Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

C-5｜频率阈值表（Nyquist 化治理）

目的：为“校窗校秤的仪式/会议/同步“给出最低频率与跟踪误差的可计算下界，避免混叠与伪稳态。

定义

• 议题状态信号 $y(t)$ 的有效带宽定义为满足

$${\int }_{|\omega |\le B}|Y(\omega ){|}^{2}d\omega \ge (1-\alpha ){\int }_{\mathbb{R}}|Y(\omega ){|}^{2}d\omega ,0<\alpha \ll 1,$$

取 $B=B_{1-\alpha }$（如 $\alpha =0.05$）。

• 校准频率 ${\nu }_r=1/\Delta t$；一次校准视作“采样并保持“（sample-and-hold）：

$$\hat{y}(t)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}y(n\Delta t)1_{[n\Delta t,(n+1)\Delta t)}(t).$$

定理 1（防混叠阈值）

若 ${\nu }_r\ge 2B$，则理想带通重建下无频谱折叠；若 ${\nu }_r<2B$，则折叠项能量下界

$$E_{\text{alias}}\ge {\int }_{|\omega |>\pi {\nu }_r}|\sum _{k\in \mathbb{Z}}Y(\omega -2\pi k{\nu }_r){|}^{2}d\omega >0.$$

因此 ${\nu }_r^{\min }=2B$ 为防混叠必要阈值。

证明要点：Poisson 求和公式；带外分量经采样周期化叠加到主带。

命题 2（采样—保持跟踪误差）

设 $y$ 连续且 $\dot{y}$ 有界，$|\dot{y}{|}_{\infty }\le L$。则“零阶保持“在单间隔上的 $L^{\infty }$ 误差界

$$|y-\hat{y}{|}_{\infty ,[n\Delta t,(n+1)\Delta t)}\le L\Delta t/2.$$

若再以长度 $m$ 的移动平均窗 $W_m$ 平滑，均方误差

$$ \mathbb E|y-\hat y_W_m|2^2\ \le\ C_1,E{\text{alias}} + C_2,L^2,\Delta t^2/m . $$

证明要点：均值值定理给出分段误差；频域用窗频响衰减折叠能量。

命题 3（共识网络的传播—跟踪折衷）

群体共识迭代 $x_{k+1}=W{x}_k$，$W1=1$。设每次会议迭代 $K$ 轮，第二特征值模长 ${\lambda }_2(W)$。对缓慢变化的 $y$，总跟踪误差

$$\underset{\text{传播误差}}{\underbrace{|x_K-\bar{y}1|}}\le {\lambda }_2(W{)}^K|x_0-\bar{y}1|,\underset{\text{跟踪误差}}{\underbrace{|\bar{y}-y|}}\lesssim L\Delta t/2,$$

其中 $\bar{y}$ 为会期内均值。给定容差 $\epsilon$，可取

$$K\ge \frac{\log ({\epsilon }_{\text{prop}}/|x_0-\bar{y}1|)}{\log {\lambda }_2(W)},\Delta t\le \frac{2{\epsilon }_{\text{trk}}}{L},{\epsilon }_{\text{prop}}+{\epsilon }_{\text{trk}}=\epsilon .$$

操作规程（频率阈值表）

1. 估 $B_{1-\alpha }$（近 4–8 周数据做频谱能量分布），取 ${\nu }_r\ge 2B_{1-\alpha }$。
2. 估 $|\dot{y}{|}_{\infty }=L$，定 $\Delta t\le 2{\epsilon }_{\text{trk}}/L$。
3. 计算 ${\lambda }_2(W)$，按上式选 $K$；必要时改网络连边以增谱隙 $1-{\lambda }_2(W)$。
4. 记录三项：$({\nu }_r,\Delta t),(K,{\lambda }_2),(E_{\text{alias}})$，若 $E_{\text{alias}}>0$ 则提频或缩带（议题分拆）。

