第4章 注意–时间–知识图谱：时间选择的信息积累几何

引言：注意力的时间刻度

当你在拥挤的咖啡馆中专注阅读，周围的嘈杂声“消失“了；当你在紧急情况下高度警觉，时间似乎“放慢“了——这两种现象都涉及注意力如何塑造时间体验。

在前几章中，我们建立了观察者截面的数学框架：观察者通过世界线的“切片“$(\gamma (\tau ),{\mathcal{A}}_{\gamma ,\Lambda }(\tau ),{\rho }_{\gamma ,\Lambda }(\tau ))$访问宇宙的局部信息。但一个关键问题尚未回答：观察者如何选择“看什么“？

本章将构建注意力–时间–知识图谱的统一理论，揭示：

• 注意力是观察者在信息流形上的时间依赖权重分布
• 时间选择通过注意力算子实施信息积累的几何约束
• 知识图谱是信息流形的离散骨架，在长时间极限下谱收敛到真实几何

这一理论将“注意力经济学“中的稀缺资源分配问题，转化为信息几何上的变分最优化问题。

graph TB
    subgraph "观察者三层结构"
        A["注意力算子A<sub>t</sub><br/>选择'看什么'"]
        B["知识图谱G<sub>t</sub><br/>编码'知道什么'"]
        C["时间本征刻度τ(t)<br/>体验'过了多久'"]
    end

    subgraph "信息几何约束"
        D["任务信息流形(S<sub>Q</sub>,g<sub>Q</sub>)"]
        E["复杂性流形(M,G)"]
    end

    A --> B
    B --> C
    D --> A
    E --> C
    A --> D
    C --> E

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style C fill:#ffe1f5
    style D fill:#e1ffe1

核心洞察：信息积累的三重约束

想象一个探险家在未知地形中绘制地图：

1. 注意力带宽：他每天只能探索有限区域（注意力算子$A_t$的支撑）
2. 复杂性预算：行走路径的总长度受体力限制（复杂性流形上的世界线长度$C_{\max }$）
3. 知识图谱：他绘制的地图是离散采样点（节点$V_t$）与路径（边$E_t$），逐渐逼近真实地形

本章将证明：在这三重约束下，观察者可积累的信息量$H_Q(T)$与复杂性预算$C_{\max }$成线性上界，并且知识图谱的谱维数在长时间极限下收敛到信息流形的真实维数。

第一部分：注意力算子——观察者的“聚光灯“

1.1 注意力的双重形式化

在计算宇宙框架$(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I})$中，观察者无法同时访问所有配置$x\in X$。注意力刻画了观察者在每个时刻的“可见窗口“。

定义1.1（离散注意力算子）

在时间步$k$，观察者的注意力算子是函数：

$$A_k:X\to [0,1]$$

满足归一化：

$$\sum _{x\in X}{A}_k(x)=1$$

或弱约束${\sum }_{x\in X}{A}_k(x)\le B_{\mathrm{att}}$（总注意力带宽）。

可见配置子集定义为：

$$X_k^{\mathrm{att}}=\{x\in X:A_k(x)>0\}$$

物理图像：$A_k(x)$是观察者将“认知资源“分配给配置$x$的权重。就像舞台上的聚光灯，高亮某些区域，其他区域则处于“阴影“中。

定义1.2（连续注意力密度）

在任务信息流形$({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$上，注意力可表示为概率密度：

$${\rho }_t(\varphi )\ge 0,{\int }_{{\mathcal{S}}_Q}{\rho }_t(\varphi )d{\mu }_{g_Q}(\varphi )=1$$

其中$d{\mu }_{g_Q}=\sqrt{\det g_Q}d\varphi$为体积元。

graph LR
    subgraph "离散注意力"
        A["配置空间X"]
        B["权重A<sub>k</sub>(x)"]
        C["可见子集X<sub>k</sub><sup>att</sup>"]
    end

    subgraph "连续注意力"
        D["信息流形S<sub>Q</sub>"]
        E["密度ρ<sub>t</sub>(φ)"]
        F["高注意区域supp(ρ<sub>t</sub>)"]
    end

    A --> D
    B --> E
    C --> F

    style B fill:#e1f5ff
    style E fill:#fff4e1

1.2 注意力与观察者内部状态

观察者的注意力由其内部记忆状态$m_k\in M_{\mathrm{int}}$决定。形式化为：

观察者对象：

$$O=(M_{\mathrm{int}},{\Sigma }_{\mathrm{obs}},{\Sigma }_{\mathrm{act}},\mathcal{P},\mathcal{U})$$

