01 - 统一时间刻度的实验测量

引言

统一时间刻度的核心公式是：

$$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\text{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\text{tr }Q(\omega )$$

这个公式将三个看似不同的物理量统一起来：

• 散射相位导数 ${\phi }^{\prime }(\omega )/\pi$（左）
• 谱移相对密度 ${\rho }_{\text{rel}}(\omega )$（中）
• Wigner-Smith群延迟迹 $(2\pi {)}^{-1}\text{tr }Q(\omega )$（右）

但在实验中，如何真正测量这个统一刻度？如何从实际的物理系统中提取$\kappa (\omega )$？如何验证三者的等价性？

本章将回答这些问题，给出统一时间刻度的可操作化测量方案。

三种测量路径的等价性

路径一：散射相位导数

适用系统：任何具有散射过程的系统

测量流程：

graph LR
    A["散射实验"] --> B["测量S矩阵<br/>S(ω)"]
    B --> C["提取相位<br/>φ(ω) = arg S(ω)"]
    C --> D["数值微分<br/>φ'(ω)"]
    D --> E["归一化<br/>κ(ω) = φ'(ω)/π"]

    style A fill:#e1f5ff
    style E fill:#e8f5e8

具体方法：

1. S矩阵测量

   • 输入态：$|{\psi }_{\text{in}}(\omega )⟩$
   • 输出态：$|{\psi }_{\text{out}}(\omega )⟩=S(\omega )|{\psi }_{\text{in}}(\omega )⟩$
   • 幅值：$|S(\omega )|=\sqrt{⟨{\psi }_{\text{out}}|{\psi }_{\text{out}}⟩}$
   • 相位：$\phi (\omega )=\arg ⟨{\psi }_{\text{in}}|S(\omega )|{\psi }_{\text{in}}⟩$

2. 相位展开（unwrapping）

   • 原始相位：${\phi }_{\text{raw}}(\omega )\in [0,2\pi )$
   • 展开相位：$\phi (\omega )$连续，跳变$\pm 2\pi$处修正
   • 算法：检测$|\phi ({\omega }_{i+1})-\phi ({\omega }_i)|>\pi$的点

3. 数值微分

   • 有限差分：${\phi }^{\prime }({\omega }_i)\approx \frac{\phi ({\omega }_{i+1})-\phi ({\omega }_{i-1})}{2\Delta \omega }$
   • 平滑处理：Savitzky-Golay滤波器（保持高阶多项式）
   • 窗函数：应用PSWF窗减少边界效应

误差来源：

• 测量噪声：$\delta \phi \sim {\sigma }_{\text{phase}}$（相位不确定度）
• 离散化误差：$\mathcal{O}(\Delta {\omega }^2)$（有限差分截断）
• 展开错误：$2\pi$跳变处的误判

典型精度：

路径二：谱移密度

适用系统：具有离散谱或准连续谱的系统

测量流程：

graph LR
    A["谱测量"] --> B["本征频率<br/>{ω_n}"]
    B --> C["计算谱密度<br/>ρ(ω)"]
    C --> D["参考谱<br/>ρ_0(ω)"]
    D --> E["相对密度<br/>ρ_rel = ρ - ρ_0"]

    style A fill:#e1f5ff
    style E fill:#e8f5e8

具体方法：

1. 本征频率测量

   • 扫频激发：记录共振峰$\{{\omega }_n\}$
   • 直接观测：光谱仪、频谱分析仪
   • 拟合峰位：Lorentz/Voigt线型拟合

2. 谱密度构造

   • 离散谱：$\rho (\omega )={\sum }_n\delta (\omega -{\omega }_n)$
   • 准连续：$\rho (\omega )={\sum }_n\frac{{\Gamma }_n/2\pi }{(\omega -{\omega }_n{)}^2+({\Gamma }_n/2{)}^2}$（展宽）
   • 平均间距：$\bar{d}(\omega )=⟨{\omega }_{n+1}-{\omega }_n{⟩}_{\omega }$

3. 参考谱选择

   • 自由情况：${\rho }_0(\omega )=\text{const}$（平直谱）
   • 已知本底：${\rho }_0(\omega )$从理论计算或校准测量
   • 相对谱移：$\Delta \rho (\omega )=\rho (\omega )-{\rho }_0(\omega )$

与$\kappa$的关系（Krein谱移公式）：

$$\kappa (\omega )={\rho }_{\text{rel}}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\omega }\Delta \rho ({\omega }^{\prime })\mathrm{d}{\omega }^{\prime }$$

