第21章第1节 因果菱形的几何基础

引言

在上一节的概览中，我们建立了因果菱形链与零模双覆盖理论的整体图景。现在，让我们深入第一个核心概念：因果菱形的几何基础。

想象你站在一个十字路口，看着红绿灯从红变绿。在这短短几秒钟内，从红灯亮起到绿灯亮起之间发生的所有可能事件，就形成了一个“因果菱形“。它包含了：

• 你可能看到的行人
• 可能经过的车辆
• 光线的传播路径
• 声音的传递轨迹

所有这些事件都被因果关系约束在一个有限的时空区域内——这就是因果菱形。

在本节中，我们将严格定义因果菱形的几何结构，并揭示它与统一时间刻度、边界时间几何、量子纠缠的深刻联系。

1. 闵氏时空中的因果结构

1.1 未来光锥与过去光锥

在狭义相对论的闵氏时空 ${\mathbb{R}}^{1,d-1}$ 中（$d\ge 2$，通常 $d=4$），度规为：

$$d{s}^2=-d{t}^2+d{x}_1^2+\cdots +d{x}_{d-1}^2$$

对任意事件 $p\in {\mathbb{R}}^{1,d-1}$，定义：

未来光锥（future light cone）：

$$J^{+}(p)=\{q:(q-p{)}^2\le 0,t_q\ge t_p\}$$

过去光锥（past light cone）：

$$J^{-}(p)=\{q:(q-p{)}^2\le 0,t_q\le t_p\}$$

其中 $(q-p{)}^2$ 是时空间隔的平方，负号表示类时或类光分离。

日常类比：光的传播范围

• 从 $p$ 点发出的光在时刻 $t$ 能到达的所有地点构成未来光锥
• 能在时刻 $t_p$ 到达 $p$ 点的所有光源位置构成过去光锥

graph TB
    subgraph "时空图"
        P["事件 p<br/>(t_p, x_p)"]
        F1["未来事件<br/>t > t_p"]
        F2["未来事件<br/>t > t_p"]
        F3["未来事件<br/>t > t_p"]
        PAST1["过去事件<br/>t < t_p"]
        PAST2["过去事件<br/>t < t_p"]
        PAST3["过去事件<br/>t < t_p"]

        PAST1 -->|"过去光锥 J⁻"| P
        PAST2 --> P
        PAST3 --> P
        P -->|"未来光锥 J⁺"| F1
        P --> F2
        P --> F3
    end

    style P fill:#ffeb3b
    style F1 fill:#c8e6c9
    style F2 fill:#c8e6c9
    style F3 fill:#c8e6c9
    style PAST1 fill:#ffcdd2
    style PAST2 fill:#ffcdd2
    style PAST3 fill:#ffcdd2

1.2 因果菱形的定义

给定两个事件 $p_{\text{past}},p_{\text{future}}$ 满足 $p_{\text{past}}\in J^{-}(p_{\text{future}})$（即 $p_{\text{past}}$ 在 $p_{\text{future}}$ 的过去光锥内），定义：

$$D(p_{\text{past}},p_{\text{future}})=J^{+}(p_{\text{past}})\cap J^{-}(p_{\text{future}})$$

这就是因果菱形（causal diamond），也称为因果钻石或亚历山德罗夫集（Alexandrov set）。

几何直观：

• $J^{+}(p_{\text{past}})$：从 $p_{\text{past}}$ 出发能到达的所有事件
• $J^{-}(p_{\text{future}})$：能到达 $p_{\text{future}}$ 的所有事件
• 交集 $D$：既从 $p_{\text{past}}$ 出发可达，又能到达 $p_{\text{future}}$ 的所有中间事件

graph TB
    subgraph "因果菱形的构成"
        P_past["过去顶点<br/>p_past<br/>(0, 0)"]
        M1["中间事件<br/>(t₁, x₁)"]
        M2["中间事件<br/>(t₂, x₂)"]
        M3["中间事件<br/>(t₃, x₃)"]
        P_future["未来顶点<br/>p_future<br/>(T, 0)"]

        P_past -->|"类时路径"| M1
        P_past --> M2
        P_past --> M3
        M1 --> P_future
        M2 --> P_future
        M3 --> P_future

