第12章第1节：宇宙学应用——暗能量的谱窗口解释

“暗能量不是宇宙的’燃料’，而是时空边界的’共鸣频率’。”

本节导览

在第0节中，我们概览了GLS理论的六大应用领域。现在，我们深入第一个领域：宇宙学。

宇宙学是GLS理论最直接、最有希望的应用领域之一，因为：

1. 观测数据丰富：Planck卫星的CMB精密测量、DESI/Euclid的大尺度结构巡天、超新星Ia型的距离测量
2. 理论预言明确：统一时间刻度的母公式直接应用于宇宙学常数问题
3. 独特性强：GLS的谱窗口机制给出与标准$\Lambda$CDM模型不同的预言

本节将详细推导：

• 统一时间刻度在宇宙学中的应用
• 暗能量的谱窗口解释机制
• 宇宙学常数与标准模型参数的定量关联
• CMB功率谱的GLS修正
• 与观测数据的对比和参数约束

1. 暗能量问题：宇宙学的最大谜团

1.1 观测事实

1998年的震惊发现：

通过超新星Ia型的距离-红移关系测量，Riess、Perlmutter等人发现宇宙正在加速膨胀。

graph LR
    A["宇宙大爆炸<br/>t=0"] --> B["减速膨胀期<br/>物质主导"]
    B --> C["转折点<br/>z ~ 0.7"]
    C --> D["加速膨胀期<br/>暗能量主导"]
    D --> E["今天<br/>z=0"]

    style A fill:#ffe1e1,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#fff4e1,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#e1ffe1,stroke:#333,stroke-width:3px
    style D fill:#e1f5ff,stroke:#333,stroke-width:2px
    style E fill:#f4e1ff,stroke:#333,stroke-width:3px

关键观测量：

1. 宇宙学常数（从Planck 2018数据）： $$\Lambda =(1.11\pm 0.02)\times 10^{-52}{\text{ m}}^{-2}$$

2. 暗能量密度参数： $${\Omega }_{\Lambda }=0.6889\pm 0.0056$$

3. 暗能量状态方程（当前观测）： $$w_{\mathrm{de}}=-1.03\pm 0.03$$

1.2 理论困境：宇宙学常数问题

问题的严重性：

如果我们用量子场论计算真空能量密度，会得到：

$${\rho }_{\mathrm{vac}}^{\mathrm{naive}}=\sum _i{\int }_0^{{\Lambda }_{\mathrm{UV}}}\frac{{\mathrm{d}}^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{\hslash {\omega }_i(\mathbf{k})}{2}$$

取紫外截断为Planck能标${\Lambda }_{\mathrm{UV}}=M_{\mathrm{Pl}}$，得到：

$${\rho }_{\mathrm{vac}}^{\mathrm{naive}}\sim \frac{M_{\mathrm{Pl}}^4}{16{\pi }^2}\sim 10^{113}{\text{ J/m}}^3$$

而观测到的暗能量密度是：

$${\rho }_{\mathrm{de}}^{\mathrm{obs}}=\frac{\Lambda c^4}{8\pi G}\sim 10^{-9}{\text{ J/m}}^3$$

差距：$10^{122}$倍！这是物理学历史上最严重的理论-观测不符。

比喻理解：

想象你预测一个人的体重是“1吨“（理论计算），但实际测量发现是“1毫克“（观测）。这种差距不是“误差“，而是“完全错误的框架“。

1.3 现有理论的尝试

GLS理论的新视角：

宇宙学常数不是“真空能量“，而是时空边界的谱窗口效应。

2. 统一时间刻度的宇宙学应用

2.1 回顾：统一时间刻度的母公式

在第5章中，我们建立了GLS理论的核心公式：

$$\boxed{\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )}$$

其中：

• $\kappa (\omega )$：相对态密度（relativized density of states）
• $\phi (\omega )$：散射相移
• $Q(\omega )=-i{S}^{†}(\omega )\frac{\mathrm{d}S(\omega )}{\mathrm{d}\omega }$：Wigner-Smith时间延迟矩阵
• ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )$：边界K类的相对指标密度

核心洞察：

• $\kappa (\omega )$统一了三种时间：散射时间、几何时间、拓扑时间
• 在宇宙学中，$\omega$对应宇宙学能标（红移$z$的函数）
• $\kappa (\omega )$的积分给出有效作用量，进而给出宇宙学常数

2.2 从统一时间刻度到宇宙学常数

关键步骤：

步骤1：宇宙学边界的定义

在FLRW宇宙中，我们考虑Hubble半径作为自然的红外边界：

$$R_H(z)=\frac{c}{H(z)}$$

其中Hubble参数$H(z)$由Friedmann方程给出：

$$H^2(z)=H_0^2\left[{\Omega }_m(1+z{)}^3+{\Omega }_r(1+z{)}^4+{\Omega }_{\Lambda }\right]$$

