册 B｜法典（大众）

第一门｜见之门（星窗印・一秤诀・玄砂漏・静相铃）

体例：每条含法条（简述）、数学推理（判据/证明要点）、可检步骤（最小可复演），并统一使用记号与公设（见册 A）。

1. 星窗印（凡测必窗）

法条 任何一次“看见“，都是某个窗 $W$ 对真实 $f$ 的加权读数：$⟨f{⟩}_W=\int f(E)W(E)dE$；$W\ge 0$，$\int W=1$。

数学推理 (1) 线性与稳定：若 $|W{|}_1=1$，则

$$|⟨f{⟩}_W-⟨g{⟩}_W|\le \int |f-g|W\le |f-g{|}_{\infty }.$$

(2) 换窗敏感度（窗误差上界）：

$$|⟨f{⟩}_{W_1}-⟨f{⟩}_{W_2}|\le |f{|}_{\infty }|W_1-W_2{|}_1.$$

(3) 不可辨域（核非空）：有限窗族 $\{W_i{\}}_{i=1}^m$ 定义 $\mathcal{A}:f\mapsto (⟨f{⟩}_{W_i}{)}_{i=1}^m$。当信号空间维数 $>m$（如 $L^2$ 无限维），由秩—核定理

$$\dim \ker \mathcal{A}=\infty ,\exists h\ne 0:⟨h{⟩}_{W_i}=0\forall i.$$

(4) 三分误差预算（NPE）：任何窗化估计的非渐近误差

$$\mathrm{Err}\le \underset{\text{带外混叠}}{\underbrace{\mathrm{Alias}(W)}}+\underset{\text{有限阶 EM 修正}}{\underbrace{\mathrm{Bernoulli}(k,W)}}+\underset{\text{截断尾项}}{\underbrace{\mathrm{Tail}(k)}}.$$

可检步骤 以同一问题，实施“三窗试验“：更换信息来源/时段/人群三种 $W$，若结论显著分歧，则处于不可辨域；延时与加修正后再判。

2. 一秤诀（换单位不换事实）

法条 换单位/刻度不改变事实读数；变量代换 $E^{\prime }=aE+b$ 下保持

$$⟨f{⟩}_W=⟨f^{\prime }{⟩}_{W^{\prime }},W^{\prime }(E^{\prime })=\frac{1}{|a|}W\left(\frac{E^{\prime }-b}{a}\right),f^{\prime }(E^{\prime })=f\left(\frac{E^{\prime }-b}{a}\right).$$

数学推理 (1) 守读数（代换证明）：由 $E=(E^{\prime }-b)/a$，$dE=d{E}^{\prime }/a$

$$\int f(E)W(E)dE=\int f\left(\frac{E^{\prime }-b}{a}\right)\frac{1}{|a|}W\left(\frac{E^{\prime }-b}{a}\right)d{E}^{\prime }=\int f^{\prime }(E^{\prime })W^{\prime }(E^{\prime })d{E}^{\prime }.$$

(2) 刻度群与不变性：尺度 $a>0$、平移 $b\in \mathbb{R}$ 组成仿射群 $G$；读数是 $G$-不变泛函。 (3) 影子刻度（拉格朗日乘子）：在“价值—预算“泛函

$$\mathcal{L}=\mathbb{E}[U]-\lambda B,$$

$\lambda =\partial \mathcal{L}/\partial B$ 为影子价；等价于在秤变动下的边际补偿率。 (4) 同秤可谈：若两方各用 $(a_1,b_1)$、$(a_2,b_2)$ 标度，先作 $(a,b)$ 归一（例如 $a_2/a_1$ 与 $b$-校正），再比较 $⟨f⟩$ 方可避免“秤差偏置“。

