几何时间：时空度规的时钟

“几何时间可被理解为度规对观察者的投影。”

🎯 核心命题

在广义相对论中，“时间“有多种几何实现。在GLS理论框架下，它们被归类为统一时间刻度等价类 $[\tau ]$：

理论命题：在适当条件下，这些时间通过仿射变换互相联系：

$$t_1=\alpha t_2+\beta ,\alpha >0$$

从而在数学结构上属于同一等价类 $[T]$。

graph TB
    T["统一时间刻度<br/>[τ]"] --> K["Killing时间<br/>t_K"]
    T --> A["ADM时间<br/>N·t"]
    T --> L["null参数<br/>λ"]
    T --> E["共形时间<br/>η"]
    T --> M["模块时间<br/>s_mod"]

    K -.->|"仿射变换"| A
    A -.->|"仿射变换"| L
    L -.->|"仿射变换"| E

    style T fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:4px

💡 直观图像：不同时钟的节奏

比喻：多个时钟

想象一个场景：

• 地面钟：秒针均匀转动（Killing时间）
• 登山钟：海拔越高走得越快（ADM lapse）
• 光子钟：零质量，走无限快（null参数）
• 宇宙钟：随宇宙膨胀变慢（共形时间）

它们都作为时间的度量，但具有不同的节奏。

GLS理论提出：这些钟通过简单的重标联系，在物理本质上可能指向同一个时间概念。

📐 四种几何时间详解

1. Killing时间（静态时空）

定义：

在静态时空中，存在Killing向量 ${\xi }^{\mu }$：

$${\mathcal{L}}_{\xi }{g}_{\mu \nu }=0$$

即度规沿 $\xi$ 不变。

时间坐标：选择坐标系使 $\xi =\partial /\partial t$，则：

$$d{s}^2=-V(\mathbf{x})d{t}^2+h_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$$

其中 $V=-g_{tt}>0$（类时）。

本征时间关系：

静止观察者（$d{x}^i=0$）的本征时间：

$$d\tau =\sqrt{-g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }}=\sqrt{V}dt$$

物理意义：

• $V$ 描述“时间膨胀因子“
• 引力场强处（$V$ 小），时间走得慢
• 红移公式：${\nu }_{\infty }/{\nu }_0=\sqrt{V(0)}$

例子：Schwarzschild度规

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\Omega }^2$$

$V(r)=1-2M/r$，静止观察者：

$$d\tau =\sqrt{1-\frac{2M}{r}}dt$$

在视界 $r=2M$：$d\tau =0$（时间冻结）

graph LR
    K["Killing向量<br/>ξ^μ"] --> G["度规不变<br/>£_ξ g = 0"]
    G --> V["时间膨胀<br/>V = -g_tt"]
    V --> TAU["本征时间<br/>dτ = √V dt"]
    TAU --> RED["引力红移<br/>ν ∝ √V"]

    style K fill:#e1f5ff
    style V fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style RED fill:#e1ffe1

2. ADM lapse（$(3+1)$分解）

ADM分解：

将4维时空分解为3维空间 + 1维时间：

$$d{s}^2=-N^{2}d{t}^2+h_{ij}(d{x}^i+N^{i}dt)(d{x}^j+N^{j}dt)$$

其中：

• $N$：lapse函数（坐标时间与本征时间之比）
• $N^i$：shift向量（坐标系漂移）
• $h_{ij}$：空间3-度规

正交观察者：

沿切片法向（$d{x}^i+N^{i}dt=0$）的观察者：

$$d\tau =Ndt$$

物理意义：

• $N$ 控制“时间流速“
• $N>1$：坐标时间比本征时间快
• $N<1$：坐标时间比本征时间慢

ADM方程：

Einstein方程可写成约束方程 + 演化方程：

约束（Hamiltonian + Momentum）：

$$\mathcal{H}=0,{\mathcal{H}}_i=0$$

演化：

$$\frac{\partial h_{ij}}{\partial t}=\cdots ,\frac{\partial K_{ij}}{\partial t}=\cdots$$