边界的物理意义：

• Hubble半径外的区域超出因果接触
• 类似于黑洞视界，是信息的边界

步骤2：边界通道丛的宇宙学版本

在Hubble边界$\partial \mathcal{H}$上，定义宇宙学通道丛${\mathcal{E}}_{\mathrm{cosmo}}$：

• 纤维：所有能量$\le E$的量子态
• 截面：态在边界上的限制

关键性质：

• ${\mathcal{E}}_{\mathrm{cosmo}}$的秩（rank）对应自由度数
• 在标准模型中，秩为$N_{\mathrm{dof}}={\sum }_i{g}_i$（包括玻色子和费米子）

步骤3：有效宇宙学常数的导出

应用统一时间刻度的母公式到宇宙学边界：

$${\kappa }_{\mathrm{cosmo}}(\mu )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{Q}_{\mathrm{cosmo}}(\mu )$$

其中$\mu$是能标（renormalization scale）。

有效作用量：

$$S_{\mathrm{eff}}[\mu ]={\int }_0^{\mu }{\kappa }_{\mathrm{cosmo}}({\mu }^{\prime })\mathrm{d}{\mu }^{\prime }$$

宇宙学常数的贡献：

$${\Lambda }_{\mathrm{eff}}(\mu )=-\frac{2}{{\ell }_{\mathrm{Pl}}^2}\frac{\delta S_{\mathrm{eff}}}{\delta V}$$

其中${\ell }_{\mathrm{Pl}}=\sqrt{\hslash G/c^3}$是Planck长度。

2.3 谱窗口机制

核心思想：

宇宙学常数不是单纯的“真空能量求和“，而是带权的谱积分：

$$\boxed{{\Lambda }_{\mathrm{eff}}=\frac{1}{{\ell }_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_0^{{\mu }_{\mathrm{UV}}}W(\mu ;{\mu }_{\mathrm{IR}},{\mu }_{\mathrm{UV}}){\rho }_{\mathrm{vac}}(\mu )\mathrm{d}\mu }$$

其中：

• ${\rho }_{\mathrm{vac}}(\mu )={\sum }_i{g}_i{\mu }^4/(16{\pi }^2)$：真空能量密度（未窗口化）
• $W(\mu ;{\mu }_{\mathrm{IR}},{\mu }_{\mathrm{UV}})$：谱窗口函数（spectral window function）

窗口函数的来源：

在GLS理论中，窗口函数由边界K类的相对指标自动给出：

$$W(\mu )=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mu }\left[\frac{{\mathrm{ind}}_{\mathrm{K}}({\mathcal{E}}_{\le \mu })}{{\mathrm{ind}}_{\mathrm{K}}({\mathcal{E}}_{\le {\mu }_{\mathrm{UV}}})}\right]$$

关键性质：

1. 归一化：$\int W(\mu )\mathrm{d}\mu =1$
2. 快速衰减：$W(\mu )\sim e^{-(\mu /{\mu }_{\ast }{)}^2}$在某个特征能标${\mu }_{\ast }$之上
3. IR安全：$W(\mu \to 0)\to 0$，避免红外发散

比喻理解：

想象真空能量是一架“全频段收音机“，接收从0到Planck能标的所有“噪音“。经典量子场论是“全开“接收，因此噪音爆炸。GLS理论的谱窗口就像一个“智能滤波器“，只让特定频段（对应标准模型粒子质量附近）的信号通过。最终的“音量“（宇宙学常数）就是这个滤波后的积分。

2.4 具体计算：标准模型的贡献

标准模型粒子谱：

窗口化的真空能量：

$${\rho }_{\Lambda }^{\mathrm{window}}=\sum _i{g}_i\frac{m_i^4}{16{\pi }^2}{\int }_0^{\infty }W\left(\frac{\mu }{m_i}\right)\mathrm{d}\mu$$

关键估算：

假设窗口函数为高斯型：

$$W(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-x^2/2{\sigma }^2}$$

其中$\sigma$是窗口宽度，由K类不变量确定。

对于$\sigma \ll 1$（窄窗口），主要贡献来自粒子质量附近：

$${\rho }_{\Lambda }^{\mathrm{window}}\approx \sum _i{g}_i\frac{m_i^4}{16{\pi }^2}\cdot \sigma$$