其中：

• $M_{\mathrm{int}}$：内部记忆状态空间（有限或可数）
• ${\Sigma }_{\mathrm{obs}}$：观测符号空间
• ${\Sigma }_{\mathrm{act}}$：动作空间
• $\mathcal{P}:M_{\mathrm{int}}\to \Delta ({\Sigma }_{\mathrm{act}})$：注意力–观测策略
• $\mathcal{U}:M_{\mathrm{int}}\times {\Sigma }_{\mathrm{obs}}\to M_{\mathrm{int}}$：内部更新算子

动力学循环：

1. 观察者处于内部状态$m_k$，宇宙处于配置$x_k$
2. 根据策略$\mathcal{P}(m_k)$选择动作$a_k$（决定“看哪里“）
3. 宇宙返回观测符号$o_k\sim p(o|x_k,a_k)$
4. 更新内部状态$m_{k+1}=\mathcal{U}(m_k,o_k)$

注意力算子$A_k$由$\mathcal{P}(m_k)$与当前轨道位置$(x_k,{\varphi }_k)$联合确定。

比喻：想象一个带有头灯的矿工在黑暗洞穴中探索。他的“记忆地图“$m_k$告诉他“已经探索过哪里“，他的“决策策略“$\mathcal{P}$告诉他“接下来朝哪个方向照射头灯“，每次观测$o_k$更新地图$m_{k+1}$。

1.3 注意力的资源约束

约束1（带宽约束）：

$${\int }_{{\mathcal{S}}_Q}{\rho }_t(\varphi )d{\mu }_{g_Q}(\varphi )=1$$

归一化条件意味着注意力总量守恒——专注于某处必然忽略其他地方。

约束2（二阶矩约束）：

$${\int }_{{\mathcal{S}}_Q}{\rho }_t(\varphi )d_{{\mathcal{S}}_Q}^2(\varphi ,\bar{\varphi })d{\mu }_{g_Q}(\varphi )\le B_{\mathrm{att}}$$

对某固定参考点$\bar{\varphi }$，注意力的“空间分散度“有界。这防止注意力过度分散（无法聚焦）或过度集中（视野狭窄）。

物理类比：在量子力学中，波函数归一化$\int |\psi {|}^2=1$对应概率守恒；这里${\rho }_t$的归一化对应“认知资源总量守恒“。二阶矩约束类似海森堡不确定性原理：无法同时实现“聚焦度高“与“覆盖范围广“。

第二部分：知识图谱——信息流形的离散骨架

2.1 知识图谱的四元组定义

观察者通过有限时间的探索，无法访问信息流形${\mathcal{S}}_Q$的所有点。他构建的知识表征是离散图：

定义2.1（时刻$t$的知识图谱）

$${\mathcal{G}}_t=(V_t,E_t,w_t,{\Phi }_t)$$

其中：

1. $V_t$：有限节点集合，每个节点代表一个“概念“或“抽象状态“
2. $E_t\subset V_t\times V_t$：有向或无向边集，表示概念之间的关系（因果、蕴含、相似等）
3. $w_t:E_t\to (0,\infty )$：边权，表示关系强度
4. 嵌入映射${\Phi }_t:V_t\to {\mathcal{S}}_Q$：将每个节点嵌入信息流形中的点

graph TB
    subgraph "知识图谱G<sub>t</sub>"
        V1["概念1"]
        V2["概念2"]
        V3["概念3"]
        V4["概念4"]
        V1 -->|w<sub>12</sub>| V2
        V2 -->|w<sub>23</sub>| V3
        V1 -->|w<sub>14</sub>| V4
        V3 -->|w<sub>34</sub>| V4
    end

    subgraph "信息流形S<sub>Q</sub>"
        P1["Φ<sub>t</sub>(V1)"]
        P2["Φ<sub>t</sub>(V2)"]
        P3["Φ<sub>t</sub>(V3)"]
        P4["Φ<sub>t</sub>(V4)"]
    end

    V1 -.嵌入.-> P1
    V2 -.嵌入.-> P2
    V3 -.嵌入.-> P3
    V4 -.嵌入.-> P4

    style V1 fill:#e1f5ff
    style V2 fill:#fff4e1
    style V3 fill:#ffe1f5
    style V4 fill:#e1ffe1

物理图像：知识图谱就像“地图上的采样点“。探险家无法测量每一寸地形，只能在关键位置打桩（节点$V_t$），标注路径（边$E_t$），记录相对位置（嵌入${\Phi }_t$）。

2.2 图Laplace算子与谱结构

在知识图谱上定义图Laplace算子：

$$({\Delta }_{t}f)(v)=\sum _{u\sim v}{w}_t(v,u)(f(u)-f(v))$$

对任意函数$f:V_t\to \mathbb{R}$。这是离散版本的Laplace–Beltrami算子。

谱性质：

• 特征值$0={\lambda }_1^{(t)}\le {\lambda }_2^{(t)}\le \cdots \le {\lambda }_{|V_t|}^{(t)}$
• 最小非零特征值${\lambda }_2^{(t)}$（Fiedler值）刻画图的“连通性“
• 大特征值的分布刻画图的“局部几何“