其中 $K_{ij}$ 是外曲率。

与Killing时间的关系：

在静态时空，$N=\sqrt{V}$，两者等价。

graph TB
    ADM["ADM分解<br/>(3+1)"] --> L["lapse函数<br/>N"]
    ADM --> S["shift向量<br/>N^i"]
    ADM --> H["空间度规<br/>h_ij"]

    L --> TAU["本征时间<br/>dτ = N dt"]
    TAU --> CON["约束方程<br/>H = 0"]
    H --> EV["演化方程<br/>∂_t h ~ K"]

    style ADM fill:#e1f5ff
    style L fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style TAU fill:#e1ffe1

3. Null仿射参数（零测地线）

零测地线：

光线或无质量粒子的世界线，满足 $d{s}^2=0$。

测地线方程：

$$k^a{\nabla }_a{k}^b=0$$

其中 $k^a=d{x}^a/d\lambda$ 是切向量，$\lambda$ 是仿射参数。

为什么需要仿射参数？

对零测地线，$ds=0$，不能用 $s$ 参数化，必须引入 $\lambda$。

Bondi坐标（Schwarzschild外区）：

Tortoise坐标：

$$r^{\ast }=r+2M\ln \left|\frac{r}{2M}-1\right|$$

迟滞时间：$u=t-r^{\ast }$

超前时间：$v=t+r^{\ast }$

出射零面：$u=\text{常数}$

入射零面：$v=\text{常数}$

物理意义：

• $u,v$ 是自然的“边界时间“
• 引力散射中，$u$ 对应渐近出态时间
• Bondi质量 $M(u)$ 沿 $u$ 单调不增（能量辐射）

FRW中的共形时间：

$$d\eta =\frac{dt}{a(t)}$$

零测地线：$d{s}^2=0\Rightarrow -d{t}^2+a^{2}d{\chi }^2=0$

用 $\eta$ 坐标：$d{\eta }^2=d{\chi }^2$

直线化：零测地线在共形时间中表现为直线。

graph LR
    NULL["零测地线<br/>ds² = 0"] --> AFF["仿射参数<br/>λ"]
    AFF --> BONDI["Bondi坐标<br/>u = t - r*"]
    AFF --> CONF["共形时间<br/>η = ∫dt/a"]

    BONDI --> MASS["Bondi质量<br/>M(u)↓"]
    CONF --> STRAIGHT["直线化<br/>dη² = dχ²"]

    style NULL fill:#e1f5ff
    style AFF fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style BONDI fill:#ffe1e1
    style CONF fill:#e1ffe1

4. 共形时间（FRW宇宙）

FRW度规：

$$d{s}^2=-d{t}^2+a(t{)}^2{\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$$

其中 $a(t)$ 是尺度因子，${\gamma }_{ij}$ 是单位3-球/平面/双曲面度规。

共形时间定义：

$$d\eta =\frac{dt}{a(t)}$$

积分：

$$\eta (t)={\int }_0^t\frac{d{t}^{\prime }}{a(t^{\prime })}$$

度规重写：

$$d{s}^2=a(\eta {)}^2\left[-d{\eta }^2+{\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j\right]$$

物理意义：

• 零测地线在 $(\eta ,x^i)$ 坐标中是直线
• 共动观察者：$\tau =t$（本征时间 = 宇宙时间）
• 粒子视界：$\eta =\infty$ 对应可见宇宙边界

红移-时间关系：

对光子，$\nu \propto 1/a$：

$$1+z=\frac{a(t_0)}{a(t_e)}$$

相位节奏比（第1篇）：

$$1+z=\frac{(d\varphi /dt{)}_e}{(d\varphi /dt{)}_0}$$

宇宙学红移可被视为时间刻度的全局重标。

graph TB
    FRW["FRW度规<br/>ds² = -dt² + a²dΣ²"] --> A["尺度因子<br/>a(t)"]
    FRW --> ETA["共形时间<br/>dη = dt/a"]