        M1 -.->|"空间类分离"| M2
        M2 -.-> M3
    end

    subgraph "边界结构"
        E_in["入射边界 ∂⁻D<br/>从外界进入菱形"]
        E_out["出射边界 ∂⁺D<br/>从菱形向外界"]
    end

    style P_past fill:#ff6b6b
    style P_future fill:#4ecdc4
    style M1 fill:#ffe66d
    style M2 fill:#ffe66d
    style M3 fill:#ffe66d
    style E_in fill:#a8dadc
    style E_out fill:#f1faee

1.3 特例：球形与劈形因果菱形

在 $d$ 维闵氏时空中，最简单的两类因果菱形是：

（1）球形因果菱形（spherical causal diamond）

取 $p_{\text{past}}=(0,\vec{0})$，$p_{\text{future}}=(T,\vec{0})$，则：

$$D_{\text{sphere}}(T)=\{(t,\vec{x}):|\vec{x}|\le t,|\vec{x}|\le T-t,0\le t\le T\}$$

这是一个以原点为中心、“高度“为 $T$ 的双锥结构。

（2）劈形因果菱形（wedge causal diamond）

取半空间 $\{x_1\ge 0\}$ 中的 Rindler 劈形：

$$W=\{(t,x_1,{\vec{x}}_{\perp }):|t|<x_1,x_1>0\}$$

劈形是“无限延伸“的因果菱形，它与加速观测者的视界密切相关。

2. 零测度边界的双层分解

2.1 什么是“零测度边界“？

因果菱形的边界 $\partial D$ 非常特殊——它由类光超平面（null hypersurface）组成。类光超平面上的任意两点之间的时空间隔为零，即：

$$d{s}^2{|}_{\partial D}=0$$

这意味着边界上的观测者以光速运动，他们的“固有时间“为零。因此，边界被称为零测度边界（null boundary）。

日常类比：光的世界线

想象一束光从过去顶点发出，沿着边界传播到未来顶点。对这束光来说，整个旅程的“自己的时间“为零——这就是“零测度“的含义。

2.2 双层结构 $\tilde{E}=E^{+}\bigsqcup E^{-}$

零测度边界实际上有两层：

$$\tilde{E}=E^{+}\bigsqcup E^{-}$$

其中：

• $E^{+}$：出射层（outgoing null surface），沿 $u=\text{const}$ 的类光超平面
• $E^{-}$：入射层（ingoing null surface），沿 $v=\text{const}$ 的类光超平面

这里 $(u,v)$ 是null坐标（null coordinates）：

$$u=t-r,v=t+r$$

其中 $r=|\vec{x}|$ 是空间径向坐标。

双层分解的物理意义：

graph TB
    subgraph "因果菱形的双层边界"
        Core["菱形内部<br/>D_interior"]

        Eplus1["E⁺ 层<br/>u = 0"]
        Eplus2["E⁺ 层<br/>u = T/2"]

        Eminus1["E⁻ 层<br/>v = 0"]
        Eminus2["E⁻ 层<br/>v = T/2"]

        Eminus1 -->|"信息流入"| Core
        Eminus2 --> Core
        Core -->|"信息流出"| Eplus1
        Core --> Eplus2
    end

    subgraph "模对合 J 的作用"
        Jmap["模对合 J<br/>交换两层<br/>并反转时间方向"]
        Eplus1 <-->|"J"| Eminus1
        Eplus2 <-->|"J"| Eminus2
    end

    style Core fill:#fffacd
    style Eplus1 fill:#add8e6
    style Eplus2 fill:#add8e6
    style Eminus1 fill:#ffb6c1
    style Eminus2 fill:#ffb6c1
    style Jmap fill:#d3d3d3

关键洞察：

1. $E^{+}$ 层是信息离开菱形的界面
2. $E^{-}$ 层是信息进入菱形的界面
3. 两层通过模对合 $J$ 相互关联：$J(E^{+})=E^{-}$
4. 模对合不仅交换两层，还反转时间方向

2.3 仿射参数与横向坐标

在每一层边界上，我们引入坐标：

$$(\lambda ,x_{\perp })\in {\mathbb{R}}^{+}\times {\mathbb{R}}^{d-2}$$

其中：

• $\lambda$：仿射参数（affine parameter），类似于“沿光线的距离“
• $x_{\perp }=(x_2,\dots ,x_{d-1})$：横向坐标（transverse coordinates）

例子：球形菱形的边界坐标

对球形因果菱形 $D_{\text{sphere}}(T)$，出射层 $E^{+}$ 可参数化为：

$$E^{+}:(t,r,\Omega )=(\lambda ,\lambda ,\Omega ),\lambda \in [0,T/2],\Omega \in S^{d-2}$$

