23.9 控制流形与Gromov-Hausdorff收敛

在上一篇中,我们建立了统一时间刻度的散射母尺,并用它在控制流形 $\mathcal{M}$ 上构造了复杂性度量 $G_{ab}(\theta )$。我们还证明了一个关键定理:当离散网格越来越细($h\to 0$)时,离散复杂性距离 $d^{(h)}$ 收敛到连续测地距离 $d_G$。

但这个收敛到底意味着什么?仅仅是“距离函数逐点收敛“吗?还是有更深刻的几何意义?

本篇将深入探讨Gromov-Hausdorff收敛这个概念,它不仅保证距离收敛,还保证整个度量空间的结构(拓扑、体积、曲率)都在收敛。这是几何分析中最强的收敛概念之一。

核心问题:

• 什么是Gromov-Hausdorff距离?为什么它比逐点距离收敛更强?
• 控制流形有哪些整体性质(紧性、完备性)?
• 离散与连续的对应不仅在距离层面,还在体积、曲率层面吗?
• 控制流形与信息流形如何耦合?

本文基于 euler-gls-info/04-unified-time-scale-continuous-complexity-geometry.md。

1. 为什么逐点收敛还不够?从像素到形状

1.1 两种“接近“的图像

想象两张数字照片:

• 照片A:一只猫,100×100像素,黑白;
• 照片B:一只猫,10000×10000像素,彩色,超高清。

从像素层面看,它们完全不同:分辨率、色彩、数据格式都不一样。但从视觉内容看,它们都是“一只猫“,形状、轮廓、姿势基本一致。

现在问:这两张照片“接近“吗?

• 逐点收敛:如果把照片B缩放到100×100,然后逐像素比较颜色,可能完全不同;
• 形状收敛:如果只看轮廓和几何形状,它们非常接近。

在几何分析中,我们需要的是第二种“形状收敛“,而不是简单的逐点收敛。这就是Gromov-Hausdorff收敛的核心思想。

1.2 度量空间的“形状“

一个度量空间 $(X,d)$ 的“形状“包括:

• 拓扑结构:哪些点是“接近“的,哪些是“远离“的;
• 体积结构:空间的“大小“如何分布;
• 曲率结构:空间是“弯曲“的还是“平坦“的。

逐点距离收敛只能保证:

• 对每一对点 $(x,y)$,距离 $d_n(x,y)$ 收敛到 $d(x,y)$;
• 但不能保证空间的整体形状一致!

日常类比:

• 想象一根绳子,你可以把它弯成不同的形状(圆、方、三角),但绳子上任意两点之间的“沿绳距离“不变;
• 逐点距离收敛只看“沿绳距离“,Gromov-Hausdorff收敛还要看“嵌入空间中的形状“。

graph TD
    A["两个度量空间"] --> B["(X,d_X)"]
    A --> C["(Y,d_Y)"]

    B --> D["问题:<br/>它们'接近'吗?"]
    C --> D

    D --> E["方法1:<br/>逐点距离比较"]
    D --> F["方法2:<br/>Gromov-Hausdorff距离"]

    E --> G["要求:<br/>X和Y有相同点集<br/>比较d_X(x,y)与d_Y(x,y)"]
    F --> H["不要求:<br/>X和Y点集一致<br/>只要求'形状'一致"]

    G --> I["局限:<br/>只能比较同一空间<br/>不同离散化"]
    H --> J["优势:<br/>可比较完全不同的空间<br/>只要几何结构相似"]

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    style F fill:#e1fff5
    style H fill:#ffe1f5
    style J fill:#f5ffe1

2. Gromov-Hausdorff距离:度量空间之间的距离

源理论:euler-gls-info/04-unified-time-scale-continuous-complexity-geometry.md 第4节

2.1 Hausdorff距离:同一空间中两个子集的距离

首先回顾一个更简单的概念:Hausdorff距离。

定义 2.1(Hausdorff距离)

设 $(Z,d_Z)$ 是一个度量空间,$A,B\subset Z$ 是两个非空紧子集。$A$ 到 $B$ 的单向Hausdorff距离定义为

$$d_H^{\to }(A,B)=\underset{a\in A}{\sup }\underset{b\in B}{\inf }{d}_Z(a,b),$$

即“$A$ 中离 $B$ 最远的点到 $B$ 的距离“。

双向Hausdorff距离定义为

$$d_H(A,B)=\max \{d_H^{\to }(A,B),d_H^{\to }(B,A)\}.$$

日常类比:

• 想象两个村庄 $A$ 和 $B$,每个村庄是一些房子的集合;
• $d_H^{\to }(A,B)$ 是“村庄 $A$ 中离村庄 $B$ 最远的房子到 $B$ 的距离“;
• $d_H(A,B)$ 是“两个方向的最大距离“,衡量两个村庄的“分布差异“。

例子:

• $A=[0,1]$,$B=[0,1.1]$,都在实数轴上;
• $d_H^{\to }(A,B)=0$(因为 $A\subset B$);
• $d_H^{\to }(B,A)=0.1$(点 $1.1\in B$ 离 $A$ 最远);
• $d_H(A,B)=0.1$。

2.2 等距嵌入:把空间“放入“更大的空间

定义 2.2(等距嵌入)

设 $(X,d_X)$ 和 $(Z,d_Z)$ 是两个度量空间。映射 $f:X\to Z$ 称为等距嵌入,如果对所有 $x,y\in X$ 有

$$d_Z(f(x),f(y))=d_X(x,y).$$

日常解读:

• 等距嵌入是“保持所有距离的映射“;
• 想象把一张平面地图(二维)嵌入到三维空间:地图上任意两点的距离在嵌入后不变;
• 但嵌入不要求满射,地图只占据三维空间的一个小片。

2.3 Gromov-Hausdorff距离的定义

定义 2.3(Gromov-Hausdorff距离,源自 euler-gls-info/04-unified-time-scale-continuous-complexity-geometry.md)

两个紧度量空间 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 的Gromov-Hausdorff距离定义为

$$d_{GH}(X,Y)=\inf \left\{ϵ:\begin{array}{l}\exists (Z,d_Z),f_X:X\to Z,f_Y:Y\to Z\\ f_X,f_Y\text{ 等距嵌入},\\ d_H(f_X(X),f_Y(Y))\le ϵ\end{array}\right\}.$$

日常解读:

• 取遍所有可能的“宿主空间“ $Z$,以及将 $X,Y$ 等距嵌入 $Z$ 的方式 $f_X,f_Y$;
• 在 $Z$ 中,计算 $f_X(X)$ 和 $f_Y(Y)$ 两个子集的Hausdorff距离;
• 取所有可能嵌入方式中Hausdorff距离的下确界,得到 $d_{GH}(X,Y)$。

核心洞察:

• Gromov-Hausdorff距离测量的是“两个空间能被多接近地嵌入到同一个空间中“;
• 如果 $d_{GH}(X,Y)=0$,则 $X$ 和 $Y$ 在等距意义下“形状完全相同“(称为等距同构);
• $d_{GH}(X,Y)$ 很小意味着 $X$ 和 $Y$ 的几何结构非常相似,即使它们的点集完全不同!

2.4 为什么叫“形状距离“?

日常类比:

• 想象两个三维物体:一个立方体网格(离散),一个光滑球面(连续);
• 它们的点集完全不同:一个是有限个顶点,一个是连续流形;
• 但如果离散网格足够细,逼近球面,则 $d_{GH}(\text{网格},\text{球面})$ 很小;
• Gromov-Hausdorff距离捕捉的是“几何形状的相似性“,而不是“点集的重合性“。

graph LR
    A["度量空间 (X,d_X)"] --> B["等距嵌入 f_X"]
    C["度量空间 (Y,d_Y)"] --> D["等距嵌入 f_Y"]

    B --> E["宿主空间 (Z,d_Z)"]
    D --> E

    E --> F["嵌入后的图像<br/>f_X(X) ⊂ Z"]
    E --> G["嵌入后的图像<br/>f_Y(Y) ⊂ Z"]

    F --> H["Hausdorff距离<br/>d_H(f_X(X), f_Y(Y))"]
    G --> H

    H --> I["取下确界<br/>对所有(Z,f_X,f_Y)"]
    I --> J["Gromov-Hausdorff距离<br/>d_GH(X,Y)"]

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    style C fill:#fff4e1
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    style F fill:#ffe1e1
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    style J fill:#ffe1f5

3. Gromov-Hausdorff收敛:空间序列的极限

源理论:euler-gls-info/04-unified-time-scale-continuous-complexity-geometry.md 定理4.1

3.1 度量空间序列的收敛

定义 3.1(Gromov-Hausdorff收敛)

设 $\{(X_n,d_n){\}}_{n=1}^{\infty }$ 是一族紧度量空间,$(X,d)$ 是另一个紧度量空间。称 $(X_n,d_n)$ Gromov-Hausdorff收敛到 $(X,d)$,如果

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_{GH}(X_n,X)=0.$$

记为 $(X_n,d_n)\stackrel{GH}{\to }(X,d)$。

日常解读:

• 不要求 $X_n$ 和 $X$ 有相同的点集;
• 不要求 $X_n$ 是 $X$ 的子集或超集;
• 只要求:随着 $n$ 增大,$X_n$ 的“几何形状“越来越接近 $X$ 的“几何形状“。

3.2 为什么这是强收敛?