定义2.2（知识图谱的谱维数）

$$d_{\mathrm{spec}}(t)=-2\underset{\epsilon \downarrow 0}{\lim }\frac{\log \mathrm{Tr}\exp (\epsilon {\Delta }_t)}{\log \epsilon }$$

若该极限存在。$d_{\mathrm{spec}}(t)$描述图在小尺度下的“有效维数“。

2.3 谱逼近：从离散到连续

关键问题：知识图谱${\mathcal{G}}_t$在多大程度上“忠实“表征信息流形${\mathcal{S}}_Q$？

定义2.3（谱逼近条件）

称${\mathcal{G}}_t$在$({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$上谱逼近，若：

1. 嵌入点${\Phi }_t(V_t)$在${\mathcal{S}}_Q$中随$t\to \infty$变得稠密
2. 以嵌入构造的核权重：

$$w_t(v,u)={\eta }_t^{-d}K\left(\frac{d_{{\mathcal{S}}_Q}({\Phi }_t(v),{\Phi }_t(u))}{{\eta }_t}\right)$$

使得图Laplace ${\Delta }_t$在适当缩放下$\Gamma$-收敛到连续Laplace–Beltrami算子${\Delta }_{g_Q}$。

定理2.1（谱维数收敛）

若${\mathcal{G}}_t$谱逼近$({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$，且信息流形的局部信息维数$d_{\mathrm{info},Q}$在紧致区域$K$上为常数，则：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }{d}_{\mathrm{spec}}(t)=d_{\mathrm{info},Q}$$

意义：在长期学习过程中，观察者的知识图谱谱维数趋向信息流形的真实维数，意味着知识图谱在几何上逐渐成为信息流形的高保真骨架。

比喻：想象用三角网格逼近球面。网格节点数增加、间距缩小时，离散Laplace算子的谱逼近球面上连续Laplace算子的谱（与球谐函数对应）。这里，观察者的知识图谱扮演“三角网格“的角色。

第三部分：扩展世界线——注意力与知识的联合动力学

3.1 观察者–宇宙的联合状态空间

在之前章节中，我们定义了观察者在联合流形${\mathcal{E}}_Q=\mathcal{M}\times {\mathcal{S}}_Q$上的世界线：

$$z(t)=(\theta (t),\varphi (t))$$

其中$\theta (t)\in \mathcal{M}$为控制流形坐标，$\varphi (t)\in {\mathcal{S}}_Q$为信息流形坐标。

现在引入扩展世界线，包含内部状态、知识图谱与注意力：

定义3.1（扩展世界线）

$$\hat{z}(t)=(\theta (t),\varphi (t),m(t),{\mathcal{G}}_t,A_t)$$

其中：

• $(\theta (t),\varphi (t))\in {\mathcal{E}}_Q$：控制–信息状态
• $m(t)\in M_{\mathrm{int}}$：内部记忆状态
• ${\mathcal{G}}_t=(V_t,E_t,w_t,{\Phi }_t)$：知识图谱
• $A_t$或${\rho }_t$：注意力算子

graph TB
    subgraph "扩展状态空间"
        A["(θ,φ)∈E<sub>Q</sub><br/>物理–信息位置"]
        B["m∈M<sub>int</sub><br/>内部记忆"]
        C["G<sub>t</sub><br/>知识图谱"]
        D["A<sub>t</sub><br/>注意力"]
    end

    E["复杂性流形M"]
    F["信息流形S<sub>Q</sub>"]

    E --> A
    F --> A
    A --> B
    B --> C
    B --> D
    C --> D

    style A fill:#e1f5ff
    style C fill:#fff4e1
    style D fill:#ffe1f5

3.2 观测–计算作用量

在时间–信息–复杂性联合作用量${\mathcal{A}}_Q$的基础上，加入观察者内部代价：

定义3.2（观察者–计算联合作用量）

$${\hat{\mathcal{A}}}_Q[\hat{z}(\cdot )]={\int }_0^T(K_{\mathrm{comp}}(t)+K_{\mathrm{info}}(t)-\gamma U_Q(\varphi (t))+R_{\mathrm{KG}}(t)+R_{\mathrm{att}}(t))dt$$

其中：

1. 复杂性动能：

$$K_{\mathrm{comp}}(t)=\frac{1}{2}{\alpha }^2{G}_{ab}(\theta ){\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b$$

2. 信息动能：

$$K_{\mathrm{info}}(t)=\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_{ij}(\varphi ){\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j$$

3. 知识势能：

$$U_Q(\varphi )=I_Q(\varphi )$$

其中$I_Q(\varphi )$为任务信息质量函数（如相对熵、互信息）。

4. 知识图谱更新代价：

$$R_{\mathrm{KG}}(t)={\lambda }_{\mathrm{KG}}\mathsf{D}({\mathcal{G}}_{t+dt},{\mathcal{G}}_t)$$

