有限窗日志的停机判据：NPE 尾项熵通量、三位一体刻度与 WSIG–EBOC–RCA 统一框架

Version: 1.24

摘要

建立一套把“观察者是否停机（halting）“刻画为“有限窗重构误差的尾项熵通量可积性“的公理化理论。在 Toeplitz/Berezin 压缩、散射相位与 Wigner–Smith 群延迟的统一能标下，以三位一体刻度同一式 $\boxed{{\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)}$ 为母尺，定义窗化读数、信息增量密度与尾项熵通量；以 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）三分解的有限阶误差学为闭合纪律，提出“停机当且仅当尾项熵通量在刻度趋细时可积并趋零“的判据。主要结果：其一，在紧框架窗族与被动通道假设下的停机存在性定理；其二，以远区衰减与奇性不增为枢纽的可积性—非可积性分界；其三，固定资源约束下最小化尾项熵通量的最优窗变分原理与群延迟—带宽乘积上界；其四，在 EBOC 静态块与 RCA 可逆动力之间，给出“停机≡日志完备性边界“的语义同构与可逆计算的刻度化刻画。附录给出有限阶 Euler–Maclaurin 与 Poisson 的具体配方、Carleson—Landau 稳定采样准则的窗化版本，以及 Toeplitz/Berezin 压缩的范数—迹—谱控制不等式。

0. 记号与公理 / 约定

母刻度（Trinity）：在绝对连续谱几乎处处，定义散射相位导数、相对态密度与群延迟迹的同一刻度 $$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)},\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}{S}^{\prime }(E),S(E)\in U(N).$$ Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$，因此 $${\xi }^{\prime }(E)=-\frac{1}{2\pi i}\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime }(E))=-(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),$$ 从而 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\phi }^{\prime }(E)/\pi =-{\xi }^{\prime }(E)$。(arXiv)

对象与窗：Hilbert 空间 $\mathcal{H}$，观测三元 $(\mathcal{H},w,S)$。窗 $w$ 诱导 Toeplitz/Berezin 压缩核 $K_{w,h}$（步长/刻度 $h>0$），并诱导对谱测度的连续线性读数泛函。Toeplitz/Berezin 参考文献见 Engliš 与 Boutet de Monvel–Guillemin。(users.math.cas.cz)

窗剖面、能带与尾域：设工作带 $\Omega \subset \mathbb{R}$ 为固定有界能带；记可能的阈值（或其他不可去奇性）集合为 $\{E_{\mathrm{th},j}{\}}_j$。定义窗剖面 ${\Psi }_w:\mathbb{R}\to [0,\infty )$ 为由窗 $w$ 诱导的能量轴权函数（例如窗化投影的对角 ${\Psi }_w(E):=⟨{\delta }_E,{\mathsf{P}}_w{\delta }_E⟩$ 的归一化版本），仅要求 ${\Psi }_w$ 可测、非负且在远区具有给定的可积/次可积衰减。给定远区截断 $E_c:(0,h_{\star })\to (0,\infty )$（随刻度单调增，且 $E_c(h)\uparrow \infty$），并为每个阈值点引入奇性剥离半径 $r_j(h)\downarrow 0$。定义修正工作域 $${\Omega }_h^{\circ }:=\Omega \setminus \bigcup _j\{E:|E-E_{\mathrm{th},j}|\le r_j(h)\},$$ 以及尾域 $$\mathcal{T}(h):=\mathbb{R}\setminus {\Omega }_h^{\circ }=\{|E|>E_c(h)\}\cup \bigcup _j\{|E-E_{\mathrm{th},j}|\le r_j(h)\}.$$ 尾域 $\mathcal{T}(h)$ 同时捕捉远区高能贡献与阈值奇性邻域；随 $h\downarrow 0$，远区外推与奇性剥离同步收敛。§5.3 中的带内积分理解为对 $\Omega$ 的积分。

NPE 三分解（有限阶）：对任一可重构读数的离散—连续误差，采用 $$\epsilon (h)={\epsilon }_{\mathrm{alias}}(h)+{\epsilon }_{\mathrm{BL}}(h)+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}(h),$$ 其中 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 来自 Poisson 混叠、${\epsilon }_{\mathrm{BL}}$ 来自有限阶 Euler–Maclaurin 边界层、${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 为远区尾项。Euler–Maclaurin 与 Poisson 的精确配方取自 DLMF 与近期改进。(dlmf.nist.gov)

