23.11 Euler-Lagrange方程与计算世界线

在上一篇中,我们构造了时间-信息-复杂性作用量 ${\mathcal{A}}_Q$,并导出了Euler-Lagrange方程:

• 控制:${\ddot{\theta }}^a+{\Gamma }_{bc}^a{\dot{\theta }}^b{\dot{\theta }}^c=0$(测地线);
• 信息:${\ddot{\varphi }}^i+{\Gamma }_{jk}^i{\dot{\varphi }}^j{\dot{\varphi }}^k=-\frac{\gamma }{{\beta }^2}\nabla U_Q$(带势测地线)。

这些方程描述了最优计算世界线的动力学。但就像经典力学一样,仅有运动方程还不够,我们还需要理解:

• 守恒律:什么量在演化中保持不变?
• 对称性:守恒律来自哪些对称性?(Noether定理)
• Hamilton形式:如何从Lagrangian转到Hamiltonian?(相空间描述)
• 因果结构:计算世界线有“光锥“吗?

本篇将深入探讨这些问题,揭示计算世界线的深层结构。

核心问题:

• 时间-信息-复杂性作用量有哪些守恒律?
• Noether定理如何联系对称性与守恒律?
• Hamilton形式下的计算世界线是什么样的?
• 计算世界线的因果结构与物理时空的关系?

本文基于 euler-gls-info/05-time-information-complexity-variational-principle.md 以及经典力学的Hamilton-Jacobi理论。

1. 从Newton定律到守恒律:日常类比

1.1 日常守恒律:钱包里的钱

想象你每天记账:

• 收入:工资、奖金(能量输入);
• 支出:买菜、房租(能量输出);
• 余额:钱包里剩余的钱(总能量)。

守恒律:如果没有收入和支出(孤立系统),余额不变!

$$\text{余额}(t)=\text{常数}.$$

这是能量守恒的日常版本。

1.2 物理守恒律的来源

在经典力学中,守恒律有深刻的来源:对称性。

Noether定理(1915年,Emmy Noether):

每一个连续对称性都对应一个守恒律。

例子:

• 时间平移对称(今天的物理定律=明天的物理定律)→能量守恒;
• 空间平移对称(这里的物理定律=那里的物理定律)→动量守恒;
• 空间旋转对称(向左转=向右转)→角动量守恒。

graph LR
    A["对称性"] --> B["Noether定理"]
    B --> C["守恒律"]

    D["时间平移对称<br/>(物理定律不随时间变化)"] --> E["能量守恒<br/>E = 常数"]
    F["空间平移对称<br/>(物理定律不随位置变化)"] --> G["动量守恒<br/>p = 常数"]
    H["空间旋转对称<br/>(物理定律各向同性)"] --> I["角动量守恒<br/>L = 常数"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style C fill:#ffd4e1
    style D fill:#ffe1e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#e1fff5
    style G fill:#ffe1f5
    style H fill:#f5ffe1
    style I fill:#e1f5ff

1.3 计算世界线的守恒律

在计算宇宙中,我们也有作用量 ${\mathcal{A}}_Q$ 和Euler-Lagrange方程。自然的问题:

• 作用量 ${\mathcal{A}}_Q$ 有哪些对称性?
• 这些对称性对应哪些守恒律?

核心洞察:

• 控制-信息能量:在特定条件下守恒;
• 信息质量:在某些演化下守恒;
• 复杂性动量:在空间均匀系统中守恒。

2. 能量守恒:时间平移对称性

源理论:基于 euler-gls-info/05-time-information-complexity-variational-principle.md 第5节及经典力学理论

2.1 Lagrangian的时间平移不变性

回顾联合作用量的Lagrangian:

$$L(\theta ,\dot{\theta };\varphi ,\dot{\varphi })=\frac{1}{2}{\alpha }^2{G}_{ab}(\theta ){\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_{ij}(\varphi ){\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j-\gamma U_Q(\varphi ).$$

关键观察:$L$ 不显含时间 $t$!

$$\frac{\partial L}{\partial t}=0.$$

这意味着:Lagrangian在时间平移下不变。

日常解读:

• 今天计算的代价=明天计算的代价;
• 物理定律不随时间变化(假设没有外部干扰)。

2.2 能量守恒定律

定理 2.1(能量守恒)

