宇宙学红移：时间的宇宙剪切

“红移可被理解为宇宙尺度因子对相位节奏的拉伸。”

🎯 核心命题

理论命题（红移作为相位节奏比）：

在FRW宇宙中，宇宙学红移在GLS框架下可表达为：

$$\boxed{1+z=\frac{a(t_0)}{a(t_e)}=\frac{(d\varphi /dt{)}_e}{(d\varphi /dt{)}_0}}$$

其中：

• $a(t)$：宇宙尺度因子
• $t_0$：观测时刻
• $t_e$：发射时刻
• $\varphi$：光子eikonal相位

物理诠释：

• 左边：观测到的红移
• 中间：尺度因子比（标准公式）
• 右边：相位“节奏“比（GLS表述）
• 推论：红移可被视为时间刻度的全局重标。

graph TB
    EM["发射<br/>t_e, a(t_e)"] --> PHOTON["光子传播<br/>零测地线"]
    PHOTON --> OBS["观测<br/>t_0, a(t_0)"]

    EM --> PE["发射频率<br/>ν_e = dφ_e/dt"]
    OBS --> PO["观测频率<br/>ν_0 = dφ_0/dt"]

    PE --> Z["红移<br/>1+z = ν_e/ν_0"]
    PO --> Z
    Z --> A["尺度因子<br/>= a₀/a_e"]

    style EM fill:#e1f5ff
    style PHOTON fill:#ffe1e1
    style Z fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:4px
    style A fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

💡 直观图像：宇宙的膨胀橡皮筋

比喻：拉伸的波

想象在橡皮筋上画一个正弦波：

原始: ∿∿∿∿∿∿∿  (波长 λ_e)
拉伸: ∿  ∿  ∿  (波长 λ_0 = (1+z)λ_e)

拉伸过程：

• 橡皮筋长度 $L(t)=a(t)L_0$
• 波长随之拉伸 $\lambda (t)=a(t){\lambda }_0$
• 频率降低 $\nu (t)=c/\lambda (t)\propto 1/a(t)$

红移：

$$1+z=\frac{{\lambda }_0}{{\lambda }_e}=\frac{a(t_0)}{a(t_e)}$$

物理意义：红移测量宇宙膨胀的“拉伸因子“。

时钟的变慢

另一个视角：发射端的“时钟“在观测时变慢了

原子跃迁：

• 发射：频率 ${\nu }_e$
• 观测：频率 ${\nu }_0={\nu }_e/(1+z)$

相位累积率：

发射：$d{\varphi }_e/dt=2\pi {\nu }_e$

观测：$d{\varphi }_0/dt=2\pi {\nu }_0=2\pi {\nu }_e/(1+z)$

比值：

$$\frac{(d\varphi /dt{)}_e}{(d\varphi /dt{)}_0}=1+z$$

物理诠释：红移表现为“相位节奏“的全局缩放。

graph LR
    EMIT["发射端<br/>ν_e, dφ_e/dt"] --> SPACE["宇宙膨胀<br/>a(t)增加"]
    SPACE --> OBS["观测端<br/>ν_0 = ν_e/(1+z)"]
    OBS --> SLOW["相位变慢<br/>dφ_0/dt < dφ_e/dt"]

    style EMIT fill:#e1f5ff
    style SPACE fill:#ffe1e1
    style SLOW fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

📐 FRW宇宙学

FRW度规

度规：

$$d{s}^2=-d{t}^2+a(t{)}^2{\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$$

其中 ${\gamma }_{ij}$ 是常曲率3维空间度规：

• $k=+1$：3-球（闭宇宙）
• $k=0$：平直（平坦宇宙）
• $k=-1$：双曲（开宇宙）

Friedmann方程：

$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k}{a^2}+\frac{\Lambda }{3}$$