其中$\mathsf{D}$为图之间的距离（如谱距离、Gromov–Wasserstein距离）。

5. 注意力配置代价：

$$R_{\mathrm{att}}(t)={\lambda }_{\mathrm{att}}{\mathsf{C}}_{\mathrm{att}}(A_t)$$

例如熵正则${\mathsf{C}}_{\mathrm{att}}({\rho }_t)=-\int {\rho }_t\log {\rho }_{t}d{\mu }_{g_Q}$，或带宽约束。

物理解释：

• 前三项：之前的时间–信息–复杂性变分
• $R_{\mathrm{KG}}$：频繁更新知识图谱（加入新节点、调整边权）需要“认知成本“
• $R_{\mathrm{att}}$：改变注意力配置（如切换聚焦区域）需要“切换成本“

3.3 Euler–Lagrange条件与最优策略

极小化${\hat{\mathcal{A}}}_Q$给出最优的观测–计算–学习策略。形式上：

$$\frac{\delta {\hat{\mathcal{A}}}_Q}{\delta \theta }=0,\frac{\delta {\hat{\mathcal{A}}}_Q}{\delta \varphi }=0,\frac{\delta {\hat{\mathcal{A}}}_Q}{\delta {\mathcal{G}}_t}=0,\frac{\delta {\hat{\mathcal{A}}}_Q}{\delta A_t}=0$$

前两式给出控制–信息坐标的测地方程；后两式给出：

最优知识图谱更新：在每个时刻，平衡“信息收益“与“图更新代价“，选择最优的节点添加/边调整策略。

最优注意力配置：在给定带宽约束下，选择最大化短期信息增益的注意力分布${\rho }_t^{\ast }$。

比喻：就像登山者在有限体力与时间下规划路线。他需要权衡：

• 走得快（复杂性动能小）vs 到达高价值区域（信息势能低）
• 频繁更新地图（$R_{\mathrm{KG}}$高）vs 使用粗糙地图（$R_{\mathrm{KG}}$低）
• 宽广扫视（$R_{\mathrm{att}}$高）vs 聚焦局部（$R_{\mathrm{att}}$低）

第四部分：信息积累不等式——资源约束下的上界

4.1 知识量的度量

定义观察者在任务$Q$下的知识量：

$$H_Q(t)=\sum _{v\in V_t}{\pi }_t(v)I_Q({\Phi }_t(v))$$

其中${\pi }_t$为知识图谱节点上的权重分布（如访问频率、重要性评分）。

信息积累速率：

$${\dot{H}}_Q(t)=\frac{d}{dt}{H}_Q(t)$$

物理意义：$H_Q(t)$测量观察者“知道多少“关于任务$Q$的信息。${\dot{H}}_Q(t)$测量“学习速度“。

4.2 Fisher信息获取速率

假设观察者通过注意力密度${\rho }_t(\varphi )$对信息流形采样，其单步Fisher信息获取速率：

$$J(t)={\int }_{{\mathcal{S}}_Q}{\rho }_t(\varphi )|\nabla I_Q(\varphi ){|}_{g_Q}^{2}d{\mu }_{g_Q}(\varphi )$$

意义：$J(t)$刻画“在当前注意力配置下，信息质量函数$I_Q$的梯度平方期望“——相当于“当前学习方向的陡峭程度“。

在复杂性–信息联合几何中，$J(t)$与信息动能$v_{{\mathcal{S}}_Q}^2(t)$通过Lipschitz关系联系：

$$J(t)\lesssim L_I^2{v}_{{\mathcal{S}}_Q}^2(t)$$

其中$L_I$为$I_Q$的Lipschitz常数。

4.3 信息积累不等式

定理4.1（观察者信息积累上界）

假设：

1. 任务信息质量函数$I_Q$在${\mathcal{S}}_Q$上Lipschitz，梯度有界：

$$|\nabla I_Q(\varphi ){|}_{g_Q}\le C_I,\forall \varphi \in {\mathcal{S}}_Q$$

2. 注意力密度${\rho }_t$的二阶矩有界：

$${\int }_{{\mathcal{S}}_Q}{\rho }_t(\varphi )d_{{\mathcal{S}}_Q}^2(\varphi ,\bar{\varphi })d{\mu }_{g_Q}(\varphi )\le B_{\mathrm{att}}$$

3. 观察者的复杂性预算为：

$$C_{\max }={\int }_0^T\sqrt{G_{ab}(\theta (t)){\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b}dt$$

