谱移函数：能级记忆相互作用

“谱移函数可视为哈密顿量对能级的签名。”

🎯 核心命题

定义（Kreĭn谱移函数）：

对一对自伴算子 $(H,H_0)$，在满足迹类或准迹类扰动条件下，存在唯一的实函数 $\xi (\lambda )$ 使得：

$$\boxed{\text{tr}[f(H)-f(H_0)]={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^{\prime }(\lambda )\xi (\lambda )d\lambda }$$

对所有适当的测试函数 $f$ 成立。

Birman-Kreĭn公式：

$$\boxed{\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}}$$

其中 $S(\omega )$ 是散射矩阵。

相对态密度：

$$\boxed{{\rho }_{\text{rel}}(\omega )=-\frac{d\xi (\omega )}{d\omega }}$$

物理意义：

• $\xi (\omega )$：反映相互作用引起的能级计数改变
• ${\rho }_{\text{rel}}(\omega )$：相对态密度，描述能级“推移“的密度
• 关系：Birman-Kreĭn公式建立了散射与谱性质之间的联系。

💡 直观图像：琴弦的变调

比喻：小提琴加阻尼

想象一根理想琴弦（$H_0$）的自然频率：

$${\omega }_n^{(0)}=n\pi v/L,n=1,2,3,\dots$$

现在加上阻尼和张力扰动（$H=H_0+V$），频率变为：

$${\omega }_n={\omega }_n^{(0)}+\Delta {\omega }_n$$

能级计数：

在频率 $\omega$ 以下有多少个共振？

• 无扰动：$N_0(\omega )=\lfloor L\omega /(\pi v)\rfloor$
• 有扰动：$N(\omega )$

谱移函数：

$$\xi (\omega )=N(\omega )-N_0(\omega )$$

物理意义：$\xi$ 记录了有多少能级被“推过“ $\omega$。

graph TB
    H0["自由琴弦<br/>ω₁⁽⁰⁾, ω₂⁽⁰⁾, ω₃⁽⁰⁾, ..."] --> V["加扰动<br/>V(阻尼/张力)"]
    V --> H["扰动琴弦<br/>ω₁, ω₂, ω₃, ..."]
    H --> XI["谱移<br/>ξ(ω) = N(ω) - N₀(ω)"]
    XI --> RHO["态密度<br/>ρ_rel = -dξ/dω"]

    style H0 fill:#e1f5ff
    style V fill:#ffe1e1
    style XI fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style RHO fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

能级推移

例子：势垒散射

无势时（$V=0$）：

• 能级连续，$E\in [0,\infty )$
• 没有束缚态

有势时（$V(x)\ne 0$）：

• 可能出现束缚态 $E_b<0$
• 连续谱能级发生“推移“

谱移：

• 每增加一个束缚态，$\xi (\omega )$ 在 $\omega \to 0$ 时增加1
• 连续谱中，$\xi (\omega )$ 测量“相移累积“

📐 数学定义

Kreĭn迹公式

设置：

• $H_0$：自由哈密顿量
• $H=H_0+V$：扰动哈密顿量
• 假设：$V$ 使得 $(H+i{)}^{-1}-(H_0+i{)}^{-1}\in {\mathfrak{S}}_1$（迹类）

定义：对测试函数 $f$（如 $f(x)=(x-z{)}^{-1}$），有：

$$\text{tr}[f(H)-f(H_0)]={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^{\prime }(\lambda )\xi (\lambda )d\lambda$$

例子：$f(x)=(x-z{)}^{-1}$

$$\text{tr}\left[(H-z{)}^{-1}-(H_0-z{)}^{-1}\right]=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\xi (\lambda )}{(\lambda -z{)}^2}d\lambda$$

唯一性：$\xi (\lambda )$ 由此积分方程唯一确定。

物理解释

对能级计数函数：

$$N(\lambda )=\text{tr}{1}_{(-\infty ,\lambda ]}(H)$$

即：能量 $\le \lambda$ 的本征态数量。

谱移函数：

$$\xi (\lambda )=N(\lambda )-N_0(\lambda )$$

积分形式：

$$N(\lambda )={\int }_{-\infty }^{\lambda }\rho (E)dE$$

其中 $\rho (E)={\sum }_n\delta (E-E_n)$ 是态密度。

谱移与态密度：

$$\xi (\lambda )={\int }_{-\infty }^{\lambda }[\rho (E)-{\rho }_0(E)]dE$$

导数：

$$\frac{d\xi }{d\lambda }=\rho (\lambda )-{\rho }_0(\lambda )=:-{\rho }_{\text{rel}}(\lambda )$$