其中 $\Omega$ 是 $(d-2)$ 维球面上的角坐标（横向坐标）。

3. 模哈密顿量：边界上的能量守恒

3.1 能量-动量张量的null分量

在量子场论中，能量-动量张量 $T_{ab}$ 刻画能量、动量和应力的分布。在null边界上，最重要的是null-null分量：

$$T_{++}=T_{vv},T_{--}=T_{uu}$$

它们刻画沿null方向的能量流密度。

物理意义：

• $T_{++}(\lambda ,x_{\perp })$：沿出射null方向 ${\partial }_v$ 的能量流
• $T_{--}(\lambda ,x_{\perp })$：沿入射null方向 ${\partial }_u$ 的能量流

3.2 模哈密顿量的几何分解

给定因果菱形 $D$，定义模哈密顿量（modular Hamiltonian）：

$$K_D=2\pi \sum _{\sigma =\pm }{\int }_{E^{\sigma }}{g}_{\sigma }(\lambda ,x_{\perp })T_{\sigma \sigma }(\lambda ,x_{\perp })d\lambda d^{d-2}{x}_{\perp }$$

其中：

• $\sigma =+$ 对应出射层 $E^{+}$，$\sigma =-$ 对应入射层 $E^{-}$
• $g_{\sigma }(\lambda ,x_{\perp })$ 是几何权重函数
• 积分测度 $d\lambda d^{d-2}{x}_{\perp }$ 是边界上的标准测度

定理（双层几何分解，CFT中的精确等式）：

在共形场论（CFT）中，球形因果菱形的几何权重函数为：

$$g_{\sigma }(\lambda )=\lambda (1-\lambda /T)$$

满足边界条件：$g_{\sigma }(0)=g_{\sigma }(T)=0$。

日常类比：边界能量的加权积分

想象边界是一层薄膜，每一点都有能量流密度 $T_{\sigma \sigma }$。模哈密顿量就是对这个能量流进行加权积分，权重 $g_{\sigma }$ 反映了几何因素（比如距离顶点的“路程“）。

3.3 模哈密顿量与统一时间刻度的关联

回顾统一时间刻度母式：

$$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\text{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\text{tr}Q(\omega )$$

模哈密顿量 $K_D$ 与统一时间刻度密度 $\kappa (\omega )$ 的关联由Wigner-Smith群延迟公式给出：

$$⟨K_D⟩\sim {\int }_{{\Omega }_D}\kappa (\omega )\rho (\omega )d\omega$$

其中 ${\Omega }_D$ 是因果菱形 $D$ 对应的频率窗口，$\rho (\omega )$ 是态密度。

物理意义：

• 模哈密顿量是边界上“锁住“的时间–能量总量
• 统一时间刻度密度是频域的时间流密度
• 两者通过散射相位–群延迟关系统一

4. 二次型框架与自然域

4.1 什么是“二次型“？

在量子力学中，可观测量对应厄米算子 $A$，其期望值为：

$$⟨A{⟩}_{\psi }=⟨\psi |A|\psi ⟩$$

当 $A$ 不是有界算子时，上式并非对所有态 $|\psi ⟩$ 都有定义。我们需要引入二次型（quadratic form）的框架。

定义：二次型 $\mathfrak{k}$ 是一个映射：

$$\mathfrak{k}:\mathcal{D}(\mathfrak{k})\to \mathbb{R},\mathfrak{k}[\psi ]=⟨\psi |K|\psi ⟩$$

其中 $\mathcal{D}(\mathfrak{k})$ 是形式域（form domain），是全部希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的稠密子空间。

4.2 模哈密顿量的二次型定义

对因果菱形 $D$，模哈密顿量的二次型为：

$${\mathfrak{k}}_D[\psi ]=2\pi \sum _{\sigma =\pm }{\int }_{E^{\sigma }}{g}_{\sigma }(\lambda ,x_{\perp })⟨\psi |T_{\sigma \sigma }(\lambda ,x_{\perp })|\psi ⟩d\lambda d^{d-2}{x}_{\perp }$$

