观察者—状态离散流形的 Zeckendorf 坐标化：与 WSIG–EBOC–RCA 的公理化耦合、有限阶 Euler–Maclaurin 误差学与窗化迹稳定性

Version: 2.13

摘要

构造一套将“观察者状态“索引空间公理化为离散流形的理论，并以 Zeckendorf 唯一分解提供其对数—稀疏坐标图；再以一般线性递推族与 $\beta$-展开形成多图册与可逆坐标过渡。本文在 WSIG–EBOC–RCA 统一框架下前置“Notation & Axioms / Conventions“，以刻度同一式 ${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 为母尺，将“窗口/读数/测量“统一为算子—测度—函数分析对象。在“带限+Nyquist+有限阶 Euler–Maclaurin(EM)+Poisson“纪律下，我们建立：其一，离散流形 $\mathcal{O}$ 的 Zeckendorf 坐标图 ${\Phi }_{\mathrm{Z}}$ 的唯一性、最简性与对数尺度雅可比；其二，多图册过渡的“奇性不增“与“极点=主尺度“；其三，窗化 Toeplitz/Berezin 压缩 $T_{a,w,R}$ 的对数行列式泛函 ${\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )$ 对符号与窗口的变分、凹性与强稳定界，且对“位层扰动“呈指数级可积；其四，与 WSIG 三位一体测度坐标一致的换元不变性与非渐近误差闭合。全文为纯理论、公理化文本；有限阶 EM 与 Poisson 的计算模板作为正文内可直接调用的“卡片“给出。

Notation & Axioms / Conventions

1. 母尺与三位一体。 在绝对连续谱 a.e. 点上给定散射矩阵 $S(E)\in U(N)$、Wigner–Smith 延迟矩阵 $\mathsf{Q}(E):=-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E)$、半行列式相位 $\phi (E):=\frac{1}{2}\mathrm{Arg}\det S(E)$、相对态密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。统一刻度定为 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。

2. 窗口—读数—算子。 任意读数记作对谱测度的线性泛函 $\mathcal{R}[f]=\int f\mathrm{d}{\mu }_{\mathrm{rel}}$。窗化压缩以 Toeplitz/Berezin 记号 $T_{a,w,R}$ 或核 $K_{w,R}$ 表示，其中 $a$ 为符号、$w$ 为窗、$R$ 为截断/尺度参数；默认 $w$ 属于带限类或指数衰减类，使得 $T_{a,w,R}$ 至少为 Hilbert–Schmidt，且在适当条件下为迹类。

3. 有限阶误差学。 全文只使用有限阶 EM 与 Poisson：任何由位层或准格点诱导的和/迹均分解为“Nyquist 主项 + 有限阶 Bernoulli 边界层 + 带外尾项“，并满足“奇性不增/极点=主尺度“的闭合纪律。

4. 观察者—状态离散流形。 将观察者状态空间 $\mathcal{O}$ 视为由有限步可逆变换生成的局部有限图 $G(\mathcal{O},\mathcal{E})$，度量 $d_{\mathcal{O}}$ 取最短合法步数或带权步长。

5. 位层与 Zeckendorf 约束。 黄金比 $\varphi =(1+\sqrt{5})/2$、斐波那契 $F_1=1,F_2=1,F_{k+1}=F_k+F_{k-1}$。位层二元串 $\epsilon =({\epsilon }_k{)}_{k\ge 2}\in \{0,1{\}}^{{\mathbb{N}}_{\ge 2}}$ 受无相邻约束 ${\epsilon }_k{\epsilon }_{k+1}=0$。

6. 行内数学。 一切数学表达式均以 $\cdots$ 行内呈现。

7. 谱半径/尺度常数与 ${\rho }_{\ast }$（统一约定）。 对每个图册 ${\Phi }^{(\alpha )}$：若来自线性递推 $G_{k+1}=a{G}_k+b{G}_{k-1}$（$a,b\in \mathbb{N}$），令 ${\rho }_{\alpha }>1$ 为其特征多项式的主特征根；若来自 $\beta$-展开，则取 ${\rho }_{\alpha }:=\beta >1$。统一约定：在任一陈述中，记 ${\rho }_{\ast }:={\min }_{\alpha \in \mathcal{I}}{\rho }_{\alpha }$，其中 $\mathcal{I}$ 为该陈述实际涉及的图册集合；若仅涉及单一图册 $\alpha$，则 ${\rho }_{\ast }={\rho }_{\alpha }$；在纯 Zeckendorf 图册语境下取 ${\rho }_{\ast }={\rho }_{\mathrm{Z}}=\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。此约定用于文中一切尾界写作（例如 §1.4、§2.2、§4.3、§5.1 的 $O({\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }})$）。