Gromov-Hausdorff收敛不仅保证距离函数收敛,还保证:

1. 拓扑收敛:$X_n$ 的拓扑结构趋近于 $X$ 的拓扑结构;
2. 体积收敛(在适当归一化下):$X_n$ 的体积测度趋近于 $X$ 的体积测度;
3. 曲率收敛(在适当假设下):$X_n$ 的曲率趋近于 $X$ 的曲率;
4. 测地线收敛:$X_n$ 中的最短路径趋近于 $X$ 中的测地线。

日常类比:

• 想象用越来越细的多面体逼近一个球面:
  • 正四面体 → 正八面体 → 正二十面体 → ⋯ → 球面;
  • 顶点数、边数、面数都在变化;
  • 但“形状“越来越接近球面;
  • 最终:体积 → 球的体积,曲率 → 球面曲率,测地线 → 大圆。

3.3 计算宇宙中的应用

在计算宇宙框架中,我们有:

• 离散空间 $(X^{(h)},d^{(h)})$:网格步长为 $h$ 的控制网格,离散复杂性距离;
• 连续空间 $(\mathcal{M},d_G)$:控制流形,测地距离。

定理 3.2(控制流形的Gromov-Hausdorff收敛,源自 euler-gls-info/04-unified-time-scale-continuous-complexity-geometry.md 定理4.1推广)

在适当的正则性条件下,当网格步长 $h\to 0$ 时,离散控制网格作为度量空间Gromov-Hausdorff收敛到连续控制流形:

$$(X^{(h)},d^{(h)})\stackrel{GH}{\to }(\mathcal{M},d_G).$$

物理意义:

• 离散计算宇宙不仅在“逐点距离“上收敛,而且在“整体几何结构“上收敛;
• 这保证了:离散模型的所有几何性质(体积增长、曲率、维数)都有连续极限;
• 我们可以安全地用连续Riemann几何来研究计算宇宙的性质!

graph TD
    A["离散网格序列<br/>{(X^(h), d^(h))}"] --> B["h → 0"]
    B --> C["Gromov-Hausdorff收敛"]

    C --> D["连续控制流形<br/>(M, d_G)"]

    C --> E["保证1:<br/>距离函数收敛"]
    C --> F["保证2:<br/>拓扑结构收敛"]
    C --> G["保证3:<br/>体积测度收敛"]
    C --> H["保证4:<br/>曲率收敛"]
    C --> I["保证5:<br/>测地线收敛"]

    D --> J["Riemann几何工具<br/>可用于计算宇宙"]

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4. 控制流形的整体性质

源理论:euler-gls-info/04-unified-time-scale-continuous-complexity-geometry.md 第3-4节

4.1 紧性:有界且完备

定义 4.1(紧度量空间)

度量空间 $(X,d)$ 称为紧的,如果满足以下等价条件之一:

1. 任何开覆盖都有有限子覆盖(拓扑定义);
2. $X$ 是完备且完全有界的(度量定义);
3. $X$ 中任何序列都有收敛子列(序列紧性)。

日常类比:

• 紧空间像“有限大的封闭盒子“:
  • 有界:空间不会无限延伸;
  • 闭:空间包含所有极限点,没有“洞“或“边界跑到无穷远“。

例子:

• $[0,1]$(闭区间)是紧的;
• $(0,1)$(开区间)不紧,因为不闭(缺少端点);
• $[0,\infty )$不紧,因为无界;
• ${\mathbb{R}}^n$ 中的单位球面 $S^{n-1}$ 是紧的。

4.2 控制流形的紧性

在计算宇宙中,控制流形 $\mathcal{M}$ 通常对应物理系统的参数空间:

• 量子门参数:旋转角度 $\theta \in S^1$(紧的);
• 耦合强度:$g\in [g_{\min },g_{\max }]$(紧的);
• 神经网络权重:受范数约束 $\Vert \mathbf{w}\Vert \le R$(紧的)。

命题 4.2(物理可实现的控制流形是紧的)

对于任何物理可实现的计算宇宙,其控制流形 $\mathcal{M}$ 可以选择为紧的。

理由:

• 物理参数总是有界的(能量守恒、热力学稳定性等);
• 可以通过适当的边界条件或正则化,使参数空间闭合。

紧性的好处:

• 保证测地线存在且有界;
• 保证Gromov-Hausdorff收敛的良定性;
• 允许使用紧流形上的分析工具(谱理论、热核等)。

4.3 完备性:测地线不“跑出“空间

定义 4.3(测地完备性)

Riemann流形 $(\mathcal{M},G)$ 称为测地完备,如果任何测地线都可以延拓到任意参数长度,即测地线不会在有限时间内“跑出“流形。

日常类比:

• 想象一个平面去掉一个点:测地线(直线)可能“撞到洞里“,无法继续;
• 测地完备空间没有这种“洞“,测地线可以无限延伸。

Hopf-Rinow定理: 对完备Riemann流形,以下等价:

1. 测地完备;
2. 作为度量空间完备;
3. 闭球紧。

命题 4.4(控制流形的完备性)