加速方程：

$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3p)+\frac{\Lambda }{3}$$

共动观察者

定义：随宇宙膨胀的观察者，坐标 $(t,\mathbf{x})$ 固定。

4-速度：

$$u^{\mu }=(1,0,0,0)$$

本征时间：

$$d\tau =dt$$

物理意义：共动观察者的时钟测量宇宙时间 $t$。

光子零测地线

零测地线方程：$d{s}^2=0$

$$-d{t}^2+a(t{)}^2{\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j=0$$

径向传播（$d\theta =d\varphi =0$）：

$$\frac{dt}{a(t)}=\pm d\chi$$

其中 $\chi$ 是共动径向坐标。

共形时间：

$$d\eta =\frac{dt}{a(t)}$$

零测地线：$d\eta =\pm d\chi$（直线）。

graph TB
    FRW["FRW度规<br/>ds² = -dt² + a²dΣ²"] --> COMOVING["共动观察者<br/>u = ∂_t, dτ = dt"]
    FRW --> NULL["零测地线<br/>ds² = 0"]
    NULL --> ETA["共形时间<br/>dη = dt/a"]
    ETA --> STRAIGHT["直线<br/>dη = ±dχ"]

    style FRW fill:#e1f5ff
    style ETA fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style STRAIGHT fill:#e1ffe1

🌀 红移公式推导

标准推导

光子4-动量：

$$k^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }$$

其中 $\lambda$ 是仿射参数。

零测地线：$k_{\mu }{k}^{\mu }=0$

沿测地线：$k^{\nu }{\nabla }_{\nu }{k}^{\mu }=0$

对共动观察者，定义频率：

$$\nu =-k_{\mu }{u}^{\mu }=k_0=\frac{dt}{d\lambda }$$

导数：

$$\frac{d\nu }{d\lambda }=k^{\alpha }{\nabla }_{\alpha }{k}_0$$

利用Christoffel符号计算（略），得：

$$\frac{d\nu }{\nu }=-\frac{da}{a}$$

积分：

$$\ln \frac{{\nu }_0}{{\nu }_e}=-\ln \frac{a(t_0)}{a(t_e)}$$

所以：

$$\boxed{\frac{{\nu }_0}{{\nu }_e}=\frac{a(t_e)}{a(t_0)}}$$

红移定义：

$$1+z:=\frac{{\nu }_e}{{\nu }_0}=\frac{a(t_0)}{a(t_e)}$$

相位节奏推导

Eikonal近似：

光子波函数 $\psi \sim e^{i\varphi /\hslash }$，其中 $\varphi$ 是相位。

4-动量：

$$k_{\mu }={\partial }_{\mu }\varphi$$

频率：

$$\nu =-\frac{1}{2\pi }{k}_{\mu }{u}^{\mu }=\frac{1}{2\pi }\frac{\partial \varphi }{\partial t}$$

对共动观察者：

$$\nu =\frac{1}{2\pi }\frac{d\varphi }{dt}$$

由 $\nu \propto 1/a$：

$$\frac{d\varphi }{dt}\propto \frac{1}{a(t)}$$

发射与观测：

$$\frac{(d\varphi /dt{)}_e}{(d\varphi /dt{)}_0}=\frac{a(t_0)}{a(t_e)}=1+z$$

结论：相位节奏比在数值上等于红移。

graph TB
    PHI["相位<br/>φ(t, x)"] --> K["4-动量<br/>k_μ = ∂_μφ"]
    K --> NU["频率<br/>ν = -k·u/2π"]
    NU --> PROP["传播<br/>ν ∝ 1/a(t)"]
    PROP --> RATIO["节奏比<br/>(dφ/dt)_e / (dφ/dt)_0"]
    RATIO --> Z["红移<br/>1+z = a₀/a_e"]

    style PHI fill:#e1f5ff
    style RATIO fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:4px
    style Z fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