如果Lagrangian $L$ 不显含时间 $t$,则存在守恒量(能量):

$$E=\sum _a\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta }}^a}{\dot{\theta }}^a+\sum _i\frac{\partial L}{\partial {\dot{\varphi }}^i}{\dot{\varphi }}^i-L,$$

即

$$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=0.$$

计算:

对我们的Lagrangian:

$$\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta }}^a}={\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^b,\frac{\partial L}{\partial {\dot{\varphi }}^i}={\beta }^2{g}_{ij}{\dot{\varphi }}^j.$$

因此能量为

$$E={\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+{\beta }^2{g}_{ij}{\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j-L.$$

代入 $L$ 的表达式:

$$E={\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+{\beta }^2{g}_{ij}{\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j-(\frac{1}{2}{\alpha }^{2}G{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_Q{\dot{\varphi }}^2-\gamma U_Q),$$

$$E=\frac{1}{2}{\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_{ij}{\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j+\gamma U_Q(\varphi ).$$

物理意义:

$$E=\underset{\text{控制动能}}{\underbrace{\frac{1}{2}{\alpha }^{2}G{\dot{\theta }}^2}}+\underset{\text{信息动能}}{\underbrace{\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_Q{\dot{\varphi }}^2}}+\underset{\text{信息势能}}{\underbrace{\gamma U_Q(\varphi )}}.$$

日常解读:

• 能量 = 动能 + 势能;
• 控制动能:控制变化的代价;
• 信息动能:信息变化的代价;
• 信息势能:当前信息质量。

守恒条件:沿Euler-Lagrange方程的解,$E$ 保持不变!

graph TD
    A["时间平移对称性<br/>∂L/∂t = 0"] --> B["Noether定理"]
    B --> C["能量守恒<br/>dE/dt = 0"]

    C --> D["能量组成"]
    D --> E["控制动能<br/>½α²G·θ̇²"]
    D --> F["信息动能<br/>½β²g_Q·φ̇²"]
    D --> G["信息势能<br/>γU_Q(φ)"]

    E --> H["总能量 E = 常数"]
    F --> H
    G --> H

    H --> I["物理意义:<br/>计算资源总量守恒"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style C fill:#ffd4e1
    style D fill:#ffe1e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#e1fff5
    style G fill:#ffe1f5
    style H fill:#f5ffe1
    style I fill:#e1f5ff

2.3 能量守恒的应用:速度约束

能量守恒给出了速度的约束。如果初始能量为 $E_0$,则任何时刻:

$$\frac{1}{2}{\alpha }^{2}G{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_Q{\dot{\varphi }}^2=E_0-\gamma U_Q(\varphi ).$$

物理解释:

• 如果信息势 $U_Q(\varphi )$ 增大(进入高信息区),动能必须减小(速度降低);
• 如果 $U_Q(\varphi )$ 减小(信息质量下降),动能增大(速度加快);
• 这类似于“爬山“:爬得越高,速度越慢。

例子:如果 $\varphi$ 固定(不优化信息),则

$$\frac{1}{2}{\alpha }^{2}G{\dot{\theta }}^2=\text{常数},$$

即控制速度恒定(匀速运动)。

3. Noether定理的一般形式

源理论:基于经典变分原理,结合euler-gls-info/05-time-information-complexity-variational-principle.md

3.1 连续对称性的定义

定义 3.1(连续对称性)

设作用量为 $\mathcal{A}={\int }_0^{T}L(\theta ,\dot{\theta };\varphi ,\dot{\varphi };t)\mathrm{d}t$。如果存在单参数变换

$${\theta }^a\to {\theta }^a+ϵ\delta {\theta }^a,{\varphi }^i\to {\varphi }^i+ϵ\delta {\varphi }^i,$$

使得在 $ϵ\to 0$ 时,作用量的变化为

$$\delta \mathcal{A}=O({ϵ}^2),$$

则称该变换为对称变换。

例子:

• 时间平移:$t\to t+ϵ$,$L$ 不显含 $t$;
• 参数平移:${\theta }^a\to {\theta }^a+ϵc^a$(常数),$L$ 对 ${\theta }^a$ 周期;
• 旋转:在某个子空间中旋转参数,$L$ 旋转不变。

