相对上同调类[K]：拓扑约束的精确语言

在上一节中，我们理解了为什么需要穿孔域和相对拓扑。现在我们给出拓扑约束的核心对象——相对上同调类$[K]$的精确定义。

配对空间的构造

总空间Y：时空与参数的纤维积

相对上同调类定义在配对空间$(Y,\partial Y)$上，其中：

$$Y=M\times X^{\circ }$$

这里：

• $M$：小因果钻石域，局域时空片段

  • 通常是因果未来$I^{+}(p)$与因果过去$I^{-}(q)$的交集
  • 边界分解为类时片与null片

• $X^{\circ }$：参数空间去除判别集

  • 对散射理论：频率/能量/动量参数
  • 对密度矩阵：去除简并集的态空间
  • $X^{\circ }=X\setminus D$，其中$D$是判别集

graph TD
    A["小因果钻石M<br/>局域时空"] -->|纤维积| C["Y=M×X°"]
    B["参数空间X°<br/>去除判别集D"] -->|纤维积| C

    C --> D["相对配对<br/>(Y, ∂Y)"]
    D --> E["相对上同调<br/>H²(Y,∂Y;ℤ₂)"]

    style C fill:#ffd93d
    style E fill:#6bcf7f

边界∂Y的结构

边界$\partial Y$由两部分贡献：

1. 时空边界：$\partial M\times X^{\circ }$

   • null边界（光锥）
   • 类时边界（腰截面）

2. 参数边界：$M\times \partial X^{\circ }$

   • 判别集的管状邻域边界
   • 例如：$\partial {\mathrm{Tub}}_{\epsilon }({\Sigma }_{3|2})$

完整边界： $$\partial Y=(\partial M\times X^{\circ })\cup (M\times \partial X^{\circ })$$

在边界上，拓扑类可能“平凡化“，这正是“相对“的含义。

相对上同调类[K]的三项分解

完整表达式

相对上同调类$[K]\in H^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$具有三项分解：

$$[K]={\pi }_M^{\ast }{w}_2(TM)+\sum _j{\pi }_M^{\ast }{\mu }_j⌣{\pi }_X^{\ast }{\mathfrak{w}}_j+{\pi }_X^{\ast }\rho (c_1({\mathcal{L}}_S))$$

让我们逐项解析。

第一项：几何项 ${\pi }_M^{\ast }{w}_2(TM)$

数学定义：

• $w_2(TM)$：时空切丛$TM$的第二Stiefel-Whitney类
• $w_2\in H^2(M;{\mathbb{Z}}_2)$
• ${\pi }_M:Y=M\times X^{\circ }\to M$：投影到时空因子
• ${\pi }_M^{\ast }{w}_2$：拉回到总空间$Y$

物理意义：

1. 自旋结构的存在性

   • $w_2(TM)=0$ $⟺$ $TM$可定向且存在自旋结构
   • 在四维时空中，这决定了费米子场是否可定义

2. 时空的全局拓扑

   • 非定向流形：$w_2\ne 0$
   • Möbius带是最简单的例子：$w_2(E)\ne 0$

3. 量子反常的拓扑根源

   • 自旋流的反常与$w_2$相关
   • 手征反常部分编码在$w_2\wedge \mathrm{tr}{F}^2$项中

graph LR
    A["切丛TM"] --> B["第二SW类<br/>w₂(TM)"]
    B --> C["自旋结构"]

    C -->|w₂=0| D["可定向<br/>费米子存在"]
    C -->|w₂≠0| E["拓扑障碍<br/>费米子不存在"]

    style B fill:#ffd93d
    style D fill:#6bcf7f
    style E fill:#ff6b6b

计算示例：实射影平面${\mathbb{RP}}^2$

在${\mathbb{RP}}^2$上（二维不定向曲面）：

• 切丛$T{\mathbb{RP}}^2$的第一SW类$w_1\ne 0$（不定向）
• 第二SW类：$w_2=w_1⌣w_1=w_1^2\ne 0$（ℤ₂系数）
• 因此${\mathbb{RP}}^2$上不存在自旋结构

