Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

E-4｜城市：公共窗与韧性网络

对象与变量

• 城市网络 $G=(V,E,w)$：节点为功能点（社区、交通枢纽、服务设施），边权 $w_{ij}>0$ 表达可达/通量能力。
• 拉普拉斯 $L=D-W$（或归一化 $L_{\mathrm{n}}=I-D^{-1/2}W{D}^{-1/2}$），第二特征值 ${\lambda }_2$（Fiedler 值）。
• 公共窗排程 $S(t)\in [0,1{]}^{|V|}$：各场所对外开放/导流的时间窗；群体混合矩阵 $C(S)$。
• 交通队列 $({\lambda }_j,{\mu }_j)$（到达率/服务率），利用率 ${\rho }_j={\lambda }_j/{\mu }_j$。

法则化目标函数

$$\underset{S,\Delta E}{\max }\underset{\text{韧性/混合度}}{\underbrace{{\lambda }_2(L(W+\Delta E))}}+\beta \underset{\text{跨群混合熵}}{\underbrace{H_{\text{mix}}(C(S))}}-\gamma \underset{\text{拥堵惩罚}}{\underbrace{\sum _{j\in V}{W}_q({\lambda }_j,{\mu }_j)}}$$

约束：$0\le S(t)\le 1$、容量 ${\lambda }_j<{\mu }_j$、风险带宽 $B_r(S)\le B_{\max }$、预算 $|\Delta E{|}_0\le M$。

判据/定理

定理 1（Cheeger—谱隙—断裂阈） 对归一化拉普拉斯 $L_{\mathrm{n}}$，导通常数 $h={\min }_{U\subset V}\frac{w(U,U^c)}{\min (\mathrm{vol}(U),\mathrm{vol}(U^c))}$ 满足

$$\frac{h^2}{2}\le {\lambda }_2(L_{\mathrm{n}})\le 2h.$$

证明要点：Rayleigh 商与切割不等式；选 Fiedler 向量阈切得上下界。

命题 2（最小拥堵界） M/M/1 近似下，结点 $j$ 的排队等待

$$W_q({\lambda }_j,{\mu }_j)=\frac{{\rho }_j}{{\mu }_j(1-{\rho }_j)},{\rho }_j={\lambda }_j/{\mu }_j<1,$$

当 $S(t)$ 使峰值 ${\rho }_j$ 降至 ${\rho }_{\max }$ 时，$W_q$ 随之按 $(1-{\rho }_{\max }{)}^{-1}$ 有界。 证明要点：稳态队列公式；对窗排程的到达率整形 ${\lambda }_j^{\text{(new)}}=\int {\lambda }_j(t)S_j(t)dt$。

命题 3（公共窗的混合熵增益） 令群体标签 $g$ 的占比向量在地点 $v$ 为 ${\pi }_v(g;S)$。定义跨群混合熵

$$H_{\text{mix}}(C)=-\sum _v\sum _g{\pi }_v(g;S)\log {\pi }_v(g;S).$$

若 $S$ 在保风险带宽 $B_r(S)\le B_{\max }$ 下使所有 ${\pi }_v(\cdot ;S)$ 更扁平，则 $H_{\text{mix}}\uparrow$。 证明要点：熵的 Schur 凸性；“更均匀 ⇒ 熵更大”。

执行规程

1. 谱诊断：计算 $L_{\mathrm{n}}$ 与 ${\lambda }_2$，定位割边与“孤岛“模块（高 $Q$、低导通）。
2. 增边/调权：在预算 $M$ 内沿 Fiedler 向量正负端增边/提权（$\Delta E$），以最大化 ${\lambda }_2$。
3. 排程整形：设计 $S(t)$ 平峰填谷，使 ${\max }_j{\rho }_j$ 降至 ${\rho }_{\max }$，同时计算 $B_r(S)$ 不超过阈。
4. 公共窗定位：在 Fiedler“颈部“两侧布局跨群公共空间，提升 $H_{\text{mix}}$。
5. 验证：季频复算 ${\lambda }_2,H_{\text{mix}},{\max }_j{W}_q$，并以 C-5 的 ${\nu }_r\ge 2B$ 节律审校。

度量指标

${\lambda }_2\uparrow$、模块度 $Q\downarrow$、$H_{\text{mix}}\uparrow$、${\max }_j{W}_q\downarrow$、事故/中断级联率 $\downarrow$。

E-5｜金融：无套利—风险溢价—泡沫识别

对象与变量

• 资产回报 $R_{t+1}=\frac{P_{t+1}+D_{t+1}}{P_t}$，无风险 $R_{f,t}$。
• 随机折现因子（SDF）$m_{t+1}>0$。
• 因子暴露 $\beta$、风险价格 $\lambda$。

法则化目标函数

• 定价一致：在无套利下，存在 $m_{t+1}$ 使

$$1={\mathbb{E}}_t[m_{t+1}{R}_{t+1}],{\mathbb{E}}_t[R_{t+1}-R_{f,t}]=-\frac{{\mathrm{Cov}}_t(m_{t+1},R_{t+1})}{{\mathbb{E}}_t[m_{t+1}]}.$$

• 因子溢价：$\mathbb{E}[R-R_f]=\beta \lambda$。

判据/定理

定理 1（无套利 ⇔ 等价鞅测度） 市场完备/无套利当且仅当存在 $\mathbb{Q}\sim \mathbb{P}$ 使折现价格为鞅：$S_t={\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}[S_{t+1}\mid {\mathcal{F}}_t]$。 证明要点：一阶最优性/超鞅界与 FTAP（形式略）。