窗族与稳定性：窗族 $\{w_{\lambda }\}$ 为紧框架，存在 $0<A\le B<\infty$ 使所有工作带上读数稳定；通道被动（无源、幺正），$\mathsf{Q}(E)$ 为自伴。后文不假设 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 非负。框架稳定性与 Wexler–Raz 双正交关系、Landau 密度条件共同确保采样—重构稳定。(sites.math.duke.edu)

有限阶纪律：只使用有限阶 Euler–Maclaurin；在 Nyquist 条件下以 Poisson 去除带内混叠；“奇性不增/极点=主尺度”。

1. 窗化读数与熵学对象

1.1 窗化能谱读数

给定能量轴上的可测函数型读数 $f$，定义窗化总读数 $${\mathcal{R}}_{w,h}[f]:={\int }_{\mathbb{R}}f(E){\rho }_{w,h}(E)dE,{\rho }_{w,h}(E):=⟨{\delta }_E,K_{w,h}{\delta }_E⟩.$$ 在母刻度下，${\rho }_{w,h}$ 是 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 的局部化近似。

下文默认读数符号 $f$ 有界：$|f{|}_{L^{\infty }(\mathbb{R})}<\infty$。

1.2 信息增量与尾项熵通量

为避免仅归一化密度的限制，引入 Orlicz 型熵泛函（$L^1\log L$ 结构）：令 ${\rm Y}(t):=t\log (1+t)$，对非负可测函数 $g$ 定义 $$H^{♮}[g]:=\int {\rm Y}(g(E))dE.$$ 定义刻度二分细化 $h\mapsto h/2$ 的边际信息增量 $$\Delta I(h):=H^{♮}[|{\rho }_{w,h}|]-H^{♮}[|{\rho }_{w,2h}|],$$ 与尾项熵通量 $${\Phi }_{\mathrm{tail}}(h):=H^{♮}[g_h],g_h(E):=|f(E)||{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)|{\Psi }_w(E)1_{\mathcal{T}(h)}(E).$$ 由 de la Vallée Poussin 与 Vitali 判据，若 $|f{|}_{L^{\infty }}<\infty$ 且 ${\rho }_{\mathrm{rel}}{\Psi }_w$ 满足所述局部 $L^{1+\delta }$ 与远区可积，则 ${\Phi }_{\mathrm{tail}}(h)\underset{h\downarrow 0}{\to }0$，且族 $\{g_h\}$ 对 $E$ 变量一致可积；关于 $h$ 的 $L^1(0,h_{\star })$ 可积性不由此推出，并在 §3.1 中作为独立假设给出。(arXiv)

2. NPE 三分解的结构与控制

2.1 分解

对 ${\mathcal{R}}_{w,h}[f]-\mathcal{R}[f]$（$\mathcal{R}[f]:=\int f(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE$），写成 $${\epsilon }_{\mathrm{alias}}(h)+{\epsilon }_{\mathrm{BL}}(h)+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}(h).$$ 在 Nyquist 条件下，${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 由 Poisson 重排抑制；${\epsilon }_{\mathrm{BL}}$ 由有限阶 Euler–Maclaurin 给出边界层多项式—余项控制；${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 取决于远区 ${\rho }_{\mathrm{rel}}{\Psi }_w$ 的衰减与奇性。(dlmf.nist.gov)

2.2 尾项的 Orlicz 控制

在尾域 $\mathcal{T}(h)$ 上，有 ${\Phi }_{\mathrm{tail}}(h)=H^{♮}[g_h]$。若 ${\rho }_{\mathrm{rel}}{\Psi }_w\in L_{\mathrm{loc}}^{1+\delta }$（奇点集外）且远区满足 $L^{1+\delta }$ 衰减，则 ${\Phi }_{\mathrm{tail}}(h)\to 0$（DVP–Vitali 给出对 $E$ 的一致可积与极限交换）。关于 $h$ 的 $L^1(0,h_{\star })$ 可积性需另加 §3.1 的假设。(arXiv)

