“时间“在 EBOC 中的表征与反演

——在静态块宇宙中刻画“序列“与“选择“，并由观察窗口的递归展开推出意识的自我线性化

Version: 1.3

摘要

在“无时间“的静态块宇宙（EBOC）中，一切事实以一次性存在的结构—测度对象给定；所谓“时间“应是从该对象内生可反演的次生刻度而非原始坐标。本文在 EBOC 的统一语义下给出一条严格路线：首先以窗口—共识范式将“序列“定义为统一选择子驱动的函数图上的双向无限路径（共识链），并凭借偏好聚合与良序消歧确保“唯一后继“；继而以“窗化迹 = 相位—密度刻度“之恒等（相位导数 = 相对态密度 = Wigner–Smith 群延迟迹）建立“时间读数“作为窗权密度积分并在 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin 的有限阶误差纪律下闭合；最后在 KL/Bregman 信息几何中，将观察窗口的递归展开刻画为 I-投影（最小 KL）序列，从而在对偶（期望）坐标中得到意识状态的自我线性化定理与反演参数。核心结论为：EBOC 中“叙事时间“的一维性可由“结构性选择 + 度量性读数“的合力内生地反演获得。

Notation & Axioms / Conventions

（刻度卡 I：三位一体） 绝对连续谱几乎处处成立的刻度同一式 $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)},\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E).$$ 其中 $S(E)$ 为散射矩阵，${\phi }^{\prime }(E)$ 为总散射相位导数，${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 为相对态密度；恒等一方面源自 Birman–Kreĭn 公式 $$\det S(E)=e^{2\pi i\xi (E)}\Rightarrow {\xi }^{\prime }(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{dE}\log \det S(E),$$ 另一方面源自 Wigner–Smith 时间延迟矩阵与 Kreĭn–Friedel关系 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。(arXiv)

（刻度卡 II：NPE 有限阶纪律） 一切窗化计算仅允许使用有限阶 Euler–Maclaurin（EM）与 Poisson 求和；误差严格拆解为 $$\epsilon ={\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$ 其中 Nyquist 采样（带限信号，采样率 $>2B$）下 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$；EM 余项由 Bernoulli 多项式与被积函数高阶导数受控；尾项受快速衰减与带限性控制。该纪律保证奇性不增与“极点=主尺度“。(维基百科)

窗与核. 设能量轴 ${\mathbb{R}}_E$ 上给定偶窗 $w_R\ge 0$ 与前端核 $h\ge 0$（带限、正则、且 ${\int }_{\mathbb{R}}h(E)dE=1$），卷积记为 $(h\star \rho )(E)$。

帧与带限. 多窗 Gabor/帧的 Parseval/Tight 构造与 Wexler–Raz 双正交为窗化重构与多通道协同提供稳定性与密度判据；临界采样受 Balian–Low 现象约束。(sites.math.duke.edu)

信息几何. 采用 Legendre 势 $\Lambda$ 与 Bregman/KL 构造：$\nabla \Lambda$ 给出期望坐标，I-投影为线性矩约束下的最小 KL；KKT 条件刻画唯一最优点并给出灵敏度。(vielbein.it)

1. “序列“与“选择“的无时间刻画

1.1 窗口图、因果兼容与可行路径

取窗口半径 $r$ 与允许片段集合 $\mathcal{C}$。构造 De Bruijn 型窗口图 $\Gamma$：顶点为长度 $2r$ 的局部片段，边为一格滑动；施加因果兼容（沿边推进不违反底层依赖预序）。于是，块上的可行序列 $X:\mathbb{Z}\to \mathcal{C}$ 与 $\Gamma$ 上双向路径一一对应。(espublisher.com)

1.2 统一选择子与函数图分解

对每个顶点聚合多主体偏好为加权极值，并以良序消歧，得统一选择子 $\mathrm{Sel}$ 与确定后继；由此得到函数图 ${\Gamma }_{\mathrm{Sel}}$（每点出度 $=1$）。任何有限出度为 1 的有向图皆分解为若干有向环及其入树；周期点形成环，其他为瞬态节点。本文将双向无限共识链定义为环上双向延拓的路径。(arXiv)

