册 C｜判据卷（数学与实验）

本册承接册 A 之记号：窗读数 $⟨f{⟩}_W=\int fW$、相位—密度 ${\phi }^{\prime }=\pi \rho$、NPE 误差三分、KL/I-投影、谱隙 $\Delta$ 与采样阈 ${\nu }_r\ge 2B$。以下给出四张“标准卡“，含定义—定理/命题—证明要点—操作规程。

C-1｜三窗卡（Window Triangulation）

目的：用三扇性质差异足够的窗 $W^{(1)},W^{(2)},W^{(3)}$ 对同一对象 $f$ 读数三角化，显式检测“不可辨域“（$\ker \mathcal{A}\ne \{0\}$）并定量化“窗差灵敏度“。

定义

• 测量算子 $\mathcal{A}:f\mapsto m=(m_1,m_2,m_3)$，$m_i=⟨f{⟩}_{W^{(i)}}$。
• 窗 Gram 矩阵 $G\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$：$G_{ij}=\int W^{(i)}(E)W^{(j)}(E)dE$。
• 条件数 $\kappa (G)=|G||G^{-1}|$；“三窗可分性“指数 $\Theta ={\min }_{i\ne j}|W^{(i)}-W^{(j)}{|}_1$。

命题 1（窗差上界）

对有界 $f\in L^{\infty }$，任意两窗有

$$|m_i-m_j|=|⟨f{⟩}_{W^{(i)}-W^{(j)}}|\le |f{|}_{\infty }|W^{(i)}-W^{(j)}{|}_1\le |f{|}_{\infty }\Theta .$$

证明要点：Hölder 不等式与 $|W{|}_1=1$。

命题 2（三窗可识别性）

若 $G$ 可逆且 $\kappa (G)$ 有界，则对任意 $f,g\in L^2$

$$|f-g{|}_W:=(\sum _{i=1}^3|⟨f-g{⟩}_{W^{(i)}}{|}^2{)}^{1/2}\ge {\sigma }_{\min }(G{)}^{1/2}|{\Pi }_{\mathrm{span}\{W^{(i)}\}}(f-g){|}_2.$$

特别地，$\kappa (G)$ 越小，“窗三角化“的稳定性越好。

证明要点：$|m{|}_2^2=⟨f-g,{\sum }_i{m}_i{W}^{(i)}⟩$，以 Riesz 表示与最小奇异值界下推得不等式。

命题 3（不可辨域的见证）

三窗下不可辨域

$$\mathcal{N}:=\{h\in L^2:⟨h{⟩}_{W^{(i)}}=0,i=1,2,3\}$$

非空且无界（在无限维情形）。其“最平滑见证“可由

$$h^{\star }=\arg \underset{h\ne 0}{\min }|h{|}_{H^1}\text{s.t.}⟨h{⟩}_{W^{(i)}}=0$$

给出；$|h^{\star }{|}_{H^1}$ 越小，说明三窗对该频段/尺度的分辨力越弱。

证明要点：秩—核定理给 $\dim \mathcal{N}=\infty$；以 Hilbert 空间约束最小化求最小范数解。

操作规程

1. 设计三窗：令 $W^{(i)}$ 具不同带宽/中心（如时间/频率/空间三域），最大化 $\det G$、最小化 $\kappa (G)$。
2. 三窗试验：同对象 $f$ 得 $m_1,m_2,m_3$。若 ${\max }_{i\ne j}|m_i-m_j|>\tau$ 且噪声置信界不足以解释，则记为“窗不一致“→进入“三修卡“。
3. 见证构造：数值解 $h^{\star }$（有限元/样条），标注其主频/主尺度，作为后续窗优化的定向证据。
4. 优化回路：据 $h^{\star }$ 调整 $W^{(i)}$（加权、带宽、中心），直至 $\kappa (G)\downarrow$ 且 $|h^{\star }{|}_{H^1}\uparrow$。

C-2｜三修卡（NPE 误差闭合）

目的：把一次读数的非渐近误差拆为“混叠 + 伯努利层 + 尾项“，给出可计算上界与参数选型（采样率/窗形/EM 阶数）。

定义（NPE 三分）

$$\mathrm{Err}\le \underset{\text{混叠}}{\underbrace{\mathrm{Alias}(W,{\nu }_s)}}+\underset{\text{有限阶 EM 修正}}{\underbrace{\mathrm{Bernoulli}(k,W)}}+\underset{\text{截断尾项}}{\underbrace{\mathrm{Tail}(k)}}(k\in \mathbb{N}).$$