3.2 Noether定理

定理 3.2(Noether定理,1915)

对每一个连续对称性变换 $(\delta {\theta }^a,\delta {\varphi }^i)$,存在守恒流:

$$J=\sum _a\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta }}^a}\delta {\theta }^a+\sum _i\frac{\partial L}{\partial {\dot{\varphi }}^i}\delta {\varphi }^i-L\delta t,$$

满足

$$\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}t}=0.$$

应用:

1. 时间平移 $\delta t=ϵ$,$\delta \theta =\delta \varphi =0$: $$J=-L\Rightarrow E=-L+\sum _a{p}_a{\dot{\theta }}^a+\sum _i{\pi }_i{\dot{\varphi }}^i.$$ (能量守恒)

2. 参数平移 $\delta {\theta }^a=ϵc^a$: $$J=\sum _a\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta }}^a}{c}^a.$$ (动量守恒)

3. 信息流形旋转 $\delta {\varphi }^i=ϵR_j^i{\varphi }^j$: $$J=\sum _i\frac{\partial L}{\partial {\dot{\varphi }}^i}{R}_j^i{\varphi }^j.$$ (信息角动量守恒)

graph TD
    A["对称变换<br/>(θ,φ) → (θ+δθ,φ+δφ)"] --> B["检验:<br/>δA = O(ε²)?"]
    B --> C["是 → 对称性"]
    B --> D["否 → 非对称"]

    C --> E["Noether定理"]
    E --> F["守恒流 J"]
    F --> G["dJ/dt = 0"]

    G --> H["具体形式"]
    H --> I["时间平移<br/>→ 能量 E"]
    H --> J["空间平移<br/>→ 动量 p"]
    H --> K["旋转<br/>→ 角动量 L"]

    I --> L["守恒律:<br/>物理量不随时间变化"]
    J --> L
    K --> L

    style A fill:#e1f5ff
    style C fill:#fff4e1
    style E fill:#ffd4e1
    style F fill:#ffe1e1
    style G fill:#e1ffe1
    style L fill:#ffe1f5

4. Hamilton形式:从Lagrangian到Hamiltonian

源理论:基于经典力学Hamilton理论,结合euler-gls-info/05-time-information-complexity-variational-principle.md

4.1 为什么需要Hamilton形式?

Lagrangian形式使用 $(\theta ,\dot{\theta },\varphi ,\dot{\varphi })$ 作为变量(位置+速度)。

Hamilton形式使用 $(\theta ,p_{\theta },\varphi ,p_{\varphi })$ 作为变量(位置+动量)。

优势:

• 相空间描述:将 $2n$ 维配置空间提升为 $4n$ 维相空间;
• 辛几何结构:Hamilton方程具有优美的辛对称性;
• 量子化:Hamilton形式是量子力学的起点(算符代替经典变量)。

4.2 Legendre变换:从速度到动量

定义 4.1(共轭动量)

定义控制共轭动量:

$$p_a=\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta }}^a}={\alpha }^2{G}_{ab}(\theta ){\dot{\theta }}^b.$$

定义信息共轭动量:

$${\pi }_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{\varphi }}^i}={\beta }^2{g}_{ij}(\varphi ){\dot{\varphi }}^j.$$

物理意义:

• $p_a$ 是“控制动量“,衡量控制速度乘以“质量“(度量);
• ${\pi }_i$ 是“信息动量“,衡量信息速度乘以“质量“(Fisher度量)。

反解速度:

$${\dot{\theta }}^a=\frac{1}{{\alpha }^2}{G}^{ab}{p}_b,{\dot{\varphi }}^i=\frac{1}{{\beta }^2}{g}^{ij}{\pi }_j.$$

4.3 Hamiltonian的定义

定义 4.2(Hamiltonian)

通过Legendre变换定义Hamiltonian:

$$H(\theta ,p_{\theta };\varphi ,p_{\varphi })=\sum _a{p}_a{\dot{\theta }}^a+\sum _i{\pi }_i{\dot{\varphi }}^i-L.$$