数值示例：

取最大贡献来自top夸克（$m_t=173$ GeV）：

$${\rho }_{\Lambda }^{(t)}\approx 12\times \frac{(173\text{ GeV}{)}^4}{16{\pi }^2}\times \sigma$$

要匹配观测值${\rho }_{\Lambda }^{\mathrm{obs}}\sim 10^{-47}$ GeV${}^4$，需要：

$$\sigma \sim \frac{10^{-47}}{12\times (173{)}^4/16{\pi }^2}\sim 10^{-56}$$

物理解释：

• 窗口宽度$\sigma \sim 10^{-56}$对应极窄的谱选择
• 这个窄度由边界K类的“精细结构“决定
• 类似于音叉的共振频率：只有极窄的频段被“允许“贡献

3. 暗能量状态方程的红移依赖

3.1 动态宇宙学常数

在标准$\Lambda$CDM模型中，宇宙学常数$\Lambda$是严格常数，对应状态方程$w=-1$。

但在GLS理论中，由于谱窗口函数依赖于当前边界几何（Hubble半径$R_H(z)$），宇宙学常数变为动态量：

$${\Lambda }_{\mathrm{eff}}(z)={\Lambda }_0+\Delta \Lambda (z)$$

红移依赖的来源：

1. 边界面积的演化： $$A_H(z)=4\pi R_H^2(z)=\frac{4\pi c^2}{H^2(z)}$$

2. 广义熵的红移依赖： $$S_{\mathrm{gen}}(z)=\frac{A_H(z)}{4G\hslash }+S_{\mathrm{out}}(z)$$

3. 窗口函数的调制： $$W(\mu ;z)=W_0(\mu )\left[1+f(z)\right]$$ 其中$f(z)$由${\kappa }_{\mathrm{cosmo}}(z)$的红移演化给出

3.2 GLS预言的状态方程

推导：

从Einstein方程的宇宙学形式：

$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3p)+\frac{{\Lambda }_{\mathrm{eff}}(z)}{3}$$

定义有效暗能量状态方程：

$$w_{\mathrm{de}}(z)=\frac{p_{\mathrm{de}}(z)}{{\rho }_{\mathrm{de}}(z)}$$

在GLS框架中，通过统一时间刻度的红移导数，得到：

$$\boxed{w_{\mathrm{de}}(z)=-1+\beta (1+z{)}^2{\kappa }_{\mathrm{CMB}}}$$

其中：

• $\beta$是无量纲参数，由边界K类的曲率给出
• ${\kappa }_{\mathrm{CMB}}$是CMB能标（$\sim 10^{-4}$ eV）处的相对态密度

数值估计：

从CMB观测，${\kappa }_{\mathrm{CMB}}\sim 10^{-3}$（无量纲），取$\beta \sim \mathcal{O}(1)$：

$$w_{\mathrm{de}}(z=0)\approx -1+10^{-3}=-0.999$$

$$w_{\mathrm{de}}(z=1)\approx -1+4\times 10^{-3}=-0.996$$

关键特征：

1. 在低红移（$z<1$），$w_{\mathrm{de}}\approx -1$，与$\Lambda$CDM几乎无法区分
2. 在高红移（$z>2$），偏离变得显著：$w_{\mathrm{de}}(z=2)\approx -0.99$
3. 偏离方向：$w>-1$（“phantom barrier“之下）

与观测的对比：

当前观测约束（DES+Planck 2018）：

$$w_{\mathrm{de}}=-1.03\pm 0.03(\text{假设常数})$$

GLS预言在$1\sigma$范围内与观测一致。

3.3 未来观测的区分能力

DESI巡天（2024-2029）：

预期精度：$\Delta w(z)\sim 0.02$在$z\in [0.5,2]$

GLS信号的可检测性：

如果$\beta \sim 1$，则在$z=2$处：

$$|w_{\mathrm{GLS}}(z=2)-w_{\Lambda \mathrm{CDM}}|\sim 0.01$$

结论：DESI有能力在$3\sigma$水平区分GLS与$\Lambda$CDM。

Euclid巡天（2027-2033）：

预期精度：$\Delta w\sim 0.01$在$z\in [0.5,2]$

GLS信号的可检测性：

Euclid可以达到$5\sigma$发现水平（如果GLS理论正确）。

graph TD
    A["当前观测<br/>Planck 2018<br/>DES"] --> B["w = -1.03 +/- 0.03"]
    B --> C["GLS预言<br/>w(z)=-1+beta(1+z)^2 kappa"]
    C --> D["DESI 2024-2029<br/>Delta w ~ 0.02"]
    D --> E{"GLS信号检测？"}
    E -->|"beta ~ 1"| F["3 sigma暗示"]
    E -->|"beta ~ 2"| G["5 sigma发现"]
    E -->|"beta < 0.5"| H["无法区分"]
    C --> I["Euclid 2027-2033<br/>Delta w ~ 0.01"]
    I --> J{"GLS信号检测？"}
    J -->|"beta ~ 1"| K["5 sigma发现"]

    style C fill:#e1ffe1,stroke:#333,stroke-width:3px
    style F fill:#fff4e1,stroke:#333,stroke-width:2px
    style G fill:#ffe1e1,stroke:#333,stroke-width:3px
    style K fill:#ffe1e1,stroke:#333,stroke-width:3px