则存在常数$K>0$（仅依赖于$C_I,B_{\mathrm{att}}$与几何结构），使得：

$$\boxed{H_Q(T)-H_Q(0)\le K{C}_{\max }}$$

证明梗概：

对$H_Q(t)$求导：

$${\dot{H}}_Q(t)=\sum _{v\in V_t}{\dot{\pi }}_t(v)I_Q({\Phi }_t(v))+\sum _{v\in V_t}{\pi }_t(v)\nabla I_Q({\Phi }_t(v))\cdot {\dot{\Phi }}_t(v)$$

第二项用Cauchy–Schwarz不等式估计：

$$\left|\sum _v{\pi }_t(v)\nabla I_Q({\Phi }_t(v))\cdot {\dot{\Phi }}_t(v)\right|\le C_I\sqrt{B_{\mathrm{att}}}\sqrt{v_{{\mathcal{S}}_Q}^2(t)}$$

在联合作用量中，$v_{{\mathcal{S}}_Q}^2(t)$与$v_{\mathcal{M}}^2(t)$通过权重$\alpha ,\beta$耦合。利用变分最优性，可证：

$${\int }_0^T\sqrt{v_{{\mathcal{S}}_Q}^2(t)}dt\le K_2{C}_{\max }$$

从而：

$$H_Q(T)-H_Q(0)\le {\int }_0^T|{\dot{H}}_Q(t)|dt\le K{C}_{\max }$$

graph LR
    A["复杂性预算C<sub>max</sub>"] --> B["信息速度v<sub>S<sub>Q</sub></sub><sup>2</sup>(t)"]
    B --> C["Fisher获取J(t)"]
    C --> D["知识增长Ḣ<sub>Q</sub>(t)"]
    D --> E["总知识H<sub>Q</sub>(T)"]

    F["注意力带宽B<sub>att</sub>"] --> C
    G["梯度上界C<sub>I</sub>"] --> C

    style A fill:#e1f5ff
    style E fill:#ffe1e1

物理意义：

• 信息积累量与复杂性资源成线性上界
• 注意力带宽$B_{\mathrm{att}}$与梯度界$C_I$仅改变比例常数$K$，不改变线性形式
• 这是“认知资源稀缺性“的几何表达：无限制学习不可能，信息获取速率受物理约束

比喻：就像用水桶从河里打水。水桶大小（$B_{\mathrm{att}}$）、河水流速（$C_I$）、行走速度（$v_{\mathcal{M}}$）共同决定单位时间的打水量。但无论如何优化，总打水量不可能超过“行走总距离“（$C_{\max }$）乘以某个常数。

4.4 时间选择的最优性条件

从信息积累不等式可以推导时间选择的最优策略：

推论4.2（注意力最优配置）

在固定复杂性预算$C_{\max }$与时间窗口$[0,T]$下，最大化$H_Q(T)$的注意力策略${\rho }_t^{\ast }$满足：

$${\rho }_t^{\ast }(\varphi )\propto |\nabla I_Q(\varphi ){|}_{g_Q}^2\exp \left(-\frac{d_{{\mathcal{S}}_Q}^2(\varphi ,{\varphi }_t^{\ast })}{2{\sigma }_t^2}\right)$$

其中${\varphi }_t^{\ast }=\varphi (t)$为当前轨道位置，${\sigma }_t^2$为温度参数（由带宽约束$B_{\mathrm{att}}$确定）。

意义：最优注意力是“梯度平方加权“与“距离惩罚“的组合：

• 优先关注信息梯度大的区域（“学习边界”）
• 但不能离当前位置太远（受注意力带宽限制）

物理类比：在量子力学中，测量算子的选择影响信息获取速率（Cramér–Rao下界）；在经典信息论中，通信信道的容量限制信息传输速率。这里，注意力算子扮演“测量算子“或“信道“的角色，在几何约束下优化信息流。

第五部分：时间感与注意力调制

5.1 从Fisher信息到主观时长

回顾第3章的主观时长定义：

$$t_{\mathrm{subj}}(\tau )={\int }_0^{\tau }(F_Q^A(t){)}^{-1/2}dt$$

其中$F_Q^A$为局域量子Fisher信息。现在，我们将其与注意力算子联系：

命题5.1（注意力调制的主观时长）

若观察者的量子Fisher信息与注意力带宽满足：

$$F_Q^A(t)\propto \frac{1}{B_{\mathrm{att}}(t)}$$

（带宽越大，可辨识性越低），则主观时长可写为：

$$t_{\mathrm{subj}}(\tau )\approx {\int }_0^{\tau }\sqrt{B_{\mathrm{att}}(t)}dt$$