第二项：混合项 ${\sum }_j{\pi }_M^{\ast }{\mu }_j⌣{\pi }_X^{\ast }{\mathfrak{w}}_j$

数学定义：

• ${\mu }_j\in H^{a_j}(M;{\mathbb{Z}}_2)$：时空的上同调类
• ${\mathfrak{w}}_j\in H^{b_j}(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$：参数空间的上同调类
• $a_j+b_j=2$（度数匹配）
• $⌣$：cup积（上同调的乘法）

物理意义：

这一项编码了时空拓扑与参数拓扑的耦合。

案例一：磁单极子的ℤ₂指标

考虑Aharonov-Bohm效应的ℤ₂版本：

• $M$：二维空间平面（移除原点）
• $X^{\circ }$：磁通参数$\alpha \in [0,1)\setminus \{1/2\}$
• 当$\alpha =1/2$时，ℤ₂环量翻转

混合项捕捉了： $${\mu }_1⌣{\mathfrak{w}}_1\sim [\text{空间环路}]⌣[\text{通过}\alpha =1/2\text{的路径}]$$

案例二：QCD的θ角

在Yang-Mills理论中：

• 时空$M$有瞬子构型（${\pi }_3(G)=\mathbb{Z}$）
• 参数$\theta \in [0,2\pi )$（θ真空角）
• $\theta =\pi$处有ℤ₂对称性破缺

混合项与$\mathbb{CP}$破缺的拓扑结构相关。

graph TD
    A["时空拓扑μ_j"] -->|cup积| C["混合类<br/>μ_j⌣w_j"]
    B["参数拓扑w_j"] -->|cup积| C

    C --> D["几何-参数耦合"]
    D --> E["物理相变点"]
    E --> F["ℤ₂翻转"]

    style C fill:#ffd93d
    style F fill:#ff6b6b

第三项：散射项 ${\pi }_X^{\ast }\rho (c_1({\mathcal{L}}_S))$

数学定义：

• ${\mathcal{L}}_S$：散射行列式线丛
• $c_1({\mathcal{L}}_S)\in H^2(X^{\circ };\mathbb{Z})$：第一陈类（整系数）
• $\rho :H^2(X^{\circ };\mathbb{Z})\to H^2(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$：模2约化映射
• ${\pi }_X^{\ast }\rho (c_1)$：拉回到$Y$

物理意义：

这是最“物理“的一项，直接编码了散射相位的绕数。

散射行列式线丛的构造

对参数$x\in X^{\circ }$（例如频率$\omega$），散射矩阵$S(x)$是幺正的，因此： $$\det S(x)\in U(1)\subset \mathbb{C}$$

在$X^{\circ }$上，$\{\det S(x)\}$定义了一个$U(1)$主丛。其关联的复线丛记为${\mathcal{L}}_S$。

第一陈类的物理含义：

对二维参数空间$X^{\circ }$上的闭曲面$\Sigma$： $$⟨c_1({\mathcal{L}}_S),[\Sigma ]⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\Sigma }{F}_{{\mathcal{L}}_S}=\mathrm{deg}(\det S{|}_{\Sigma })\in \mathbb{Z}$$

这正是散射行列式沿$\Sigma$的绕数（winding number）！

模2约化与ℤ₂环量

约化映射$\rho$将整绕数投影到ℤ₂： $$\rho (n)=n\mathrm{mod}2\in \{0,1\}$$

物理上，这对应于散射平方根的分支选择：

• 如果$\mathrm{deg}(\det S{|}_{\gamma })=2k$（偶数），平方根沿$\gamma$单值
• 如果$\mathrm{deg}(\det S{|}_{\gamma })=2k+1$（奇数），平方根翻转分支

定义ℤ₂环量： $${\nu }_{\sqrt{\det S}}(\gamma )=(-1{)}^{\mathrm{deg}(\det S{|}_{\gamma })}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{偶绕数}\\ -1& \text{奇绕数}\end{array}$$

graph LR
    A["散射矩阵S(x)"] --> B["行列式det S(x)"]
    B --> C["线丛L_S"]

    C --> D["第一陈类c₁∈H²(X°;ℤ)"]
    D --> E["绕数deg∈ℤ"]