命题 1（函数图结构—有限片段情形）. 设允许片段集合 $\mathcal{C}$ 有限（等价地：字母表有限且窗口半径有限），则 ${\Gamma }_{\mathrm{Sel}}$ 的每个连通分量恰含一条有向环，其他顶点经有向树流入该环；环上存在双向无限路径，称共识链。一般无限情形下，每个连通分量至多含一条有向环。

证. 函数图是标准的 functional digraph；其分解性质见文献所述（环 + 入树）。(arXiv)

1.3 线性扩展与阈值稳定

对依赖预序 $⪯$，由 Szpilrajn 定理任何偏序可扩展为全序；在共识链像集上取该一致线性扩展作为序号坐标 $t\in \mathbb{Z}$。当权重与消歧存在最小间隙，唯一后继在小扰动下保持不变（阈值稳定）。(维基百科)

定义 1（序列与选择）. 选择：给定窗口状态 $v$，$\mathrm{Sel}(v)$ 选出唯一后继边； 序列：${\Gamma }_{\mathrm{Sel}}$ 上满足 $v_t\to v_{t+1}$ 的双向路径 $(v_t{)}_{t\in \mathbb{Z}}$。

2. “时间“的表征：相位—密度—窗化迹

2.1 相位导数 = 相对态密度 = 群延迟迹

在绝对连续谱上，Birman–Kreĭn 公式联结谱移函数 $\xi$ 与 $S(E)$： $$\det S(E)=e^{2\pi i\xi (E)}\Rightarrow {\xi }^{\prime }(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{dE}\log \det S(E).$$ 另一方面，Wigner–Smith 定义 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$，Kreĭn–Friedel关系给出 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。综上得到刻度卡 I 的同一式。(arXiv)

2.2 窗化读数与非渐近闭合

定义窗化迹读数 $$\mathrm{Obs}(R;\rho ):={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E)dE.$$ 离散实现服从NPE 三分解：别名项（Poisson 侧）、边界伯努利层（EM 侧）与尾项（带限衰减）。当采样满足 Nyquist，${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$；EM 余项受 Bernoulli 系数与高阶导数上界控制；尾项由带限与窗正则性控制，从而不引入新奇点。(dlmf.nist.gov)

定义 2（EBOC 时间读数泛函）. 给定窗族 $\{w_{R_k}\}$ 与核 $h$，定义 $$>\mathcal{T}[{\rho }_{\mathrm{rel}}]:=\sum _k{\int }_{\mathbb{R}}{w}_{R_k}(E)(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E)dE,>$$ 并以 NPE 有限阶误差给出一致上界；在 Nyquist 下别名项闭零。(维基百科)

3. “时间“的反演：由窗口数据恢复线性序

3.1 相位积分序号

令共识链 $C=\{v_t{\}}_{t\in \mathbb{Z}}$。在工作能带中定义 $$\tau (t):={\int }_{E_0}^{E(t)}{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE=\frac{1}{2\pi }{\int }_{E_0}^{E(t)}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE,$$ 其中 $E(t)$ 取自读数泛函的单调原像：设 $$F(E):=\sum _k{\int }_{-\infty }^E{w}_{R_k}(E^{\prime })(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E^{\prime })d{E}^{\prime }.$$ 在带限、Nyquist 采样及 $w_{R_k}\ge 0,h\ge 0$ 的条件下，$F$ 为有界变差并在工作能带上单调（当 $\xi$ 非减时严格单调），据此选取步长标定 $\Delta >0$，定义 $$E(t):=F^{-1}(t\Delta ).$$ 若工作能带上 $H-H_0\ge 0$（或更弱地，$\xi$ 非减），则 ${\rho }_{\mathrm{rel}}={\xi }^{\prime }(E)$ 为非负 a.e.，从而 $\tau$ 严格递增；一般情形下仅能保证 $\xi$ 有界变差，此时将“严格递增“改为“单调非降（在 ${\rho }_{\mathrm{rel}}>0$ 的能带上严格递增）“。(arXiv)