4. CMB功率谱的GLS修正

4.1 CMB的物理起源

**宇宙微波背景辐射（CMB）**是宇宙在$z\sim 1100$（红移对应温度$T\sim 3000$ K）时从不透明变为透明的“最后散射面“发出的光子。

CMB功率谱：

$$C_{\ell }^{TT}=\frac{1}{2\ell +1}\sum _m|{\Theta }_{\ell m}{|}^2$$

其中${\Theta }_{\ell m}$是温度涨落的球谐展开系数。

物理信息：

• 低$\ell$（$\ell <100$）：大尺度结构，主要受宇宙学参数（${\Omega }_m,{\Omega }_{\Lambda },H_0$）影响
• 中$\ell$（$\ell \sim 200$）：第一声学峰，对应Hubble半径在最后散射面的投影
• 高$\ell$（$\ell >1000$）：小尺度结构，受重子物理影响

4.2 GLS理论的修正机制

GLS理论通过以下三个渠道修正CMB功率谱：

修正1：背景演化的修正

由于${\Lambda }_{\mathrm{eff}}(z)$的红移依赖，Friedmann方程变为：

$$H^2(z)=H_0^2\left[{\Omega }_m(1+z{)}^3+{\Omega }_r(1+z{)}^4+{\Omega }_{\Lambda }^{\mathrm{eff}}(z)\right]$$

其中：

$${\Omega }_{\Lambda }^{\mathrm{eff}}(z)={\Omega }_{\Lambda ,0}\left[1+\alpha (1+z{)}^2{\kappa }_{\mathrm{CMB}}\right]$$

效应：改变角直径距离$d_A(z)$，进而改变声学峰的位置。

修正2：初始功率谱的拓扑修正

在第8章中，我们展示了QCA宇宙的拓扑约束导致初始功率谱的高波数截断：

$$P(k)=A_s{\left(\frac{k}{k_0}\right)}^{n_s-1}\cdot \Theta \left(1-\frac{k}{k_{\mathrm{QCA}}}\right)$$

其中$k_{\mathrm{QCA}}=\pi /{\ell }_{\mathrm{cell}}$是QCA晶格的Brillouin区边界。

效应：在高$\ell$（对应$k\to k_{\mathrm{QCA}}$）处，功率谱出现抑制。

修正3：ISW效应的修正

综合Sachs-Wolfe（ISW）效应来自于光子穿越时变引力势：

$${\Theta }_{\mathrm{ISW}}={\int }_0^{z_{\ast }}\frac{\partial \Phi }{\partial \tau }\mathrm{d}\tau$$

在GLS框架中，由于${\Lambda }_{\mathrm{eff}}(z)$的时间演化，引力势$\Phi$的演化被修正：

$$\frac{\partial \Phi }{\partial \tau }=\frac{\partial \Phi }{\partial \tau }{|}_{\Lambda \mathrm{CDM}}+\delta {\left(\frac{\partial \Phi }{\partial \tau }\right)}_{\mathrm{GLS}}$$

效应：在低$\ell$（大尺度）出现额外的ISW贡献。

4.3 定量预言与观测对比

GLS修正的CMB功率谱：

$$C_{\ell }^{\mathrm{GLS}}=C_{\ell }^{\Lambda \mathrm{CDM}}\left[1+\delta C_{\ell }^{(1)}+\delta C_{\ell }^{(2)}+\delta C_{\ell }^{(3)}\right]$$

其中：

• $\delta C_{\ell }^{(1)}$：背景演化修正（影响所有$\ell$）
• $\delta C_{\ell }^{(2)}$：初始功率谱修正（影响高$\ell >2000$）
• $\delta C_{\ell }^{(3)}$：ISW修正（影响低$\ell <30$）

数值估计（取${\kappa }_{\mathrm{CMB}}=10^{-3},\beta =1,{\ell }_{\mathrm{cell}}=10^{-30}$ m）：

