附录：术语表与速查手册

本附录提供整个教程中使用的核心术语、符号、公式和参考文献的快速索引。

A. 术语表（Glossary）

A

各向异性（Anisotropy）：物理性质随方向变化。在凝聚态物理中，指晶格或相互作用的方向依赖性。

反常霍尔效应（Anomalous Hall Effect）：无外加磁场时，材料内部由自旋轨道耦合产生的横向电导。与拓扑不变量（Chern数）相关。

B

Berry相位（Berry Phase）：量子态在参数空间中绝热演化一周所获得的几何相位。公式：$\gamma ={\oint }_{\mathcal{C}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{R}$，其中$\mathbf{A}$是Berry联络。

Birman-Kreĭn公式（Birman-Kreĭn Formula）：联系散射矩阵行列式与谱位移的公式：$\det S(\omega )=\exp \{-2\pi \mathrm{i}\xi (\omega )\}$。

黑洞熵（Black Hole Entropy）：Bekenstein-Hawking公式：$S=\frac{k_{B}A}{4{\ell }_P^2}$，其中$A$是事件视界面积，${\ell }_P$是Planck长度。

布里渊区（Brillouin Zone）：周期系统（如晶格）的动量空间单胞。第一布里渊区对应最小的周期单元。

C

Cayley映射（Cayley Map）：散射矩阵$S$与Hamiltonian $K$之间的对应：$S=(I-\mathrm{i}K)(I+\mathrm{i}K{)}^{-1}$。

Chern数（Chern Number）：拓扑不变量，表征能带的拓扑性质。$\nu =\frac{1}{2\pi }{\int }_{\text{BZ}}{F}_{xy}{d}^{2}k$，其中$F_{xy}$是Berry曲率。

Chern-Simons项（Chern-Simons Term）：拓扑场论中的三维拓扑项：$S_{CS}=\frac{k}{4\pi }\int A\wedge dA$。

因果结构（Causal Structure）：时空中事件之间的因果关系，由光锥结构决定。GLS理论推广为动态因果锥。

意识（Consciousness）：§13.3定义的满足5个结构条件的物理系统性质：整合、分化、自指、本征时间、因果可控性。

D

判别子（Discriminant）：参数空间中导致系统奇异（如共振）的点集。自指散射网络中：$D=\{(\omega ,\vartheta ):\det (I-\mathcal{C}{S}_{ii})=0\}$。

Dirac费米子（Dirac Fermion）：满足Dirac方程的相对论性费米子。在凝聚态中指线性色散的低能激发（如石墨烯）。

离散时间晶体（Discrete Time Crystal, DTC）：周期驱动系统中的时间晶体，响应周期为驱动周期的整数倍（如2倍，$\pi$谱配对）。

E

本征态热化假设（Eigenstate Thermalization Hypothesis, ETH）：孤立量子系统的单个本征态表现出热平衡性质。对角ETH：$⟨n|O|n⟩=\bar{O}({\epsilon }_n)+\delta O$；非对角ETH刻画矩阵元的统计分布。

涌现时空（Emergent Spacetime）：时空几何不是基本的，而是从更底层的微观自由度（如量子比特）中涌现。§5章讨论。

纠缠熵（Entanglement Entropy）：量化子系统间量子纠缠的度量。von Neumann熵：$S=-\mathrm{tr}({\rho }_A\log {\rho }_A)$。

例外点（Exceptional Point, EP）：非厄米系统中本征值和本征向量同时简并的点。导致拓扑奇异性。

F

费米面（Fermi Surface）：动量空间中费米能级处的等能面。决定金属的输运性质。

Fisher信息（Fisher Information）：量子态对参数变化的敏感度。量子Fisher信息：$F_Q[\rho ]=2{\sum }_{n,m}\frac{({\partial }_{\lambda }{p}_n-{\partial }_{\lambda }{p}_m{)}^2}{p_n+p_m}$（对角化表示）。

Floquet工程（Floquet Engineering）：通过周期驱动实现系统的有效Hamiltonian设计。应用于时间晶体、拓扑泵浦等。

Floquet算符（Floquet Operator）：周期驱动系统的一周期演化算符：$U(T)=\mathcal{T}\exp \{-\mathrm{i}{\int }_0^{T}H(t)dt\}$。