3.2 反演定理

定理 A（时间反演）. 在带限窗、Nyquist 采样与有限阶 EM 条件下，任一共识链 $C$ 的线性序可由 $\{\mathrm{Obs}(R_k;{\rho }_{\mathrm{rel}})\}$ 以一致误差上界反演为有界变差的相位坐标 $\tau$；若工作能带上 $\xi$ 非减（例如 $H-H_0\ge 0$ 的正扰动），则 $\tau$ 严格递增并与链上序号 $t$ 等价。

证要点. （i）由刻度卡 I 与 Kreĭn–Friedel关系，将窗化迹还原为 $\int {\rho }_{\mathrm{rel}}$；（ii）Nyquist 使别名闭零，EM 余项与尾项受控；（iii）$\xi$ 有界变差保证 $\tau$ 可定义；在 $\xi$ 非减的充分条件下，${\rho }_{\mathrm{rel}}\ge 0$ a.e. 与连续谱条件保证 $\tau$ 严格单调与可逆。(arXiv)

4. 观察窗口的递归展开 $\Rightarrow$ 意识的自我线性化

4.1 提交 = I-投影（最小 KL）

设内部状态以自然参数 $\theta$ 表示，势函数 $\Lambda$ 为 Legendre 型，期望坐标 $X=\nabla \Lambda (\theta )$。每步观测将目标矩 $F_n$ 更新为 $F_{n+1}$，提交/塌缩等价于 $${\theta }_{n+1}=\arg \underset{\theta }{\min }\{\mathrm{KL}(P_{\theta }\Vert P_{{\theta }_n})\text{s.t.}{\mathbb{E}}_{\theta }[T]=F_{n+1}\},$$ 即在线性约束上的 I-投影；存在唯一解并满足 KKT。Bregman–欧式的毕达哥拉斯性质给出投影的最优分解。([pages.stern.nyu.edu][10])

4.2 线性响应与准直线轨道

当窗口变化“温和“且 NPE 阶固定，则 $$X_{n+1}-X_n={\nabla }^2\Lambda ({\theta }_n)({\theta }_{n+1}-{\theta }_n)+o(\Vert {\theta }_{n+1}-{\theta }_n\Vert ),$$ KKT 与强凸性给出一阶线性响应；把迭代以 §3 的 $\tau$ 重参数化，可视作在期望坐标中沿某固定向量 $v_{\ast }$ 的近似等步推进。

定理 B（意识的自我线性化）. 设 $\Lambda$ 为本质光滑严格凸势；窗 $w_R$ 与核 $h$ 带限且满足 Wexler–Raz/Parseval 框架的稳定性；采样 Nyquist。则递归窗口驱动的提交态 $\{X_n\}$ 在期望坐标中存在严格递增的重参数化映射 $\sigma :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 与常向量 $v_{\ast }$，使对任一基准 $n$ 与一切整数 $m$ $$>\Vert X_{\sigma (n+m)}-X_{\sigma (n)}-m{v}_{\ast }\Vert \le C\cdot ({\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}+o(1)),>$$ 其中常数 $C$ 仅依赖窗/核与 $\Lambda$ 的条件数。据此，意识在自身对偶坐标中呈准线性主导轨道。

证要点. Wexler–Raz 与 Parseval/Tight 保证读数映射与重构稳定；KKT 与 Bregman 几何的毕达哥拉斯等式给出每步 I-投影的一阶线性化；NPE 限制确保噪声项全由有限阶余项主导。(sites.math.duke.edu)

5. “序列—选择—时间“的统一三位一体

• 从块到序列：统一选择子在函数图上生成共识链（双向无限路径），并借 Szpilrajn 赋予一致线性扩展；
• 从序列到时间：相位—密度—群延迟的刻度同一式使“时间读数“成为窗加权密度的积分；Nyquist–EM 保证非渐近闭合；
• 从时间到意识：递归窗口上的 I-投影使对偶坐标获得准线性主轴，$\tau$ 即该主轴的内生参数。