代入:

$$H=p_a{\dot{\theta }}^a+{\pi }_i{\dot{\varphi }}^i-(\frac{1}{2}{\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_{ij}{\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j-\gamma U_Q).$$

利用 $p_a={\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^b$:

$$p_a{\dot{\theta }}^a={\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^b{\dot{\theta }}^a={\alpha }^{2}G{\dot{\theta }}^2,$$

类似地 ${\pi }_i{\dot{\varphi }}^i={\beta }^2{g}_Q{\dot{\varphi }}^2$。因此:

$$H={\alpha }^{2}G{\dot{\theta }}^2+{\beta }^2{g}_Q{\dot{\varphi }}^2-\frac{1}{2}{\alpha }^{2}G{\dot{\theta }}^2-\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_Q{\dot{\varphi }}^2+\gamma U_Q,$$

$$H=\frac{1}{2}{\alpha }^{2}G{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_Q{\dot{\varphi }}^2+\gamma U_Q.$$

用动量表示:

$$H=\frac{1}{2{\alpha }^2}{G}^{ab}{p}_a{p}_b+\frac{1}{2{\beta }^2}{g}^{ij}{\pi }_i{\pi }_j+\gamma U_Q(\varphi ).$$

物理意义:$H$ 就是能量 $E$!

$$H=\underset{\text{控制动能}}{\underbrace{\frac{1}{2{\alpha }^2}{G}^{ab}{p}_a{p}_b}}+\underset{\text{信息动能}}{\underbrace{\frac{1}{2{\beta }^2}{g}^{ij}{\pi }_i{\pi }_j}}+\underset{\text{信息势能}}{\underbrace{\gamma U_Q(\varphi )}}.$$

4.4 Hamilton正则方程

定理 4.3(Hamilton正则方程)

Euler-Lagrange方程等价于Hamilton正则方程组:

$$\{\begin{array}{l}{\dot{\theta }}^a=\frac{\partial H}{\partial p_a}=\frac{1}{{\alpha }^2}{G}^{ab}{p}_b\\ {\dot{p}}_a=-\frac{\partial H}{\partial {\theta }^a}=-\frac{1}{2{\alpha }^2}({\partial }_a{G}^{bc})p_b{p}_c\\ {\dot{\varphi }}^i=\frac{\partial H}{\partial {\pi }_i}=\frac{1}{{\beta }^2}{g}^{ij}{\pi }_j\\ {\dot{\pi }}_i=-\frac{\partial H}{\partial {\varphi }^i}=-\frac{1}{2{\beta }^2}({\partial }_i{g}^{jk}){\pi }_j{\pi }_k-\gamma {\partial }_i{U}_Q\end{array}$$

日常解读:

• 第1、3式:动量决定速度(速度是动量的函数);
• 第2、4式:势能和度量的梯度驱动动量变化。

graph TD
    A["Lagrangian形式<br/>L(θ,θ̇,φ,φ̇)"] --> B["Legendre变换"]
    B --> C["Hamiltonian形式<br/>H(θ,p,φ,π)"]

    A --> D["变量:<br/>(θ,θ̇,φ,φ̇)<br/>位置+速度"]
    C --> E["变量:<br/>(θ,p,φ,π)<br/>位置+动量"]

    D --> F["Euler-Lagrange方程<br/>二阶微分方程"]
    E --> G["Hamilton正则方程<br/>一阶微分方程组"]

    F --> H["优势:<br/>直观、变分原理"]
    G --> I["优势:<br/>辛几何、量子化"]

    C --> J["能量:<br/>H = T + V"]
    J --> K["控制动能 + 信息动能 + 信息势能"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style C fill:#ffd4e1
    style E fill:#ffe1e1
    style G fill:#e1ffe1
    style I fill:#e1fff5
    style J fill:#ffe1f5
    style K fill:#f5ffe1

5. 辛几何:相空间的几何结构

源理论:基于经典辛几何理论

5.1 相空间与辛形式

定义 5.1(相空间)