    ETA --> STRAIGHT["直线化零测地<br/>dη² = dχ²"]
    A --> Z["红移<br/>1+z = a₀/a_e"]
    Z --> PHASE["相位节奏比<br/>(dφ/dt)_e / (dφ/dt)₀"]

    style FRW fill:#e1f5ff
    style ETA fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style Z fill:#ffe1e1
    style PHASE fill:#e1ffe1

🔑 时间等价类的统一

定理：在适当条件下，以下时间参数属于同一等价类：

$$[T]\sim \{\tau ,t_K,N,\lambda ,u,v,\eta ,{\omega }^{-1},z,s_{\text{mod}}\}$$

通过仿射变换 $t_1=\alpha t_2+\beta$ 互相联系。

证明思路：

1. Killing ↔ ADM：静态时空中，$N=\sqrt{V}$，$d\tau =Ndt=\sqrt{V}dt$

2. ADM ↔ null：ADM叶片的法向定义 $\lambda$，$d\lambda \propto Ndt$

3. null ↔ 共形：FRW中，$\eta$ 直线化零测地线，$d\eta =d\lambda /a$

4. 共形 ↔ 红移：$1+z=a_0/a_e={\eta }_e/{\eta }_0$（适当归一化）

所有这些转换都是仿射的。

graph TB
    KILLING["Killing时间<br/>dτ = √V dt"] --> ADM["ADM时间<br/>dτ = N dt"]
    ADM --> NULL["null参数<br/>k^a∇_a k^b = 0"]
    NULL --> CONF["共形时间<br/>dη = dt/a"]
    CONF --> Z["红移<br/>1+z = a₀/a_e"]

    KILLING -.->|"N = √V"| ADM
    ADM -.->|"dλ ∝ N dt"| NULL
    NULL -.->|"直线化"| CONF
    CONF -.->|"尺度因子"| Z

    ALL["时间等价类<br/>[T]"] --> KILLING
    ALL --> ADM
    ALL --> NULL
    ALL --> CONF
    ALL --> Z

    style ALL fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:4px

📊 与统一时间刻度的联系

核心联系：几何时间通过本征时间-相位关系（第1篇）接入统一刻度：

$$\varphi =\frac{m{c}^2}{\hslash }\int d\tau$$

各种几何时间：

1. Killing时间：$d\tau =\sqrt{V}dt$ $$\varphi =\frac{m{c}^2}{\hslash }\int \sqrt{V}dt$$

2. ADM时间：$d\tau =Ndt$ $$\varphi =\frac{m{c}^2}{\hslash }\int Ndt$$

3. 共形时间：$d\tau =ad\eta$（共动观察者） $$\varphi =\frac{m{c}^2}{\hslash }\int ad\eta$$

理论上，它们应给出相同的相位（沿同一世界线）。

与时间刻度同一式：

$$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }=\frac{1}{2\pi }\text{tr}Q(\omega )$$

几何解释：$\kappa$ 是“局域时间密度“，积分后给出任何几何时间。

🤔 练习题

1. 概念理解：

   • Killing时间与ADM时间有何区别？
   • null仿射参数为什么必要？
   • 共形时间如何直线化零测地线？

2. 计算练习：

   • Schwarzschild度规：在 $r=3M$ 处，计算 $d\tau /dt$
   • ADM分解：证明 $N=\sqrt{V}$（静态情况）
   • FRW宇宙：计算物质主导期的 $\eta (t)$

3. 物理应用：

   • GPS卫星的时间修正涉及哪些几何时间？
   • Bondi质量如何随 $u$ 演化？
   • 宇宙学视界与 $\eta$ 的关系？

4. 进阶思考：

   • 非静态时空中，能否定义全局Killing时间？
   • ADM能量守恒与时间平移不变性的关系？
   • 共形时间奇点对应什么物理过程？

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