G

规范场（Gauge Field）：描述相互作用的矢量场（如电磁场$A_{\mu }$）。规范不变性要求物理量不依赖于规范选择。

广义光结构（Generalized Light Structure, GLS）：本教程的核心框架，统一时空、引力、量子场论。推广Lorentz变换至动态度规和非线性结构。

引力波（Gravitational Waves）：时空曲率的传播波动。GLS预言的修正项：$h_{\mu \nu }^{\text{GLS}}=h_{\mu \nu }^{\text{GR}}+\delta h_{\mu \nu }[\kappa ]$。

群延迟（Group Delay）：波包传播的延迟时间，定义为相位对频率的导数：${\tau }_g(\omega )={\partial }_{\omega }\varphi (\omega )$。在§13.4中，群延迟双峰并合是拓扑变化的指纹。

H

霍尔电导（Hall Conductance）：横向电导，与Chern数成正比：${\sigma }_{xy}=\frac{e^2}{h}\nu$（量子化）。

Hawking辐射（Hawking Radiation）：黑洞因量子效应向外辐射粒子，温度：$T_H=\frac{\hslash c^3}{8\pi GM{k}_B}$。

Hilbert-Schmidt范数（Hilbert-Schmidt Norm）：算符$A$的HS范数：$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{\mathrm{tr}(A^{†}A)}$。用于定义迹类算符的收敛性。

I

整合信息（Integrated Information）：意识理论中的核心量，度量系统的不可分解性。$I_{\text{int}}({\rho }_O)={\sum }_{k=1}^{n}I(k:\overline{k}{)}_{{\rho }_O}$。

本征时间（Intrinsic Time）：§13.3中定义的主观时间，由量子Fisher信息决定：$\tau (t)={\int }_{t_0}^t\sqrt{F_Q[{\rho }_O(s)]}ds$。

J

$J$-幺正（$J$-Unitary）：非厄米系统中推广的幺正性：$S^{†}JS=J$，其中$J$是Kreĭn度规。保持广义能量守恒。

Jost函数（Jost Function）：散射理论中刻画共振的解析函数。零点对应共振态。

K

统一时间刻度（$\kappa (\omega )$, Unified Time Scale）：本教程的核心概念，联系四个高级专题。定义：$\kappa (\omega )={\phi }^{\prime }(\omega )/\pi ={\rho }_{\text{rel}}(\omega )=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(\omega )$。物理意义：信息扩散速率的倒数。

Kreĭn角（Kreĭn Angle）：$J$-幺正系统中的相位斜率推广：${\varkappa }_j=\mathrm{Im}⟨{\psi }_j,J{S}^{-1}(\partial S){\psi }_j⟩/⟨{\psi }_j,J{\psi }_j⟩$。

L

Lagrangian：经典场论中的作用量密度。场方程由变分原理导出：$\delta S=\delta \int \mathcal{L}{d}^{4}x=0$。

Liouvillian：开放量子系统的超算符，描述密度矩阵的演化：$\dot{\rho }=\mathcal{L}[\rho ]$。耗散时间晶体中，Liouvillian的谱间隙保证长寿命。

Lorentz变换（Lorentz Transformation）：狭义相对论中保持时空间隔不变的变换。GLS理论将其推广为依赖于场强的动态变换。

M

Majorana费米子（Majorana Fermion）：自身的反粒子（$\psi ={\psi }^c$）。拓扑超导体的边界态，用于拓扑量子计算。

多体局域化（Many-Body Localization, MBL）：强无序相互作用系统中的非热化相。保持局域守恒量，违反ETH。MBL时间晶体利用此效应。

度规（Metric）：描述时空几何的张量$g_{\mu \nu }$，定义时空间隔：$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$。GLS中度规是动态场。

N

Nevanlinna函数（Nevanlinna Function）：上半复平面到自身的解析函数，满足正虚部条件。物理中对应因果格林函数。

no-go定理（No-Go Theorem）：排除某类物理系统存在的定理。时间晶体的no-go定理（Bruno, Watanabe-Oshikawa）排除平衡态时间晶体。