若控制流形 $\mathcal{M}$ 是紧的,则它自动测地完备。

证明:紧性蕴含完备性(任何Cauchy列收敛),由Hopf-Rinow定理得测地完备。

4.4 曲率有界:控制流形的“弯曲“程度

在Riemann几何中,曲率衡量空间的“弯曲“程度:

• 正曲率:空间像球面,测地线趋于聚拢;
• 零曲率:空间像平面,测地线平行;
• 负曲率:空间像马鞍面,测地线趋于发散。

命题 4.5(控制流形的曲率有界)

在物理可实现的控制流形上,由统一时间刻度诱导的度量 $G_{ab}(\theta )$ 具有有界的Riemann曲率张量:

$$|R_{abcd}(\theta )|\le C$$

对所有 $\theta \in \mathcal{M}$ 和所有指标 $a,b,c,d$,其中 $C$ 是常数。

物理原因:

• 散射矩阵 $S(\omega ;\theta )$ 的控制参数依赖性通常是解析的;
• 群延迟矩阵 $Q(\omega ;\theta )$ 对 $\theta$ 的高阶导数有界;
• 因此度量 $G_{ab}$ 的高阶导数有界,曲率自然有界。

曲率有界的意义:

• 保证测地线的稳定性;
• 允许使用曲率有界流形的比较定理(如Bishop-Gromov体积比较);
• 为Gromov-Hausdorff收敛提供定量估计。

graph TD
    A["控制流形 M"] --> B["性质1:<br/>紧性"]
    A --> C["性质2:<br/>完备性"]
    A --> D["性质3:<br/>曲率有界"]

    B --> E["物理原因:<br/>参数有界<br/>(能量守恒等)"]
    C --> F["Hopf-Rinow定理:<br/>紧 ⇒ 完备"]
    D --> G["物理原因:<br/>散射矩阵解析性"]

    B --> H["好处:<br/>测地线存在"]
    C --> H
    D --> H

    H --> I["Gromov-Hausdorff<br/>收敛良定"]
    H --> J["可用Riemann<br/>几何工具"]

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    style I fill:#e1f5ff
    style J fill:#fff4e1

5. 收敛的精细对应:不仅是距离

源理论:euler-gls-info/04-unified-time-scale-continuous-complexity-geometry.md 第4节推论

5.1 体积的收敛

在离散空间 $(X^{(h)},d^{(h)})$ 中,我们可以定义体积:对任意点 $x\in X^{(h)}$ 和半径 $r>0$,复杂性球的体积为

$$V^{(h)}(x,r)=\#\{y\in X^{(h)}:d^{(h)}(x,y)\le r\},$$

即球内的点数。

在连续流形 $(\mathcal{M},d_G)$ 中,测地球的体积为

$$V_G(\theta ,r)={\int }_{B_G(\theta ,r)}\sqrt{\det G}\mathrm{d}{\theta }^1\cdots \mathrm{d}{\theta }^d,$$

其中 $B_G(\theta ,r)=\{{\theta }^{\prime }:d_G(\theta ,{\theta }^{\prime })\le r\}$ 是测地球,$\sqrt{\det G}$ 是体积元。

定理 5.1(体积收敛,源自Gromov-Hausdorff收敛的性质)

在适当的归一化下,当 $h\to 0$ 时,对任意 $\theta \in \mathcal{M}$ 和 $r>0$ 有

$$\underset{h\to 0}{\lim }{h}^d{V}^{(h)}({\theta }^{(h)},r)=V_G(\theta ,r),$$

其中 ${\theta }^{(h)}\in X^{(h)}$ 是逼近 $\theta$ 的点,$d$ 是流形维数。

日常解读:

• 因子 $h^d$ 是归一化因子:离散球包含的点数 $\sim r^d/h^d$,乘以 $h^d$ 得到“连续体积“;
• 这个定理说:离散球的“归一化点数“收敛到连续球的Riemann体积!

日常类比:

• 想象用细沙堆成一个球:沙粒越细,沙粒数越多,但总体积不变;
• 归一化因子 $h^d$ 就像“单个沙粒的体积“。

5.2 复杂性维数的收敛

回顾第23.4篇中定义的复杂性维数:

$${\dim }_{\mathrm{comp}}(x)=\underset{r\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{\log V(x,r)}{\log r}.$$

在连续流形上,对应的是Riemann维数(即流形的拓扑维数 $d$)。

命题 5.2(维数收敛)

若 $(\mathcal{M},G)$ 是 $d$ 维Riemann流形,且 $(X^{(h)},d^{(h)})\stackrel{GH}{\to }(\mathcal{M},d_G)$,则对几乎所有 $\theta \in \mathcal{M}$ 有

$$\underset{h\to 0}{\lim }{\dim }_{\mathrm{comp}}({\theta }^{(h)})=d.$$

物理意义:

• 离散复杂性几何的“内禀维数“收敛到连续流形的拓扑维数;
• 这验证了:复杂性维数是一个几何不变量,不依赖于离散化方式!

