第11章第2节：信息几何变分原理（IGVP）

“广义熵不仅是热力学量，更是时空几何与量子信息的深层联系。”

本节导览

在上一节中，我们构造了宇宙一致性泛函。本节将深入探讨其核心组成部分——信息几何变分原理（Information-Geometric Variational Principle, IGVP），它是从抽象一致性条件到具体Einstein方程的关键桥梁。

1. 什么是信息几何？

1.1 经典几何 vs. 信息几何

经典微分几何研究的是：

• 点、线、面在空间中的形状
• 度规、曲率、测地线
• 例子：球面、环面、双曲面

信息几何研究的是：

• 概率分布构成的空间
• 分布之间的“距离“与“曲率“
• 例子：所有正态分布、所有玻尔兹曼分布

graph LR
    A["经典几何"] --> B["点 = 空间中的位置"]
    A --> C["度规 = 距离的定义"]

    D["信息几何"] --> E["点 = 一个概率分布"]
    D --> F["度规 = Fisher-Rao度量"]

    B -.->|"类比"| E
    C -.->|"类比"| F

    style A fill:#e1f5ff,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#ffe1e1,stroke:#333,stroke-width:2px

1.2 Fisher-Rao度量

对参数化的概率分布族 $p(x;\theta )$，Fisher-Rao度量定义为：

$$g_{ij}^{\mathrm{FR}}(\theta )=\mathbb{E}\left[\frac{\partial \ln p}{\partial {\theta }^i}\frac{\partial \ln p}{\partial {\theta }^j}\right]$$

物理意义：

• 它度量了参数微小变化对分布的影响
• 它是数据处理不等式下唯一的不变度量（Čencov定理）
• 它的二阶变分给出Fisher信息矩阵

比喻：

想象你在调节收音机的频率旋钮。Fisher-Rao度量告诉你：旋转旋钮一点点，信号（概率分布）会变化多少。有些方向（参数）转一点就变化很大（高曲率），有些方向转很多才变化（平坦）。

1.3 相对熵与Umegaki熵

对两个量子态 $\rho ,\sigma$，相对熵（Umegaki熵）定义为：

$$S(\rho \Vert \sigma )=\mathrm{Tr}(\rho \ln \rho )-\mathrm{Tr}(\rho \ln \sigma )$$

核心性质：

1. 非负性：$S(\rho \Vert \sigma )\ge 0$，等号成立当且仅当 $\rho =\sigma$
2. 凸性：对 $\rho$ 是凸函数
3. 单调性：在量子通道下不增

比喻：

相对熵度量两个量子态的“距离“。如果把 $\sigma$ 看作“标准态“，$S(\rho \Vert \sigma )$ 告诉你 $\rho$ 偏离标准有多远。就像用标准尺（$\sigma$）去度量实际尺子（$\rho$）的误差。

2. 广义熵：面积 + 体域纠缠

2.1 广义熵的定义

对时空中的小因果菱形 $D_{p,r}$，广义熵定义为：

$$S_{\mathrm{gen}}(D)=\underset{\text{几何项：面积}}{\underbrace{\frac{A(\partial D)}{4G\hslash }}}+\underset{\text{量子项：纠缠熵}}{\underbrace{S_{\mathrm{out}}(D)}}$$

graph TD
    A["小因果菱形 D"] --> B["边界面积 A"]
    A --> C["体域量子态 rho"]

    B --> D["几何贡献<br/>A/4Gh"]
    C --> E["纠缠熵<br/>S_out"]

    D --> F["广义熵<br/>S_gen"]
    E --> F

    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:3px
    style F fill:#9f9,stroke:#333,stroke-width:4px

2.2 为什么是“面积 + 纠缠“？

面积项的来源：

• Bekenstein-Hawking黑洞熵公式：$S_{\mathrm{BH}}=\frac{A}{4G}$
• 全息原理：边界面积编码体域信息
• Ryu-Takayanagi公式：纠缠熵的全息对偶

纠缠项的来源：

• 体域量子场的冯·诺依曼熵
• 在Hadamard态下UV有限（经过重整化）
• 代表真实的量子纠缠

统一的物理图像：

graph LR
    A["宇宙总信息"] --> B["存储在边界<br/>几何编码"]
    A --> C["存储在体域<br/>量子纠缠"]

    B --> D["面积项<br/>A/4Gh"]
    C --> E["纠缠项<br/>S_out"]

    style A fill:#ffcccc,stroke:#333,stroke-width:3px
    style D fill:#ccffcc,stroke:#333,stroke-width:2px
    style E fill:#ccccff,stroke:#333,stroke-width:2px

