信息如何变成时空：当相对熵遇到爱因斯坦

爱因斯坦没能完成的梦想

1955年，爱因斯坦去世前还在病床上演算。他一生的梦想是找到统一场论——用一个公式解释引力、电磁力、以及一切。

他失败了。

但70年后，物理学家发现：爱因斯坦其实已经很接近了。他只差一步——把信息当作比时空更基本的东西。

今天我们要讲的，就是这个令人震撼的发现：

时空不是舞台，而是演员。它不是背景，而是信息关系的几何表达。

引力方程（爱因斯坦最伟大的成就）和电磁方程（麦克斯韦的杰作），可以从同一个信息原理推导出来。

这个故事，从一个看似无聊的数学概念开始：相对熵。

第一幕：相对熵——信息的“距离“

想象两个朋友，小明和小红，在描述同一场足球赛。

• 小明说：“A队赢的概率90%，B队10%”
• 小红说：“A队赢的概率60%，B队40%”

他们的预测有多“不同“？

直觉上，你可能想算差值：$|90\%-60\%|=30\%$。但这不够精确——因为概率不是简单的数字，而是信息的分布。

信息论有一个更好的度量：相对熵（也叫KL散度），记作 $D(P\Vert Q)$。

$$D(P\Vert Q)=\sum _{i}P(i)\log \frac{P(i)}{Q(i)}$$

它测量的是：如果真实分布是 $P$，但你误以为是 $Q$，你会多惊讶多少。

• 如果 $P$ 和 $Q$ 完全一样，$D(P\Vert Q)=0$（没有惊讶）
• 如果 $P$ 和 $Q$ 差异巨大，$D(P\Vert Q)$ 很大（非常惊讶）

相对熵不是真正的“距离“（因为不对称：$D(P\Vert Q)\ne D(Q\Vert P)$），但它是信息几何中的核心度量。

为什么相对熵重要？

因为它测量的是不确定性的减少——也就是信息的获取。

当你从“不知道“（均匀分布 $Q$）变成“知道“（真实分布 $P$），你获得的信息量就是 $D(P\Vert Q)$。

相对熵 = 惊讶 = 信息 = 知识的增长

现在，神奇的事情来了。

第二幕：Fisher度规——信息的“几何“

假设你有一族概率分布，每个由参数 $\theta$ 标记（比如正态分布的均值和方差）。

现在你改变参数：$\theta \to \theta +d\theta$。

问：这个改变带来了多少信息差异？

答案是：对 $D(P_{\theta }\Vert P_{\theta +d\theta })$ 在 $d\theta \to 0$ 时做泰勒展开，你会得到：

$$D(P_{\theta }\Vert P_{\theta +d\theta })\approx \frac{1}{2}{g}_{ij}(\theta )d{\theta }^{i}d{\theta }^j$$

这里的 $g_{ij}$ 叫做Fisher信息度规（Fisher Information Metric）：

$$g_{ij}=\mathbb{E}\left[\frac{\partial \log P}{\partial {\theta }^i}\frac{\partial \log P}{\partial {\theta }^j}\right]$$

它有一个惊人的性质：它是一个度规（metric）——就像测量距离的标尺。

但这次测量的不是空间距离，而是信息空间的距离。

Chentsov定理：唯一性

1982年，数学家Chentsov证明了一个深刻定理：

在满足某些自然对称性的前提下，Fisher度规是信息空间上唯一的度规。

换句话说：如果你想在概率分布空间上定义“距离“，而且这个距离要对坐标变换不变（就像物理定律对坐标选择不依赖），那你只能用Fisher度规。

信息的几何，是唯一的。

这就像说：如果你想在三维空间测量距离，你只能用勾股定理（欧几里得度规）或其推广（黎曼度规）。

Fisher度规是信息空间的“勾股定理“。

第三幕：从信息到时空

现在，关键的飞跃来了。

物理学家问了一个大胆的问题：

如果时空也是一个信息几何空间呢？

具体来说：

• 时空中的每个点 $x$，对应一个量子态 $\rho (x)$（局域的信息分布）
• 时空的距离，对应信息的相对熵
• 时空的弯曲，对应信息分布的变化

这听起来疯狂，但数学上完全行得通。

关键洞见：相对熵的二阶展开

考虑两个相邻点 $x$ 和 $x+dx$ 的量子态 $\rho (x)$ 和 $\rho (x+dx)$。

它们的相对熵是：

$$D(\rho (x+dx)\Vert \rho (x))\approx g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$$