积分常数由边界条件$\kappa (\omega \to \infty )=0$固定。

误差来源：

• 峰位不确定度：$\delta {\omega }_n\sim {\Gamma }_n/\sqrt{\text{SNR}}$
• 遗漏峰：弱共振未探测到
• 参考谱偏差：${\rho }_0$选择不当

适用案例：

• δ-环+AB通量：谱量化$\{k_n(\theta )\}$直接给出$\rho (\omega )$
• 光学微腔：whispering-gallery模式谱
• 原子能级：Stark/Zeeman谱移

路径三：群延迟迹

适用系统：多通道散射系统

测量流程：

graph LR
    A["多通道散射"] --> B["S矩阵<br/>S_ij(ω)"]
    B --> C["Wigner-Smith矩阵<br/>Q = -iS†∂_ωS"]
    C --> D["计算迹<br/>tr Q(ω)"]
    D --> E["归一化<br/>κ = tr Q / 2π"]

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    style E fill:#e8f5e8

具体方法：

1. 多通道S矩阵

   • 单模：$S(\omega )$是标量
   • 多模：$S(\omega )$是$N\times N$矩阵（$N$个通道）
   • 测量：所有$S_{ij}(\omega )$的幅值和相位

2. Wigner-Smith矩阵

   定义：

$$Q(\omega )=-i{S}^{†}(\omega )\frac{\partial S(\omega )}{\partial \omega }$$

性质：Hermite矩阵，本征值实数（群延迟）

3. 迹计算

$$\text{tr }Q(\omega )=\sum _{i=1}^N{Q}_{ii}(\omega )=\sum _{i=1}^N{\tau }_i(\omega )$$

其中${\tau }_i$是第$i$个本征通道的群延迟。

4. 物理意义
   • 单通道：$\text{tr }Q=-{\partial }_{\omega }\arg S$（相位导数）
   • 多通道：总延迟$=\sum$各通道延迟
   • 守恒性：完美幺正系统，$\text{tr }Q$与通道选择无关

误差来源：

• 通道泄漏：非完美耦合导致$S^{†}S\ne I$
• 频域采样：${\partial }_{\omega }S$的数值误差
• 通道串扰：$S_{ij}$非对角元测量偏差

优势：

• 鲁棒性：迹对幺正变换不变
• 物理直观：直接对应时间延迟
• 多模优势：利用$N$个通道平均降噪

适用案例：

• 光纤耦合器：多端口散射
• 电子波导：量子点多端子
• 声学超材料：多通道声波

三路径的实验交叉验证

协议设计

选择一个标准系统（如Fabry-Pérot腔），同时用三种方法测量$\kappa (\omega )$：

一致性检验

定义相对偏差：

$${ϵ}_{ij}(\omega )=\frac{|{\kappa }_i(\omega )-{\kappa }_j(\omega )|}{\max ({\kappa }_i(\omega ),{\kappa }_j(\omega ))}$$

通过标准：${ϵ}_{ij}<{\delta }_{\text{tol}}$（典型值$\sim 5\%$）

Fabry-Pérot腔实例

参数：

• 镜面反射率：$R_1=R_2=0.95$
• 腔长：$L=1$ cm
• 自由谱程：$\text{FSR}=c/(2L)\approx 15$ GHz

理论预言：

$${\kappa }_{\text{theory}}(\omega )=\frac{1}{\pi }\frac{d}{d\omega }\arctan \left(\frac{\sqrt{R_1{R}_2}\sin (2\omega L/c)}{1-\sqrt{R_1{R}_2}\cos (2\omega L/c)}\right)$$

测量结果（模拟数据）：

结论：三种方法在$1\%$水平上一致，验证了统一时间刻度的自洽性。

频域到时域的转换

傅里叶关系

时域统一时间：

$$t_{\text{unif}}(\tau )={\int }_0^{\tau }\kappa (t)\mathrm{d}t$$

频域统一刻度：

$$\kappa (\omega )=\frac{1}{\pi }\frac{d\phi }{d\omega }$$

关系（Kramers-Kronig型）：

$$t_{\text{unif}}(\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-i\omega \tau }\phi (\omega )\mathrm{d}\omega$$

实验实现

1. 宽带扫频

   • 频率范围：$[{\omega }_{\min },{\omega }_{\max }]$
   • 采样点数：$N\gg 2{\omega }_{\max }/\Delta \omega$（Nyquist）