8. 主尺度深度与 $K_{\ast }$（统一约定）。 对任一图册 ${\Phi }^{(\alpha )}$，记其位层占位比特为 ${\epsilon }_k^{(\alpha )}(\omega ):=1\{d_k^{(\alpha )}(\omega )\ne 0\}$（见 §3.1 记号补充）。在给定窗 $w$ 与测试/符号 $f$ 的上下文中，定义 $K_{\alpha }:=\max \{k:\exists \omega \in \mathcal{O}\text{使}{\epsilon }_k^{(\alpha )}(\omega )=1\text{且}w,f\text{在层}k\text{上有支撑}\}$。若一条陈述仅涉及单一图册 $\alpha$，则令 $K:=K_{\alpha }$；若涉及多图册（如过渡 ${\Psi }_{\alpha \to \beta }$），则统一取 $K_{\ast }:=\min \{K_{\alpha },K_{\beta },\dots \}$，即在该陈述实际涉及的图册集合上取最坏（最小）主尺度深度。所有出现的尾界均写作 $O({\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }})$，其中 ${\rho }_{\ast }$ 依第 7 条统一约定。此约定确保 §2.2、§3.3、§5.1 等处的误差界在单/多图册语境下语义一致且可直接检核。

1. 离散流形与 Zeckendorf 坐标

1.1 定义（离散流形）

令 $\mathcal{O}$ 为可数集，记 $G(\mathcal{O},\mathcal{E})$ 为由有限步可逆生成元构成的邻接图，$d_{\mathcal{O}}$ 为最短合法步数度量或其带权变体。对任意 $\omega \in \mathcal{O}$，允许定义局域“位层视图“以捕获其在多尺度上的可达性。

1.2 定义（Zeckendorf 坐标图）

称映射 ${\Phi }_{\mathrm{Z}}:\mathcal{O}\to \{0,1{\}}^{{\mathbb{N}}_{\ge 2}}$ 为 Zeckendorf 坐标，若在某种与 $\mathbb{N}$ 的保结构识别下有 $X(\omega )={\sum }_{k\ge 2}{\epsilon }_k(\omega )F_k$ 且 ${\epsilon }_k{\epsilon }_{k+1}=0$。$X$ 可理解为对数尺度上的稀疏“位层能级“。

1.3 定理（唯一性与最简形）

对任意 $n\in \mathbb{N}$，存在唯一二元串 $({\epsilon }_k{)}_{k\ge 2}$ 使 $n={\sum }_k{\epsilon }_k{F}_k$ 且 ${\epsilon }_k{\epsilon }_{k+1}=0$。因此在相应识别下 ${\Phi }_{\mathrm{Z}}$ 为规范坐标图。

证明。 由贪婪算法与无相邻约束给出存在性与唯一性；最简无进位形由斐波那契相邻关系排除冗余表示。■

1.4 引理（对数—稀疏雅可比与读数一致化）

设 $J_{\mathrm{Z}}(\omega )=C_{\mathrm{Z}}{\varphi }^{-{\sum }_{k}k{\epsilon }_k(\omega )}$。假设：

(H1) 窗 $w$ 属带限或指数衰减类，且 $w(E)=0$ 于工作域外；测试函数 $f\in C^m$（$m\ge 2$）并支撑于工作域；

(H2) $E:\mathcal{O}\to \mathbb{R}$ 关于位层切换满足两侧 Lipschitz 递减律：存在常数 $0<C_1\le C_2<\infty$ 使对任意层 $k$ 与合法切换 $\omega \mapsto {\omega }^{(k)}$ 有 $C_1{\rho }_{\mathrm{Z}}^{-k}\le |E(\omega )-E({\omega }^{(k)})|\le C_2{\rho }_{\mathrm{Z}}^{-k}$，并且另作假设：层间相互作用具有有限半径（该性质不由无相邻约束推出，而作为模型假定引入）；

(H3) Nyquist 条件：按最深主尺度 $K_{\ast }$ 取样时，Poisson 带外能量落入窗的衰减区间。

则取 $C_{\mathrm{Z}}$ 使 ${\sum }_{\omega }{J}_{\mathrm{Z}}(\omega )w(\omega )=\int w(E)\mathrm{d}{\mu }_{\mathrm{rel}}(E)$ 后，成立 ${\sum }_{\omega \in \mathcal{O}}{J}_{\mathrm{Z}}(\omega )w(\omega )f(E(\omega ))=\int f(E)w(E)\mathrm{d}{\mu }_{\mathrm{rel}}(E)+O\left({\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }}\right)$，其中常数 $\eta >0$ 仅依赖于 $m$、窗参数与 (H2) 的常数。证明基于有限阶 Euler–Maclaurin 与 Poisson 三分解，并由 (H2) 把层切换的增量等价到对数尺度。■

2. 有限阶 EM–Poisson 三分解（位层型）

2.1 设定

令 $f$ 为位层可分函数 $f(\omega )={\sum }_k{f}_k({\epsilon }_k,k)$，窗 $w$ 属带限或指数类，使 ${\sum }_{\omega }w(\omega )|f(\omega )|$ 绝对可和。记最深主尺度为 $K:=\max \{k:\exists {\epsilon }_k(\omega )=1\text{且}w,f\text{在}k\text{上有支撑}\}$。