比喻：

想象一个图书馆（宇宙）。信息有两种存储方式：

1. 目录卡片（面积）：每本书在目录中占一张卡片，卡片数量正比于书架面积
2. 书本内容（纠缠）：书本内部的文字，代表实际的知识

广义熵 = 目录信息 + 内容信息。

2.3 统一时间刻度的作用

关键问题：为什么要用统一时间刻度 $\kappa (\omega )$？

回答：

1. 校准不同时钟：模时间、热时间、几何时间必须对齐
2. 连接散射与几何：$\kappa (\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\omega )$ 连接Wigner-Smith群延迟与面积变分
3. 确保因果一致：所有观察者的时间读数在 $\kappa$ 上可比

$$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\omega )$$

3. IGVP的数学表述

3.1 变分设置

场景：在流形每一点 $p$，取小因果菱形 $D_{p,r}$（半径 $r\ll L_{\mathrm{curv}}$）

固定的数据：

• 腰面的体积 $V(B_{\ell })$
• 统一时间刻度 $\kappa (\omega )$
• 边界条件（Dirichlet类）

可变的数据：

• 腰面的形状（改变度规 $g_{\mu \nu }$）
• 体域量子态 ${\omega }_{\mathrm{bulk}}$

3.2 IGVP原理

核心命题：

$$\boxed{\delta S_{\mathrm{gen}}=0\text{在固定体积约束下}}$$

等价地，引入Lagrange乘子 $\mu$：

$$\delta \left(S_{\mathrm{gen}}-\mu V\right)=0$$

物理解释：

在保持小菱形“大小“（体积）不变的前提下，广义熵达到极值。这类似于热力学中的“等温等容“过程寻找自由能极小值。

3.3 两层变分

IGVP包含两层变分条件：

一阶层：极值条件

$$\delta S_{\mathrm{gen}}=\frac{\delta A}{4G\hslash }+\delta S_{\mathrm{out}}=0$$

这将导出Einstein方程的线性化。

二阶层：稳定性条件

$${\delta }^2{S}_{\mathrm{gen}}\ge 0$$

这对应相对熵的非负性与量子能量条件（QNEC）。

graph TD
    A["IGVP"] --> B["一阶变分<br/>delta S_gen = 0"]
    A --> C["二阶变分<br/>delta^2 S_gen >= 0"]

    B --> D["Einstein方程<br/>R_kk = 8pi G T_kk"]
    C --> E["量子能量条件<br/>QNEC"]

    D --> F["时空几何"]
    E --> F

    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:4px
    style D fill:#9f9,stroke:#333,stroke-width:3px
    style E fill:#ff9,stroke:#333,stroke-width:3px

4. 纠缠第一定律

4.1 模哈密顿量

在小因果菱形的腰面上，选取近似Killing向量 ${\chi }^a$（boost生成元），定义模哈密顿量：

$$H_{\mathrm{mod}}=2\pi {\int }_{B_{\ell }}{\xi }^{\mu }{T}_{\mu \nu }d{\Sigma }^{\nu }$$

其中 ${\xi }^{\mu }$ 是局域化的boost向量场，满足：

$${\xi }^{\mu }=\frac{{\ell }^2-r^2}{2\ell }{u}^{\mu }+O({\ell }^3)$$

4.2 纠缠第一定律

定理4.1（纠缠第一定律）：

在小菱形极限与Hadamard态下，

$$\delta S_{\mathrm{out}}=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}⟩$$

精确到 $O({\epsilon }^2)$，其中 $\epsilon =r/L_{\mathrm{curv}}$。

物理意义：

纠缠熵的变化等于模哈密顿量的变化。这类似于热力学第一定律 $dS=\frac{dQ}{T}$，但这里的“温度“由局域几何决定（$T=\hslash |{\kappa }_{\chi }|/2\pi$）。

证明思路（详见附录）：

1. 利用Bisognano-Wichmann定理：Rindler楔中的真空态是热态
2. 模流与KMS条件
3. 相对熵的变分性质

4.3 模哈密顿量的展开

在小菱形极限下，

$$\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}⟩=\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}\lambda T_{kk}d\lambda dA+O({\epsilon }^2)$$

其中：

• $\mathcal{H}$：零测地丛（从腰面出发的null生成元）
• $\lambda$：沿null生成元的仿射参数
• $T_{kk}:=T_{\mu \nu }{k}^{\mu }{k}^{\nu }$（零方向的应力）