相空间是所有可能的 $(\theta ,p,\varphi ,\pi )$ 组成的空间:

$$\mathcal{P}=T^{\ast }\mathcal{M}\times T^{\ast }{\mathcal{S}}_Q,$$

其中 $T^{\ast }\mathcal{M}$ 是控制流形的余切丛,$T^{\ast }{\mathcal{S}}_Q$ 是信息流形的余切丛。

辛形式:在相空间上定义辛2-形式:

$$\omega =\sum _a\mathrm{d}{p}_a\wedge \mathrm{d}{\theta }^a+\sum _i\mathrm{d}{\pi }_i\wedge \mathrm{d}{\varphi }^i.$$

性质:

• $\omega$ 是闭形式:$\mathrm{d}\omega =0$;
• $\omega$ 是非退化的:对任意非零向量 $v$,存在 $w$ 使得 $\omega (v,w)\ne 0$。

物理意义:辛形式编码了正则变量 $(\theta ,p)$ 和 $(\varphi ,\pi )$ 之间的“共轭关系“。

5.2 Hamilton流与辛保持

定义 5.2(Hamilton向量场)

Hamiltonian $H$ 诱导一个向量场 $X_H$,满足:

$$\omega (X_H,\cdot )=\mathrm{d}H.$$

在坐标下:

$$X_H=\frac{\partial H}{\partial p_a}\frac{\partial }{\partial {\theta }^a}-\frac{\partial H}{\partial {\theta }^a}\frac{\partial }{\partial p_a}+\frac{\partial H}{\partial {\pi }_i}\frac{\partial }{\partial {\varphi }^i}-\frac{\partial H}{\partial {\varphi }^i}\frac{\partial }{\partial {\pi }_i}.$$

定理 5.3(Hamilton流保持辛形式)

Hamilton流(沿 $X_H$ 的积分曲线)保持辛形式不变:

$${\mathcal{L}}_{X_H}\omega =0,$$

其中 $\mathcal{L}$ 是Lie导数。

物理意义:Hamilton演化保持相空间的“体积“(Liouville定理的推广)。

5.3 Poisson括号

定义 5.4(Poisson括号)

对任意两个相空间函数 $f,g$,定义Poisson括号:

$$\{f,g\}=\sum _a(\frac{\partial f}{\partial {\theta }^a}\frac{\partial g}{\partial p_a}-\frac{\partial f}{\partial p_a}\frac{\partial g}{\partial {\theta }^a})+\sum _i(\frac{\partial f}{\partial {\varphi }^i}\frac{\partial g}{\partial {\pi }_i}-\frac{\partial f}{\partial {\pi }_i}\frac{\partial g}{\partial {\varphi }^i}).$$

性质:

• 反对称:$\{f,g\}=-\{g,f\}$;
• Jacobi恒等式:$\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0$;
• Leibniz法则:$\{f,gh\}=g\{f,h\}+\{f,g\}h$。

演化方程:任意物理量 $f(\theta ,p,\varphi ,\pi )$ 的时间演化为:

$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\{f,H\}.$$

特别地,Hamilton方程可写为:

$${\dot{\theta }}^a=\{{\theta }^a,H\},{\dot{p}}_a=\{p_a,H\},{\dot{\varphi }}^i=\{{\varphi }^i,H\},{\dot{\pi }}_i=\{{\pi }_i,H\}.$$

graph TD
    A["相空间 P<br/>(θ,p,φ,π)"] --> B["辛形式 ω"]
    B --> C["ω = dp∧dθ + dπ∧dφ"]

    C --> D["性质"]
    D --> E["闭形式:<br/>dω = 0"]
    D --> F["非退化:<br/>ω(v,w)≠0"]

    A --> G["Hamiltonian H"]
    G --> H["Hamilton向量场 X_H"]
    H --> I["Hamilton流<br/>(时间演化)"]

    I --> J["辛保持:<br/>L_X_H ω = 0"]
    J --> K["Liouville定理:<br/>相空间体积守恒"]

    A --> L["Poisson括号<br/>{f,g}"]
    L --> M["演化方程<br/>df/dt = {f,H}"]

    M --> N["量子化:<br/>[f,g] = iℏ{f,g}"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style C fill:#ffd4e1
    style G fill:#ffe1e1
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    style J fill:#e1fff5
    style L fill:#ffe1f5
    style M fill:#f5ffe1
    style N fill:#e1f5ff