这里的 $g_{\mu \nu }$ 就是时空度规——爱因斯坦方程中的主角！

所以，时空度规 = 信息度规 = Fisher度规。

用一句话说：

时空的几何，就是信息分布的几何。

第四幕：IGVP——一个原理统治一切

现在我们准备好揭晓终极秘密了。

物理学家定义了一个叫信息几何变分原理（Information Geometry Variational Principle, IGVP）的东西：

$$\delta S_{\text{gen}}=0$$

这里 $S_{\text{gen}}$ 是广义熵，包含：

• 引力熵（视界面积 / 4G，贝肯斯坦-霍金）
• 物质熵（量子场的von Neumann熵）
• 边界项（信息流动的边界贡献）

原理很简单：自然界选择让广义熵达到极值的配置。

就像肥皂泡选择最小表面积，自然界选择最优信息分布。

奇迹发生

当你对 $S_{\text{gen}}$ 做变分（求极值），你会同时得到：

1. 爱因斯坦场方程

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩$$

这是引力的方程——告诉你时空如何弯曲。

2. 杨-米尔斯方程

$$D_{\mu }{F}^{\mu \nu ,a}=J^{\nu ,a}$$

这是规范场的方程——描述电磁力、强核力、弱核力。

一个变分原理，两个方程，统治整个宇宙的基本力。

第五幕：引力不是力，是信息的几何

让我们消化一下这意味着什么。

传统观点：引力是一种力

牛顿说：引力是质量之间的吸引力。 爱因斯坦说：引力是时空弯曲的表现。

但两者都默认：引力是基本的，时空是给定的背景。

新观点：引力是信息熵的极值

IGVP说：引力不是基本的，而是从信息原理涌现的。

时空弯曲，是因为信息在追求最优分布。

类比：

• 肥皂泡不是“被某种力“塑造成球形，而是因为表面张力要最小化表面积
• 水流不是“被某种力“驱动下山，而是因为势能要最小化
• 时空不是“被引力“弯曲，而是因为信息熵要达到极值

引力是信息几何的副产品。

为什么质量会弯曲时空？

传统答案：“质量就是会弯曲时空，这是自然规律。”

新答案：质量携带信息（量子态），而信息会改变局域的信息几何，这个几何上的变化就是时空弯曲。

用公式说：

$$\text{质量}\to \text{量子态}\to \text{信息分布}\to \text{Fisher度规}\to \text{时空弯曲}$$

质量弯曲时空，因为质量就是信息的一种形式。

第六幕：电磁力也是信息的语法

更惊人的是，IGVP不仅给出引力，还给出电磁力和其他规范力。

规范场是什么？

在量子世界，粒子不只有位置和速度，还有内部自由度——比如电子的“相位“，夸克的“颜色“。

这些内部自由度形成一个内部空间（叫做纤维），附着在每个时空点上。

规范场，就是描述这个内部空间如何随时空变化的“联络“。

为什么需要规范场？

因为信息的局域性。

如果你在两个不同的地方测量同一个粒子的相位，你需要一个“字典“来翻译——这个“字典“就是规范场。

类比：

• 在北京，你说“苹果“是 apple
• 在纽约，你说“apple“是苹果
• 你需要一个翻译（规范场）来保持信息一致

规范场是信息在不同局域“码框“之间的翻译规则。

IGVP如何给出规范场方程？

当你要求信息在不同局域码框之间保持一致（这叫规范不变性），并且让广义熵极值，你自然得到杨-米尔斯方程。

电磁力、强核力、弱核力，都是信息为了保持因果一致性而涌现的。

第七幕：一个原理，整个宇宙

让我们站在高处，俯瞰整个图景。

宇宙的“操作系统“

如果宇宙是一台计算机，IGVP就是它的操作系统：

$$\boxed{\delta S_{\text{gen}}=0}$$

“让广义熵达到极值”

从这一个原理，涌现出：

• 时空的几何（度规 $g_{\mu \nu }$）
• 引力的动力学（爱因斯坦方程）
• 物质的相互作用（杨-米尔斯方程）
• 量子场的演化（狄拉克方程、薛定谔方程…）

