反馈环路与延迟传播

从开环到闭环:Redheffer星乘、Schur补与自指因果结构

引言

在上一章中,我们看到自指散射网络的核心是反馈闭环:输出的一部分经过延迟后重新成为输入。但这个看似简单的想法,在数学上如何严格实现?如何从“开环“的基本散射单元,通过组合与反馈,得到“闭环“的等效散射矩阵?

本章将详细解答这些问题。我们将:

1. 从最简单的单通道模型出发,理解反馈的物理意义;
2. 引入Redheffer星乘(★-product)与Schur补,这是组合散射单元的标准数学工具;
3. 推导闭环散射矩阵的一般形式,理解极点与共振的几何来源;
4. 分析延迟线的相位积累,建立 $\omega \tau$ 与极点轨迹的定量关系;
5. 用通俗的语言解释“因果闭合“的深层含义。

从单通道反馈说起

最简模型:环形谐振器

想象一个最简单的光学系统:一根直波导,旁边耦合一个微环。

graph LR
    A["输入端口 a"] --> B["耦合器 C"]
    B --> C["直通端口 b"]
    B --> D["环路"]
    D --> E["相位段 φ"]
    E --> F["延迟 τ"]
    F --> B
    style D fill:#e1f5ff
    style F fill:#ffe1f5

光从端口 $a$ 入射,经过耦合器 $C$ 后分成两路:

• 一路直接透射到端口 $b$;
• 一路耦合进环,在环中传播一周后再回到耦合器。

环中的光经历:

1. 相位积累:环路中的光学长度导致相位 ${\varphi }_0$;
2. 延迟:光在环中传播需要时间 $\tau$,对应频域的相位因子 $e^{i\omega \tau }$;
3. 再次耦合:回到耦合器,与新入射的光干涉。

这就是一个自指环路:环中的光“看到“的输入,包含了自己过去的输出。

透射系数的推导

设耦合器的透射系数为 $t$,反射系数为 $r$(满足 $|t{|}^2+|r{|}^2=1$)。

不考虑环路时,直接透射为:

$$S_0=t$$

考虑环路后,总透射系数需要累加所有可能的路径:

• 直接透射:贡献 $t$
• 环路一圈后透射:光先耦合进环($r$),绕环一周($e^{i(\omega \tau +{\varphi }_0)}$),再耦合出来($r$),最后透射($t$),贡献 $t\cdot r\cdot e^{i(\omega \tau +{\varphi }_0)}\cdot r=t{r}^2{e}^{i\Phi }$
• 环路两圈:贡献 $t{r}^2(r{e}^{i\Phi }{)}^2$
• 以此类推…

其中 $\Phi =\omega \tau +{\varphi }_0$ 是单圈总相位。

这是一个几何级数:

$$S_{\mathrm{tot}}=t+t{r}^2{e}^{i\Phi }+t{r}^2(r{e}^{i\Phi }{)}^2+\cdots =t\left[1+r^2{e}^{i\Phi }\sum _{n=0}^{\infty }(r{e}^{i\Phi }{)}^n\right]$$

当 $|r{e}^{i\Phi }|=|r|<1$ 时(无增益),级数收敛:

$$S_{\mathrm{tot}}(\omega ;\tau )=t\left[1+\frac{r^2{e}^{i\Phi }}{1-r{e}^{i\Phi }}\right]=\frac{t-t{r}^2{e}^{i\Phi }+t{r}^2{e}^{i\Phi }}{1-r{e}^{i\Phi }}=\frac{t(1-r^2)e^{i\Phi }+t{r}^2{e}^{i\Phi }(1-e^{-i\Phi })}{(1-r{e}^{i\Phi })e^{i\Phi }}$$

简化后:

$$S_{\mathrm{tot}}(\omega ;\tau )=\frac{t-t(1-e^{-i\Phi })}{1-r{e}^{i\Phi }}=\frac{t(1-(1-r^2)/(t^2))}{1-r{e}^{i\Phi }}$$

用 $|r{|}^2+|t{|}^2=1$ 简化,得到标准形式:

$$S_{\mathrm{tot}}(\omega ;\tau )=\frac{-r+e^{-i\Phi }}{1-r{e}^{i\Phi }}\cdot t$$