6. 计算世界线的因果结构

源理论:基于euler-gls-info/05-time-information-complexity-variational-principle.md及GLS因果理论

6.1 类光、类时、类空世界线

在相对论中,世界线根据四维速度的模分为:

• 类时:$\Vert \dot{x}{\Vert }^2<0$(实物粒子);
• 类光:$\Vert \dot{x}{\Vert }^2=0$(光子);
• 类空:$\Vert \dot{x}{\Vert }^2>0$(不可达,超光速)。

在计算宇宙中,我们有联合度量 $\mathbb{G}={\alpha }^{2}G\oplus {\beta }^2{g}_Q$。定义世界线的“速度模平方“:

$$\Vert \dot{z}{\Vert }_{\mathbb{G}}^2={\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+{\beta }^2{g}_{ij}{\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j.$$

类比地,我们可以定义:

定义 6.1(计算世界线的因果类型)

• 类时计算:$\Vert \dot{z}{\Vert }_{\mathbb{G}}^2=2E$(能量有限);
• 类光计算:$\Vert \dot{z}{\Vert }_{\mathbb{G}}^2=0$(零能量,极限情况);
• 类空计算:$\Vert \dot{z}{\Vert }_{\mathbb{G}}^2<0$(负能量,通常被排除)。

物理意义:

• 类时计算:正常的计算过程,消耗有限能量;
• 类光计算:绝热极限(无穷慢),能量趋于零;
• 类空计算:非物理(违反能量守恒)。

6.2 计算的“光锥“

在Minkowski时空中,光锥定义了因果可达域:只有类时或类光路径可以连接两个事件。

在计算宇宙中,类似的因果结构由复杂性度量 $G$ 和信息度量 $g_Q$ 定义。

定义 6.2(计算光锥)

给定初始点 $z_0=({\theta }_0,{\varphi }_0)$,从 $z_0$ 出发的未来计算光锥是所有满足以下条件的点 $z=(\theta ,\varphi )$:

$$\exists \text{世界线 }z(t),z(0)=z_0,z(T)=z,E[z]\le E_{\max },$$

其中 $E_{\max }$ 是可用的总能量预算。

日常解读:

• 计算光锥是“在给定能量下,从初始状态能到达的所有状态“;
• 类似于“你有100元,能买到哪些商品“的可达集合。

6.3 因果结构与计算复杂性

在GLS理论中,计算宇宙的因果结构与物理时空的因果结构联系紧密(通过QCA实现)。

关键洞察:

• 复杂性距离 $d_G$ 类似于时空中的“固有时“;
• 信息距离 $d_{g_Q}$ 类似于“信息空间中的距离“;
• 能量约束 $E\le E_{\max }$ 限制了可达域,类似于光速限制因果可达域。

graph TD
    A["计算世界线 z(t)"] --> B["速度模平方<br/>‖ż‖²_G"]

    B --> C["类时计算<br/>‖ż‖² = 2E > 0<br/>(正常计算)"]
    B --> D["类光计算<br/>‖ż‖² = 0<br/>(绝热极限)"]
    B --> E["类空计算<br/>‖ż‖² < 0<br/>(非物理)"]

    C --> F["能量有限<br/>消耗资源"]
    D --> G["能量为零<br/>无穷慢"]
    E --> H["负能量<br/>违反物理"]

    A --> I["因果结构"]
    I --> J["计算光锥:<br/>能量约束下<br/>的可达域"]

    J --> K["类似物理:<br/>光速限制<br/>因果可达域"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style C fill:#ffd4e1
    style F fill:#ffe1e1
    style I fill:#e1ffe1
    style J fill:#e1fff5
    style K fill:#ffe1f5

7. 与物理宇宙的联系:QCA世界线

源理论:基于GLS统一理论框架(euler-gls-info/06-categorical-equivalence-computational-physical-universes.md预告)

7.1 QCA(量子胞自动机)宇宙

在GLS理论中,物理宇宙被建模为量子胞自动机(QCA):

• 时空是离散的网格;
• 每个格点有量子态;
• 演化由幺正算符控制(保持概率和)。

QCA的世界线是格点上的轨迹,满足:

• 局域性:每步只影响邻近格点;
• 幺正性:总概率守恒;
• 因果性:未来格点只依赖过去光锥内的格点。

7.2 计算世界线 ↔ QCA世界线

核心命题 7.1(计算-物理对应,来自GLS框架)

存在函子 $F:{\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}\to {\mathbf{PhysUniv}}^{\mathrm{QCA}}$,使得:

1. 对象层面:计算宇宙 $U_{\mathrm{comp}}$ 对应一个QCA宇宙 $U_{\mathrm{QCA}}$;
2. 轨道层面:计算世界线 $z(t)=(\theta (t),\varphi (t))$ 对应QCA格点上的世界线 $x_{\mathrm{QCA}}(t)$;
3. 因果层面:计算光锥 ↔ QCA光锥;
4. 能量层面:计算能量 $E$ ↔ QCA Hamiltonian的期望值。

日常解读:

• 计算世界线是“抽象的算法轨迹“;
• QCA世界线是“具体的物理粒子轨迹“;
• 两者在GLS理论框架下完全等价(范畴等价)!

7.3 量子纠缠与信息流形

在QCA中,量子纠缠是核心特征。在计算宇宙框架中,纠缠对应于信息流形上的非平凡结构。

例子:

• 无纠缠态:$\rho ={\rho }_A\otimes {\rho }_B$,信息流形是乘积流形;
• 最大纠缠态:Bell态,信息流形具有非平凡拓扑;
• 纠缠熵:$S({\rho }_A)=-\mathrm{Tr}({\rho }_A\log {\rho }_A)$,对应信息流形上的体积。

关键洞察:

• 信息势 $U_Q(\varphi )$ 可以编码纠缠信息;
• 最优计算世界线倾向于“利用纠缠“(进入高 $U_Q$ 区域)。

graph TD
    A["计算宇宙<br/>CompUniv^phys"] --> B["函子 F"]
    B --> C["物理宇宙<br/>PhysUniv^QCA"]

    A --> D["计算世界线<br/>z(t) = (θ(t),φ(t))"]
    C --> E["QCA世界线<br/>x_QCA(t)"]

    D -->|"F"| E

    A --> F["计算光锥<br/>(能量约束)"]
    C --> G["QCA光锥<br/>(光速约束)"]

    F -->|"F"| G

    A --> H["计算能量<br/>E = T + V"]
    C --> I["QCA Hamiltonian<br/>⟨H⟩"]

    H -->|"F"| I

    E --> J["物理实现:<br/>粒子轨迹、波函数"]
    I --> K["量子纠缠:<br/>编码在信息流形中"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style C fill:#ffd4e1
    style D fill:#ffe1e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#e1fff5
    style G fill:#ffe1f5
    style H fill:#f5ffe1
    style J fill:#e1f5ff
    style K fill:#fff4e1

8. 完整图景:从作用量到世界线

8.1 理论结构总结

graph TD
    A["时间-信息-复杂性<br/>作用量 A_Q"] --> B["变分原理<br/>δA_Q = 0"]

    B --> C["Euler-Lagrange方程"]
    C --> D["控制:测地线<br/>θ̈ + Γ·θ̇² = 0"]
    C --> E["信息:带势测地线<br/>φ̈ + Γ·φ̇² = -∇U_Q"]

    A --> F["对称性分析"]
    F --> G["时间平移对称<br/>∂L/∂t = 0"]
    F --> H["参数平移对称"]
    F --> I["旋转对称"]

    G --> J["Noether定理"]
    H --> J
    I --> J

    J --> K["守恒律"]
    K --> L["能量守恒<br/>E = T + V"]
    K --> M["动量守恒<br/>p = 常数"]
    K --> N["角动量守恒<br/>L = 常数"]

    A --> O["Legendre变换"]
    O --> P["Hamiltonian H"]
    P --> Q["Hamilton正则方程<br/>θ̇ = ∂H/∂p<br/>ṗ = -∂H/∂θ"]

    P --> R["辛几何"]
    R --> S["辛形式 ω"]
    R --> T["Poisson括号 {f,g}"]
    R --> U["辛保持流"]

    Q --> V["计算世界线<br/>z(t) = (θ(t),φ(t))"]
    D --> V
    E --> V

    V --> W["因果结构"]
    W --> X["类时、类光、类空"]
    W --> Y["计算光锥"]