5.3 离散Ricci曲率的收敛

回顾第23.5篇中定义的离散Ricci曲率(Ollivier-Ricci曲率):

$${\kappa }^{(h)}(x,y)=1-\frac{W_1(m_x,m_y)}{d^{(h)}(x,y)},$$

其中 $W_1$ 是Wasserstein-1距离,$m_x,m_y$ 是“随机游走测度“。

在连续Riemann流形上,对应的是Ricci曲率张量 ${\mathrm{Ric}}_{ab}(\theta )$。

定理 5.3(曲率收敛,源自Ollivier曲率的连续极限理论)

在适当的正则性假设下,当 $h\to 0$ 时,离散Ricci曲率收敛到连续Ricci曲率:

$$\underset{h\to 0}{\lim }{\kappa }^{(h)}({\theta }^{(h)},{\theta }^{(h)}+h{e}_a)=\frac{1}{d-1}{\mathrm{Ric}}_{aa}(\theta ),$$

其中 $e_a$ 是坐标方向,${\mathrm{Ric}}_{aa}$ 是Ricci曲率在方向 $a$ 的分量。

日常解读:

• 离散曲率(基于随机游走)在细化极限下收敛到连续曲率(基于测地偏离);
• 这再次验证:离散几何与连续几何的深刻一致性!

graph TD
    A["Gromov-Hausdorff收敛<br/>(X^(h),d^(h)) → (M,d_G)"] --> B["蕴含1:<br/>距离逐点收敛"]
    A --> C["蕴含2:<br/>体积收敛"]
    A --> D["蕴含3:<br/>维数收敛"]
    A --> E["蕴含4:<br/>曲率收敛"]

    B --> F["∀θ₁,θ₂:<br/>d^(h)(θ₁^(h),θ₂^(h)) → d_G(θ₁,θ₂)"]
    C --> G["∀θ,r:<br/>h^d V^(h)(θ^(h),r) → V_G(θ,r)"]
    D --> H["∀θ:<br/>dim_comp(θ^(h)) → d"]
    E --> I["∀θ,方向a:<br/>κ^(h) → Ric_aa / (d-1)"]

    F --> J["离散与连续<br/>完全一致!"]
    G --> J
    H --> J
    I --> J

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    style J fill:#fff4e1

6. 控制流形与信息流形的耦合

源理论:euler-gls-info/04-unified-time-scale-continuous-complexity-geometry.md 第5节及后续章节预告

6.1 回顾:信息流形

在第23.6-7篇中,我们构造了信息流形 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$:

• 对象:参数化的观察概率分布 $p(\cdot ;\varphi )$;
• 度量:Fisher信息度量

$$g_{ij}^{(Q)}(\varphi )=\sum _z{p}_0(z)\frac{\partial \log p(z;\varphi )}{\partial {\varphi }^i}\frac{\partial \log p(z;\varphi )}{\partial {\varphi }^j}.$$

信息流形衡量的是“参数 $\varphi$ 的变化如何影响观察概率分布“。

6.2 控制流形 vs 信息流形

现在我们有两个流形:

1. 控制流形 $(\mathcal{M},G)$:

   • 参数是物理控制 $\theta$(例如量子门角度);
   • 度量 $G_{ab}$ 由群延迟矩阵的控制导数诱导;
   • 衡量“控制变化的计算代价“。

2. 信息流形 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$:

   • 参数是观察策略 $\varphi$(例如测量基的选择);
   • 度量 $g_{ij}^{(Q)}$ 由Fisher信息矩阵诱导;
   • 衡量“观察策略变化的信息获取代价“。

核心问题:这两个流形如何联系?

6.3 联合流形:参数空间的直积

在完整的计算宇宙中,我们既需要控制物理演化(参数 $\theta$),也需要选择观察策略(参数 $\varphi$)。自然的想法是考虑联合参数空间:

$$\mathcal{N}=\mathcal{M}\times {\mathcal{S}}_Q.$$

坐标为 $(\theta ,\varphi )$。

定义 6.1(联合度量)

在联合流形 $\mathcal{N}$ 上,可以定义联合度量:

$$\tilde{G}={\alpha }^{2}G\oplus {\beta }^2{g}_Q,$$

即

$${\tilde{G}}_{AB}(\theta ,\varphi )=\{\begin{array}{ll}{\alpha }^2{G}_{ab}(\theta )& \text{if }A=a,B=b\in \{1,\dots ,d_M\}\\ {\beta }^2{g}_{ij}^{(Q)}(\varphi )& \text{if }A=i,B=j\in \{d_M+1,\dots ,d_M+d_S\}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

其中 $\alpha ,\beta >0$ 是耦合常数,权衡控制代价与信息代价。

日常类比:

• 想象你在玩一个游戏,需要同时调整两个旋钮:
  • 旋钮1(控制 $\theta$):调整游戏速度(代价是能量);
  • 旋钮2(观察 $\varphi$):调整摄像头角度(代价是信息带宽)。
• 联合度量 $\tilde{G}$ 就是“总代价“的度量,综合了两种代价。

6.4 联合作用量与变分原理

在联合流形上,可以定义作用量泛函:

$$S[(\theta ,\varphi )]={\int }_0^T\left[\frac{{\alpha }^2}{2}{G}_{ab}(\theta ){\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+\frac{{\beta }^2}{2}{g}_{ij}^{(Q)}(\varphi ){\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j\right]\mathrm{d}t.$$

变分原理:最优的控制-观察联合路径 $({\theta }^{\ast }(t),{\varphi }^{\ast }(t))$ 是使作用量 $S$ 取极值的路径,满足Euler-Lagrange方程。

这将在第23.10-11篇中详细展开,构造时间-信息-复杂性变分原理,实现三者的完全统一。

graph TD
    A["控制流形<br/>(M, G)"] --> B["参数: θ<br/>(物理控制)"]
    A --> C["度量: G_ab<br/>(控制代价)"]

    D["信息流形<br/>(S_Q, g_Q)"] --> E["参数: φ<br/>(观察策略)"]
    D --> F["度量: g_ij^(Q)<br/>(信息代价)"]

    B --> G["联合参数空间<br/>N = M × S_Q"]
    E --> G

    C --> H["联合度量<br/>G̃ = α²G ⊕ β²g_Q"]
    F --> H

    G --> H

    H --> I["联合作用量<br/>S = ∫(α²G·θ̇² + β²g_Q·φ̇²) dt"]

    I --> J["变分原理:<br/>最优路径满足<br/>Euler-Lagrange方程"]

    J --> K["时间-信息-复杂性<br/>完全统一<br/>(第23.10-11篇)"]

    style A fill:#e1f5ff
    style D fill:#fff4e1
    style G fill:#ffd4e1
    style H fill:#ffe1e1
    style I fill:#e1ffe1
    style J fill:#e1fff5
    style K fill:#ffe1f5

7. 物理实例:量子电路的控制流形

源理论:euler-gls-info/04-unified-time-scale-continuous-complexity-geometry.md 第4.3节扩展

7.1 模型:单量子比特旋转门链

考虑 $N$ 个串联的单量子比特旋转门:

$$U(\mathbf{\theta })=R_z({\theta }_N)\cdots R_z({\theta }_2)R_z({\theta }_1),$$

其中 $R_z(\theta )=e^{-\mathrm{i}\theta {\sigma }_z/2}$ 是绕 $z$ 轴的旋转门。

控制参数:$\mathbf{\theta }=({\theta }_1,\dots ,{\theta }_N)\in [0,2\pi {)}^N$。

控制流形:$\mathcal{M}=(S^1{)}^N$(N维环面)。

7.2 散射矩阵与群延迟

对于量子门链,散射矩阵可以通过能谱分辨的响应函数定义。在适当的微扰理论下,群延迟矩阵 $Q(\omega ;\mathbf{\theta })$ 可以显式计算。

简化情形:假设各门之间弱耦合,则度量近似为

$$G_{ij}(\mathbf{\theta })\approx {\delta }_{ij}{g}_i({\theta }_i),$$

其中 $g_i({\theta }_i)$ 是第 $i$ 个门的“局域控制代价“。

7.3 测地线:最优控制路径

在度量 $G$ 下,测地线对应“最小控制代价的路径“。

例子:从 ${\mathbf{\theta }}_{\mathrm{init}}=(0,0,\dots ,0)$ 到 ${\mathbf{\theta }}_{\mathrm{target}}=(\pi ,\pi ,\dots ,\pi )$,测地线是

$${\mathbf{\theta }}^{\ast }(t)=t(\pi ,\pi ,\dots ,\pi ),t\in [0,1],$$

即“所有门同时匀速旋转“。

物理意义:

• 这是最节能的控制方案;
• 如果某些门代价更高($g_i$ 更大),测地线会“避开“这些门,多用便宜的门。

7.4 离散化与收敛

将每个角度 ${\theta }_i$ 离散为步长 $h$ 的网格点:

$${\theta }_i\in \{0,h,2h,\dots ,2\pi -h\}.$$

定义离散复杂性距离 $d^{(h)}$ 为最小跳跃数(加权)。

数值验证:

• 计算离散距离 $d^{(h)}({\mathbf{\theta }}_1^{(h)},{\mathbf{\theta }}_2^{(h)})$;
• 计算连续测地距离 $d_G({\mathbf{\theta }}_1,{\mathbf{\theta }}_2)$;
• 验证 ${\lim }_{h\to 0}{d}^{(h)}=d_G$(定理3.2的实例)。

graph TD
    A["量子电路<br/>N个旋转门"] --> B["控制参数<br/>θ = (θ₁,...,θ_N)"]
    B --> C["控制流形<br/>M = (S¹)^N"]