或者更常见的反射型表示:设环内反射系数为 $r_{\mathrm{fb}}$,则:

$$S_{\mathrm{tot}}(\omega ;\tau )=r_0+\frac{t_0^2{e}^{i\omega \tau }}{1-r_{\mathrm{fb}}{e}^{i\omega \tau }}$$

这里:

• $r_0$ 是直接反射项
• $t_0$ 是耦合系数
• $r_{\mathrm{fb}}$ 是环路内的有效反馈系数
• 分母 $1-r_{\mathrm{fb}}{e}^{i\omega \tau }$ 编码了无穷多次反馈的累积效应

极点与共振

注意分母:

$$D(\omega ;\tau )=1-r_{\mathrm{fb}}{e}^{i\omega \tau }$$

当 $D=0$ 时,系统产生极点(pole):

$$r_{\mathrm{fb}}{e}^{i\omega \tau }=1\Rightarrow e^{i\omega \tau }=\frac{1}{r_{\mathrm{fb}}}$$

取对数:

$$i\omega \tau =\ln |r_{\mathrm{fb}}{|}^{-1}+i(\arg r_{\mathrm{fb}}^{-1}+2\pi n)$$

解出极点位置:

$${\omega }_n(\tau )=\frac{1}{\tau }\left[\arg r_{\mathrm{fb}}^{-1}+2\pi n-i\ln |r_{\mathrm{fb}}{|}^{-1}\right]$$

这里 $n\in \mathbb{Z}$ 标记不同的“纵模“(longitudinal modes)。

物理解释:

• 实部 $\Re {\omega }_n=(\arg r_{\mathrm{fb}}^{-1}+2\pi n)/\tau$ 是共振频率;
• 虚部 $\Im {\omega }_n=-\ln |r_{\mathrm{fb}}{|}^{-1}/\tau$ 决定共振宽度(Q值)。

当 $|r_{\mathrm{fb}}|\to 1$(低损耗),极点接近实轴,共振变得极其锐利。

Redheffer星乘:组合散射单元的标准方法

为什么需要星乘?

在实际系统中,我们常有多个散射单元的级联与互联。比如:

graph LR
    A["单元1: S₁"] --> B["单元2: S₂"]

如果每个单元都是“双端口“(有两个端口),级联后的等效散射矩阵是什么?

简单相乘 $S_2\cdot S_1$ 吗?不对!因为散射矩阵不是简单的传递函数,它同时描述正向和反向的传播。

需要考虑:单元1的反射会影响单元2的输入,单元2的反射又会回到单元1,产生多次反射的累积效应。

Redheffer星乘正是为了解决这个问题而设计的标准数学工具。

星乘的定义

设两个散射单元分块表示:

$$S_1=\left(\begin{array}{cc}{S}_{11}^{(1)}& S_{12}^{(1)}\\ S_{21}^{(1)}& S_{22}^{(1)}\end{array}\right),S_2=\left(\begin{array}{cc}{S}_{11}^{(2)}& S_{12}^{(2)}\\ S_{21}^{(2)}& S_{22}^{(2)}\end{array}\right)$$

其中:

• $S_{11}$ 是左端口到左端口的反射
• $S_{12}$ 是右端口到左端口的反向传播
• $S_{21}$ 是左端口到右端口的正向传播
• $S_{22}$ 是右端口到右端口的反射

将 $S_1$ 的右端口与 $S_2$ 的左端口相连,等效散射矩阵定义为Redheffer星乘:

$$S_{\mathrm{total}}=S_2\star S_1$$

其分块形式为:

$$S_{11}^{\mathrm{tot}}=S_{11}^{(1)}+S_{12}^{(1)}[I-S_{22}^{(1)}{S}_{11}^{(2)}{]}^{-1}{S}_{22}^{(1)}{S}_{11}^{(2)}$$

$$S_{12}^{\mathrm{tot}}=S_{12}^{(1)}[I-S_{22}^{(1)}{S}_{11}^{(2)}{]}^{-1}{S}_{12}^{(2)}$$

$$S_{21}^{\mathrm{tot}}=S_{21}^{(2)}[I-S_{11}^{(2)}{S}_{22}^{(1)}{]}^{-1}{S}_{21}^{(1)}$$

$$S_{22}^{\mathrm{tot}}=S_{22}^{(2)}+S_{21}^{(2)}[I-S_{11}^{(2)}{S}_{22}^{(1)}{]}^{-1}{S}_{11}^{(2)}{S}_{12}^{(2)}$$