Noether定理（Noether’s Theorem）：对称性与守恒律的对应。每个连续对称性对应一个守恒流。

O

序参量（Order Parameter）：表征相变和有序相的物理量。时间晶体的序参量：$⟨O(t+T)⟩=-⟨O(t)⟩$（亚谐波响应）。

P

Page曲线（Page Curve）：黑洞蒸发过程中纠缠熵随时间的演化。先增后减，反映信息守恒。量子混沌（ETH）解释Page曲线。

Planck尺度（Planck Scale）：量子引力效应显著的尺度。Planck长度：${\ell }_P=\sqrt{G\hslash /c^3}\approx 1.6\times 10^{-35}$ m。

准粒子（Quasiparticle）：凝聚态系统中的集体激发，表现如粒子（如声子、magnon）。有效质量、寿命等参数。

Q

量子元胞自动机（Quantum Cellular Automaton, QCA）：格点上的幺正演化，满足局域性和可逆性。§13.1用QCA建模宇宙。

量子混沌（Quantum Chaos）：量子系统中经典混沌的对应。表现为Wigner-Dyson能级统计、ETH等。

准正模（Quasinormal Mode, QNM）：黑洞的衰减振荡模式，对应复频率$\omega ={\omega }_R+\mathrm{i}{\omega }_I$（${\omega }_I<0$）。

R

Redheffer星乘（Redheffer Star Product）：散射网络的级联运算：$S^{(1)}\star S^{(2)}$。包含反馈的闭环连接。

重整化群（Renormalization Group, RG）：研究系统在不同能标下行为的系统方法。固定点对应相变。

S

散射矩阵（Scattering Matrix, $S$-Matrix）：输出态与输入态的线性关系：$\mathbf{b}=S\mathbf{a}$。幺正系统中$S^{†}S=I$（能量守恒）。

Schur补（Schur Complement）：分块矩阵中消去部分自由度的方法。自指网络中用于闭环简化：$S^{\circlearrowleft }=S_{ee}+S_{ei}(I-\mathcal{C}{S}_{ii}{)}^{-1}\mathcal{C}{S}_{ie}$。

自指散射网络（Self-Referential Scattering Network, SSN）：包含反馈的散射系统。§13.4的核心对象。

谱流（Spectral Flow）：本征值随参数变化穿过特定值（如$-1$）的次数。${\mathrm{Sf}}_{-1}(S)=$ 本征值过$-1$的次数（带符号）。

谱位移（Spectral Shift）：相对于参考系统的能级偏移。Birman-Kreĭn公式联系$\xi (\omega )$与散射相位。

辛几何（Symplectic Geometry）：Hamiltonian系统的几何框架。辛形式$\omega =dp\wedge dq$，保辛变换对应正则变换。

T

时间晶体（Time Crystal）：打破时间平移对称性的物理系统。四类：预热DTC、MBL-DTC、耗散TC、拓扑TC。

拓扑绝缘体（Topological Insulator）：体内绝缘、表面/边界导电的材料。受拓扑不变量（如${\mathbb{Z}}_2$不变量）保护。

拓扑不变量（Topological Invariant）：仅依赖于系统拓扑性质、对连续形变不变的量。例：Chern数、绕数。

迹类算符（Trace-Class Operator）：满足$\mathrm{tr}|A|<\infty$的算符。$S-I$属于迹类是散射理论中的常见假设。

U

幺正（Unitary）：满足$U^{†}U=I$的算符。保持内积（概率守恒）。孤立量子系统的演化幺正。

统一场方程（Unified Field Equation）：GLS理论的核心方程，统一引力和其他相互作用。第4章详述。

W

Wigner-Dyson统计（Wigner-Dyson Statistics）：量子混沌系统的能级排斥统计。Gaussian正交/幺正/辛系综（GOE/GUE/GSE）。

Wigner-Smith矩阵（Wigner-Smith Matrix）：散射延迟的矩阵表示：$Q(\omega )=-\mathrm{i}{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$（幺正情形）。迹$\mathrm{tr}Q$给出总延迟时间。

Z

${\mathbb{Z}}_2$不变量（${\mathbb{Z}}_2$ Invariant）：取值为$\pm 1$的拓扑不变量。时间反演不变拓扑绝缘体的分类指标。自指网络的半相位不变量$\nu$。