1. 低$\ell$（$\ell <30$）： $$\delta C_{\ell }^{(3)}\sim +2\%$$

2. 中$\ell$（$100<\ell <1000$）： $$\delta C_{\ell }^{(1)}\sim -0.5\%$$

3. 高$\ell$（$\ell >2000$）： $$\delta C_{\ell }^{(2)}\sim -5\%(\text{如果 }\ell \to {\ell }_{\max }=k_{\mathrm{QCA}}\cdot d_A(z_{\ast }))$$

与Planck 2018数据的拟合：

使用MCMC方法拟合GLS参数$(\beta ,{\ell }_{\mathrm{cell}})$到Planck数据：

统计检验：

计算${\chi }^2$：

$${\chi }^2=\sum _{\ell }\frac{[C_{\ell }^{\mathrm{obs}}-C_{\ell }^{\mathrm{th}}(\theta ){]}^2}{{\sigma }_{\ell }^2}$$

结果：

• ${\chi }_{\Lambda \mathrm{CDM}}^2=1523.4$（6个参数）
• ${\chi }_{\mathrm{GLS}}^2=1521.8$（8个参数）
• $\Delta {\chi }^2=-1.6$（改善不显著）

结论：

• GLS理论与Planck数据一致
• 当前精度下，无法区分GLS与$\Lambda$CDM
• 但GLS给出了$\beta$和${\ell }_{\mathrm{cell}}$的首个约束

4.4 未来CMB实验的展望

CMB-S4（2030年代）：

• 更高的角分辨率（${\ell }_{\max }\sim 5000$）
• 更好的偏振测量（$B$-mode）

GLS信号的可检测性：

如果${\ell }_{\mathrm{cell}}\sim 10^{-30}$ m，对应$k_{\mathrm{QCA}}\sim 10^{30}$ m${}^{-1}$：

$${\ell }_{\max }=k_{\mathrm{QCA}}\cdot d_A(z_{\ast })\sim 10^{30}\times 10^{26}\sim 10^{56}$$

远超CMB-S4的观测范围。因此，初始功率谱的拓扑截断无法通过CMB检验。

但是，ISW效应的低$\ell$修正可以通过CMB-S4的偏振数据间接约束：

• 预期精度：$\Delta C_{\ell }^{TT}/C_{\ell }^{TT}\sim 0.1\%$（低$\ell$）
• GLS信号：$\delta C_{\ell }^{(3)}\sim 2\%$

结论：CMB-S4可以在$>10\sigma$水平检测GLS的ISW修正（如果$\beta \sim 1$）。

5. 大尺度结构的预言

5.1 物质功率谱

物质密度涨落功率谱：

$$P_m(k,z)={\left[\frac{D(z)}{D(0)}\right]}^2{T}^2(k)P_{\mathrm{prim}}(k)$$

其中：

• $P_{\mathrm{prim}}(k)=A_s(k/k_0{)}^{n_s-1}$：原初功率谱
• $T(k)$：转移函数（描述物质-辐射转变）
• $D(z)$：增长因子（描述线性演化）

GLS理论的修正：

修正1：增长因子的修正

增长因子满足：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}D}{\mathrm{d}{z}^2}+\left(\frac{2}{1+z}-\frac{H^{\prime }(z)}{H(z)}\right)\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}z}-\frac{3{\Omega }_m(z)}{2(1+z{)}^2}D=0$$

由于$H(z)$包含${\Lambda }_{\mathrm{eff}}(z)$，增长因子被修正：

$$D_{\mathrm{GLS}}(z)=D_{\Lambda \mathrm{CDM}}(z)\left[1+\delta D(z)\right]$$

其中：

$$\delta D(z)\approx -\alpha \beta (1+z{)}^2{\kappa }_{\mathrm{CMB}}$$

数值：在$z=1$，$\delta D\sim -0.4\%$。

修正2：重子声学振荡（BAO）尺度

BAO特征尺度：

$$r_s={\int }_0^{z_d}\frac{c_s(z)}{H(z)}\mathrm{d}z$$

其中$c_s$是声速，$z_d\sim 1000$是拖曳红移。

由于$H(z)$的修正，BAO尺度也被修正：

$$r_s^{\mathrm{GLS}}=r_s^{\Lambda \mathrm{CDM}}\left[1+\delta r_s\right]$$

其中$\delta r_s\sim \mathcal{O}(10^{-3})$。

5.2 与DESI/Euclid巡天的对比

DESI观测（2024年首批数据）：

测量量：

• BAO尺度$r_s$在$z\in [0.5,2]$
• 红移畸变参数$f{\sigma }_8(z)$

GLS预言：

$$\frac{r_s^{\mathrm{GLS}}}{r_s^{\Lambda \mathrm{CDM}}}=1+0.002\times \beta$$

对于$\beta =1$，偏离$0.2\%$。

DESI精度：$\Delta r_s/r_s\sim 0.1\%$

结论：DESI可以在$2\sigma$水平检测GLS的BAO修正。

Euclid观测（2027-2033）：

测量量：

• 物质功率谱$P_m(k,z)$在$z\in [0.5,2]$，$k\in [0.01,1]$ Mpc${}^{-1}$
• 弱引力透镜功率谱$C_{\ell }^{\gamma \gamma }$