看起来很复杂!但核心思想很简单:分母中的 $[I-S_{22}^{(1)}{S}_{11}^{(2)}{]}^{-1}$ 正是对多次反射的求和。

通俗解释

用几何级数的语言:

正向传播 $S_{21}^{\mathrm{tot}}$ 包括:

1. 直接传播:$S_{21}^{(2)}{S}_{21}^{(1)}$
2. 一次反弹:$S_{21}^{(2)}\cdot (S_{11}^{(2)}{S}_{22}^{(1)})\cdot S_{21}^{(1)}$
3. 两次反弹:$S_{21}^{(2)}\cdot (S_{11}^{(2)}{S}_{22}^{(1)}{)}^2\cdot S_{21}^{(1)}$
4. …

求和得到:

$$S_{21}^{\mathrm{tot}}=S_{21}^{(2)}\left[\sum _{n=0}^{\infty }(S_{11}^{(2)}{S}_{22}^{(1)}{)}^n\right]S_{21}^{(1)}=S_{21}^{(2)}[I-S_{11}^{(2)}{S}_{22}^{(1)}{]}^{-1}{S}_{21}^{(1)}$$

这就是星乘公式的来源:它是多次反射几何级数的精确求和。

Schur补:从内部自由度到等效散射

问题设定

现在考虑一个更一般的情况:系统有外部端口和内部端口。

graph TB
    A["外部端口 (e)"] --> B["散射核心"]
    B --> A
    B --> C["内部端口 (i)"]
    C --> D["反馈网络 C"]
    D --> C

外部端口 $(e)$ 是我们可以直接测量的;内部端口 $(i)$ 被反馈网络 $\mathcal{C}$ 闭合。

问题:如何从“开环“的完整散射矩阵 $S$ 和反馈连接 $\mathcal{C}$,得到“闭环“的等效散射矩阵 $S^{\circlearrowleft }$,它只作用在外部端口上?

Schur补的推导

将散射矩阵分块:

$$S=\left(\begin{array}{cc}{S}_{ee}& S_{ei}\\ S_{ie}& S_{ii}\end{array}\right)$$

散射方程为:

$$\left(\begin{array}{c}{\psi }_{\mathrm{out}}^{(e)}\\ {\psi }_{\mathrm{out}}^{(i)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{S}_{ee}& S_{ei}\\ S_{ie}& S_{ii}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\psi }_{\mathrm{in}}^{(e)}\\ {\psi }_{\mathrm{in}}^{(i)}\end{array}\right)$$

内部端口的闭合条件为:

$${\psi }_{\mathrm{in}}^{(i)}=\mathcal{C}\cdot {\psi }_{\mathrm{out}}^{(i)}$$

代入第二个方程:

$${\psi }_{\mathrm{out}}^{(i)}=S_{ie}{\psi }_{\mathrm{in}}^{(e)}+S_{ii}{\psi }_{\mathrm{in}}^{(i)}=S_{ie}{\psi }_{\mathrm{in}}^{(e)}+S_{ii}\mathcal{C}{\psi }_{\mathrm{out}}^{(i)}$$

解出:

$$[I-S_{ii}\mathcal{C}]{\psi }_{\mathrm{out}}^{(i)}=S_{ie}{\psi }_{\mathrm{in}}^{(e)}$$

$${\psi }_{\mathrm{out}}^{(i)}=[I-S_{ii}\mathcal{C}{]}^{-1}{S}_{ie}{\psi }_{\mathrm{in}}^{(e)}$$

再代入第一个方程:

$${\psi }_{\mathrm{out}}^{(e)}=S_{ee}{\psi }_{\mathrm{in}}^{(e)}+S_{ei}{\psi }_{\mathrm{in}}^{(i)}=S_{ee}{\psi }_{\mathrm{in}}^{(e)}+S_{ei}\mathcal{C}{\psi }_{\mathrm{out}}^{(i)}$$

$$=S_{ee}{\psi }_{\mathrm{in}}^{(e)}+S_{ei}\mathcal{C}[I-S_{ii}\mathcal{C}{]}^{-1}{S}_{ie}{\psi }_{\mathrm{in}}^{(e)}$$