比喻：

模哈密顿量测量的是“从腰面看出去，沿着光线方向的能量流“。就像站在山顶（腰面），测量沿着不同方向（null生成元）流下的水流（能量）。

5. 面积变分与Raychaudhuri方程

5.1 零测地丛与膨胀

从腰面 $\partial B_{\ell }$ 出发的null生成元 $k^{\mu }$ 满足：

$$k^{\mu }{\nabla }_{\mu }{k}^{\nu }=0\text{（仿射参数化）}$$

定义膨胀（expansion）：

$$\theta :={\nabla }_{\mu }{k}^{\mu }$$

它度量null束的“张开“或“收缩“。

5.2 Raychaudhuri方程

沿null生成元，膨胀满足：

$$\frac{d\theta }{d\lambda }=-\frac{1}{d-2}{\theta }^2-{\sigma }^2+{\omega }^2-R_{kk}$$

其中：

• $\sigma$：剪切（shear）
• $\omega$：扭曲（twist）
• $R_{kk}=R_{\mu \nu }{k}^{\mu }{k}^{\nu }$（Ricci曲率在null方向的投影）

关键观察：在腰面处 $\theta (0)=0$（最大体积条件），且 $\omega =0$（Frobenius可积性），故：

$${\theta }^{\prime }(0)=-R_{kk}(0)-{\sigma }^2(0)$$

5.3 面积变分公式

通过Raychaudhuri方程积分，可得：

$$\frac{\delta A}{A}=-{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\theta d\lambda ={\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda R_{kk}d\lambda +O({\epsilon }^3)$$

（忽略 ${\sigma }^2$ 的高阶贡献）

物理意义：

边界面积的变化由时空曲率沿null方向的积分决定。曲率越大，null束会聚越快，面积减小越快。

graph TD
    A["腰面<br/>theta=0"] -->|"null生成元"| B["未来顶点"]

    A -.->|"膨胀 theta"| C["面积变化<br/>delta A"]

    D["Ricci曲率<br/>R_kk"] -.->|"Raychaudhuri"| C

    style A fill:#ffe1e1,stroke:#333,stroke-width:3px
    style C fill:#e1ffe1,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#e1f5ff,stroke:#333,stroke-width:2px

6. 一阶变分的闭合

6.1 组合面积与熵

将面积变分与纠缠第一定律组合：

$$\delta S_{\mathrm{gen}}=\frac{\delta A}{4G\hslash }+\delta S_{\mathrm{out}}$$

代入：

$$\delta S_{\mathrm{gen}}=\frac{1}{4G\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}\lambda R_{kk}d\lambda dA+\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}\lambda T_{kk}d\lambda dA+O({\epsilon }^2)$$

6.2 极值条件

要求 $\delta S_{\mathrm{gen}}=0$，得：

$$\frac{1}{4G\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}\lambda R_{kk}d\lambda dA+\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}\lambda T_{kk}d\lambda dA=0$$

简化：

$${\int }_{\mathcal{H}}\lambda \left(R_{kk}-8\pi G{T}_{kk}\right)d\lambda dA=0$$

6.3 局域化到点态

通过Radon型闭包（详见第3节）：

• 对所有腰面上的测试函数 $\phi (x)$
• 对所有null方向 $\hat{k}$

上述积分为零，可推出在每一点、每个null方向：

$$R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$$

比喻：

想象你在测量一个曲面的“平均高度“。如果对所有测量线（null生成元）、所有起始点（腰面），积分都是零，那么曲面在每一点的高度都必须是零。

7. 从null方向到完整张量

7.1 零锥刻画引理

引理7.1（$d\ge 3$ 维必要）：

若对称张量 $X_{ab}$ 满足 $X_{ab}{k}^a{k}^b=0$ 对所有null向量 $k^a$ 成立，则：

$$X_{ab}=\Phi g_{ab}$$

对某标量函数 $\Phi$。

证明（略）：利用null锥的维度与对称张量的自由度计数。

7.2 应用到Einstein张量

定义：

$$X_{ab}:=R_{ab}-8\pi G{T}_{ab}$$

由 $R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$ 在所有null方向成立，得：

$$X_{ab}=\Phi g_{ab}$$

7.3 利用Bianchi恒等式

收缩的Bianchi恒等式：

$${\nabla }^a{R}_{ab}=\frac{1}{2}{\nabla }_{b}R$$

能量-动量守恒：

$${\nabla }^a{T}_{ab}=0$$

因此：

$${\nabla }^a{X}_{ab}={\nabla }^a{R}_{ab}-8\pi G{\nabla }^a{T}_{ab}=\frac{1}{2}{\nabla }_{b}R$$