6. 阈值、奇性与实现要点

1. 阈值/共振：${\phi }^{\prime }$ 的零/奇点对应连续谱阈值与共振；窗化与有限阶 EM 不增奇性，保持“极点=主尺度“。([dlmf.nist.gov][11])
2. 帧与密度：多窗 Parseval/Tight 与 Wexler–Raz 双正交保证鲁棒重构；临界采样受 Balian–Low 限制，建议冗余采样区间。(sites.math.duke.edu)
3. 采样与别名：带限与 Nyquist 采样是关断别名的充分条件；在工程实现中可用调制—下采样策略实现能带内 Nyquist。(维基百科)

定理与命题附证（要点）

命题 1 已证（有限片段情形）。

定理 A 已述要点：以 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }$ 重建有界变差量 $\tau$；在 $\xi$ 非减的充分条件下保证严格单调；Nyquist–EM 控误差。(arXiv)

定理 B：I-投影唯一与可微依赖（KKT）$\Rightarrow$ 局部 Lipschitz 响应；Bregman 毕达哥拉斯给出“投影 + 残差“正交分解；Wexler–Raz/Parseval 稳定$\Rightarrow$ 读数扰动受控；NPE 余项封顶。([seas.ucla.edu][12])

结论

在 EBOC 的静态块视角下，“时间“不是原始轴，而是三步生成：（i）窗口—共识把选择凝聚为函数图的共识链；（ii）相位—密度使链获得可反演的时间刻度（窗化迹读数）；（iii）KL/Bregman使递归窗口的提交在对偶坐标中呈自我线性化。该路线完全锚定于可检判据：函数图与线性扩展、相位—密度同一与 NPE 有限阶误差学、Legendre–Bregman 与 KKT 最优化结构，从而将“叙事时间“的一维性还原为结构性选择 + 度量性读数的结果。

参考文献（选）

1. Wigner, E. P. “Lower limit for the energy derivative of the scattering phase shift,” Phys. Rev., 1955. ([link.aps.org][13])
2. Smith, F. “Lifetime matrix in collision theory,” Phys. Rev., 1960；及后续数学化讨论。([SpringerLink][14])
3. Birman, M. Sh.; Kreĭn, M. G. “On the theory of wave and scattering operators,” 1962；Yafaev, D. R. “The spectral shift function,” 2007。(arXiv)
4. Pushnitski, A. “An integer-valued version of the Birman–Krein formula,” 2010。([arXiv][15])
5. Texier, C. “Scattering theory and the Krein–Friedel relation,” 2015。(arXiv)
6. NIST DLMF：Euler–Maclaurin 与 Poisson 求和条目；及相关误差控制。([dlmf.nist.gov][11])
7. Daubechies, I.; Landau, H. J.; Landau, Z. “Gabor time–frequency lattices and the Wexler–Raz identity,” 1994；Balian–Low 相关综述。(sites.math.duke.edu)
8. Csiszár, I. “(I)-divergence geometry and minimization problems,” 1975；Amari & Nagaoka, Methods of Information Geometry, 2000；Boyd & Vandenberghe, Convex Optimization, 2004。([pages.stern.nyu.edu][10])
9. de Bruijn 图综述与应用；Szpilrajn 扩张定理及其现代化证明。(espublisher.com)

（全文完）

[10]: https://pages.stern.nyu.edu/~dbackus/BCZ/entropy/Csiszar_geometry_AP_75.pdf?utm_source=chatgpt.com “$I$-Divergence Geometry of Probability Distributions and …” [11]: https://dlmf.nist.gov/2.10?utm_source=chatgpt.com “DLMF: §2.10 Sums and Sequences ‣ Areas ‣ Chapter 2 …” [12]: https://www.seas.ucla.edu/~vandenbe/cvxbook/bv_cvxbook.pdf?utm_source=chatgpt.com “Convex Optimization” [13]: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.98.145?utm_source=chatgpt.com “Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase …” [14]: https://link.springer.com/article/10.1007/BF00417405?utm_source=chatgpt.com “On the Eisenbud-Wigner formula for time-delay” [15]: https://arxiv.org/pdf/1006.0639?utm_source=chatgpt.com “arXiv:1006.0639v1 [math.SP] 3 Jun 2010”