假设（二次型下半界）：

存在实数 $a_D\in \mathbb{R}$ 使得对所有 $|\psi ⟩\in \mathcal{D}({\mathfrak{k}}_D)$：

$${\mathfrak{k}}_D[\psi ]\ge a_D\Vert \psi {\Vert }^2$$

这保证了模哈密顿量 $K_D$ 是下半有界的自伴算子。

4.3 移位图范数与完备性

为了讨论二次型的闭性，引入移位图范数（shifted graph norm）：

对任意 $c_D>-a_D$，定义：

$$\Vert \psi {\Vert }_{{\mathfrak{k}}_D,c_D}^2:=\Vert \psi {\Vert }^2+({\mathfrak{k}}_D[\psi ]+c_D\Vert \psi {\Vert }^2)$$

定理（形式域的完备性）：

配备移位图范数 $\Vert \cdot {\Vert }_{{\mathfrak{k}}_D,c_D}$ 的形式域 $\mathcal{D}({\mathfrak{k}}_D)$ 是完备的希尔伯特空间。

物理意义：

• 移位图范数同时控制态的“大小“ $\Vert \psi {\Vert }^2$ 和“模能量“ ${\mathfrak{k}}_D[\psi ]$
• 完备性保证极限态仍在形式域内，这对定义容斥恒等式的闭性至关重要

5. 零测度局域化与QNEC真空饱和

5.1 QNEC（Quantum Null Energy Condition）

QNEC是一个关于能量密度的不等式，它在真空态下对null超平面成立。

QNEC不等式：

对零测度半空间 $R_V=\{u=0,v\ge V(x_{\perp })\}$（其中 $V\in C^2$ 是光滑函数），有：

$$⟨T_{vv}(v,x_{\perp })⟩\ge \frac{1}{4\pi }\frac{{\partial }^2{S}_{\text{gen}}(R_V)}{\partial V^2}$$

其中 $S_{\text{gen}}$ 是广义熵（包含量子纠缠熵和经典面积项）。

真空饱和：

在真空态 $|\Omega ⟩$ 中，QNEC取等号：

$$⟨\Omega |T_{vv}|\Omega ⟩=\frac{1}{4\pi }\frac{{\partial }^2{S}_{\text{vac}}}{\partial V^2}$$

这一关系使得模哈密顿量可以精确表示为边界上的二次型积分。

5.2 零测度半空间的模哈密顿量

对零测度半空间 $R_V$，模哈密顿量的显式形式为：

$$K_V=2\pi \int d^{d-2}{x}_{\perp }{\int }_{V(x_{\perp })}^{\infty }(v-V(x_{\perp }))T_{vv}(v,x_{\perp })dv$$

几何解释：

• 权重 $(v-V(x_{\perp }))$ 表示距离边界 $v=V(x_{\perp })$ 的“深度“
• 越深入区域内部，权重越大，对模哈密顿量的贡献越大

graph LR
    subgraph "零测度半空间 R_V"
        Boundary["边界<br/>v = V(x_⊥)"]
        Interior1["内部点1<br/>v₁ > V"]
        Interior2["内部点2<br/>v₂ > v₁"]
        Interior3["内部点3<br/>v₃ > v₂"]

        Boundary -->|"权重 v₁-V"| Interior1
        Interior1 -->|"权重 v₂-V"| Interior2
        Interior2 -->|"权重 v₃-V"| Interior3
    end

    subgraph "模哈密顿量贡献"
        Weight["g(v,x_⊥) = v - V(x_⊥)<br/>随深度线性增长"]
        Energy["T_vv(v,x_⊥)<br/>能量流密度"]
        Integral["K_V = 2π ∫ g·T_vv dv dx_⊥<br/>加权积分"]

        Weight --> Integral
        Energy --> Integral
    end

    style Boundary fill:#ffd700
    style Interior1 fill:#98fb98
    style Interior2 fill:#7cfc00
    style Interior3 fill:#00ff00
    style Weight fill:#87ceeb
    style Energy fill:#ff6347
    style Integral fill:#dda0dd

5.3 Bisognano-Wichmann性质

在量子场论中，Bisognano-Wichmann性质（BW性质）是因果菱形模理论的基石。

BW性质（Rindler劈形）：

对Rindler劈形 $W=\{|t|<x_1,x_1>0\}$，其模群 ${\Delta }_W^{it}$ 几何化为洛伦兹推变：

$${\Delta }_W^{it}\cdot (t,x_1,{\vec{x}}_{\perp })=(e^{2\pi t}t,e^{2\pi t}{x}_1,{\vec{x}}_{\perp })$$

