证时间箭头与因果箭头一致。

📝 关键公式总结

🎓 深入阅读

• 经典教材：J.R. Taylor, Scattering Theory (Wiley, 1972)
• 原始论文：E.P. Wigner, “Lower limit for the energy derivative of the scattering phase shift” (Phys. Rev. 98, 145, 1955)
• GLS应用：04-scattering-is-evolution.md
• 下一篇：04-modular-theory.md - 模块理论

🤔 练习题

1. 概念理解：

   • Møller波算符为什么需要取强极限？
   • S-矩阵的幺正性如何保证概率守恒？
   • 时间延迟为什么是相移的导数？

2. 计算练习：

   • 对 $S=e^{2i\delta }$，计算 $Q$
   • 验证 $S^{†}S=\mathbb{I}$ 对 $2\times 2$ 幺正矩阵
   • 证明光学定理

3. 物理应用：

   • Shapiro引力时间延迟的散射解释
   • 共振散射中的时间延迟
   • Levinson定理与束缚态数目

4. 进阶思考：

   • 如何处理长程势（Coulomb势）的散射？
   • 相对论散射理论有何不同？
   • S-矩阵能否有复本征值？

下一步：掌握了散射理论后，我们将学习模块理论——量子态如何定义自己的“时间流“！