    V --> Z["物理实现"]
    Z --> AA["QCA世界线"]
    Z --> AB["量子纠缠"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style F fill:#ffd4e1
    style J fill:#ffe1e1
    style K fill:#e1ffe1
    style P fill:#e1fff5
    style R fill:#ffe1f5
    style V fill:#f5ffe1
    style W fill:#e1f5ff
    style Z fill:#fff4e1

8.2 核心公式速查

9. 总结

本篇深入探讨了计算世界线的动力学与几何结构:

9.1 核心概念

1. 能量守恒:时间平移对称性 → 能量 $E=T+V$ 守恒

   • 控制动能 + 信息动能 + 信息势能 = 常数

2. Noether定理:对称性 ↔ 守恒律

   • 时间平移 → 能量守恒
   • 空间平移 → 动量守恒
   • 旋转 → 角动量守恒

3. Hamilton形式:Lagrangian → Hamiltonian

   • 变量:(位置,速度) → (位置,动量)
   • 方程:二阶微分方程 → 一阶正则方程组

4. 辛几何:相空间的几何结构

   • 辛形式 $\omega =\mathrm{d}p\wedge \mathrm{d}\theta +\mathrm{d}\pi \wedge \mathrm{d}\varphi$
   • Poisson括号 $\{f,g\}$
   • 辛保持流(Liouville定理)

5. 因果结构:计算光锥

   • 类时计算:正常能量
   • 类光计算:绝热极限
   • 能量约束定义可达域

6. 与物理宇宙的联系:计算世界线 ↔ QCA世界线

   • 函子 $F:\mathbf{CompUniv}\to \mathbf{PhysUniv}$
   • 纠缠 ↔ 信息流形结构

9.2 核心洞察

• 守恒律源于对称性:Noether定理是连接几何与动力学的桥梁;
• Hamilton形式统一动力学:一阶正则方程,辛几何结构,为量子化铺路;
• 因果结构几何化:能量约束定义计算光锥,类似光速限制物理因果;
• 计算即物理:计算世界线与QCA世界线在GLS框架下等价;
• 信息几何编码纠缠:信息流形的非平凡结构对应量子纠缠。

9.3 日常类比回顾

• 钱包余额:守恒律的日常版本(收入=支出时余额不变);
• 爬山:势能高时速度慢(能量守恒);
• 相空间:位置+动量的“完整描述“;
• 光锥:可达域受能量/光速限制;
• 抽象算法↔具体物理:计算世界线↔粒子轨迹。

9.4 与前后章节的联系

与第23.1-10篇的联系:

• 第23.3-5篇:复杂性几何 → 控制流形 $(\mathcal{M},G)$
• 第23.6-7篇:信息几何 → 信息流形 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$
• 第23.10篇:联合作用量 ${\mathcal{A}}_Q$ 与Euler-Lagrange方程
• 本篇:守恒律、Hamilton形式、辛几何、因果结构

与第23.12篇的预告: 下一篇将构造物理宇宙↔计算宇宙的函子结构:

• 函子 $F:{\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}\to {\mathbf{PhysUniv}}^{\mathrm{QCA}}$
• 态射的保持性(模拟映射↔QCA映射)
• 复杂性距离↔时空距离的对应
• 为范畴等价定理铺路

下一篇预告:23.12 物理宇宙↔计算宇宙:函子结构

在下一篇中,我们将:

1. 构造函子 $F:\mathbf{CompUniv}\to \mathbf{PhysUniv}$:从计算到物理的映射;
2. 对象层面:计算宇宙 $U_{\mathrm{comp}}$ ↔ QCA宇宙 $U_{\mathrm{QCA}}$;
3. 态射层面:模拟映射 ↔ QCA态射(保局域性、幺正性);
4. 距离保持:复杂性距离 $d_{\mathrm{comp}}$ ↔ 时空距离 $d_{\mathrm{spacetime}}$;
5. 逆向函子 $G:\mathbf{PhysUniv}\to \mathbf{CompUniv}$:从物理到计算;
6. 自然同构:$F\circ G\simeq \mathrm{id}$,$G\circ F\simeq \mathrm{id}$(为范畴等价铺路)。