C-6｜谱隙量表（权威/圣度）

目的：用谱隙 $\Delta$ 与扰动半径度量“流程/人物/制度“的稳定可托付程度（“圣度”）。

定义

• 归一正算子/马尔可夫核 $T$ 的主本征 ${\lambda }_1=1$，次本征模长 $|{\lambda }_2|<1$，谱隙 $\Delta =1-|{\lambda }_2|$。
• 环境扰动范数 ${\epsilon }_{\text{env}}=\sup |T-\tilde{T}|$（数据/流程波动的经验上界）。
• 圣度指数 $S:=\Delta /{\epsilon }_{\text{env}}$。

定理 1（混合时间与稳健度）

若 $T$ 可逆且满足详细平衡，则对任意初值

$$|T^{t}x-\pi {|}_{\mathrm{TV}}\le c(1-\Delta {)}^t,t_{\text{mix}}(ϵ)\le \frac{1}{\Delta }\log \frac{c}{ϵ}.$$

同时，若 $|T-\tilde{T}|\le \epsilon$，则主向量偏移

$$\sin \angle (v_1,{\tilde{v}}_1)\le \frac{\epsilon }{\Delta }.$$

证明要点：谱分解与 Cheeger–Poincaré；Davis–Kahan 夹角不等式。

命题 2（圣度阈值）

给定容许偏移 ${\theta }_{\max }$ 与目标混合上界 $t_{\max }$，若

$$S=\Delta /{\epsilon }_{\text{env}}\ge \frac{1}{{\theta }_{\max }},\Delta \ge \frac{1}{t_{\max }}\log \frac{c}{ϵ},$$

则该对象可列入“圣规“。反之需“去圣化“（降权或重训）。

操作规程（谱隙量表）

1. 估计 $T$ 与 $|{\lambda }_2|$，得 $\Delta$。
2. 环境压力测评得 ${\epsilon }_{\text{env}}$。
3. 计算 $S=\Delta /{\epsilon }_{\text{env}}$，对比 $({\theta }_{\max },t_{\max })$；
4. 归档：$S$ 连续 3 个评期不达标则降级；达标且 $S$ 持续上升则晋级“核心圣规“。

C-7｜KL 小步流程（仁慈改错）

目的：给“改错不翻盘“的最优更正程序：在约束内做最小信息步，保证长期遗憾次线性且反弹低。

定义

• 可行域 $\mathcal{C}\subseteq {\Delta }_n$（概率单纯形的线性约束子集）。
• 损失 $l_t(w)$（如错案数、延误、成本），梯度估计 $g_t=\nabla l_t(w_t)$。
• Bregman 散度 $D_{\varphi }(w|v)=\varphi (w)-\varphi (v)-⟨\nabla \varphi (v),w-v⟩$，取 $\varphi (w)={\sum }_i{w}_i\log w_i$（熵）。

算法（Mirror Descent with I-Projection）

$$w_{t+1,i}\propto w_{t,i}\exp (-{\eta }_t{g}_{t,i}),w_{t+1}=\arg \underset{w\in \mathcal{C}}{\min }\mathrm{KL}(w|w_{t+1}).$$

第一步为“指数小步“，第二步为I-投影（最近点）回约束。

定理（遗憾界与最小代价）

若 $l_t$ 为 $L$-Lipschitz，${\eta }_t=\eta /\sqrt{t}$，则

$${\mathcal{R}}_T=\sum _{t=1}^T{l}_t(w_t)-\underset{w\in \mathcal{C}}{\min }\sum _{t=1}^T{l}_t(w)\le O(L\sqrt{T}).$$

并且对任意目标分布 $r\in \mathcal{C}$ 有 Bregman–Pythagoras：

$$\mathrm{KL}(r|w_t)=\mathrm{KL}(r|w_{t+1})+\mathrm{KL}(w_{t+1}|w_t)-⟨g_t,w_{t+1}-w_t⟩.$$