命题 1（混叠界）

$f$ 的频谱 $F(\omega )\in L^1$，采样率 ${\nu }_s$，窗频响 $\hat{W}(\omega )$，则

$$\mathrm{Alias}\le \sum _{n\ne 0}{\int }_{\mathbb{R}}|F(\omega -2\pi n{\nu }_s)||\hat{W}(\omega )|d\omega .$$

若 $F$ 在 $|\omega |>\Omega$ 处以 $|F(\omega )|\le C(1+|\omega |{)}^{-p}$ 衰减（$p>1$），且 ${\nu }_s>\Omega /\pi$，则别名界 $O({\nu }_s^{-(p-1)})$。

证明要点：Poisson 求和与卷积界。

命题 2（伯努利层）

对光滑 $f$ 的数值求和/积分误差，用 Euler–Maclaurin 到阶 $2k$：

$$\sum _{n=a}^{b}f(n)={\int }_a^{b}f(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{r=1}^k\frac{B_{2r}}{(2r)!}(f^{(2r-1)}(b)-f^{(2r-1)}(a))+R_{2k},$$

其余项

$$|R_{2k}|\le \frac{2\zeta (2k)}{(2\pi {)}^{2k}}\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f^{(2k)}(x)|.$$

将 $f$ 换成窗加权 integrand，可得 $\mathrm{Bernoulli}(k,W)$ 的显式上界。

证明要点：经典 EM 余项的傅里叶—Bernoulli 界。

命题 3（尾项界）

若 $f$ 在复域带状区 $|\Im z|\le \sigma$ 全纯且 $|f(z)|\le M{e}^{-\alpha |z|}$，则按 Jordan 引理与最大模原理，截断到 $|x|\le X$ 的尾项

$$\mathrm{Tail}(k;X)\le C(\sigma ,\alpha )e^{-\alpha X}.$$

证明要点：解析延拓 + 指数型衰减给出可调 $X$ 的指数界。

参数选型（$\epsilon$-闭合）

给定目标误差 $\epsilon$，求 $({\nu }_s,k,X)$ 使

$$\mathrm{Alias}({\nu }_s)\le \epsilon /3,\mathrm{Bernoulli}(k,W)\le \epsilon /3,\mathrm{Tail}(k;X)\le \epsilon /3.$$

一套可行策略：

• 先选 ${\nu }_s\ge \frac{{\Omega }_{0.95}}{\pi }\cdot \gamma$（${\Omega }_{0.95}$ 为 95% 能量频宽，$\gamma \gtrsim 1.2$）抑制别名；
• 再选 $k$ 使 $\frac{2\zeta (2k)}{(2\pi {)}^{2k}}\sup |f^{(2k)}|\le \epsilon /3$；
• 终选 $X$ 使 $C{e}^{-\alpha X}\le \epsilon /3$。

操作规程

1. 估计 $F(\omega )$ 的能量分布与尾衰 $p$；定 ${\nu }_s$ 达别名阈。
2. 用 EM 到 $2k$ 阶补偿；验证余项界。
3. 设截断 $X$，以解析/数值证实尾项界。
4. 填写一页“误差日志“：$⟨\text{Err}⟩$ 与三项上界及余裕系数。

C-3｜镜断卡（Mirror Verdict）

目的：将“公平/公允“写成可检的不变性：镜中互换仍给出同断，并给出偏差统计与校正。

定义

• 角色互换群 $G$ 作用于数据 $x\mapsto g\cdot x$。
• 判决器 $D:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$。镜像偏差