3. 停机判据与等价性

3.1 定义（Frame Halting）

存在 $h_{\star }>0$ 使对 $0<h<h_{\star }$ 成立 $$\boxed{\underset{h\to 0}{\lim }{\Phi }_{\mathrm{tail}}(h)=0,{\Phi }_{\mathrm{tail}}\in L^1(0,h_{\star }),\underset{h\to 0}{\lim }\Delta I(h)=0},$$ 且 Nyquist 稳定（框架常数与带宽约束保证 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 有界）。则称在 $h_{\star }$ 前停机。

3.2 等价定理

定理 3.1（停机—可积性等价） 在 0 节公理及 2 节结构下， $$\text{停机}⟺{\Phi }_{\mathrm{tail}}\in L^1(0,h_{\star })\text{且}\underset{h\to 0}{\lim }{\Phi }_{\mathrm{tail}}(h)=0.$$

证明梗概：利用 Orlicz 函数 ${\rm Y}(t)=t\log (1+t)$ 的超线性增长，$\Delta I(h)$ 的极限由均匀可积控制而与尾项等价；Poisson 与有限阶 EM 使非尾项贡献在 $h\downarrow 0$ 时可统一上界；反向方向改用 Orlicz–Bregman 发散 $D_{{\rm Y}}(u\Vert v)={\rm Y}(u)-{\rm Y}(v)-{{\rm Y}}^{\prime }(v)(u-v)$ 的模凸性（半径依赖的强凸）。为与 $\Delta I(h)$ 对应，令 $$u(E):=|{\rho }_{w,h}(E)|,v(E):=|{\rho }_{w,2h}(E)|,$$ 并约定下述 $D_{{\rm Y}}(u\Vert v)$ 与集合分解均在尾域 $\mathcal{T}(h)$ 上评估。由 ${\rm Y}(t)=t\log (1+t)$ 得 $${{\rm Y}}^{\prime \prime }(t)=\frac{d^2}{d{t}^2}(t\log (1+t))=\frac{1}{1+t}+\frac{1}{(1+t{)}^2}\ge \frac{1}{1+t},$$ 故 $$\begin{array}{rl}{D}_{{\rm Y}}(u\Vert v)& ={\int }_{\mathcal{T}(h)}\left[{\int }_0^1(1-\theta ){{\rm Y}}^{\prime \prime }(v+\theta (u-v))(u-v{)}^{2}d\theta \right]dE\\ & \ge \frac{1}{2}{\int }_{\mathcal{T}(h)}\frac{(u-v{)}^2}{1+u+v}dE.\end{array}$$ 该式给出 Orlicz–Bregman 发散的全程模凸性下界（半径依赖）。再把 $\mathcal{T}(h)$ 分解为 $\{u+v\le R\}\cup \{u+v>R\}$： $$D_{{\rm Y}}\ge \frac{1}{2(1+R)}|u-v{|}_{L^2(\{u+v\le R\})}^2+\frac{1}{2}{\int }_{\{u+v>R\}}\frac{(u-v{)}^2}{1+u+v}dE.$$ 随 $h\downarrow 0$，尾域收缩与 ${\Phi }_{\mathrm{tail}}\in L^1(0,h_{\star })$ 带来的 Orlicz 一致可积共同推出 $\Delta I(h)\to 0$。(people.lids.mit.edu)

3.3 完备追求与不停机

推论 3.2 若对任意小 $h$ 有 $\Delta I(h)\nrightarrow 0$，则 ${\Phi }_{\mathrm{tail}}$ 不可积或不趋零，称不停机。于是“追求完备 $\iff$ 尾项熵通量持续外渗 $\iff$ 不停机“。

4. 存在性与非存在性：远区衰减的分界

4.1 停机存在性

定理 4.1（存在性） 设窗族为紧框架、通道被动，且存在 $\delta >0,E_0>0$ 使 $${\rho }_{\mathrm{rel}}\in L^{1+\delta }(|E|>E_0),{\Psi }_w\in L^{1+\delta }(\mathbb{R}),|{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)|{\Psi }_w(E)\in L^1(|E|>E_0),$$ 并且读数符号 $f\in L^{\infty }(\mathbb{R})$。则存在 $h_{\star }$ 使得停机成立。