（负号是约定）

graph LR
    N["能级计数<br/>N(E)"] --> XI["谱移函数<br/>ξ(E) = N - N₀"]
    XI --> D["求导<br/>dξ/dE"]
    D --> RHO["相对态密度<br/>ρ_rel = -dξ/dE"]

    style N fill:#e1f5ff
    style XI fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style RHO fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

🌀 Birman-Kreĭn公式

散射矩阵的行列式

在散射理论中，$S(\omega )$ 是酉矩阵：

$$S(\omega )=I+2\pi iT(\omega )$$

其中 $T(\omega )$ 是跃迁算子。

Birman-Kreĭn定理（1962）：

$$\boxed{\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}}$$

证明思路（启发性）：

利用Fredholm行列式理论：

$$\det (I+A)=e^{\text{tr}\ln (I+A)}$$

对 $(H-z{)}^{-1}-(H_0-z{)}^{-1}$，通过解析延拓和边界条件，可导出散射矩阵行列式与谱移的关系。

严格证明：需要Hilbert-Schmidt算子理论和Cauchy定理（参见Birman & Yafaev, 1993）。

总散射相位

回忆 $\Phi (\omega )=\arg \det S(\omega )$，由Birman-Kreĭn公式：

$$e^{i\Phi (\omega )}=e^{-2\pi i\xi (\omega )}$$

取相位（选择连续分支）：

$$\boxed{\Phi (\omega )=-2\pi \xi (\omega )}$$

求导：

$$\frac{\partial \Phi }{\partial \omega }=-2\pi \frac{d\xi }{d\omega }=2\pi {\rho }_{\text{rel}}(\omega )$$

结合上一篇的群延迟公式：

$$\text{tr}Q(\omega )=\frac{\partial \Phi }{\partial \omega }$$

得到：

$$\boxed{\text{tr}Q(\omega )=2\pi {\rho }_{\text{rel}}(\omega )}$$

或者：

$$\boxed{\frac{1}{2\pi }\text{tr}Q(\omega )={\rho }_{\text{rel}}(\omega )=-\frac{d\xi }{d\omega }}$$

结论：散射、谱移与态密度在此框架下展现出统一性。

graph TB
    S["散射矩阵<br/>S(ω)"] --> D["行列式<br/>det S"]
    D --> BK["Birman-Kreĭn<br/>det S = e^(-2πiξ)"]
    BK --> XI["谱移函数<br/>ξ(ω)"]
    XI --> RHO["相对态密度<br/>ρ_rel = -dξ/dω"]

    PH["总相位<br/>Φ = arg det S"] --> REL["关系<br/>Φ = -2πξ"]
    REL --> XI

    Q["群延迟<br/>Q = -iS†∂_ωS"] --> TR["迹<br/>tr Q = ∂_ωΦ"]
    TR --> ID["同一式<br/>tr Q = 2πρ_rel"]
    RHO --> ID

    style XI fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style ID fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:4px