另一方面，由 $X_{ab}=\Phi g_{ab}$：

$${\nabla }^a{X}_{ab}={\nabla }_b\Phi$$

故：

$${\nabla }_b\left(\Phi -\frac{R}{2}\right)=0$$

即 $\Phi -\frac{R}{2}=\Lambda$（常数）。

7.4 Einstein方程

重新整理：

$$R_{ab}-8\pi G{T}_{ab}=\Phi g_{ab}=\left(\frac{R}{2}+\Lambda \right)g_{ab}$$

即：

$$R_{ab}-\frac{R}{2}{g}_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}$$

$$\boxed{G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}}$$

这就是Einstein场方程！

graph TD
    A["IGVP<br/>delta S_gen = 0"] --> B["null方向<br/>R_kk = 8pi G T_kk"]

    B --> C["零锥刻画<br/>X_ab = Phi g_ab"]

    C --> D["Bianchi恒等式<br/>nabla Phi = nabla R/2"]

    D --> E["Einstein方程<br/>G_ab + Lambda g_ab = 8pi G T_ab"]

    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:4px
    style E fill:#9f9,stroke:#333,stroke-width:4px

8. 二阶变分与量子能量条件

8.1 相对熵的凸性

相对熵 $S(\rho \Vert \sigma )$ 对 $\rho$ 是凸函数，故：

$${\delta }^{2}S(\rho \Vert \sigma )\ge 0$$

8.2 量子零能条件（QNEC）

沿null方向作二阶形变，定义：

$$s_{\mathrm{out}}^{\prime \prime }:=\underset{\mathcal{A}\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathcal{A}}\frac{d^2{S}_{\mathrm{out}}}{d{\lambda }^2}$$

定理8.1（QNEC）：

$$⟨T_{kk}⟩\ge \frac{\hslash }{2\pi }{s}_{\mathrm{out}}^{\prime \prime }$$

物理意义：

null方向的能量密度有一个量子下界，由纠缠熵的二阶导数决定。这是经典能量条件的量子推广。

8.3 与IGVP的一致性

IGVP的二阶条件 ${\delta }^2{S}_{\mathrm{gen}}\ge 0$ 在小菱形极限下等价于QNEC。这确保了：

• Einstein方程的解稳定
• 无不受控的负能量
• 时间箭头的单向性

9. 本节要点回顾

graph TD
    A["信息几何"] --> B["Fisher-Rao度量<br/>相对熵"]

    B --> C["广义熵<br/>S_gen = A/4Gh + S_out"]

    C --> D["IGVP原理<br/>delta S_gen = 0"]

    D --> E["纠缠第一定律<br/>delta S_out = delta H_mod"]
    D --> F["面积变分<br/>Raychaudhuri"]

    E --> G["null方向方程<br/>R_kk = 8pi G T_kk"]
    F --> G

    G --> H["零锥刻画<br/>Bianchi恒等式"]

    H --> I["Einstein方程<br/>G_ab + Lambda g_ab = 8pi G T_ab"]

    style A fill:#e1f5ff,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#ffe1e1,stroke:#333,stroke-width:3px
    style D fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:4px
    style I fill:#9f9,stroke:#333,stroke-width:4px

核心洞察：

信息几何变分原理（IGVP）将广义熵的极值条件与Einstein方程联系起来。这不是偶然，而是深层的必然：时空几何由信息结构决定，Einstein方程是信息一致性的必然后果。

具体推导链：

$$\text{IGVP: }\delta S_{\mathrm{gen}}=0\Rightarrow \frac{\delta A}{4G\hslash }+\delta S_{\mathrm{out}}=0$$

$$\Rightarrow \int \lambda (R_{kk}-8\pi G{T}_{kk})d\lambda dA=0$$

$$\Rightarrow R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}\forall k$$

$$\Rightarrow G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}$$

10. 哲学反思

10.1 引力的本质

传统观点：引力是时空曲率。

IGVP观点：引力是信息熵极值的几何表现。

时空不是先验存在的舞台，而是量子信息与纠缠的涌现结构。Einstein方程不是关于引力的假设，而是关于信息一致性的必然结果。

10.2 为什么是广义熵？

问题：为什么要用 $S_{\mathrm{gen}}=\frac{A}{4G\hslash }+S_{\mathrm{out}}$ 而不是单独的面积或纠缠熵？

回答：

1. 仅用面积：无法包含量子修正，违反量子信息守恒
2. 仅用纠缠熵：在UV发散，且忽略几何自由度
3. 广义熵：统一了几何与量子，UV有限，满足量子Focussing猜想

10.3 从信息到几何的桥梁

IGVP揭示了一个深刻的对应：

信息几何不是物理几何的类比，而是同一结构的两种表述。

下一节预告：在第3节中，我们将把本节建立的IGVP框架应用到具体的小因果菱形上，逐步推导Einstein方程的每一个细节，包括面积展开、Raychaudhuri方程的精确形式、Radon型闭包的数学证明，以及从null方向到完整张量的严格论证。