模对合 $J_W$ 对应反射 $t\to -t$ 加上CPT变换。

物理意义：

• 模群 ${\Delta }^{it}$ 描述系统在“模时间“$t$ 下的演化
• BW性质说明这种演化对应于加速度（boost）
• 这联系了量子纠缠与时空几何的深层统一

6. 共形场论中的精确结果

6.1 共形变换与共形像

在共形场论（CFT）中，因果菱形在共形变换下被映射到更简单的几何形状。

共形变换：

二维CFT中，共形变换由解析映射 $z\to w(z)$ 给出。在 $d>2$ 维，共形变换保持度规的形式：

$$g_{ab}\to {\Omega }^2(x)g_{ab}$$

其中 $\Omega (x)$ 是正的局部因子（称为Weyl因子）。

例子：球形菱形的共形像

在 ${\mathbb{R}}^{1,d-1}$ 中的球形因果菱形可以共形映射到双曲空间 ${\mathbb{H}}^{d-1}$ 上的静态patch。此时，度规变为：

$$d{s}^2=-d{\tau }^2+{\sinh }^2\tau d{\Omega }_{d-2}^2$$

模哈密顿量在这一共形像中具有简单的形式。

6.2 CFT中的模哈密顿量

在二维CFT中，球形菱形（区间）$I=[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$ 的模哈密顿量为：

$$K_I={\int }_I\frac{(u-u_1)(u_2-u)}{u_2-u_1}{T}_{uu}+\frac{(v-v_1)(v_2-v)}{v_2-v_1}{T}_{vv}$$

权重函数恰好是：

$$g_{+}(u)=\frac{(u-u_1)(u_2-u)}{u_2-u_1},g_{-}(v)=\frac{(v-v_1)(v_2-v)}{v_2-v_1}$$

边界条件：

• $g_{+}(u_1)=g_{+}(u_2)=0$（边界端点权重为零）
• 权重在区间中点达到最大值：$g_{+}\left(\frac{u_1+u_2}{2}\right)=\frac{u_2-u_1}{4}$

6.3 CFT中的纠缠熵公式

在CFT中，球形菱形的纠缠熵有显式公式。二维CFT的结果为：

$$S_I=\frac{c}{3}\log \frac{L}{ϵ}$$

其中：

• $c$ 是中心荷（central charge）
• $L$ 是区间长度
• $ϵ$ 是短距离截断（正则化参数）

更高维CFT的结果涉及面积律：

$$S_D=\frac{\text{Area}(\partial D)}{4G}+S_{\text{quantum}}$$

其中第一项是经典Bekenstein-Hawking熵，第二项是量子修正。

7. 全序近似桥接：从一般菱形到半空间

7.1 为什么需要“近似“？

一般的因果菱形 $D$ 可能具有复杂的边界形状。为了严格定义其模哈密顿量，我们采用全序近似桥接的方法：

1. 用一族零测度半空间 $\{R_{V_{\alpha }}^{\pm }{\}}_{\alpha }$ 逼近 $D$
2. 每个半空间的模哈密顿量 $K_{V_{\alpha }}$ 已由QNEC给出
3. 在极限 $\alpha \to \infty$ 下恢复 $K_D$

7.2 单调近似族的构造

定义（单调近似族）：

对每个横向坐标 $x_{\perp }$，构造单调函数族：

$$V_{\alpha }^{+}(x_{\perp })\downarrow V^{+}(x_{\perp }),V_{\alpha }^{-}(x_{\perp })\uparrow V^{-}(x_{\perp })$$

使得：

• $R_{V_{\alpha }^{+}}\supset R_{V_{\alpha +1}^{+}}$（单调收缩）
• $R_{V_{\alpha }^{-}}\subset R_{V_{\alpha +1}^{-}}$（单调扩张）
• ${\lim }_{\alpha \to \infty }{R}_{V_{\alpha }^{\pm }}=E^{\pm }$（极限等于菱形边界）

日常类比：用阶梯近似曲线

想象你要画一条光滑曲线，但只能用水平线段。你可以用越来越多、越来越短的线段来逼近曲线。全序近似桥接就是这个思想在时空几何中的应用。

7.3 主控收敛与路径无关性

假设（null能流一致可积）：

对任意 $|\psi ⟩\in {\mathcal{D}}_0$ 和几何上有界的单调近似族 $\{R_{V_{\alpha }}^{\pm }\}$，存在 $H_{\sigma }\in L_{\text{loc}}^1(E^{\sigma }\times {\mathbb{R}}^{d-2})$ 使得：

$$|g_{\sigma }^{(\alpha )}(\lambda ,x_{\perp })⟨\psi |T_{\sigma \sigma }(\lambda ,x_{\perp })|\psi ⟩|\le H_{\sigma }(\lambda ,x_{\perp })$$