    E -->|模2约化ρ| F["ρ(c₁)∈H²(X°;ℤ₂)"]
    F --> G["ℤ₂环量ν=±1"]

    style C fill:#ffd93d
    style F fill:#ff6b6b
    style G fill:#6bcf7f

示例：一维散射的π相位跳变

考虑一维势散射，反射振幅$r(\omega )$在某频率${\omega }_0$处有π相位跳变： $$\arg r(\omega )=\{\begin{array}{ll}0& \omega <{\omega }_0\\ \pi & \omega >{\omega }_0\end{array}$$

散射矩阵$S=\left(\begin{array}{cc}r& t^{\prime }\\ t& r^{\prime }\end{array}\right)$，其行列式： $$\det S(\omega )=r(\omega )r^{\prime }(\omega )-t(\omega )t^{\prime }(\omega )$$

如果$\det S(\omega )$在绕${\omega }_0$的小环$\gamma$上绕一圈： $$\mathrm{deg}(\det S{|}_{\gamma })=1(\text{奇数})$$

因此： $${\nu }_{\sqrt{\det S}}(\gamma )=-1$$

这个$-1$正是ℤ₂环量异常！

相对上同调长正合列

从绝对到相对

给定配对$(Y,\partial Y)$，相对上同调通过长正合列与绝对上同调联系：

$$\cdots \to H^1(Y)\to H^1(\partial Y)\stackrel{\partial }{\to }{H}^2(Y,\partial Y)\to H^2(Y)\to H^2(\partial Y)\to \cdots$$

边界映射$\partial$的物理意义：

• 在边界$\partial Y$上的1-形式（例如散射相位）
• 通过$\partial$映射到内部$Y$的相对2-类
• 这是Stokes定理的上同调版本

精确性条件

如果$[K]=0$，意味着：

1. 存在内部原语：$K=\delta A$对某个$A\in C^1(Y,\partial Y)$
2. 边界平凡化：$K{|}_{\partial Y}=0$

反之，如果$[K]\ne 0$：

• 在边界上有“源“
• 无法在内部找到一致的原语

graph LR
    A["边界1-形式<br/>H¹(∂Y)"] -->|边界映射∂| B["相对2-类<br/>H²(Y,∂Y)"]

    C["内部2-形式<br/>H²(Y)"] --> D["限制到边界<br/>H²(∂Y)"]

    B -->|正合性| C

    style A fill:#d4a5a5
    style B fill:#ffd93d
    style C fill:#6bcf7f

[K]=0的等价刻画

定理（相对类平凡化的三个等价条件）

以下三个条件等价：

条件1（上同调）：相对类平凡 $$[K]=0\in H^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$$

条件2（回路）：所有允许回路上ℤ₂环量平凡 $$\forall \gamma \in {\mathcal{C}}_{\mathrm{adm}}:{\nu }_{\sqrt{\det S}}(\gamma )=+1$$

条件3（二维循环）：所有允许二维循环上陈数为偶 $$\forall \Sigma \in Z_2(Y,\partial Y):⟨c_1({\mathcal{L}}_S),[\Sigma ]⟩=0\mathrm{mod}2$$

证明思路：

• 条件1 $\Rightarrow$ 条件2：Poincaré-Lefschetz对偶
• 条件2 $\Rightarrow$ 条件3：Stokes定理与边界积分
• 条件3 $\Rightarrow$ 条件1：相对上同调的定义

物理含义

三个等价条件对应三个物理层面：

计算示例：5维密度矩阵的[K]

设定

考虑$N=5$密度矩阵流形，穿孔域： $${\mathcal{D}}^{\mathrm{exc}}=\{\rho :{\lambda }_3-{\lambda }_4\ge 2\delta \}$$

边界： $$\partial {\mathcal{D}}^{\mathrm{exc}}=\{\rho :{\lambda }_3-{\lambda }_4=2\delta \}$$

第一项：w₂(TM) = 0

对于实密度矩阵流形，切丛$TM$是可定向的秩$d$实向量丛（$d=\dim {\mathcal{D}}^{\mathrm{exc}}$）。

由于流形可定向，第一Stiefel-Whitney类$w_1=0$。进一步，密度矩阵流形是对称空间，具有自然的正定度规，因此存在自旋结构： $$w_2(TM)=0$$