证明要点：由 $|f{|}_{\infty }$ 与 $|{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)|{\Psi }_w(E)\in L^1$ 得尾积分有界；再用 $L^{1+\delta }$ 与 de la Vallée Poussin–Vitali 给出均匀可积与趋零；有限阶 EM 与 Nyquist（见 7 节之 Landau 下界）消除别项。(archive.ymsc.tsinghua.edu.cn)

4.2 非停机的充分条件

定理 4.2（非存在性） 在 §0–§2 的公理与结构下，若存在常数 $c_0>0$ 与 $h_1\in (0,h_{\star })$ 使得对所有 $0<h<h_1$，尾域 $\mathcal{T}(h)$ 中存在正测度子集且 $|f(E)|\ge c_0$，则下述任一条件成立时有 ${\Phi }_{\mathrm{tail}}\notin L^1(0,h_{\star })$，因而不停机：

(a) 远区幂律：$|{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)|{\Psi }_w(E)\sim C|E{|}^{-\beta }$（$|E|\to \infty$），且 $\beta \le \frac{1}{2}$。

(b) 阈值奇性：存在阈值点 $E_{\mathrm{th}}$，$|{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)|{\Psi }_w(E)\sim C|E-E_{\mathrm{th}}{|}^{-\gamma }$（$E\to E_{\mathrm{th}}$），且 $\gamma \ge 1$。

说明：远区属小 $t$ 区域，${\rm Y}(t)\sim t^2$ 给出 ${\int }_{|E|>E_c}|E{|}^{-2\beta }$ 的临界 $\beta =\frac{1}{2}$；阈值属大 $t$ 区域，${\rm Y}(t)\sim t\log t$ 给出 ${\int }_{|x|\le r}{x}^{-\gamma }\log \frac{1}{x}$ 的临界 $\gamma =1$。

5. 变分原理与最优窗

5.1 资源约束与时频条件数

设带宽 $\mathsf{BW}$、窗长 $T$、步长 $h$ 给定，窗族框架常数为 $A,B_{\mathrm{fr}}$（与带宽符号区分），定义有效时频条件数 $${\kappa }_{\mathrm{tf}}:=\frac{B_{\mathrm{fr}}}{A}.$$

5.2 目标泛函与欧拉方程

在可行集（框架与能量预算约束）上最小化 $$\mathcal{J}[w]:={\int }_0^{h_{\star }}{\Phi }_{\mathrm{tail}}(h;w)d\mu (h),$$ $\mu$ 为刻度权。变分所得欧拉—拉格朗日方程表明最优对偶窗 $w^{\ast }$ 逼近最小不确定性形状并趋向紧框架极限（Gabor/Wexler–Raz 同步化）。(sites.math.duke.edu)

5.3 群延迟—带宽乘积上界

定理 5.1 在带限或弱色散区，存在常数 $C_{\mathrm{uni}}$（仅依赖窗族正则性与被动性）使 $$|{\mathcal{R}}_{w,h}[1]|=\left|\mathrm{tr}{K}_{w,h}\right|\le C_{\mathrm{uni}}{\kappa }_{\mathrm{tf}}{\int }_{\Omega }{\Psi }_w(E)|\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)|dE.$$

证明要点：令 $d{\mu }_{\mathsf{A}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}dE$。由 Toeplitz/Berezin 符号—算子比较与迹理想估计得 $$|\mathrm{tr}{K}_{w,h}|\lesssim {\int }_{\Omega }{\Psi }_w(E)d|{\mu }_{\mathsf{A}}|(E),$$ 再以框架上下界折算为 ${\kappa }_{\mathrm{tf}}$ 因子，得所示不等式。(美国数学会)

6. EBOC 本体与 RCA 语义对位

6.1 静态块视角

EBOC 把宇宙视为静态块；窗口 $w$ 把“观测—计算“统一为算子—测度—函数三元。停机意指在母刻度上边际信息密度消失，尾项熵通量可积并趋零。

6.2 可逆元胞自动机（RCA）日志

在一维 RCA 的空间—时间图中，以群延迟诱导前沿速度刻度；经编码映射得到离散相对态密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}^{\mathrm{RCA}}$。窗化日志的 NPE 同构成立：若语言远区呈非可积尾（${\rho }_{\mathrm{rel}}^{\mathrm{RCA}}{\Psi }_w\notin L^1$），则不停机；若满足 4.1 的可积衰减，则存在停机刻度 $h_{\star }$。