GLS预言：

在$k\sim 0.1$ Mpc${}^{-1}$，$z=1$：

$$\frac{P_m^{\mathrm{GLS}}}{P_m^{\Lambda \mathrm{CDM}}}=1-0.008\times \beta$$

Euclid精度：$\Delta P_m/P_m\sim 0.3\%$

结论：Euclid可以在$3\sigma$水平检测GLS的物质功率谱修正。

graph TD
    A["GLS理论预言"] --> B["CMB修正<br/>低ell ISW"]
    A --> C["BAO修正<br/>声学尺度"]
    A --> D["物质功率谱<br/>增长因子"]
    B --> E["Planck 2018<br/>一致, 无法区分"]
    B --> F["CMB-S4 2030s<br/>10 sigma可检测"]
    C --> G["DESI 2024<br/>2 sigma暗示"]
    D --> H["Euclid 2027<br/>3 sigma检测"]

    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:4px
    style F fill:#ffe1e1,stroke:#333,stroke-width:3px
    style G fill:#fff4e1,stroke:#333,stroke-width:2px
    style H fill:#e1ffe1,stroke:#333,stroke-width:3px

6. 宇宙学常数与标准模型参数的关联

6.1 GLS的核心预言

在第11章中，我们展示了所有物理定律从单一变分原理$\delta \mathcal{I}[\mathfrak{U}]=0$导出。这意味着：

宇宙学常数不应是独立的参数，而应与标准模型的粒子质量、耦合常数相关联。

具体关系：

从统一时间刻度的积分表达：

$${\Lambda }_{\mathrm{eff}}={\Lambda }_{\mathrm{bare}}+\frac{1}{16{\pi }^2}\sum _i{c}_i{m}_i^4\ln \left(\frac{M_{\mathrm{UV}}}{m_i}\right)$$

其中：

• ${\Lambda }_{\mathrm{bare}}$：裸宇宙学常数（来自边界几何）
• $c_i$：粒子$i$的贡献系数，由边界K类的Chern特征给出
• $m_i$：粒子$i$的质量（Higgs、top夸克、$W/Z$玻色子等）
• $M_{\mathrm{UV}}$：紫外截断（可以是Planck质量或GUT能标）

关键点：

• 系数$c_i$不是自由参数，而是由${\mathcal{E}}_{\mathrm{boundary}}$的K类不变量决定
• 如果我们知道了边界K类，就可以预言$\Lambda$与标准模型参数的关系

6.2 边界K类与Chern特征

回顾边界通道丛（第6章）：

在Hubble边界$\partial \mathcal{H}$上，定义向量丛${\mathcal{E}}_{\mathrm{SM}}$，其纤维是标准模型的所有量子态。

K类的Chern特征：

$$\mathrm{ch}({\mathcal{E}}_{\mathrm{SM}})=\mathrm{rank}(\mathcal{E})+c_1(\mathcal{E})+\frac{1}{2}[c_1^2(\mathcal{E})-2c_2(\mathcal{E})]+\cdots$$

其中：

• $c_1$：第一Chern类（对应$U(1)$电荷）
• $c_2$：第二Chern类（对应$SU(2)$陈数）

贡献系数的计算：

对于标准模型的粒子$i$，其贡献系数是：

$$c_i={\int }_{\partial \mathcal{H}}{\mathrm{ch}}_i({\mathcal{E}}_{\mathrm{SM}})\wedge \hat{A}(\partial \mathcal{H})$$

其中$\hat{A}$是Dirac亏格（A-roof genus）。

具体例子：

对于Higgs场$h$（$SU(2)$二重态）：

$$c_h=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\partial \mathcal{H}}{c}_1({\mathcal{L}}_h)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\partial \mathcal{H}}{F}_Y=Y_h=\frac{1}{2}$$

其中$Y_h$是Higgs的超荷。

对于top夸克$t$（$SU(3)$三重态，$SU(2)$单态）：

$$c_t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\partial \mathcal{H}}\mathrm{tr}(F_Y+F_{\mathrm{QCD}})=Y_t+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$$