🔑 红移作为时间重标

宇宙时间的重标

局域时间刻度：

在发射点 $(t_e,{\mathbf{x}}_e)$：

$${\kappa }_e=\frac{1}{2\pi }\frac{d\varphi }{dt}{|}_e$$

在观测点 $(t_0,{\mathbf{x}}_0)$：

$${\kappa }_0=\frac{1}{2\pi }\frac{d\varphi }{dt}{|}_0$$

比值：

$$\frac{{\kappa }_e}{{\kappa }_0}=1+z$$

物理诠释：

红移可被视为局域时间刻度的全局重标因子。

时间膨胀：

对同一物理过程（如超新星爆发），观测持续时间：

$$\Delta t_{\text{obs}}=(1+z)\Delta t_{\text{proper}}$$

这正是“宇宙学时间膨胀“。

距离-红移关系

光度距离：

$$d_L=(1+z){\int }_0^z\frac{cd{z}^{\prime }}{H(z^{\prime })}$$

其中 $H(z)=H_0\sqrt{{\Omega }_m(1+z{)}^3+{\Omega }_{\Lambda }}$。

角径距离：

$$d_A=\frac{d_L}{(1+z{)}^2}$$

Hubble定律（低红移）：

$$z\approx \frac{H_{0}d}{c}$$

物理意义：通过测量红移，可推断距离和宇宙演化。

graph LR
    Z["红移<br/>z"] --> DL["光度距离<br/>d_L ∝ ∫dz/H(z)"]
    Z --> DA["角径距离<br/>d_A = d_L/(1+z)²"]
    Z --> AGE["宇宙年龄<br/>t(z) = ∫dt/a"]

    DL --> OBS["观测<br/>超新星、星系"]
    DA --> OBS
    AGE --> COSMO["宇宙学<br/>Ω_m, Ω_Λ, H_0"]

    style Z fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:4px
    style COSMO fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

📊 实验验证

1. Hubble定律（1929）

观测：星系光谱红移 $z\propto$ 距离 $d$

$$cz\approx H_{0}d$$

Hubble常数（当前）：$H_0\approx 70\text{ km/s/Mpc}$

物理意义：宇宙在膨胀。

2. 超新星Ia型

标准烛光：绝对光度已知

观测：

• 测量红移 $z$
• 测量视亮度
• 推断光度距离 $d_L(z)$

结果（1998）：宇宙加速膨胀。

诺贝尔奖（2011）：Perlmutter, Schmidt, Riess

3. 宇宙微波背景（CMB）

原始温度：$T_e\approx 3000\text{ K}$（复合时期）

当前温度：$T_0=2.725\text{ K}$

红移：

$$1+z=\frac{T_e}{T_0}\approx 1100$$

符合度：$a(t_0)/a(t_e)\approx 1100$

4. 时间膨胀

超新星光变曲线：

$$\Delta t_{\text{obs}}=(1+z)\Delta t_{\text{rest}}$$

观测（Goldhaber等, 2001）：

对 $z\sim 0.5$ 的超新星，光变曲线确实“拉长“了 $1.5$ 倍。

验证：红移即时间重标。

graph TB
    HUBBLE["Hubble定律<br/>z ∝ d"] --> EXP["膨胀宇宙<br/>a(t)↑"]
    SN["超新星Ia<br/>标准烛光"] --> ACC["加速膨胀<br/>Λ > 0"]
    CMB["CMB温度<br/>T₀/T_e = 1/1100"] --> Z["红移<br/>z ≈ 1100"]
    TIME["时间膨胀<br/>Δt_obs = (1+z)Δt_rest"] --> VERIFY["验证<br/>红移=时间重标"]

    style EXP fill:#e1f5ff
    style ACC fill:#ffe1e1
    style VERIFY fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