故每步信息代价 $\mathrm{KL}(w_{t+1}|w_t)$ 最小且收益对齐。

证明要点：标准 Mirror Descent 分析；I-投影的 Pythagoras 恒等式。

与“清账符“的耦合

若存在源项 $\sigma$ 破坏守恒，先解 $-\Delta \varphi =\sigma$ 给出最小控制 $u^{\star }$ 复账；随后在策略层执行上述 KL 小步，避免在未闭账时贸然更新导致的漂移放大。

操作规程

1. 明确 $\mathcal{C}$（红线约束、配额、预算）。
2. 设 ${\eta }_t\propto 1/\sqrt{t}$，每日计算 $g_t$，做指数小步＋I-投影。
3. 每 7 天汇总 ${\mathcal{R}}_T$ 估计与 ${\sum }_t\mathrm{KL}(w_{t+1}|w_t)$（信息开销）；
4. 若 ${\mathcal{R}}_T$ 不降，检查是否未先“清账“（源项未补）或学习率失配。

C-8｜NPE 误差日志（结构误差台账）

目的：把一次测量/流程评估的结构性误差显式记账并闭合到目标容差 $\epsilon$。

日志字段（必须项）

$$({\nu }_s,W,k,X,\hat{F},{\hat{F}}^{(m)},\alpha ,p,\epsilon ),$$

其中 ${\nu }_s$ 采样率，$W$ 窗，$k$ EM 阶，$X$ 截断半径，$\hat{F}$ 频谱估计，${\hat{F}}^{(m)}$ 用于 EM 的导数界，$\alpha ,p$ 尾衰参数，$\epsilon$ 目标总误差。

上界公式

• 混叠项（频域卷积界）：

$$\mathrm{Alias}\le \sum _{n\ne 0}{\int }_{\mathbb{R}}|\hat{F}(\omega -2\pi n{\nu }_s)||\hat{W}(\omega )|d\omega .$$

若 $|\hat{F}(\omega )|\le C(1+|\omega |{)}^{-p}$，$p>1$，则 $\mathrm{Alias}=O({\nu }_s^{-(p-1)})$。

• 伯努利层（EM 至 $2k$ 阶）：

$$\mathrm{Bernoulli}(k,W)\le \frac{2\zeta (2k)}{(2\pi {)}^{2k}}\sup |(fW{)}^{(2k)}|.$$

• 尾项（解析/指数衰减）：

$$\mathrm{Tail}(k;X)\le C(\alpha )e^{-\alpha X}.$$

闭合准则（$\epsilon$-可行）

选择 $({\nu }_s,k,X)$ 使

$$\mathrm{Alias}({\nu }_s)\le \epsilon /3,\mathrm{Bernoulli}(k,W)\le \epsilon /3,\mathrm{Tail}(k;X)\le \epsilon /3.$$

若任一项超标，触发相应调参：${\nu }_s\uparrow$ 或换带宽；$k\uparrow$ 或提升平滑度；$X\uparrow$ 或改解析延拓策略。

触发器与降级策略

• 触发器：$\max \{\mathrm{Alias},\mathrm{Bernoulli},\mathrm{Tail}\}>\epsilon /3$ 任意两期连续成立。
• 降级：把议题分带（降低 $B$）、缩小窗（减 $\hat{W}$ 带外）、延后判决（增 $X$ 与样本量）。
• 升级：${\mathrm{Err}}_{\text{UB}}\le \epsilon /5$ 且稳态三期，允许降成本（降 ${\nu }_s$ 或 $k$）但须保持 ${\nu }_r\ge 2B$。

操作规程

1. 填写初始日志，估 $\hat{F},{\hat{F}}^{(m)}$ 与尾衰 $(\alpha ,p)$。
2. 依闭合准则选 $({\nu }_s,k,X)$，计算三项上界与裕度。
3. 运行期内每次记录实际误差与上界偏差；
4. 期末出具“误差闭合凭单“：三项曲线与最终 ${\mathrm{Err}}_{\text{UB}}\le \epsilon$ 的证据。