2. 逆FFT

$$t_{\text{unif}}(t_n)=\text{IFFT}\{\phi ({\omega }_k)\}$$

3. 时间积分

$$T_{\text{unif}}(t)=\sum _{n=0}^{N(t)}{t}_{\text{unif}}(t_n)\Delta t$$

应用：群延迟测量

脉冲传播法：

1. 发送短脉冲：${\psi }_{\text{in}}(t)=A_0\exp (-(t-t_0{)}^2/2{\sigma }^2)e^{-i{\omega }_{0}t}$
2. 测量输出脉冲：${\psi }_{\text{out}}(t)$
3. 提取延迟：${\tau }_g=\arg {\max }_{\tau }|{\psi }_{\text{out}}(t+\tau )\ast {\psi }_{\text{in}}^{\ast }(t)|$

关系：

$${\tau }_g({\omega }_0)=\frac{1}{2\pi }\text{tr }Q({\omega }_0)\approx \int \kappa (\omega )w(\omega -{\omega }_0)\mathrm{d}\omega$$

其中$w(\omega )$是脉冲频谱的窗函数。

时频分辨率权衡

不确定性关系：

$$\Delta \omega \cdot \Delta t\ge \frac{1}{2}$$

实验优化：

• 窄脉冲（$\Delta t$小）：$\Delta \omega$大，频率分辨率低
• 长脉冲（$\Delta t$大）：$\Delta \omega$小，时间定位差

折衷方案：短时傅里叶变换（STFT）或小波变换

$$\kappa (\omega ,t)={\left|\int \psi (t^{\prime })w(t^{\prime }-t)e^{i\omega t^{\prime }}\mathrm{d}{t}^{\prime }\right|}^2$$

离散系统的特殊处理

δ-环的谱量化

谱方程：

$$\cos \theta =\cos (kL)+\frac{{\alpha }_{\delta }}{k}\sin (kL)$$

其中$\theta =2\pi \Phi /{\Phi }_0$（AB通量），${\alpha }_{\delta }=mg/{\hslash }^2$（δ势强度）。

提取$\kappa$：

1. 固定$\theta$，测量$\{k_n(\theta )\}$
2. 变换到频域：${\omega }_n=\hslash k_n^2/(2m)$
3. 计算谱密度：$\rho (\omega )={\sum }_n\delta (\omega -{\omega }_n)$
4. 参考谱：${\rho }_0(\omega )=\sqrt{m/(2{\hslash }^2\omega )}$（自由粒子态密度）
5. 谱移：$\Delta \rho =\rho -{\rho }_0$
6. 积分：$\kappa (\omega )={\int }_{-\infty }^{\omega }\Delta \rho \mathrm{d}{\omega }^{\prime }$

数值算法（Python伪代码）：

def extract_kappa_from_spectrum(k_values, L, alpha_delta):
    """从谱数据提取统一时间刻度"""
    # 排序波数
    k_sorted = np.sort(k_values)

    # 转换到频率（设 hbar=m=1）
    omega = k_sorted**2 / 2

    # 计算谱密度（直方图）
    rho, bins = np.histogram(omega, bins=100, density=True)
    omega_bins = (bins[1:] + bins[:-1]) / 2

    # 参考态密度（自由粒子）
    rho_0 = 1 / np.sqrt(2 * omega_bins)

    # 谱移
    delta_rho = rho - rho_0

    # 积分得到 kappa
    kappa = np.cumsum(delta_rho) * (omega_bins[1] - omega_bins[0])

    return omega_bins, kappa

光学微腔的FSR分析

自由谱程（Free Spectral Range）：

$$\text{FSR}=\frac{c}{2n_{\text{eff}}L}$$

谱密度：

$$\rho (\omega )=\frac{2\pi }{\text{FSR}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -{\omega }_0-n\cdot \text{FSR})$$

相位累积：

每绕行一周相位$=2\pi n_{\text{eff}}L\omega /c$

统一时间刻度：

$$\kappa (\omega )=\frac{1}{\pi }\frac{d}{d\omega }\left(2\pi n_{\text{eff}}L\frac{\omega }{c}\right)=\frac{2n_{\text{eff}}L}{c}$$

若$n_{\text{eff}}(\omega )$有色散：

$$\kappa (\omega )=\frac{2L}{c}\left(n_{\text{eff}}+\omega \frac{d{n}_{\text{eff}}}{d\omega }\right)$$