    C --> D["散射矩阵<br/>S(ω;θ)"]
    D --> E["群延迟矩阵<br/>Q(ω;θ)"]

    E --> F["复杂性度量<br/>G_ij(θ)"]
    F --> G["测地线:<br/>最优控制路径"]

    H["离散化<br/>θ_i ∈ {0,h,2h,...}"] --> I["离散距离 d^(h)"]
    I --> J["细化极限 h→0"]
    J --> K["收敛:<br/>d^(h) → d_G"]

    G --> K

    style A fill:#e1f5ff
    style C fill:#fff4e1
    style F fill:#ffd4e1
    style G fill:#ffe1e1
    style K fill:#e1ffe1

8. 物理实例:神经网络的控制流形

8.1 模型:简单前馈神经网络

考虑一个两层前馈神经网络:

$$y=\sigma (W_2\sigma (W_{1}x+b_1)+b_2),$$

其中 $x\in {\mathbb{R}}^{n_0}$ 是输入,$y\in {\mathbb{R}}^{n_2}$ 是输出,$\sigma$ 是激活函数,$W_1,W_2,b_1,b_2$ 是权重和偏置。

控制参数:权重矩阵和偏置向量展平为向量 $\mathbf{\theta }\in {\mathbb{R}}^D$,其中 $D=n_0{n}_1+n_1+n_1{n}_2+n_2$。

控制流形:受范数约束的参数空间,例如

$$\mathcal{M}=\{\mathbf{\theta }\in {\mathbb{R}}^D:\Vert \mathbf{\theta }\Vert \le R\},$$

这是 ${\mathbb{R}}^D$ 中的闭球(紧的)。

8.2 度量:Fisher信息度量

在神经网络的背景下,度量通常采用Fisher信息度量:设网络输出 $y(\mathbf{\theta })$ 对应一个概率分布 $p(y|\mathbf{\theta })$,则

$$G_{ij}(\mathbf{\theta })={\mathbb{E}}_{y\sim p(\cdot |\mathbf{\theta })}\left[\frac{\partial \log p(y|\mathbf{\theta })}{\partial {\theta }_i}\frac{\partial \log p(y|\mathbf{\theta })}{\partial {\theta }_j}\right].$$

这是第23.6-7篇信息几何的直接应用。

8.3 训练:测地线上的梯度流

神经网络的训练过程可以理解为在控制流形上沿“损失函数梯度“运动:

$$\frac{\mathrm{d}\mathbf{\theta }}{\mathrm{d}t}=-G^{-1}{\nabla }_{\mathbf{\theta }}L,$$

其中 $L(\mathbf{\theta })$ 是损失函数,$G^{-1}$ 是度量的逆(提升指标)。

这被称为自然梯度下降(Natural Gradient Descent),比标准梯度下降收敛更快,因为它遵循Riemann几何的测地线。

8.4 离散化:小批量梯度下降

实际训练中使用小批量梯度下降(mini-batch SGD):

$${\mathbf{\theta }}_{k+1}={\mathbf{\theta }}_k-h{\nabla }_{\mathbf{\theta }}L{|}_{{\mathbf{\theta }}_k},$$

其中 $h$ 是学习率(步长)。

这是控制流形上离散路径的一个实例:

• 步长 $h$ 对应离散化尺度;
• 当 $h\to 0$ 时,离散路径收敛到连续梯度流;
• Gromov-Hausdorff收敛保证:离散训练动力学收敛到连续动力学!

graph TD
    A["神经网络<br/>权重参数 θ"] --> B["控制流形<br/>M = {θ: ‖θ‖ ≤ R}"]
    B --> C["Fisher信息度量<br/>G_ij(θ)"]

    C --> D["损失函数 L(θ)"]
    D --> E["Riemann梯度<br/>∇_G L = G⁻¹∇L"]

    E --> F["连续梯度流<br/>dθ/dt = -∇_G L"]
    F --> G["测地线:<br/>最优训练路径"]

    H["离散训练<br/>小批量SGD"] --> I["θ_(k+1) = θ_k - h∇L"]
    I --> J["步长 h → 0"]
    J --> K["收敛:<br/>离散路径 → 连续流"]

    G --> K

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style C fill:#ffd4e1
    style D fill:#ffe1e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#e1fff5
    style G fill:#ffe1f5
    style H fill:#f5ffe1
    style K fill:#e1f5ff

9. 完整图景:从离散到连续的桥梁

9.1 理论层次总结

graph TD
    A["离散计算宇宙<br/>U_comp = (X,T,C,I)"] --> B["控制网格<br/>M^(h) ⊂ M"]
    B --> C["离散复杂性距离<br/>d^(h)(x,y)"]

    C --> D["离散几何性质"]
    D --> E["体积: V^(h)(x,r)"]
    D --> F["维数: dim_comp^(h)(x)"]
    D --> G["曲率: κ^(h)(x,y)"]