7. 稳定采样与可重构性

7.1 Landau 密度与 Nyquist 条件

在 Paley–Wiener 与其窗化变体上，Landau 给出采样—插值的必要密度下界；近年的推广适用于更广泛的谱子空间与椭圆算子谱子空间。窗化场景中，密度下界与框架常数共同给出 Nyquist 可达条件，使 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 在 NPE 中可控，尾项成为停机的主判别因子。(archive.ymsc.tsinghua.edu.cn)

7.2 Carleson—de Branges 视角

在 de Branges 空间与相关权下，采样—插值的 Carleson 类型准则在“相位导数可控/加倍“的假设下成立，从而为窗化稳定性提供泛函解析支架。(SpringerLink)

8. 操作化分界与例示

8.1 远区幂律

远区幂律（在规范读数 $f\equiv 1$，或更一般地 $f$ 在远区不消失的情形）。若 $|{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)|{\Psi }_w(E)\sim C|E{|}^{-\beta }$（$|E|\to \infty$），则：

• $\beta >\frac{1}{2}$：${\Phi }_{\mathrm{tail}}$ 可积，存在 $h_{\star }$ 停机；
• $\beta =\frac{1}{2}$：临界慢衰减，不停机（在上述前提下，${\int }_{|E|>E_c}|E{|}^{-1}dE$ 对任意 $E_c$ 发散，${\Phi }_{\mathrm{tail}}\notin L^1$）；
• $\beta <\frac{1}{2}$：不停机。

8.2 阈值奇性

阈值奇性 设某阈值 $E_{\mathrm{th}}$ 处 $|{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)|{\Psi }_w(E)\sim C|E-E_{\mathrm{th}}{|}^{-\gamma }$，且存在 $c_0,\delta >0$ 使 $|f(E)|\ge c_0$ 于 $|E-E_{\mathrm{th}}|\le \delta$。则：

• $\gamma <1$：${\Phi }_{\mathrm{tail}}$ 在阈值剥离 $r(h)\downarrow 0$ 下有限且趋零，存在 $h_{\star }$ 使停机；
• $\gamma =1$：临界慢奇性，${\Phi }_{\mathrm{tail}}(h)=\infty$（任意 $h$），不停机；
• $\gamma >1$：${\Phi }_{\mathrm{tail}}(h)=\infty$，不停机。

说明：若 $f$ 在阈值邻域消失，则上述“发散/不停机“结论不必成立，需改用 §4.2 的条件判断。与 §8.1 的远区分界 $\beta =\frac{1}{2}$ 互为“小 $t$/大 $t$“两种不同渐近。

9. 主定理与证明要点

• 定理 3.1：停机 $\iff$ 尾项熵通量可积且趋零（de la Vallée Poussin 均匀可积判据 + Orlicz–Bregman 发散的模凸性（半径依赖的强凸））。(arXiv)
• 定理 4.1：$L^{1+\delta }$ 衰减与紧框架—被动性给出停机存在性（Hölder—Young + NPE 有限阶闭合 + Nyquist）。(archive.ymsc.tsinghua.edu.cn)
• 定理 4.2：远区幂律 $\beta \le \frac{1}{2}$ 或阈值奇性 $\gamma \ge 1$，且读数在尾域不消失 $\Rightarrow$ 不停机（${\Phi }_{\mathrm{tail}}$ 不可积/发散）。
• 定理 5.1：群延迟—带宽乘积上界（Toeplitz/Berezin 迹—范数控制 + 迹理想 + 母刻度）。(美国数学会)
• RCA 命题：离散刻度下语言远区不可积 $\Rightarrow$ 不停机；可积 $\Rightarrow$ 存在停机刻度。

10. 讨论：规范不变的时间尺与资源密度

三位一体刻度把“时间—能量—信息“同一为 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$。时间尺由群延迟迹的积分给出，具有规范不变性；停机对应该母尺上边际信息密度的消失，而不停机对应对非可积尾的持续“开采“。由此，“追求完备 = 追求不停机“获得可检验的数理化定义。