就像从“整数的加法和乘法“可以推导出全部数论，从IGVP可以推导出全部基本物理。

为什么是熵？

因为熵是信息的度量。

• 高熵 = 不确定性大 = 信息少
• 低熵 = 不确定性小 = 信息多

自然界让熵达到极值，就是在优化信息的分布。

但注意：不是简单的“熵增“（那是热力学第二定律），而是广义熵的极值——可以增，可以减，关键是平衡。

就像经济学中的“市场均衡“——不是每个人都赚钱，也不是每个人都亏钱，而是总体达到某种最优分配。

宇宙在进行信息的“市场均衡“。

第八幕：时空从何而来？

现在我们可以回答一个终极问题：时空从何而来？

传统宇宙学

大爆炸理论说：138亿年前，时空从一个奇点诞生，然后膨胀。

但这没有回答：为什么有时空？为什么不是虚无？

信息几何的答案

时空不是“诞生“的，而是“涌现“的。

一旦有信息（量子态、概率分布、不确定性…），就必然有：

• 相对熵（信息的差异）
• Fisher度规（信息的几何）
• 极值原理（系统趋向最优配置）

然后，IGVP自动给出：

• 度规 $g_{\mu \nu }$（时空的几何）
• 爱因斯坦方程（时空的动力学）

所以，只要有信息，就有时空。

时空不是基本的，信息才是。

那么，信息从何而来？

这是下一个问题——也许是终极问题。

可能的答案：

1. 信息是永恒的（柏拉图主义）——数学结构自己存在，不需要“从何而来“
2. 信息是自指的（自举）——信息定义自己，就像“这句话是真的“
3. 信息即存在（泛信息论）——“存在“就是“被信息区分”，两者同义

我们还不知道答案。但至少我们知道：时空不是答案的起点，而是信息的涌现。

实际例子：看见信息变成时空

例1：黑洞的熵

黑洞有熵（贝肯斯坦-霍金熵）：

$$S_{\text{BH}}=\frac{A}{4G}$$

其中 $A$ 是视界面积。

这个熵是信息几何熵——测量黑洞内外信息的差异。

而黑洞的温度（霍金辐射）：

$$T_{\text{H}}=\frac{\hslash c^3}{8\pi GM{k}_B}$$

恰好满足热力学第一定律：

$$dM=T_{\text{H}}d{S}_{\text{BH}}-\frac{\kappa }{8\pi G}dA$$

黑洞的热力学，就是信息几何的热力学。

例2：宇宙的加速膨胀

我们观测到宇宙在加速膨胀（1998年诺贝尔奖）。

传统解释：有神秘的“暗能量“驱动。

IGVP解释：宇宙常数 $\Lambda$ 是真空的信息几何曲率。

真空不是“空“的，而是有量子涨落（虚粒子不断产生和湮灭）。这些涨落携带信息，而信息有几何。

这个几何的“背景曲率“，就是 $\Lambda$。

暗能量不是“能量“，而是信息几何的真空曲率。

例3：引力波

2015年，LIGO首次探测到引力波（2017年诺贝尔奖）。

引力波是什么？传统答案：时空涟漪。

IGVP答案：信息几何的扰动在传播。

两个黑洞合并，改变了局域的信息分布，这个改变以光速向外传播——就是引力波。

引力波是信息的波动。

哲学沉思：我们活在数学里吗？

让我们停下来，思考这意味着什么。

柏拉图的洞穴

柏拉图说：我们看到的世界是影子，真实世界是“理念“（数学形式）。

IGVP似乎在说：柏拉图对了一半。

• 时空确实是“影子“——信息几何的投影
• 但“理念“不是超越物理的神秘存在，而是信息关系本身

数学不是“描述“物理，而是定义物理。

观测者的角色

更深的问题：如果没有观测者，还有信息吗？

量子力学说：没有测量，粒子没有确定状态。

信息几何说：没有观测者，就没有相对熵，就没有Fisher度规，就没有时空。

时空需要观测者才能涌现。

这不是说“你的大脑创造了宇宙“（那是唯我论），而是说：观测者和宇宙是共同涌现的——你不能有一个没有另一个。

自指的宇宙

最终，我们来到一个自指的循环：

• 信息定义时空
• 时空承载观测者
• 观测者测量信息
• 测量定义信息

这是一个自洽的闭环，没有起点，没有终点。

宇宙不是被创造，而是自我定义。

就像数学公理系统——你不能问“1+1=2从何而来“，因为它就是定义。

宇宙就是它自己的定义。

带回家的思考

下次当你：

• 看到苹果落地（引力）
• 感受到磁铁吸引（电磁力）
• 思考时间的流逝（因果）

请记住：这些都不是基本的力或背景，而是信息在追求最优分布的涌现。

引力不是“拉“，而是信息几何告诉质量“这里是最优配置“。

时间不是“流“，而是信息不可逆的演化方向。

你不是在时空中“存在“，而是时空因为你的观测而涌现。

你不在宇宙里，你就是宇宙看自己的方式。

下一篇：《粒子是网络的共鸣：为什么电子不是小球》

我们将看到，所有粒子都是信息散射网络的驻波——不是“东西“，而是“模式“。