几乎处处成立，且：

$$\underset{\alpha }{\sup }{\int }_{\mathcal{K}}{H}_{\sigma }<\infty$$

对任意紧集 $\mathcal{K}\subset E^{\sigma }\times {\mathbb{R}}^{d-2}$。

定理（全序近似桥接引理）：

在上述假设下，存在单调半空间族 $\{R_{V_{\alpha }}^{\pm }\}$ 使得：

$$⟨\psi |K_D|\psi ⟩=\underset{\alpha \to \infty }{\lim }\sum _{\sigma =\pm }2\pi {\int }_{E^{\sigma }}{g}_{\sigma }^{(\alpha )}⟨\psi |T_{\sigma \sigma }|\psi ⟩$$

且极限与选取的有序逼近无关。

证明思路：

1. 主控收敛定理保证逐点极限存在
2. 二次型闭性保证极限在形式域上连续
3. 几何单调性保证极限与路径无关

8. 与统一时间刻度的接口

8.1 散射相位–模哈密顿量对应

在散射理论框架中，模哈密顿量与散射矩阵的相位增量相关联。

Birman-Krein公式：

$$\int \frac{\partial }{\partial E}\arg \det S(E)h(E)dE=-2\pi \int {\xi }^{\prime }(E)h(E)dE$$

其中 $\xi (E)$ 是谱移函数（spectral shift function），与态密度差相关。

结合Wigner-Smith公式：

$$\text{tr}Q(E)=-i\text{tr}(S^{†}{\partial }_{E}S)=2\pi {\xi }^{\prime }(E)$$

我们得到统一时间刻度密度：

$$\kappa (E)=\frac{1}{2\pi }\text{tr}Q(E)={\xi }^{\prime }(E)$$

8.2 频域–时域对应

通过傅里叶变换，频域的统一时间刻度密度 $\kappa (\omega )$ 对应时域的“局域时间流“：

$$\tau (t)={\int }_{-\infty }^t\int \kappa (\omega )e^{-i\omega s}d\omega ds$$

模哈密顿量 $K_D$ 可视为在因果菱形 $D$ 内“积累“的总时间–能量：

$$⟨K_D⟩\sim {\int }_{{\Omega }_D}\kappa (\omega ){\rho }_D(\omega )d\omega$$

其中 ${\rho }_D(\omega )$ 是菱形内的态密度。

小结

在本节中，我们建立了因果菱形的严格几何基础：

1. 因果菱形定义：$D(p_{\text{past}},p_{\text{future}})=J^{+}(p_{\text{past}})\cap J^{-}(p_{\text{future}})$
2. 零测度边界双层分解：$\tilde{E}=E^{+}\bigsqcup E^{-}$，两层由模对合 $J$ 联系
3. 模哈密顿量：$K_D=2\pi {\sum }_{\sigma =\pm }\int g_{\sigma }{T}_{\sigma \sigma }d\lambda d{x}_{\perp }$
4. 二次型框架：通过移位图范数保证形式域完备性
5. QNEC真空饱和：零测度半空间的模哈密顿量精确公式
6. 全序近似桥接：从半空间单调逼近到一般菱形
7. 统一时间刻度接口：模哈密顿量与散射相位–群延迟的对应

在下一节中，我们将构造零模双覆盖，引入 ${\mathbb{Z}}_2$ 奇偶不变量，并揭示其与自指散射网络、费米子双值性的深刻联系。

参考文献

本节主要基于以下理论文献：

1. Null-Modular双覆盖理论 - euler-gls-extend/null-modular-double-cover-causal-diamond-chain.md，§2.1-2.3, §3.1-3.2
2. Bisognano-Wichmann定理 - 经典量子场论文献
3. QNEC与模理论 - Faulkner et al. (2016), Casini-Teste-Torroba (2017)
4. 统一时间刻度 - 第5章 unified-time/，特别是散射相位–群延迟同一
5. 边界时间几何 - 第6章 boundary-theory/，零测度边界结构
6. 共形场论 - CFT经典教材，纠缠熵与模哈密顿量

下一节我们将深入零模双覆盖的构造与 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy的拓扑结构。