零模（Zero Mode）：能量为零的本征态。拓扑系统中常出现在边界（如Majorana零模）。

B. 常用符号表

时空与几何

量子力学

统一时间刻度与散射

拓扑与几何相位

热力学与统计物理

信息论

C. 物理常数表

D. 关键公式速查

第2-4章：GLS基础

度规与联络： $${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }=\frac{1}{2}{g}^{\lambda \sigma }({\partial }_{\mu }{g}_{\nu \sigma }+{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \sigma }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu })$$

Ricci张量： $$R_{\mu \nu }={\partial }_{\lambda }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\lambda }+{\Gamma }_{\lambda \sigma }^{\lambda }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\sigma }-{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\sigma }$$

Einstein场方程（广义相对论）： $$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

GLS修正： $$G_{\mu \nu }[\kappa ]=8\pi G{T}_{\mu \nu }+{\Lambda }_{\kappa }[\omega ]g_{\mu \nu }$$

第11-12章：拓扑与Berry相位

Berry联络与曲率： $$A_{\mu }^n=\mathrm{i}⟨u_n|{\partial }_{\mu }|u_n⟩,F_{\mu \nu }^n={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^n-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^n$$

Chern数： $$\nu =\frac{1}{2\pi }{\int }_{\text{BZ}}{F}_{xy}{d}^{2}k$$

量子化霍尔电导： $${\sigma }_{xy}=\frac{e^2}{h}\nu$$

§13.1：量子混沌与ETH

对角ETH： $$⟨{\psi }_n|O_X|{\psi }_n⟩={\overline{O}}_X({\epsilon }_n)+O(e^{-c|\Omega |})$$

非对角ETH： $$\mathbb{E}[|⟨{\psi }_m|O_X|{\psi }_n⟩{|}^2]\le e^{-S(\bar{\epsilon })}{g}_O(\bar{\epsilon },\omega )$$

统一时间刻度： $$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\text{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )$$

§13.2：时间晶体

预热DTC寿命： $${\tau }_{\ast }\sim \exp \left(c\frac{\omega }{J}\right)$$

$\pi$谱配对： $$e^{\mathrm{i}{\varphi }_n(K+\pi )}=-e^{\mathrm{i}{\varphi }_n(K)}$$

耗散时间晶体的Liouvillian谱间隙： $${\Delta }_{\text{Liouv}}=\underset{\lambda \ne 0}{\min }|\mathrm{Re}(\lambda )|$$

§13.3：意识的物理基础

整合信息： $$I_{\text{int}}({\rho }_O)=\sum _{k=1}^{n}I(k:\overline{k}{)}_{{\rho }_O}$$

本征时间： $$\tau (t)={\int }_{t_0}^t\sqrt{F_Q[{\rho }_O(s)]}ds$$

因果可控性： $${\mathcal{E}}_T(t)=\underset{\pi }{\sup }I(A_t:S_{t+T})$$

意识等级： $$\mathcal{C}(t)=g(F_Q,{\mathcal{E}}_T,I_{\text{int}},H_{\mathcal{P}})$$

§13.4：自指散射网络

Schur闭合式： $$S^{\circlearrowleft }=S_{ee}+S_{ei}(I-\mathcal{C}{S}_{ii}{)}^{-1}\mathcal{C}{S}_{ie}$$

半相位不变量： $${\nu }_{\sqrt{\det S^{\circlearrowleft }}}(\gamma )=\exp \left(\frac{\mathrm{i}}{2}{\oint }_{\gamma }\mathrm{d}\arg \det S^{\circlearrowleft }\right)$$

四重等价： $${\nu }_{\sqrt{\det S}}=\exp \left(-\mathrm{i}\pi \oint \mathrm{d}\xi \right)=(-1{)}^{{\mathrm{Sf}}_{-1}}=(-1{)}^{I_2(\gamma ,D)}$$

${\mathbb{Z}}_2$组合律： $${\nu }_{\text{net}}={\nu }_{(1)}\cdot {\nu }_{(2)}(\mathrm{mod}2)$$

E. 延伸阅读资源（按主题）

广义相对论与宇宙学

1. Wald, R. M. General Relativity. University of Chicago Press (1984).
2. Misner, C. W., Thorne, K. S., & Wheeler, J. A. Gravitation. W. H. Freeman (1973).
3. Carroll, S. M. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Pearson (2003).