意义：注意力分散（$B_{\mathrm{att}}$大）导致主观时长延伸。

实验预测：

• 在多任务情境下（注意力分散于多个对象），时间感受“变慢“
• 在单一聚焦任务下（注意力集中于单个对象），时间感受“变快“

这与经典的“注意力–时间扭曲“现象一致：复杂任务让时间“过得慢“，简单重复任务让时间“过得快“。

5.2 知识图谱与时间深度

时间深度的概念：观察者对“过去有多远“的感知，可以用知识图谱的路径长度刻画。

定义5.1（时间深度）

在知识图谱${\mathcal{G}}_t$上，从当前概念节点$v_{\mathrm{now}}$回溯到“起源“节点$v_0$的最短路径长度：

$$D_{\mathrm{time}}(t)=\underset{v_0\in V_0}{\min }{d}_{{\mathcal{G}}_t}(v_{\mathrm{now}},v_0)$$

其中$d_{{\mathcal{G}}_t}$为图上的测地距离。

命题5.2（时间深度增长律）

在谱逼近条件下，时间深度的增长率与信息流形上的测地距离增长率一致：

$$\frac{d{D}_{\mathrm{time}}}{dt}\sim \sqrt{v_{{\mathcal{S}}_Q}^2(t)}$$

意义：在信息流形上“走得快“的观察者，其知识图谱的时间深度增长也快——这对应于“信息密集体验导致时间感受延伸“的现象。

比喻：想象一本回忆录。每个章节（节点）之间的关系（边）构成“记忆图谱“。回忆“起点“到“现在“的路径长度，就是“感觉过了多久“的心理度量。密集的经历（高$v_{{\mathcal{S}}_Q}$）让回忆录“篇幅“增长更快。

graph TB
    subgraph "稀疏体验"
        A1["事件1"] --> A2["事件2"] --> A3["事件3"]
    end

    subgraph "密集体验"
        B1["事件1"] --> B2["事件2"]
        B2 --> B3["事件3"]
        B2 --> B4["事件4"]
        B3 --> B5["事件5"]
        B4 --> B5
        B5 --> B6["事件6"]
    end

    C["时间深度短"] -.对应.- A3
    D["时间深度长"] -.对应.- B6

    style A3 fill:#fff4e1
    style B6 fill:#ffe1f5

第六部分：工程化路径——注意力追踪与知识图谱可视化

6.1 眼动追踪与注意力估计

实验设计：

1. 呈现视觉刺激（如复杂图像、文本段落）
2. 记录眼动轨迹$(x_{\mathrm{gaze}}(t),y_{\mathrm{gaze}}(t))$与注视时长$t_{\mathrm{fixation}}$
3. 构建空间注意力热图：

$$A_{\mathrm{spatial}}(x,y)=\sum _i{t}_{\mathrm{fixation},i}\delta (x-x_i,y-y_i)$$

4. 映射到信息流形：若图像像素$(x,y)$对应特征向量$\varphi (x,y)\in {\mathcal{S}}_Q$，则：

$${\rho }_t(\varphi )=\int A_{\mathrm{spatial}}(x,y)\delta (\varphi -\varphi (x,y))dxdy$$

验证预测：

• 检验${\rho }_t^{\ast }$是否集中在$|\nabla I_Q|$大的区域（高信息梯度）
• 检验注意力带宽$B_{\mathrm{att}}$与任务复杂度的关系

6.2 概念图谱的神经嵌入

方法：

1. 采集被试的语义联想网络：给定概念词$v_i$，要求列举相关概念$v_j$，赋予相似度评分$w_{ij}$
2. 构建知识图谱$\mathcal{G}=(V,E,w,\Phi )$，其中$V$为概念集，$E$为联想关系
3. 用图嵌入算法（如Node2Vec、GCN）学习嵌入$\Phi :V\to {\mathbb{R}}^d$
4. 计算图Laplace谱$\{{\lambda }_i\}$与热核迹$\mathrm{Tr}\exp (\epsilon \Delta )$
5. 估计谱维数$d_{\mathrm{spec}}$

验证定理2.1：

• 比较被试（不同学习阶段）的$d_{\mathrm{spec}}(t)$
• 预期：长期学习后，$d_{\mathrm{spec}}(t)$趋向任务信息流形的真实维数

6.3 主动学习与信息积累

算法框架：

1. 初始化知识图谱${\mathcal{G}}_0$与注意力${\rho }_0$
2. 在每个时间步$t$：
   • 根据当前${\mathcal{G}}_t,{\rho }_t$选择查询动作$a_t$（主动采样）
   • 观测结果$o_t$，更新内部状态$m_{t+1}=\mathcal{U}(m_t,o_t)$
   • 更新知识图谱${\mathcal{G}}_{t+1}$（添加节点/调整边权）
   • 更新注意力${\rho }_{t+1}$（根据信息增益重新分配）
3. 记录信息积累曲线$H_Q(t)$与复杂性消耗$C(t)$