因此,等效散射矩阵为:

$$S^{\circlearrowleft }=S_{ee}+S_{ei}\mathcal{C}[I-S_{ii}\mathcal{C}{]}^{-1}{S}_{ie}$$

这称为Schur补(Schur complement)。

Schur补的几何意义

Schur补的公式可以理解为:

$$S^{\circlearrowleft }=\underset{\text{直接传播}}{\underbrace{S_{ee}}}+\underset{\text{经由内部反馈的贡献}}{\underbrace{S_{ei}\mathcal{C}[I-S_{ii}\mathcal{C}{]}^{-1}{S}_{ie}}}$$

第二项正是“光经过内部端口,在反馈网络中多次反射,最后返回外部端口“的累积贡献。

用路径积分的语言:我们对所有可能的内部路径求和,得到外部端口之间的有效传播振幅。

延迟线与相位积累

频域中的延迟算符

在时域中,延迟 $\tau$ 对应于:

$$\psi (t)\mapsto \psi (t-\tau )$$

在频域中(Fourier变换后),对应于相位因子:

$$\tilde{\psi }(\omega )\mapsto e^{i\omega \tau }\tilde{\psi }(\omega )$$

证明:

$$\mathcal{F}[\psi (t-\tau )](\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }\psi (t-\tau )e^{-i\omega t}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }\psi (s)e^{-i\omega (s+\tau )}ds=e^{-i\omega \tau }\int \psi (s)e^{-i\omega s}ds=e^{-i\omega \tau }\tilde{\psi }(\omega )$$

等等,为什么是 $e^{-i\omega \tau }$ 而不是 $e^{i\omega \tau }$?

这取决于Fourier变换的约定!如果我们用

$$\tilde{\psi }(\omega )=\int \psi (t)e^{-i\omega t}dt$$

则延迟对应 $e^{-i\omega \tau }$。

但在散射理论中,通常采用“正频率向前传播“的约定 $e^{i(\omega t-kx)}$,此时延迟线对应 $e^{i\omega \tau }$(相位滞后)。

本文采用后者,即:

$$D(\omega ;\tau )=e^{i\omega \tau }$$

往返相位与量子化

在闭环中,一圈往返积累的总相位为:

$${\Phi }_{\mathrm{round}}(\omega ;\tau )={\varphi }_0(\omega )+\omega \tau$$

其中:

• ${\varphi }_0(\omega )$ 是内核散射(耦合器、增益段等)贡献的相位
• $\omega \tau$ 是延迟线贡献的“飞行相位“

当 ${\Phi }_{\mathrm{round}}$ 满足某些特殊值时,系统的共振条件剧烈改变。

共振条件(极点在实轴上):

$${\Phi }_{\mathrm{round}}({\omega }_n;\tau )=2\pi n$$

即:

$${\omega }_n\tau +{\varphi }_0({\omega }_n)=2\pi n$$

反共振条件(透射零点):

$${\Phi }_{\mathrm{round}}({\omega }_m;\tau )=(2m+1)\pi$$

当延迟 $\tau$ 连续变化时,共振频率 ${\omega }_n(\tau )$ 也连续变化。但当某个共振频率横过我们关注的测量频率 ${\omega }_{\ast }$ 时,系统的响应发生突变——这就是π-台阶的来源。

极点轨迹与谱流

复频平面上的极点

将频率扩展到复平面 $\omega \in \mathbb{C}$,极点方程变为:

$$1-r_{\mathrm{fb}}(\omega )e^{i\omega \tau }=0$$

写成:

$$r_{\mathrm{fb}}(\omega )=e^{-i\omega \tau }$$

设 $r_{\mathrm{fb}}(\omega )=|r(\omega )|e^{i\varphi (\omega )}$,则:

$$|r(\omega )|e^{i\varphi (\omega )}=e^{-i\omega \tau }$$

两边取模与辐角:

$$|r(\omega )|=e^{-\Im (\omega )\tau }$$

$$\varphi (\omega )=-\Re (\omega )\tau (\mathrm{mod}2\pi )$$

对于实频 $\omega \in \mathbb{R}$ 且 $|r(\omega )|<1$(有损耗),极点位于上半平面 $\Im \omega >0$。

当损耗减小($|r|\to 1$),极点趋近实轴;当延迟 $\tau$ 变化时,极点在复频平面上沿某条轨迹运动。

极点横过实轴

假设在某个延迟值 $\tau ={\tau }_c$ 时,极点恰好在实轴上:${\omega }_c\in \mathbb{R}$。

在 ${\tau }_c$ 附近,极点轨迹可以线性展开:

$$\omega (\tau )\approx {\omega }_c+(\tau -{\tau }_c)\cdot \frac{d\omega }{d\tau }{|}_{{\tau }_c}$$

由极点方程 $r(\omega )e^{i\omega \tau }=1$ 对 $\tau$ 求导:

$$\frac{\partial r}{\partial \omega }\frac{d\omega }{d\tau }{e}^{i\omega \tau }+r(\omega )\cdot i\left(\omega +\tau \frac{d\omega }{d\tau }\right)e^{i\omega \tau }=0$$

解出:

$$\frac{d\omega }{d\tau }=-\frac{i\omega r(\omega )}{r^{\prime }(\omega )+i\tau r(\omega )}$$

在 $\omega ={\omega }_c$ 实频处,如果 $r^{\prime }({\omega }_c)$ 有非零虚部,则 $\frac{d\omega }{d\tau }$ 有非零虚部,意味着极点横过实轴。

这是π-台阶的几何来源:极点从上半平面穿过实轴到下半平面(或反向),导致散射相位跃迁 $\pi$。

因果性与自指的时间结构

因果闭环的悖论?

乍看之下,自指反馈似乎违反因果性:如果输出依赖于输入,而输入又依赖于输出,岂不是循环论证?

关键在于延迟 $\tau >0$:在时刻 $t$ 的输出,影响的是时刻 $t+\tau$ 的输入。只要 $\tau >0$,因果链仍然是单向的,只不过形成了一个时间上的闭合回路。

graph LR
    A["t"] --> B["散射"]
    B --> C["延迟τ"]
    C --> D["t+τ"]
    D --> E["反馈"]
    E --> F["t+2τ"]
    F --> G["..."]
    style A fill:#e1f5ff
    style D fill:#ffe1f5
    style F fill:#e1ffe1

因果性要求:在时刻 $t$ 的状态,只能依赖于 $t^{\prime }<t$ 的历史。自指反馈满足这一点,因为“输出→延迟→输入“这一环节保证了时间的单向性。

自指的时间刻度解释

从统一时间刻度的角度,闭环散射网络可以理解为:

系统在频率空间中的响应 $S(\omega ;\tau )$,编码了系统在时间域中“回忆自己过去状态“的能力。

延迟 $\tau$ 决定了“记忆的时间窗口“:

• $\tau$ 很小:系统几乎“瞬时忘记“过去,反馈效应弱;
• $\tau$ 很大:系统“长期记忆“过去,反馈累积效应强。

刻度同一式告诉我们:

$$\kappa (\omega ;\tau )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega ;\tau )$$

右边的 $Q$ 是群延迟矩阵,描述波包在系统中的“停留时间“。在闭环中,由于反馈,波包可以多次绕行,停留时间显著增加——这正是共振的本质。

π-台阶对应于:当延迟参数跨越量子化台阶时,系统的“有效停留时间“(即 $\mathrm{tr}Q$)在频率积分意义下跃变一个单位。

多通道推广与矩阵形式

矩阵散射与Redheffer星乘

对于 $N$ 通道系统,散射矩阵 $S(\omega )$ 是 $N\times N$ 酉矩阵(无损耗)或子酉矩阵(有损耗)。

Redheffer星乘公式依然成立,只是现在所有量都是矩阵:

$$S^{\circlearrowleft }=S_{ee}+S_{ei}\mathcal{C}[I-S_{ii}\mathcal{C}{]}^{-1}{S}_{ie}$$

这里:

• $S_{ee},S_{ei},S_{ie},S_{ii}$ 是分块矩阵
• $\mathcal{C}=\mathrm{diag}(e^{i\omega {\tau }_1},\dots ,e^{i\omega {\tau }_M})$ 是多条延迟线的对角矩阵(如果各通道独立延迟)
• 或者 $\mathcal{C}(\omega )=R(\omega )e^{i\omega \tau }$,其中 $R(\omega )$ 是与频率相关的反馈矩阵

极点方程的矩阵形式

极点条件变为:

$$\det [I-S_{ii}(\omega )\mathcal{C}(\omega ;\tau )]=0$$

展开:

$$\det [I-R(\omega )e^{i\omega \tau }]=0$$

设 $R(\omega )$ 的特征值为 $\{{\lambda }_j(\omega )\}$,则:

$$\det [I-R(\omega )e^{i\omega \tau }]=\prod _{j=1}^M[1-{\lambda }_j(\omega )e^{i\omega \tau }]$$

极点条件等价于:存在某个 $j$,使得

$${\lambda }_j(\omega )e^{i\omega \tau }=1$$

每个特征值 ${\lambda }_j$ 产生一族极点,它们的轨迹与单通道情况类似,只是由 ${\lambda }_j(\omega )$ 代替 $r_{\mathrm{fb}}(\omega )$。

总相位与行列式

闭环散射矩阵的总相位定义为:

$$\phi (\omega ;\tau )=\arg \det S^{\circlearrowleft }(\omega ;\tau )$$

这是一个标量,汇总了所有通道的相位信息。

从Schur补公式:

$$\det S^{\circlearrowleft }=\det S_{ee}\cdot \det [I+S_{ee}^{-1}{S}_{ei}\mathcal{C}(I-S_{ii}\mathcal{C}{)}^{-1}{S}_{ie}]$$

利用矩阵行列式恒等式:

$$\det (I+AB)=\det (I+BA)$$

可以简化为:

$$\det S^{\circlearrowleft }=\det S_{ee}\cdot \frac{\det (I-S_{ii}\mathcal{C}+S_{ie}{S}_{ee}^{-1}{S}_{ei}\mathcal{C})}{\det (I-S_{ii}\mathcal{C})}$$

在某些特殊情况(如 $S_{ee}$ 对角、$S_{ei}{S}_{ie}$ 小量),可以进一步近似。

但无论如何,极点位置由分母的零点决定,这一点在多通道情况依然成立。

物理例子:微波传输线网络

系统设计

考虑一个实际的微波网络:

graph TB
    A["端口1"] --> B["3dB分束器"]
    B --> C["传输线1"]
    B --> D["传输线2"]
    C --> E["相位调制器"]
    D --> F["延迟线(可调)"]
    E --> G["合束器"]
    F --> G
    G --> H["端口2"]

这是一个Mach-Zehnder干涉仪配合反馈环路的组合。

参数:

• 传输线1长度固定,相位 ${\varphi }_1=\omega L_1/c$
• 传输线2长度可调,延迟 $\tau$ 可变
• 相位调制器施加额外相位 ${\varphi }_0$

散射矩阵计算

3dB分束器:

$$C_{50/50}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& i\\ i& 1\end{array}\right)$$

传输线:

$$T_1=e^{i{\varphi }_1},T_2(\tau )=e^{i\omega \tau }$$

相位调制器:

$$M=e^{i{\varphi }_0}$$

总散射矩阵(开环,端口1到端口2):

$$S_{\mathrm{open}}=C_{50/50}\cdot \left(\begin{array}{cc}M{T}_1& 0\\ 0& T_2(\tau )\end{array}\right)\cdot C_{50/50}$$

计算:

$$S_{\mathrm{open}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& i\\ i& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}M{e}^{i{\varphi }_1}& 0\\ 0& e^{i\omega \tau }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& i\\ i& 1\end{array}\right)$$

$$=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}M{e}^{i{\varphi }_1}& i{e}^{i\omega \tau }\\ iM{e}^{i{\varphi }_1}& e^{i\omega \tau }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& i\\ i& 1\end{array}\right)$$

$$=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}M{e}^{i{\varphi }_1}-e^{i\omega \tau }& i(M{e}^{i{\varphi }_1}+e^{i\omega \tau })\\ i(M{e}^{i{\varphi }_1}-e^{i\omega \tau })& -(M{e}^{i{\varphi }_1}+e^{i\omega \tau })\end{array}\right)$$