🧮 单通道散射例子

一维势垒

设置：粒子被势 $V(x)$ 散射（$V(x)=0$ 当 $|x|\to \infty$）。

散射矩阵（单通道）：

$$S(k)=e^{2i\delta (k)}$$

其中 $\delta (k)$ 是相位移，$k=\sqrt{2mE}/\hslash$ 是波数。

总相位：

$$\Phi (k)=2\delta (k)$$

Birman-Kreĭn公式：

$$e^{2i\delta (k)}=e^{-2\pi i\xi (E)}$$

选择相位连续：

$$2\delta (k)=-2\pi \xi (E)+2\pi n$$

忽略整数 $n$（相位缠绕）：

$$\boxed{\xi (E)=-\frac{\delta (k)}{\pi }}$$

Levinson定理：

若势阱支持 $N_b$ 个束缚态，则：

$$\delta (0)-\delta (\infty )=N_b\pi$$

由 $\xi (E)=-\delta (k)/\pi$：

$$\xi (0)-\xi (\infty )=N_b$$

物理意义：谱移函数的总变化等于束缚态数量。

共振散射

在共振能量 $E_r$ 附近：

$$\delta (E)\approx {\delta }_{\text{bg}}+\arctan \frac{\Gamma /2}{E-E_r}$$

谱移：

$$\xi (E)=-\frac{1}{\pi }\arctan \frac{\Gamma /2}{E-E_r}$$

态密度：

$${\rho }_{\text{rel}}(E)=-\frac{d\xi }{dE}=\frac{1}{\pi }\frac{\Gamma /2}{(E-E_r{)}^2+(\Gamma /2{)}^2}$$

这是Lorentz线型。

积分：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\rho }_{\text{rel}}(E)dE=-[\xi (\infty )-\xi (-\infty )]=1$$

结果：一个共振贡献态密度积分为1。

graph TB
    subgraph "束缚态"
        B["ξ(∞) - ξ(0) = N_b"]
    end

    subgraph "共振"
        R["ρ_rel(E) ~ Lorentz峰<br/>∫ρ_rel dE = 1"]
    end

    subgraph "Levinson定理"
        L["δ(0) - δ(∞) = N_b π"]
    end

    B --> XI["谱移函数<br/>ξ(E) = -δ/π"]
    R --> XI
    L --> XI

    style XI fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

🔬 多通道散射

N×N散射矩阵

对多通道散射，$S(\omega )$ 是 $N\times N$ 酉矩阵。

Birman-Kreĭn公式仍成立：

$$\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}$$

总相位：

$$\Phi (\omega )=\arg \det S(\omega )=\sum _{j=1}^N{\delta }_j(\omega )$$

其中 ${\delta }_j$ 是 $S$ 的特征值相位。

谱移：

$$\xi (\omega )=-\frac{1}{2\pi }\sum _{j=1}^N{\delta }_j(\omega )$$

相对态密度：

$${\rho }_{\text{rel}}(\omega )=-\frac{d\xi }{d\omega }=\frac{1}{2\pi }\sum _{j=1}^N\frac{d{\delta }_j}{d\omega }$$

群延迟：

$$\text{tr}Q(\omega )=\sum _{j=1}^N{\tau }_j(\omega )$$

其中 ${\tau }_j$ 是 $Q$ 的特征值。

关系（由Birman-Kreĭn）：

$$\sum _j{\tau }_j=\frac{\partial \Phi }{\partial \omega }=2\pi {\rho }_{\text{rel}}$$

理论框架自洽。

💡 物理意义

谱移的三种理解

1. 能级计数：

$$\xi (E)=\#\{\text{能级}\le E{\}}_{\text{扰动}}-\#\{\text{能级}\le E{\}}_{\text{自由}}$$

2. 相位记忆：

$$\xi (E)=-\frac{\Phi (E)}{2\pi }=-\frac{1}{2\pi }\arg \det S(E)$$

3. 态密度积分：

$$\xi (E)=-{\int }_{-\infty }^E{\rho }_{\text{rel}}(E^{\prime })d{E}^{\prime }$$

这三者在数学上是等价的。

为什么重要？

1. 连接量子与经典：

• 量子：能级、相位、散射
• 经典：时间延迟、轨道偏转

桥梁：$\xi$ 通过Birman-Kreĭn公式连接二者

2. 可观测性：

• $\xi$ 不直接可测
• 但 ${\rho }_{\text{rel}}=-d\xi /dE$ 可从散射数据提取
• $\text{tr}Q=2\pi {\rho }_{\text{rel}}$ 可测量

3. 拓扑信息：

• $\xi (\infty )-\xi (-\infty )=N_b$（Levinson定理）
• 拓扑不变量：即使扰动变化，束缚态数不变

graph TB
    XI["谱移函数<br/>ξ(E)"] --> C["能级计数<br/>ΔN(E)"]
    XI --> P["相位记忆<br/>-Φ/2π"]
    XI --> D["态密度积分<br/>-∫ρ_rel"]

    C --> O["可观测<br/>散射实验"]
    P --> O
    D --> O

    XI --> T["拓扑<br/>N_b = ξ(∞)-ξ(-∞)"]

    style XI fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style O fill:#e1ffe1
    style T fill:#e1f5ff