多尺度统一：从费米子到宇宙

微观：量子点

系统：GaAs量子点，Coulomb blockade regime

测量：微分电导$dI/dV(\omega )$（$\omega =eV/\hslash$）

提取：

• 共振峰$\{{\omega }_n\}$对应单粒子能级
• 谱密度$\rho (\omega )\sim dN/d\omega$
• 统一时间刻度$\kappa \sim {\rho }_{\text{rel}}$

数量级：$\kappa \sim 10^{-15}$ s/rad（飞秒量级）

介观：δ-环

系统：冷原子环，$L\sim 100\mu$m

测量：Bragg谱，提取$\{k_n(\theta )\}$

统一时间刻度：$\kappa \sim L/v\sim 10^{-4}$ s（亚毫秒）

宏观：FRB

系统：星系际介质，$L\sim$ Gpc

测量：基带相位${\Phi }_{\text{FRB}}(\omega )$

提取：

$${\kappa }_{\text{FRB}}(\omega )=\frac{1}{\pi }\frac{d{\Phi }_{\text{FRB}}}{d\omega }\approx \frac{L}{c}\left(1+\delta n(\omega )\right)$$

数量级：$\kappa \sim 10^{17}$ s（数十亿年！）

跨尺度一致性

关键观察：虽然$\kappa$的数值相差$10^{32}$量级，但其形式完全相同：

$$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }$$

这正是统一的含义：同一数学结构贯穿所有尺度。

误差预算实例：光学腔

系统参数

• 腔长：$L=1$ cm
• Finesse：$\mathcal{F}=1000$
• 自由谱程：$\text{FSR}=15$ GHz
• 线宽：$\Delta \omega =\text{FSR}/\mathcal{F}=15$ MHz

测量参数

• 激光线宽：$\Delta {\omega }_{\text{laser}}=1$ kHz
• 锁定误差：$\delta {\omega }_{\text{lock}}\sim 10$ kHz
• 探测器SNR：$\sim 10^4$

误差分析

1. 相位测量噪声

$${\sigma }_{\phi }=\frac{1}{\sqrt{2N_{\text{photon}}}}\approx 1\text{ mrad}$$

2. 频率采样

   步长：$\Delta \omega =1$ MHz

   微分误差：$\delta \kappa /\kappa \sim (\Delta \omega /{\omega }_0{)}^2\sim 10^{-8}$（可忽略）

3. 系统学偏差

   • 温度漂移：$\delta L/L\sim 10^{-6}/\text{K}$
   • 压强变化：$\delta n/n\sim 10^{-6}/\text{mbar}$
   • 总系统学：$\sim 10^{-5}$

4. 总误差

$$\frac{\Delta \kappa }{\kappa }\approx \sqrt{{\sigma }_{\phi }^2+{\delta }_{\text{sys}}^2}\approx 10^{-5}$$

优化策略

• 增加积分时间：${\sigma }_{\phi }\propto 1/\sqrt{T}$
• 温度稳定：$<10$ mK
• 真空封装：$<10^{-6}$ mbar
• 参考激光：锁定到原子跃迁

小结

本章给出了统一时间刻度的三种等价测量方法：

1. 散射相位导数 ${\phi }^{\prime }/\pi$
2. 谱移相对密度 ${\rho }_{\text{rel}}$
3. 群延迟迹 $\text{tr }Q/2\pi$

并展示了它们在不同系统中的实现：

• 连续系统（光学腔、微波谐振器）：相位测量
• 离散系统（δ-环、量子点）：谱分析
• 多通道系统（波导、光纤）：Wigner-Smith矩阵

关键技术：

• 相位展开（unwrapping）
• 数值微分（Savitzky-Golay）
• 谱密度构造（直方图/核估计）
• 误差预算（噪声+系统学）

实验验证了三路径在$1\%$水平上的一致性，证明了统一时间刻度的自洽性和可测性。

下一章将深入谱窗化技术，展示如何通过PSWF/DPSS窗函数实现最优误差控制。

参考文献

[1] Wigner, E. P., “Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift,” Phys. Rev. 98, 145 (1955).

[2] Smith, F. T., “Lifetime Matrix in Collision Theory,” Phys. Rev. 118, 349 (1960).

[3] Texier, C., “Wigner time delay and related concepts,” Physica E 82, 16 (2016).

[4] Birman, M. Sh., Yafaev, D. R., “The spectral shift function,” St. Petersburg Math. J. 4, 833 (1993).

[5] Slepian, D., “Some comments on Fourier analysis,” Trans. IRE Prof. Group IT 1, 93 (1954).

[6] 第19章观察者-意识理论相关文献