可检步骤 任何对比先写明 $(a,b)$；用同一 $(a,b)$ 复算旧数据。若结论反转，先修秤，不急下断。

3. 玄砂漏（分辨—时间的下界）

法条 想分得更清，必须付出更多时间：$\Delta t\Delta \omega \ge \frac{1}{2}$。

数学推理 (1) 定义方差：对窗函数 $g\in L^2(\mathbb{R})$（作分析窗，$|g{|}_2=1$），设

$$\Delta t^2=\int (t-{\mu }_t{)}^2|g(t){|}^{2}dt,\Delta {\omega }^2=\int (\omega -{\mu }_{\omega }{)}^2|\hat{g}(\omega ){|}^{2}d\omega ,$$

其中 ${\mu }_t=\int t|g{|}^2$，${\mu }_{\omega }=\int \omega |\hat{g}{|}^2$。 (2) Heisenberg 不等式（证明要点）：由

$$|(t-{\mu }_t)g{|}_2|(\omega -{\mu }_{\omega })\hat{g}{|}_2\ge \frac{1}{2}|g{|}_2^2=\frac{1}{2},$$

得 $\Delta t\Delta \omega \ge \frac{1}{2}$。等号当且仅当 $g$ 为高斯。 (3) 窗化估计的代价函数：若要求频率分辨 $\Delta \omega \le ϵ$，最短等待窗满足 $\Delta t\ge \frac{1}{2ϵ}$。 (4) 与 NPE 耦合：拉长时间窗（增 $k$ 与减带外能量）会同时降低 $\mathrm{Alias}(W)$ 与 $\mathrm{Tail}(k)$，但增加观测成本——形成优化折中：

$$\underset{\Delta t,k}{\min }\mathrm{Err}(\Delta t,k)+\lambda \Delta t.$$

可检步骤 对重要判决设最小等待窗 $T_{\min }=\frac{1}{2ϵ}$（$ϵ$ 由期望分辨率定），并记录 NPE 三项在等待前后之变化；未达阈值不结论。

4. 静相铃（方向＝相位导数，多少＝密度）

法条 “往哪儿去“的方向由相位决定，“带多少“由密度决定；它们共享同一把秤：

$${\phi }^{\prime }(E)=\pi \rho (E).$$

数学推理 (1) 谱词典：设 $H$ 为一维自伴算子，其谱测度 $\rho (E)$ 与散射相位 $\phi (E)$ 关联。令 $S(E)$ 为散射矩阵，谱移函数 $\xi (E)$ 满足

$$\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)},{\partial }_E\arg \det S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E).$$

(2) 相位—密度同秤：在 Weyl–Titchmarsh 词典中，$\rho (E)=\frac{1}{\pi }\Im M(E+i0)$（$M$ 为 m-函数），而总相位 $\phi (E)$ 的导数与 $\Im M$ 成正比，得

$${\phi }^{\prime }(E)=\pi \rho (E).$$

(3) 窗化读数的一致性：对任何非负窗 $W$，

$$\int {\phi }^{\prime }(E)W(E)dE=\pi \int \rho (E)W(E)dE,$$

即“方向变化率的窗化平均“等于“密度的窗化平均“（同秤等价）。 (4) 相对谱密度表述：若以参照 $H_0$ 定义相对谱移 $\xi$，则

$${\partial }_E\arg \det S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E),{\rho }_{\text{rel}}(E)={\xi }^{\prime }(E),$$

故方向变化的判据与“多少“的相对度量一致。

可检步骤 为任一目标先给出“方向词“（$\phi$ 的趋势）与“配重表“（$\rho$ 的资源比例）。以相同窗 $W$ 计算两侧的窗化平均；若

$$|\int {\phi }^{\prime }(E)W-\pi \int \rho (E)W|>\epsilon ,$$

则为“伪愿“或“错配重“，需重配资源或修正方向。

小结（见之门）

1. 星窗印确立读数的窗结构与不可辨域；
2. 一秤诀保证变量代换下事实不变与“影子刻度“的边际意义；
3. 玄砂漏给出“分辨—时间“的硬下界并嵌入 NPE 误差优化；
4. 静相铃用 ${\phi }^{\prime }(E)=\pi \rho (E)$ 把“方向“与“数量“统一到同一秤上，供配重校验。