$${\Delta }_{\mathrm{mir}}(x):=\underset{g\in G}{\sup }d(D(x),D(g\cdot x))$$

（取合适度量 $d$）。全体偏差 $\mathbb{E}[{\Delta }_{\mathrm{mir}}]$ 为系统镜差。

命题 1（对称化校正）

任意 $D$ 可“群平均“得对称判决器

$$D^{\mathrm{sym}}(x):={\mathbb{E}}_{g\sim \mathrm{Unif}(G)}[D(g\cdot x)],$$

满足 $D^{\mathrm{sym}}(g\cdot x)=D^{\mathrm{sym}}(x)$，且

$$\mathbb{E}[d(D^{\mathrm{sym}}(x),y)]\le \mathbb{E}[d(D(x),y)]$$

当 $d$ 为凸型损失时。

证明要点：Jensen 不等式 + 群平均。

命题 2（镜差显著性检验）

给定配对样本 $\{(x_i,g\cdot x_i){\}}_{i=1}^n$，令 ${\delta }_i=d(D(x_i),D(g\cdot x_i))$。 在原假设“镜不变“下，${\delta }_i$ 的随机符号可近似对称；用符号检验或置换检验得 $p$-值，显著则拒绝。

命题 3（成本—收益对齐判据）

若判决带成本函数 $C$，镜中互换的净效不变要求

$${\Delta }_{\mathrm{net}}:=\underset{g\in G}{\sup }|\mathbb{E}[C(x,D(x))]-\mathbb{E}[C(g\cdot x,D(g\cdot x))]|\le \eta .$$

若 $\eta$ 小于阈值（影子价尺度），则通过“镜断“。

证明要点：成本作为“秤“，用同秤对齐后的差异才有意义。

操作规程

1. 明确群 $G$（例如“甲/乙“角色互换、地理置换等），构造配对样本。
2. 估计 ${\Delta }_{\mathrm{mir}}$ 与置换 $p$-值；不通过则使用 $D^{\mathrm{sym}}$ 或在损失中加入对称正则 $\lambda {\Delta }_{\mathrm{mir}}$。
3. 以“影子价“ $\lambda$ 设净效阈值 $\eta$，通过后方可发布判决。

C-4｜闭环卡（5-分钟最小闭环）

目的：把宏愿落到可复演的最小动作，并保证序列性的“后悔次线性“。

定义（OCO 视角）

设可行域 $\mathcal{X}$ 与逐日凸损失 $l_t(x)$。最小闭环在时间 $t$ 选择 $x_t$，执行后得到反馈，目标是最小化遗憾

$${\mathcal{R}}_T:=\sum _{t=1}^T{l}_t(x_t)-\underset{x\in \mathcal{X}}{\min }\sum _{t=1}^T{l}_t(x).$$

算法（Mirror Descent / 指数权重）

选 Bregman 散度 $D_{\varphi }$，步长 ${\eta }_t\propto 1/\sqrt{t}$：

$$x_{t+1}=\arg \underset{x\in \mathcal{X}}{\min }\{⟨g_t,x⟩+\frac{1}{{\eta }_t}{D}_{\varphi }(x|x_t)\},g_t=\nabla l_t(x_t).$$

若 $\mathcal{X}$ 为概率单纯形且 $\varphi (x)={\sum }_i{x}_i\log x_i$，得“指数权重法“：

$$x_{t+1,i}\propto x_{t,i}\exp (-{\eta }_t{g}_{t,i}).$$

定理（次线性遗憾与稳健性）

若 $l_t$ $L$-Lipschitz 且 ${\mathrm{diam}}_{\varphi }(\mathcal{X})\le D$，则

$${\mathcal{R}}_T\le O\left(LD\sqrt{T}\right).$$

若反馈噪声为零均值次高斯，则以相同阶界成立（在适当常数下）。

证明要点：标准 Mirror Descent 分析：望远镜和 Bregman 三角等式。

5-分钟化（可操作化）

• 把“日目标“拆成 $\mathcal{X}$ 上的离散动作（3–5 个），损失为“负进展“。
• 设一轮时长 5 分钟；每轮更新权重 $x_t\to x_{t+1}$。
• 每日结束给出“闭环度“与 ${\mathcal{R}}_T$ 的上界估计（以经验 $L,D,\eta$ 代入）。

与相位—密度配重一致

对“方向词“ $\phi$ 与资源密度 $\rho$，闭环权重 $x_t$ 的窗化平均需满足

$$\int {\phi }^{\prime }(E)W(E)dE\approx \pi \int \rho (E)W(E)dE,$$

否则调整动作池或时间分配直至一致。