🌟 与统一时间刻度的联系

红移 ∈ 时间等价类

时间刻度等价类：

$$[T]\sim \{\tau ,t_K,N,\lambda ,u,v,\eta ,{\omega }^{-1},z,t_{\text{mod}}\}$$

红移的位置：

$$1+z\sim \frac{a_0}{a_e}\sim \frac{{\kappa }_e}{{\kappa }_0}\sim \frac{(d\varphi /dt{)}_e}{(d\varphi /dt{)}_0}$$

仿射变换：

$$t_{\text{cosmo}}=(1+z)t_{\text{local}}$$

物理意义：红移是时间刻度的全局缩放因子。

与相位的联系（第1篇）

回顾：

$$\varphi =\frac{m{c}^2}{\hslash }\int d\tau$$

对光子（$m=0$），需要用Eikonal相位：

$$k_{\mu }={\partial }_{\mu }\varphi$$

频率：

$$\nu =\frac{1}{2\pi }\frac{d\varphi }{dt}$$

红移公式：

$$1+z=\frac{{\nu }_e}{{\nu }_0}=\frac{(d\varphi /dt{)}_e}{(d\varphi /dt{)}_0}$$

理论闭环：各部分逻辑自洽。

graph TB
    TAU["本征时间<br/>τ"] --> PHI["相位<br/>φ = (mc²/ℏ)∫dτ"]
    PHI --> EIKONAL["Eikonal<br/>k = ∂φ"]
    EIKONAL --> NU["频率<br/>ν = dφ/dt/2π"]
    NU --> Z["红移<br/>1+z = ν_e/ν_0"]

    Z --> KAPPA["时间刻度<br/>κ ∝ ν"]
    KAPPA --> UNIFIED["统一刻度<br/>[T]"]

    style TAU fill:#e1f5ff
    style PHI fill:#ffe1e1
    style Z fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:4px
    style UNIFIED fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:4px

🎓 深刻意义

1. 时间的相对性

狭义相对论：运动观察者的时间膨胀 $\Delta t=\gamma \Delta t_0$

广义相对论：引力场中的时间膨胀 $d\tau =\sqrt{-g_{tt}}dt$

宇宙学：宇宙膨胀的时间膨胀 $\Delta t_{\text{obs}}=(1+z)\Delta t_{\text{rest}}$

统一观点：它们都可被视为时间刻度的重标。

2. 宇宙的历史

红移 → 回溯时间：

• $z=0$：现在
• $z\sim 0.1$：10亿年前
• $z\sim 1$：80亿年前
• $z\sim 1100$：38万年后（CMB）
• $z\to \infty$：大爆炸

红移是宇宙的时间戳。

3. 暗能量之谜

观测：$z\sim 0.5$ 时，宇宙从减速转为加速

暗能量：${\Omega }_{\Lambda }\approx 0.7$

宇宙学常数：$\Lambda \approx 10^{-52}{\text{ m}}^{-2}$

GLS视角：$\Lambda$ 可能是时间刻度的全局积分常数（见IGVP篇）。

🤔 练习题

1. 概念理解：

   • 为什么红移是“相位节奏比“？
   • 宇宙学时间膨胀与狭义相对论时间膨胀有何不同？
   • 共形时间如何直线化零测地线？

2. 计算练习：

   • 对 $z=1$，计算光度距离（物质主导宇宙）
   • CMB温度 $T=2.725\text{ K}$，推算复合时温度
   • 超新星 $z=0.5$，计算时间膨胀因子

3. 观测应用：

   • Hubble常数的不同测量为何不一致？
   • 如何从超新星数据推断暗能量？
   • CMB功率谱如何约束宇宙学参数？

4. 进阶思考：

   • 红移漂移：$\dot{z}\ne 0$，能否观测？
   • 宇宙学红移能否用散射理论描述？
   • 红移与熵的关系？

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• 参考文献：
  • Hogg, “Distance measures in cosmology” (2000)
  • Perlmutter et al., “Measurements of Ω and Λ from 42 High-Redshift Supernovae” (1999)
  • Planck Collaboration, “Planck 2018 results” (2020)