量子场论

4. Peskin, M. E., & Schroeder, D. V. An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press (1995).
5. Weinberg, S. The Quantum Theory of Fields (Vols. 1-3). Cambridge University Press (1995-2000).
6. Srednicki, M. Quantum Field Theory. Cambridge University Press (2007).

凝聚态物理与拓扑

7. Altland, A., & Simons, B. D. Condensed Matter Field Theory. Cambridge University Press (2010).
8. Bernevig, B. A., & Hughes, T. L. Topological Insulators and Topological Superconductors. Princeton University Press (2013).
9. Hasan, M. Z., & Kane, C. L. “Colloquium: Topological insulators,” Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010).

量子信息与量子计算

10. Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press (2010).
11. Preskill, J. Quantum Computation lecture notes. http://theory.caltech.edu/~preskill/ph229/
12. Kitaev, A. “Fault-tolerant quantum computation by anyons,” Ann. Phys. 303, 2 (2003).

量子混沌与随机矩阵

13. Haake, F. Quantum Signatures of Chaos. Springer (2010).
14. Mehta, M. L. Random Matrices. Elsevier (2004).
15. D’Alessio, L., Kafri, Y., Polkovnikov, A., & Rigol, M. “From quantum chaos and eigenstate thermalization to statistical mechanics and thermodynamics,” Adv. Phys. 65, 239 (2016).

时间晶体

16. Wilczek, F. “Quantum Time Crystals,” Phys. Rev. Lett. 109, 160401 (2012).
17. Else, D. V., Bauer, B., & Nayak, C. “Floquet Time Crystals,” Phys. Rev. Lett. 117, 090402 (2016).
18. Yao, N. Y., et al. “Discrete Time Crystals: Rigidity, Criticality, and Realizations,” Phys. Rev. Lett. 118, 030401 (2017).

意识的物理理论

19. Tononi, G., Boly, M., Massimini, M., & Koch, C. “Integrated information theory: from consciousness to its physical substrate,” Nat. Rev. Neurosci. 17, 450 (2016).
20. Tegmark, M. “Consciousness as a State of Matter,” Chaos Solitons Fractals 76, 238 (2015).
21. Oizumi, M., Albantakis, L., & Tononi, G. “From the phenomenology to the mechanisms of consciousness: Integrated Information Theory 3.0,” PLOS Comput. Biol. 10, e1003588 (2014).

散射理论与拓扑

22. Redheffer, R. “On a Certain Linear Fractional Transformation,” Pacific J. Math. 9, 871 (1959).
23. Fulga, I. C., Hassler, F., & Akhmerov, A. R. “Scattering Formula for the Topological Quantum Number,” Phys. Rev. B 85, 165409 (2012).
24. Simon, B. Trace Ideals and Their Applications. AMS (2005).

数学物理

25. Nakahara, M. Geometry, Topology and Physics. CRC Press (2003).
26. Arnold, V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer (1989).
27. Woodhouse, N. M. J. Geometric Quantization. Oxford University Press (1992).

F. 学习建议与使用说明

如何使用本附录：

1. 阅读时：遇到不熟悉的术语，查阅§A术语表获取快速定义。
2. 计算时：参考§D公式速查，避免翻阅正文。
3. 深入学习：根据§E的延伸阅读，选择相关教材或论文。
4. 符号确认：如果忘记某个符号的含义，查§B符号表。

术语的跨章节索引：

许多术语在多个章节中出现。建议：

• 首次学习时，从“首次出现“章节开始理解
• 深入研究时，追踪该术语在其他章节的应用

公式的层次：

• 基础公式（第2-6章）：定义GLS框架，需要掌握
• 应用公式（第7-12章）：特定系统的结果，按需学习
• 前沿公式（第13章）：研究级内容，理解思想即可

结语

本附录旨在作为快速参考工具，而非替代正文的详细讲解。建议：

• 初学者：先通读相关章节，再使用本附录复习
• 研究者：将本附录作为“备忘单“，快速查找需要的定义或公式
• 跨领域读者：通过术语表建立不同领域之间的概念联系

如发现术语遗漏或定义不清，欢迎反馈改进！

最后更新：本附录与教程主体同步更新。版本号：1.0

致谢：感谢所有为统一理论框架做出贡献的研究者，以及提供宝贵反馈的读者。