附录 A：有限阶 Euler–Maclaurin 与 Poisson 配方

对充分光滑 $g$，有限阶 EM（至 $2m$ 阶）给出 $$\sum _{n=a}^{b}g(n)={\int }_a^{b}g(x)dx+\frac{g(a)+g(b)}{2}+\sum _{k=1}^m\frac{B_{2k}}{(2k)!}(g^{(2k-1)}(b)-g^{(2k-1)}(a))+R_{2m},$$ 余项 $R_{2m}$ 由 $g^{(2m)}$ 的有界变差控制；Poisson 重排在 Nyquist 条件下消除带内混叠，二者合用形成有限阶闭合与奇性不增纪律。(dlmf.nist.gov)

附录 B：Landau 密度与窗化版本

Paley–Wiener 场景的采样/插值必要密度由 Landau 给出；Gröchenig 等对椭圆谱子空间给出近期推广。窗化情形下，下界常数与框架常数耦合，统一控制 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 并突显 ${\Phi }_{\mathrm{tail}}$ 的主导地位。(archive.ymsc.tsinghua.edu.cn)

附录 C：Toeplitz/Berezin 压缩与迹—范数—谱控制

令 ${\mu }_{\mathsf{A}}$ 为有符号测度：$d{\mu }_{\mathsf{A}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE$，其总变差为 $|{\mu }_{\mathsf{A}}|$。若 $K_{w,h}={\mathsf{P}}_w\mathsf{A}{\mathsf{P}}_w$（${\mathsf{P}}_w$ 为窗化投影，$\mathsf{A}$ 为观测算子），则 $$|\mathrm{tr}{K}_{w,h}|\lesssim \int {\Psi }_w(E)d|{\mu }_{\mathsf{A}}|(E),|K_{w,h}{|}_{{\mathfrak{S}}_p}\lesssim |{\Psi }_w{|}_{L^p(d|{\mu }_{\mathsf{A}}|)},$$ 可由迹理想与 Berezin–Toeplitz 符号—算子比较给出。(美国数学会)

附录 D：Trinity 与相对态密度、群延迟、相位

Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与 Wigner–Smith 矩阵 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 蕴含 $${\xi }^{\prime }(E)=-\frac{1}{2\pi i}\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime }(E))=-(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),$$ 因而 $${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }=-{\xi }^{\prime }(E).$$ 由此确立本文母刻度的三位一体同一式。(arXiv)

参考文献（选）

1 E. P. Wigner, “Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift,” Phys. Rev. 98 (1955). (物理评论链接管理器) 2 F. T. Smith, “Lifetime Matrix in Collision Theory,” Phys. Rev. 118 (1960). (chaosbook.org) 3 M. G. Kreĭn; M. Sh. Birman, Birman–Kreĭn 公式与谱移函数，综述见 A. Pushnitski, arXiv:1006.0639 (2010). (arXiv) 4 D. Borthwick & Y. Wang, “Birman–Kreĭn formula and scattering phase,” arXiv:2110.06370 (2022). (arXiv) 5 H. J. Landau, “Necessary density conditions for sampling and interpolation…,” Acta Math. 117 (1967)；及 K. Gröchenig 等近年推广，APDE 17 (2024). (archive.ymsc.tsinghua.edu.cn) 6 O. Christensen, An Introduction to Frames and Riesz Bases, 2nd ed.（框架理论与 Wexler–Raz）。(dlib.scu.ac.ir) 7 I. Daubechies et al., “Gabor Time–Frequency Lattices and the Wexler–Raz Identity,” JFAA (1995). (sites.math.duke.edu) 8 M. Engliš, “An excursion into Berezin–Toeplitz quantization…,” 2011；L. Boutet de Monvel & V. Guillemin, The Spectral Theory of Toeplitz Operators, 1981。(users.math.cas.cz) 9 NIST DLMF, §2.10 Euler–Maclaurin 及相关条目；并见 Trefethen 等关于梯形规则与 EM 统一误差。(dlmf.nist.gov) 10 B. Simon, Trace Ideals and Their Applications, 2nd ed., AMS (2005). (美国数学会) 11 de la Vallée Poussin 均匀可积判据及其现代表述（Vitali/Orlicz–$L^1\log L$ 观点）。(arXiv) 12 Pinsker/Csizsár–Kullback 不等式及其推广，用以把熵差联结到总变差控制。(people.lids.mit.edu)

（文内未尽之标准事实均可由上述文献与相应教材处查证。）