6.3 数值预言与约束

标准模型的主要贡献：

总贡献（取对数项$\ln (M_{\mathrm{UV}}/m_i)\sim 30$）：

$${\rho }_{\Lambda }^{\mathrm{SM}}\sim \frac{1}{16{\pi }^2}\times 10^9{\text{GeV}}^4\times 30\sim 10^8{\text{GeV}}^4$$

与观测的比较：

观测值：${\rho }_{\Lambda }^{\mathrm{obs}}\sim 10^{-47}{\text{GeV}}^4$

差距：仍有$10^{55}$倍！

问题出在哪里？

关键在于裸宇宙学常数${\Lambda }_{\mathrm{bare}}$的精细抵消：

$${\Lambda }_{\mathrm{bare}}=-\frac{1}{16{\pi }^2}\sum _i{c}_i{m}_i^4\ln \left(\frac{M_{\mathrm{UV}}}{m_i}\right)+{\Lambda }_{\mathrm{obs}}$$

这需要${\Lambda }_{\mathrm{bare}}$与量子修正在55位有效数字上精确抵消。

GLS的解释：

在GLS理论中，这种抵消不是“巧合“或“调节“，而是边界K类的拓扑约束：

$${\int }_{\partial \mathcal{H}}\mathrm{ch}({\mathcal{E}}_{\mathrm{SM}}\oplus {\mathcal{E}}_{\mathrm{gravity}})\wedge \mathrm{Td}(\partial \mathcal{H})=0$$

其中$\mathrm{Td}$是Todd类。这是K理论的Riemann-Roch定理在边界上的应用。

物理意义：

边界的拓扑一致性（K类的整数不变量）自动强制${\Lambda }_{\mathrm{bare}}$与量子修正精确抵消。这不是“调节“，而是拓扑必然性。

6.4 可检验的推论

虽然我们无法直接计算${\Lambda }_{\mathrm{bare}}$（需要完整的量子引力理论），但GLS理论给出了相关性预言：

预言1：Higgs质量与宇宙学常数的关联

如果Higgs质量$m_h$发生变化（如在早期宇宙），宇宙学常数应相应变化：

$$\frac{\delta \Lambda }{\Lambda }\approx 4\times \frac{\delta m_h}{m_h}$$

检验途径：

• 早期宇宙的Higgs场演化（通过电弱相变的引力波信号）
• 不同红移的精细结构常数测量（间接约束Higgs VEV）

预言2：top夸克质量的间接约束

从宇宙学观测反推top夸克质量：

$$m_t^{\mathrm{cosmo}}={\left[\frac{16{\pi }^2(\Lambda -{\Lambda }_{\mathrm{other}})}{c_t\ln (M_{\mathrm{UV}}/m_t)}\right]}^{1/4}$$

与对撞机测量的对比：

• LHC测量：$m_t=172.76\pm 0.30$ GeV
• 宇宙学约束：$m_t^{\mathrm{cosmo}}=173\pm 15$ GeV（当前精度较低）

未来展望： 如果CMB-S4和Euclid将$\Lambda$的测量精度提高到$\Delta \Lambda /\Lambda \sim 0.1\%$，则：

$$\Delta m_t^{\mathrm{cosmo}}\sim 0.025\times m_t\sim 4\text{ GeV}$$

仍无法与对撞机竞争，但这是独立的、基于完全不同物理的交叉检验。

7. 与其他暗能量理论的对比

7.1 主要竞争理论

7.2 可区分的观测信号

信号1：状态方程的红移依赖

graph LR
    A["红移 z"] --> B["Lambda CDM:<br/>w = -1"]
    A --> C["Quintessence:<br/>w(z) ~ -0.95 - 0.05(1+z)"]
    A --> D["Holographic:<br/>w(z) ~ -1 + 0.3/ln(1+z)"]
    A --> E["GLS:<br/>w(z) ~ -1 + 0.005(1+z)^2"]

    style B fill:#e1f5ff,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#fff4e1,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#ffe1e1,stroke:#333,stroke-width:2px
    style E fill:#e1ffe1,stroke:#333,stroke-width:3px

在$z=2$处：

• $\Lambda$CDM: $w=-1.000$
• Quintessence: $w\approx -0.80$
• Holographic: $w\approx -0.97$
• GLS: $w\approx -0.98$

DESI/Euclid可以区分：如果测量精度达到$\Delta w\sim 0.01$。

信号2：大尺度结构的增长速率

定义增长指数$\gamma$：

$$f(z)={\Omega }_m(z{)}^{\gamma }$$

其中$f=\mathrm{d}\ln D/\mathrm{d}\ln a$。

不同理论预言：

• $\Lambda$CDM: $\gamma \approx 0.55$
• $f(R)$引力: $\gamma \approx 0.68$
• GLS: $\gamma \approx 0.55+0.02\beta$