验证定理4.1：

• 检验$H_Q(T)$是否与$C(T)$成线性关系
• 估计比例常数$K$与注意力带宽$B_{\mathrm{att}}$的依赖

6.4 跨模态知识图谱

扩展：在多模态任务中（视觉+语言+听觉），知识图谱的节点来自不同模态：

$$V_t=V_t^{\mathrm{vis}}\cup V_t^{\mathrm{lang}}\cup V_t^{\mathrm{aud}}$$

跨模态边$E_t^{\mathrm{cross}}$连接不同模态的概念（如图像“狗“$\leftrightarrow$词语“dog“）。

嵌入对齐：

• 视觉特征${\varphi }^{\mathrm{vis}}\in {\mathcal{S}}_Q^{\mathrm{vis}}$
• 语言特征${\varphi }^{\mathrm{lang}}\in {\mathcal{S}}_Q^{\mathrm{lang}}$
• 跨模态映射$f:{\mathcal{S}}_Q^{\mathrm{vis}}\to {\mathcal{S}}_Q^{\mathrm{lang}}$（如CLIP模型）

研究问题：跨模态知识图谱的谱维数如何与各单模态流形的维数关联？

第七部分：与既有理论的对话

7.1 注意力经济学

经典理论（Simon, 1971；Kahneman, 1973）：

• 注意力是稀缺资源，需要在多任务间分配
• 双重任务干扰测量注意力容量

本理论的扩展：

• 将“注意力容量“几何化为带宽约束$B_{\mathrm{att}}$
• 将“任务干扰“表述为信息流形上多个高梯度区域的空间分离
• 提供从几何约束到行为预测的定量桥梁

7.2 流形学习与表征学习

经典理论（Tenenbaum, 2000；Belkin & Niyogi, 2003）：

• 高维数据嵌入低维流形
• 图Laplace收敛到流形Laplace

本理论的创新：

• 将“数据流形“解释为“任务信息流形“${\mathcal{S}}_Q$
• 将“学习者“形式化为带有限记忆的观察者对象
• 图谱收敛定理（定理2.1）给出“认知收敛“的几何保证

7.3 主动推理与贝叶斯脑

经典理论（Friston, 2010；Active Inference）：

• 大脑最小化“自由能“（变分下界）
• 行动选择最小化预测误差

本理论的联系：

• 联合作用量${\hat{\mathcal{A}}}_Q$可视为“广义自由能“
• 注意力算子${\rho }_t$对应“精度加权“（precision weighting）
• 知识图谱更新对应“贝叶斯滤波“在离散图上的实现

7.4 时间知觉的标量期望理论

经典理论（Scalar Expectancy Theory, Gibbon, 1977）：

• 内部时钟模型：起搏器–开关–累加器
• 注意力调制开关

本理论的几何重构：

• “起搏器频率”$\leftrightarrow$ $\sqrt{F_Q^A}$（量子Fisher信息平方根）
• “累加器”$\leftrightarrow$主观时长积分$t_{\mathrm{subj}}$
• “注意力开关”$\leftrightarrow$注意力带宽$B_{\mathrm{att}}$调制$F_Q^A$

第八部分：讨论——认知资源的几何约束与涌现智能

8.1 适用域与假设强度

Lipschitz与有界梯度假设：

• 信息质量函数$I_Q$的Lipschitz性保证信息积累不等式的线性上界
• 实际中，$I_Q$可能有奇异点（如相变边界）
• 需要局部化处理或正则化

谱逼近假设：

• 知识图谱${\mathcal{G}}_t$谱逼近信息流形要求长时间极限$t\to \infty$
• 有限时间内，谱维数$d_{\mathrm{spec}}(t)$可能振荡或偏离
• 需要引入“逼近速率“的定量估计

有限记忆假设：

• 内部状态空间$M_{\mathrm{int}}$有限限制了观察者的“工作记忆容量“
• 实际认知系统可能有分层记忆（短期vs长期）
• 需要扩展为多尺度记忆模型

8.2 信息积累上界的紧性

问题：定理4.1给出的上界$H_Q(T)\le K{C}_{\max }$是否是紧的（tight）？

分析：

• 在“均匀探索“策略下（${\rho }_t$为常数分布），上界接近达到
• 在“贪婪探索“策略下（${\rho }_t$集中在当前最优点），上界可能松弛
• 最优策略（推论4.2）在某些情形下可达到上界的渐近紧性

工程意义：紧上界意味着“无法通过优化注意力策略突破线性增长率“——这是认知资源稀缺性的根本限制。

8.3 从单观察者到多观察者

本章聚焦单观察者。在第6章将扩展至多观察者共识几何，其中：

• 知识图谱${\mathcal{G}}_t^{(i)}$在观察者间异质
• 注意力${\rho }_t^{(i)}$受社会网络拓扑影响
• 共识能量${\mathcal{E}}_{\mathrm{cons}}$耦合个体知识图谱