物理结论：时空几何项对[K]无贡献。

第二项：混合项（情况依赖）

混合项${\sum }_j{\mu }_j⌣{\mathfrak{w}}_j$取决于具体的参数空间$X^{\circ }$。

简化情况：如果参数空间仅一维（如单一频率$\omega$），则： $$H^{b_j}(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)=0\text{对}{b}_j\ge 2$$

因此混合项消失。

第三项：散射绕数（主要贡献）

在密度矩阵流形上，“散射“可理解为相位演化。

考虑幺正演化$U(t)=e^{-iHt}$，散射矩阵为： $$S(\omega )=\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{i{H}_{0}t}{e}^{-iHt}$$

对密度矩阵$\rho$，其本征值演化在简并附近可能产生相位跳变。

关键观察：当参数路径绕${\Sigma }_{3|2}$一周时，Riesz投影$P_3$的行列式可能获得$-1$因子： $$\det P_3{|}_{\gamma }=e^{i\pi }=-1$$

这对应于奇绕数$\mathrm{deg}=1$，因此： $$\rho (c_1)\ne 0\in H^2(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$$

物理结论：穿孔导致的拓扑非平凡性主要来自散射项。

总结：密度矩阵流形的[K]

$$[K]={\pi }_X^{\ast }\rho (c_1({\mathcal{L}}_{P_3}))$$

其中${\mathcal{L}}_{P_3}$是Riesz投影行列式的线丛。

$[K]=0$当且仅当所有绕简并集的回路上，投影行列式绕偶数圈。

与IGVP的连接：几何-能量推导[K]=0

定理（几何-能量一致性蕴含拓扑平凡）

在小因果钻石上，如果满足：

1. 一阶条件：Einstein方程 $$G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}$$

2. 二阶条件：相对熵非负 $${\delta }^2{S}_{\mathrm{rel}}={\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}\ge 0$$

3. 对齐条件：模块-散射的模2对齐

则必然有： $$[K]=0$$

证明思路（详见第08-04节）：

假设$[K]\ne 0$，即存在回路$\gamma$使得${\nu }_{\sqrt{\det S}}(\gamma )=-1$。

1. 由模块-散射对齐，这个ℤ₂环量对应协变相空间上的线性泛函
2. 该泛函在二次型核中产生负方向
3. 因此${\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}[h,h]<0$对某个$h$
4. 矛盾！

因此$[K]=0$是几何-能量一致性的必然结果。

graph TD
    A["Einstein方程<br/>G_ab+Λg_ab=8πGT_ab"] --> D["拓扑一致性"]
    B["二阶熵非负<br/>δ²S_rel≥0"] --> D
    C["模块-散射对齐"] --> D

    D -->|矛盾法| E["[K]=0"]
    E --> F["无ℤ₂环量异常"]
    E --> G["散射绕数为偶"]
    E --> H["边界平凡化"]

    style D fill:#ffd93d
    style E fill:#6bcf7f

小结：[K]的三重身份

相对上同调类$[K]$具有三重身份：

1. 数学：$H^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$的元素
2. 几何：时空-参数的混合拓扑不变量
3. 物理：ℤ₂环量异常的判据

它的三项分解： $$[K]=\underset{\text{自旋结构}}{\underbrace{{\pi }_M^{\ast }{w}_2(TM)}}+\underset{\text{时空-参数耦合}}{\underbrace{\sum _j{\pi }_M^{\ast }{\mu }_j⌣{\pi }_X^{\ast }{\mathfrak{w}}_j}}+\underset{\text{散射绕数}}{\underbrace{{\pi }_X^{\ast }\rho (c_1({\mathcal{L}}_S))}}$$

分别编码了三种拓扑障碍。

$[K]=0$是物理一致性的标志：

• 无自旋反常
• 无混合拓扑跳变
• 无散射相位分支切换

下一步：ℤ₂环量的精确定义与计算

下一节将给出ℤ₂环量${\nu }_{\sqrt{\det S}}(\gamma )$的精确定义，介绍“小半圆/折返“规则，并展示如何在实际系统中计算它。

这将把抽象的上同调类$[K]$翻译成可操作的物理判据。