透射系数(端口1→端口2):

$$S_{21}=\frac{i}{2}(M{e}^{i{\varphi }_1}+e^{i\omega \tau })$$

相位:

$${\phi }_{21}=\arg S_{21}=\frac{\pi }{2}+\arg (M{e}^{i{\varphi }_1}+e^{i\omega \tau })$$

当 $M{e}^{i{\varphi }_1}=-e^{i\omega \tau }$ 时(相消干涉),$|S_{21}|=0$;当 $M{e}^{i{\varphi }_1}=e^{i\omega \tau }$ 时(相长干涉),$|S_{21}|=1$。

通过扫描 $\tau$,可以观测到周期性的干涉条纹,每个条纹对应一个延迟量子化台阶。

本章总结

本章建立了自指散射网络的数学基础:

核心公式

1. 单通道闭环散射: $$S_{\mathrm{tot}}(\omega ;\tau )=r_0+\frac{t_0^2{e}^{i\omega \tau }}{1-r_{\mathrm{fb}}{e}^{i\omega \tau }}$$

2. Schur补(多通道): $$S^{\circlearrowleft }=S_{ee}+S_{ei}\mathcal{C}[I-S_{ii}\mathcal{C}{]}^{-1}{S}_{ie}$$

3. 极点方程: $$\det [I-R(\omega )e^{i\omega \tau }]=0$$

4. 极点位置: $${\omega }_n(\tau )=\frac{1}{\tau }\left[\arg {\lambda }_j^{-1}+2\pi n-i\ln |{\lambda }_j{|}^{-1}\right]$$

物理图像

• 反馈闭环 = 因果链在时间上的闭合回路(由于 $\tau >0$,不违反因果性)
• 延迟线 = 频域的相位因子 $e^{i\omega \tau }$(时域的时间平移算符)
• 极点 = 无穷多次反馈的几何级数求和的奇点
• 极点轨迹 = 随参数 $\tau$ 变化,极点在复频平面上运动;横过实轴时引发π-台阶

关键洞察

自指反馈的数学本质,是用几何级数求和将无穷多次反射压缩成一个有限的等效散射矩阵。极点位置编码了“系统回忆自己需要多长时间“的信息,而极点横过实轴的事件,则对应拓扑相变——这正是下一章π-台阶定理的主题。

思考题

1. 验证无损性:对单通道模型,若 $|r_0{|}^2+|t_0{|}^2=1$ 且 $|r_{\mathrm{fb}}|=1$,证明 $|S_{\mathrm{tot}}(\omega ;\tau )|=1$(系统无损)。

2. 极点密度:对给定 $\tau$,估算实轴附近单位频率内的极点个数(提示:利用 ${\omega }_n\sim 2\pi n/\tau$)。

3. Redheffer星乘的结合律:证明 $(S_3\star S_2)\star S_1=S_3\star (S_2\star S_1)$(散射单元的级联满足结合律,但不满足交换律)。

4. 微波实验设计:如果你有一台矢量网络分析仪(可测复散射系数),如何设计实验来观测极点轨迹?需要扫描哪些参数?

5. 因果性检验:在闭环系统中,时域的响应函数 $h(t)$ 应满足 $h(t)=0$ for $t<0$(因果性)。从频域的 $S(\omega ;\tau )$ 出发,如何验证这一点?(提示:Kramers-Kronig关系)

下一章预告

在建立了闭环散射矩阵的基础上,下一章将进入本系列的核心:

π-台阶量子化机制

我们将:

• 用辐角原理严格证明:极点横过实轴 $\Rightarrow$ 相位跃迁 $\pm \pi$
• 推导延迟量子化台阶 ${\tau }_k$ 的精确公式
• 展示群延迟双峰并合的平方根标度律 $\Delta \omega \sim \sqrt{|\tau -{\tau }_c|}$
• 建立π-台阶与统一时间刻度的联系:$\int \kappa (\omega )d\omega$ 的单位跃迁

让我们继续这场精确而优美的数学之旅!