预期现象：

• 知识图谱的谱收敛速度与社会网络的连通性正相关
• 多观察者的联合信息积累可突破单观察者的线性上界（“集体智能“涌现）

8.4 时间选择与自由意志

哲学问题：观察者是否“自由选择“注意力配置？

本理论的回答：

• 注意力算子$A_t$由内部状态$m_t$与策略$\mathcal{P}$确定——这是“决定论“的
• 但策略$\mathcal{P}$本身可能是“涌现“的（从长期学习中优化得到）
• “自由意志“可以理解为“在几何约束下的最优策略空间中的选择自由度”

在第5章将深入探讨Empowerment（因果控制力）${\mathcal{E}}_T$，给出自由意志的几何刻画。

结论：注意力的几何刻画与时间选择的信息论基础

本章构建了注意力–时间–知识图谱的统一理论，将“认知资源稀缺性“这一经典心理学概念，转化为信息几何上的严格定理。

核心结果回顾：

1. 注意力算子形式化：$A_t:X\to [0,1]$或${\rho }_t(\varphi )$在信息流形上，受带宽约束$B_{\mathrm{att}}$限制

2. 知识图谱谱收敛（定理2.1）：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }{d}_{\mathrm{spec}}(t)=d_{\mathrm{info},Q}$$

观察者的知识图谱在长时间极限下谱逼近信息流形的真实几何。

3. 信息积累上界（定理4.1）：

$$H_Q(T)-H_Q(0)\le K{C}_{\max }$$

在复杂性预算与注意力带宽约束下，信息获取量与物理资源成线性上界。

4. 最优注意力策略（推论4.2）：

$${\rho }_t^{\ast }(\varphi )\propto |\nabla I_Q(\varphi ){|}_{g_Q}^2\exp \left(-\frac{d_{{\mathcal{S}}_Q}^2(\varphi ,{\varphi }_t)}{2{\sigma }_t^2}\right)$$

最优注意力集中在信息梯度大且距离当前位置近的区域。

工程路径：

• 眼动追踪$\to$空间注意力热图$\to$信息流形嵌入
• 语义联想网络$\to$知识图谱$\to$谱维数估计
• 主动学习算法$\to$信息积累曲线$\to$上界验证

哲学意义：

• 注意力不是“任意选择“，而是受几何约束的最优化过程
• 时间选择（“看什么”+“看多久”）决定信息积累路径
• 知识图谱在长期学习中“逼近真理“（谱收敛），但受认知资源限制永远无法“完全抵达“

下一章（第5章）将探讨自由意志的几何刻画，引入Empowerment ${\mathcal{E}}_T$作为“因果控制力“的度量，揭示“选择自由“与“信息几何“的深层联系。

参考文献

注意力理论

• Simon, H. A. (1971). Designing organizations for an information-rich world. In Computers, Communications, and the Public Interest (pp. 37-72).
• Kahneman, D. (1973). Attention and Effort. Prentice-Hall.
• Posner, M. I., & Petersen, S. E. (1990). The attention system of the human brain. Annual Review of Neuroscience, 13(1), 25-42.

流形学习

• Tenenbaum, J. B., de Silva, V., & Langford, J. C. (2000). A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction. Science, 290(5500), 2319-2323.
• Belkin, M., & Niyogi, P. (2003). Laplacian eigenmaps for dimensionality reduction and data representation. Neural Computation, 15(6), 1373-1396.

图谱几何

• Chung, F. R. (1997). Spectral Graph Theory. AMS.
• von Luxburg, U. (2007). A tutorial on spectral clustering. Statistics and Computing, 17(4), 395-416.

主动推理

• Friston, K. (2010). The free-energy principle: a unified brain theory? Nature Reviews Neuroscience, 11(2), 127-138.
• Parr, T., & Friston, K. J. (2019). Generalised free energy and active inference. Biological Cybernetics, 113(5-6), 495-513.

知识表征

• Collins, A. M., & Loftus, E. F. (1975). A spreading-activation theory of semantic processing. Psychological Review, 82(6), 407.
• Borge-Holthoefer, J., & Arenas, A. (2010). Semantic networks: Structure and dynamics. Entropy, 12(5), 1264-1302.

时间知觉

• Gibbon, J. (1977). Scalar expectancy theory and Weber’s law in animal timing. Psychological Review, 84(3), 279.
• Block, R. A., & Zakay, D. (1997). Prospective and retrospective duration judgments: A meta-analytic review. Psychonomic Bulletin & Review, 4(2), 184-197.

本论文集

• 本论文集：《观察者–世界截面结构：因果性与条件化》（Chapter 1）
• 本论文集：《意识的结构化定义：五重条件与时间因果》（Chapter 2）
• 本论文集：《纠缠–时间–意识：统一延迟刻度》（Chapter 3）
• 本论文集：《计算宇宙中的观察者–注意力–知识图谱统一理论》（源理论文档）