🌊 时间刻度同一式推导

现在我们可以完整推导统一时间刻度公式。

第1步：群延迟

从上一篇，我们知道：

$$\text{tr}Q(\omega )=\frac{\partial \Phi (\omega )}{\partial \omega }$$

第2步：Birman-Kreĭn

本篇证明了：

$$\Phi (\omega )=-2\pi \xi (\omega )$$

第3步：相对态密度

定义：

$${\rho }_{\text{rel}}(\omega )=-\frac{d\xi }{d\omega }$$

第4步：合并

$$\text{tr}Q=\frac{\partial \Phi }{\partial \omega }=\frac{\partial }{\partial \omega }(-2\pi \xi )=-2\pi \frac{d\xi }{d\omega }=2\pi {\rho }_{\text{rel}}$$

第5步：归一化

定义归一化时间刻度：

$$\kappa (\omega ):=\frac{1}{2\pi }\text{tr}Q(\omega )$$

则：

$$\boxed{\kappa (\omega )={\rho }_{\text{rel}}(\omega )=-\frac{d\xi }{d\omega }}$$

这就是时间刻度同一式的核心部分。

第6步：与相位导数

定义半相位 $\phi (\omega )=\Phi (\omega )/2=-\pi \xi (\omega )$：

$$\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }=-\frac{d\xi }{d\omega }={\rho }_{\text{rel}}(\omega )$$

完整同一式

$$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\text{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\text{tr}Q(\omega )}$$

证毕：三者统一。

graph TB
    Q["群延迟<br/>tr Q = ∂_ωΦ"] --> STEP1["第1步"]
    BK["Birman-Kreĭn<br/>Φ = -2πξ"] --> STEP2["第2步"]
    RHO["态密度<br/>ρ_rel = -∂_ωξ"] --> STEP3["第3步"]

    STEP1 --> MERGE["合并<br/>tr Q = 2πρ_rel"]
    STEP2 --> MERGE
    STEP3 --> MERGE

    MERGE --> NORM["归一化<br/>κ = tr Q / 2π"]
    NORM --> ID["时间刻度同一式<br/>φ'/π = ρ_rel = tr Q/2π"]

    style Q fill:#e1f5ff
    style BK fill:#ffe1e1
    style RHO fill:#e1ffe1
    style ID fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:4px

📝 推导链总结

🎓 历史注记

Kreĭn的贡献（1953）

M.G. Kreĭn首先定义谱移函数，用于迹公式：

$$\text{tr}[f(H)-f(H_0)]=\int f^{\prime }(\lambda )\xi (\lambda )d\lambda$$

应用：扰动理论、量子场论的重整化

Birman的贡献（1962）

M.Sh. Birman证明了散射矩阵与谱移的关系：

$$\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}$$

意义：首次连接散射（可观测）与谱（数学）。

现代发展

2000年代：推广到：

• 电磁散射（Strohmaier & Waters, 2021）
• 非厄米系统
• 拓扑物质

GLS理论：利用Birman-Kreĭn统一时间刻度。

🤔 练习题

1. 概念理解：

   • 谱移函数的物理意义是什么？
   • 为什么 $\xi (\infty )-\xi (-\infty )=N_b$（束缚态数）？
   • Birman-Kreĭn公式为什么重要？

2. 计算练习：

   • 对 $S(k)=e^{2i\delta (k)}$，证明 $\xi (E)=-\delta (k)/\pi$
   • 共振 $\delta =\arctan [\Gamma /(2(E-E_r))]$，计算 ${\rho }_{\text{rel}}(E)$
   • 验证 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\rho }_{\text{rel}}(E)dE=1$（单共振）

3. 物理应用：

   • 如何从散射数据提取谱移函数？
   • Levinson定理如何确定束缚态数量？
   • 多通道散射中，$\xi$ 如何定义？

4. 进阶思考：

   • Birman-Kreĭn公式的拓扑解释是什么？
   • 非迹类扰动下，$\xi$ 如何推广？
   • 时间反演对称性对 $\xi$ 有何约束？

下一步：我们已经理解了相位-时间（第1篇）、群延迟（第2篇）、谱移（第3篇）。下一篇将完整证明时间刻度同一式，并揭示其深刻意义。

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