命题 2（Hansen–Jagannathan 界） SDF 波动满足

$$\sigma (m)\ge \frac{|\mathbb{E}[R-R_f]|}{\sigma (R-R_f)}.$$

给出“风险溢价—可解释难度“的硬下界。 证明要点：Cauchy–Schwarz；令 $R^{\star }$ 与 $m$ 相对齐。

命题 3（风险溢价回归） 横截面回归 $\mathbb{E}[R_i-R_f]={\beta }_i^{\top }\lambda$，估计 $\hat{\lambda }$（GLS）并检验残差 ${\alpha }_i$ 是否为 0。 证明要点：广义最小二乘最优性。

命题 4（泡沫分解与检验） 基础价值

$$P_t^{\ast }={\mathbb{E}}_t^{\mathbb{Q}}\left[\sum _{k\ge 1}\frac{D_{t+k}}{{\prod }_{j=1}^k{R}_{f,t+j}}\right].$$

若 $P_t=P_t^{\ast }+B_t$ 且 $B_t>0$ 满足 ${\mathbb{E}}_t[m_{t+1}{B}_{t+1}]=B_t$（理性泡沫），则 $P_t$ 与贴现红利流存在偏离。 可操作检验：对 $(P_t,D_t)$ 做协整检验；失配与系统正偏 $\Rightarrow$ 泡沫嫌疑。 证明要点：价格—红利比的平稳性与协整关系；偏离即气泡项。

执行规程

1. 无套利体检：计算 HJ 距离/界；若超阈，模型或数据窗需更正。
2. 溢价估计：选择因子集合，GLS 估 $\hat{\lambda }$，做 $\alpha$-检验；报告标准误与稳健性窗。
3. 泡沫识别：估 $P_t^{\ast }$ 或做价格—红利协整；记录残差与结构突变时点。
4. 风险预算：将 $\mathbb{E}[R-R_f]=\beta \lambda$ 与“影子价“联动（项目的 $\lambda$），统一“秤“。

度量指标

HJ 界满足度、$|\hat{\alpha }|$ 接近零、泡沫偏离统计显著性、风险预算合规率。

E-6｜AI：对齐—可解释—幻觉防御

对象与变量

• 基线策略 ${\pi }_0(a|s)$，偏好回报 $R(s,a)$，温度/正则 $\beta$。
• 可解释表征 $Z$，可选替代模型 $f:Z\mapsto Y$。
• 幻觉指标：校准误差（ECE/NLL）、OOD 分数、事实核验失败率。

法则化目标函数

$$\underset{\pi }{\max }\underset{\text{人效用}}{\underbrace{{\mathbb{E}}_{\pi }[R]}}-\frac{1}{\beta }\underset{\text{发散约束}}{\underbrace{\mathrm{KL}(\pi |{\pi }_0)}}-{\lambda }_{\text{hall}}\underbrace{\mathbb{E}}[1_{\text{OOD}}\cdot \mathrm{Conf}{]}_{\text{幻觉惩罚}}.$$

判据/定理

命题 1（软最优策略与 KL 界） 最优策略

$${\pi }^{\star }(a|s)=\frac{{\pi }_0(a|s)\exp (\beta Q(s,a))}{{\sum }_{a^{\prime }}{\pi }_0(a^{\prime }|s)\exp (\beta Q(s,a^{\prime }))},$$

且 $\beta \downarrow \Rightarrow \mathrm{KL}({\pi }^{\star }|{\pi }_0)\downarrow$，漂移受控。 证明要点：拉格朗日对偶；Mirror Descent 近似。

命题 2（可解释充分性与因果忠实） 若存在 $Z$ 使 $I(Z;Y)=I(X;Y)$ 且 $Y=f(Z)$ 在约束类（稀疏/单调）内，则替代模型在干预下保持输出（误差 $\le ϵ$）。 证明要点：数据处理不等式取等；背门调节保证因果忠实。

命题 3（幻觉阈与选择性生成） 令密度能量 $E(x)=-\log p_{\text{train}}(x)$。当 $E(x)\ge \tau$（OOD）或校准误差 $>ϵ$ 时，触发“拒答/降温/检索增强“，则期望幻觉率

$$\mathbb{E}[\text{Hall}]\le \mathrm{Pr}(E(x)\ge \tau )+ϵ.$$

证明要点：分解上界：OOD 触发概率 + 近域校准误差。

执行规程

1. 对齐：以人评得分为 $R$，按上式调 $\beta$；监控 $\mathrm{KL}(\pi |{\pi }_0)$ 与人评/越狱率。
2. 可解释：学习 $Z$ 与 $f$，做替身—干预双测（见 D-17），发布“可解释卡“。
3. 防幻觉：训练 OOD 侦测 $E(x)$，设阈 $\tau$；上线选择性生成（拒答/检索），并做事实核验抽检。
4. 镜断：对用户群体置换做镜差检验（C-3），必要时加对称正则。

度量指标

人评 $R\uparrow$、$\mathrm{KL}(\pi |{\pi }_0)$ 受控、ECE/NLL $\downarrow$、OOD 拒答正确率 $\uparrow$、事实核验失败率 $\downarrow$、镜差 $p$-值不过阈。