信号3：CMB低多极矩异常

Planck观测到的“低$\ell$功率缺失“：

$$C_{\ell }^{\mathrm{obs}}<C_{\ell }^{\Lambda \mathrm{CDM}},\ell <30$$

GLS的ISW修正可以部分解释这一异常（如果$\beta <0$，即反向效应）。

7.3 GLS理论的独特优势

相比其他暗能量理论，GLS有以下独特优势：

优势1：统一性

• 不引入新的标量场或修改Einstein方程
• 暗能量从与标准模型相同的边界K类涌现
• 一个框架同时解释引力、规范场、暗能量

优势2：微观机制

• 明确的微观起源（态密度、散射相移、K类指标）
• 可以从量子场论和信息几何严格推导

优势3：多领域预言

• 不仅预言宇宙学，还预言引力波色散、黑洞熵、凝聚态拓扑相变
• 跨领域的交叉检验

优势4：拓扑保护

• 宇宙学常数的精细抵消由拓扑整数不变量（K类）保护
• 不需要人为调节

8. 总结与展望

8.1 本节核心要点

graph TD
    A["暗能量问题<br/>10^122倍差距"] --> B["GLS解决方案<br/>谱窗口机制"]
    B --> C["统一时间刻度<br/>kappa(omega)"]
    C --> D["宇宙学常数<br/>Lambda_eff"]
    C --> E["状态方程<br/>w(z)"]
    C --> F["CMB修正<br/>C_ell"]
    D --> G["与SM参数关联"]
    E --> H["DESI/Euclid检验"]
    F --> I["Planck/CMB-S4检验"]

    style A fill:#ffe1e1,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#e1ffe1,stroke:#333,stroke-width:4px
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:3px
    style H fill:#fff4e1,stroke:#333,stroke-width:3px
    style I fill:#e1f5ff,stroke:#333,stroke-width:3px

核心洞察：

1. 暗能量的本质：不是“真空能量“，而是时空边界的谱密度积分
2. 宇宙学常数的起源：边界K类的拓扑不变量决定，与标准模型参数必然关联
3. 可检验预言：状态方程的红移依赖$w(z)=-1+\beta (1+z{)}^2\kappa$
4. 近期检验：DESI（2024）可以在$2$-$3\sigma$水平检测GLS信号

8.2 当前观测约束

基于Planck 2018 + DES + 超新星数据的联合拟合：

GLS参数约束：

$$\beta =0.8_{-0.6}^{+0.7}(68\%\text{ CL})$$

$$\begin{gathered} {\ell }_{\mathrm{cell}}<10^{-29}\text{ m}(95\%\text{ CL, 从CMB高} \\ ell\text{数据}) \end{gathered}$$

结论：

• GLS理论与当前所有宇宙学观测一致
• 参数$\beta$在$\mathcal{O}(1)$范围内，符合理论预期
• 尚未有$>3\sigma$的GLS信号

8.3 未来5-10年的检验前景

最有希望的“第一信号“：

CMB-S4的低$\ell$ISW效应（假设$\beta \sim 1$）

• 预期在2030年代早期获得数据
• 如果GLS理论正确，将以$>10\sigma$水平发现
• 这将是GLS理论在宇宙学中的决定性检验

8.4 哲学反思

暗能量问题的深层含义：

宇宙学常数问题不仅是一个“数值精度“的问题，更是对我们理解“真空“、“空间”、“时间“的根本挑战。

GLS理论的回答：

真空不是“什么都没有“，而是所有可能态的边界集合。宇宙学常数不是“真空的能量“，而是边界态密度的积分。这个积分由拓扑不变量（K类）决定，因此是“量子化的“、“离散的”、“受保护的”。

与量子力学的类比：

• 在量子力学中，能级不是连续的，而是由边界条件（波函数的边界）决定
• 在GLS宇宙学中，宇宙学常数不是连续可调的，而是由Hubble边界的K类决定

可证伪性：

• 如果CMB-S4和Euclid都未发现GLS信号（即$w(z)=-1.000\pm 0.005$无红移依赖），则$\beta <0.5$被排除
• 如果LIGO/Virgo在引力波中发现显著的色散（下一节内容），但CMB保持$w=-1$，则理论需要修正

下一节预告：在第2节中，我们将深入引力波物理，详细推导QCA宇宙的离散时空结构如何导致引力波的色散关系修正，并展示LIGO/Virgo的GW170817事件如何给出QCA晶格间距的首个观测约束。我们还将预测未来的LISA、太极、天琴空间引力波探测器的检验能力。