    H["细化极限 h→0"] --> I["Gromov-Hausdorff<br/>收敛"]

    C --> I
    H --> I

    I --> J["连续控制流形<br/>(M, G)"]
    J --> K["测地距离<br/>d_G(θ₁,θ₂)"]

    K --> L["连续几何性质"]
    L --> M["体积: V_G(θ,r)"]
    L --> N["维数: d (拓扑维数)"]
    L --> O["曲率: Ric_ab(θ)"]

    E --> M
    F --> N
    G --> O

    P["保证:<br/>所有几何量收敛!"]
    M --> P
    N --> P
    O --> P

    style A fill:#e1f5ff
    style C fill:#fff4e1
    style D fill:#ffd4e1
    style I fill:#ffe1e1
    style J fill:#e1ffe1
    style L fill:#e1fff5
    style P fill:#ffe1f5

9.2 核心定理回顾

9.3 核心概念速查

10. 总结

本篇深入探讨了控制流形的整体性质与Gromov-Hausdorff收敛:

10.1 核心概念

1. Gromov-Hausdorff距离 $d_{GH}(X,Y)$:度量空间之间的“形状距离“

   • 通过等距嵌入和Hausdorff距离定义;
   • 不要求点集一致,只要求几何结构相似。

2. Gromov-Hausdorff收敛:最强的几何收敛

   • 不仅距离收敛,还保证体积、维数、曲率都收敛;
   • 离散几何 → 连续几何的严格桥梁。

3. 控制流形的整体性质:

   • 紧性:参数有界且闭合;
   • 完备性:测地线不跑出空间;
   • 曲率有界:弯曲程度可控。

4. 精细对应:

   • 体积:$h^d{V}^{(h)}\to V_G$;
   • 维数:${\dim }_{\mathrm{comp}}^{(h)}\to d$;
   • 曲率:${\kappa }^{(h)}\to \mathrm{Ric}/(d-1)$。

5. 联合流形 $\mathcal{N}=\mathcal{M}\times {\mathcal{S}}_Q$:控制流形与信息流形的耦合

10.2 核心洞察

• 形状重于点集:Gromov-Hausdorff收敛关注几何结构,而非具体点的对应;
• 离散即连续:在适当极限下,离散几何与连续几何完全等价;
• 物理可实现性:控制流形的紧性、完备性来自物理约束(能量守恒等);
• 几何统一性:所有几何量(距离、体积、维数、曲率)在收敛下保持一致;
• 控制-信息耦合:计算宇宙需要同时优化控制代价与信息代价。

10.3 日常类比回顾

• 像素到图像:Gromov-Hausdorff收敛像提高分辨率,最终得到连续图像;
• 多面体到球面:离散网格越来越细,最终逼近光滑球面;
• 沙堆成球:沙粒越细,堆出的球越光滑;
• 量子电路训练:离散控制步骤在极限下变成连续测地流;
• 神经网络优化:小批量梯度下降收敛到自然梯度流。

10.4 与前后章节的联系

与第23.1-8篇的联系:

• 第23.3-5篇:离散复杂性几何(距离、体积、Ricci曲率);
• 第23.6-7篇:离散信息几何(Fisher矩阵、信息维数);
• 第23.8篇:统一时间刻度,控制流形的构造;
• 本篇:证明离散与连续的完全等价(Gromov-Hausdorff收敛)。

与第23.10-11篇的预告: 下一篇将构造联合流形与时间-信息-复杂性作用量:

• 联合流形 $\mathcal{N}=\mathcal{M}\times {\mathcal{S}}_Q$;
• 联合度量 $\tilde{G}={\alpha }^{2}G\oplus {\beta }^2{g}_Q$;
• 作用量泛函 $S=\int [{\alpha }^{2}G{\dot{\theta }}^2+{\beta }^2{g}_Q{\dot{\varphi }}^2-\gamma U_Q]\mathrm{d}t$;
• Euler-Lagrange方程:最优控制-观察联合路径;
• 时间、信息、复杂性的变分统一。

下一篇预告:23.10 联合流形与时间-信息-复杂性作用量

在下一篇中,我们将:

1. 构造联合流形 $\mathcal{N}=\mathcal{M}\times {\mathcal{S}}_Q$:控制参数 $\theta$ 与观察参数 $\varphi$ 的直积;
2. 定义联合度量:综合控制代价 $G$ 与信息代价 $g_Q$;
3. 引入势能项 $U_Q(\varphi )$:观察策略的“信息势“;
4. 构造作用量泛函:时间-信息-复杂性的统一表述;
5. 推导Euler-Lagrange方程:最优路径的动力学方程;
6. 证明守恒律:能量守恒、动量守恒、信息守恒;
7. 物理实例:量子测量的最优策略、神经网络的信息瓶颈。