(D${}_m$) 离散正则性（至阶 $m$）：对每个 $\epsilon \in \{0,1\}$ 与 $\ell =0,1,\dots ,m$，记前向差分算子 ${\Delta }_{k}g(k):=g(k+1)-g(k)$、${\Delta }_k^{\ell }:={\Delta }_k\circ \cdots \circ {\Delta }_k$（$\ell$ 次）。要求 ${\sup }_{\epsilon }{\sum }_{k\ge 2}|{\Delta }_k^{\ell }{f}_k(\epsilon ,k)|<\infty$。若 $w$ 显式依赖位层，则同样要求 ${\sup }_{\epsilon }{\sum }_{k\ge 2}|{\Delta }_k^{\ell }{w}_k(\epsilon ,k)|<\infty$；若 $w$ 不显式依赖位层（即 $w_k$ 与 $k$ 无关），则省略对 $w$ 的差分正则性约束，并在涉及差分算子的公式中仅对 $\ell \ge 1$ 约定 ${\Delta }_k^{\ell }{w}_k\equiv 0$（$\ell =0$ 为恒等，不作 0 约定）。记 $|f{|}_{D_m}:={\max }_{0\le \ell \le m}{\sup }_{\epsilon }{\sum }_{k\ge 2}|{\Delta }_k^{\ell }{f}_k(\epsilon ,k)|$。当 $w$ 与位层无关时约定 $|w{|}_{D_m}:=0$（不参与常数估计）。

2.2 定理（三分解与指数尾界）

在 2.1 的设定并满足 (D${}_m$) 下，对任意有限阶 $m\in \mathbb{N}$ 有 $$\sum _{\omega \in \mathcal{O}}w(\omega )f(\omega )=\text{Nyquist 主项}+\sum _{j=1}^m{\text{Bernoulli 修正}}_j+\text{Poisson 带外尾}$$ 且存在常数 $C_m,\eta >0$ 使误差项满足 $O({\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }})$，其中 $K_{\ast }$ 按“Notation 8“定义（单图册情形下 $K_{\ast }=K$）。此处 $C_m=C_m(|f{|}_{D_m},|w{|}_{D_m},m,\text{窗带限/指数参数})$，与图规模无关。

证明要点。 以位层 $k$ 为准连续变量对层内平滑项施行 EM 展开；无相邻约束将耦合限制为局域二体项；Poisson 校正抑制 alias；窗带限/指数衰减给出尾项指数界，获得 $O({\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }})$。证明同前，但 EM 余项与边界层常数由 (D${}_m$) 的差分范数控制。■

2.3 术语（极点=主尺度；奇性不增）

称由主尺度 $k\le K$ 诱导的非可去奇性为“极点“，其阶由 Nyquist 主项的不可消除项确定。在坐标过渡或局域变形下，极点阶不增加，记为“奇性不增“。

3. 多图册与坐标过渡

3.1 定义（递推族与 $\beta$-展开图）

取线性递推 $G_{k+1}=a{G}_k+b{G}_{k-1}$（$a,b\in \mathbb{N}$）或 $\beta >1$ 的贪婪展开，定义图册映射 ${\Phi }^{(\alpha )}:\mathcal{O}\to {\mathcal{D}}_{\alpha }^{\mathbb{N}}$，其中数字集 ${\mathcal{D}}_{\alpha }\subset {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 为有限集合：对 $\beta >1$ 的贪婪展开，取数字集 ${\mathcal{D}}_{\alpha }=\{0,1,\dots ,\lceil \beta \rceil -1\}$，当 $\beta \notin \mathbb{N}$ 时等于 $\{0,1,\dots ,\lfloor \beta \rfloor \}$（且当 $1<\beta \le 2$ 时退化为 $\{0,1\}$），当 $\beta \in \mathbb{N}$ 时为 $\{0,1,\dots ,\beta -1\}$；对递推族可取与其规范展开相容的有限数字集。约束可为无相邻或有限相邻型，并随图册给定。记图册 $\mathfrak{A}=\{{\Phi }^{(\alpha )}{\}}_{\alpha }$。

记号补充。 记 $d_k^{(\alpha )}(\omega )\in {\mathcal{D}}_{\alpha }$ 为第 $k$ 层数字，定义占位比特 ${\epsilon }_k^{(\alpha )}(\omega ):=1\{d_k^{(\alpha )}(\omega )\ne 0\}$。除非另述，所有与雅可比/位层权重相关的公式均以 ${\epsilon }^{(\alpha )}$ 表示。

3.2 定义（过渡映射）

若 ${\Phi }^{(\alpha )}$、${\Phi }^{(\beta )}$ 在子域 $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ 同时有效，定义 ${\Psi }_{\alpha \to \beta }={\Phi }^{(\beta )}\circ ({\Phi }^{(\alpha )}{)}^{-1}$。

3.3 定理（在有限半径过渡下的 EM 控制与奇性不增）

(H${}_{\mathrm{tr}}$)：存在 $L\in \mathbb{N}$ 使过渡 ${\Psi }_{\alpha \to \beta }$ 可由记忆长度 $\le L$ 的有限状态进/借位换元器实现（等价地，借/进位传播半径有全局上界）。

在带限/指数窗及有限阶 EM+Poisson 纪律与 (H${}_{\mathrm{tr}}$) 下，记 ${\mathcal{R}}^{(\gamma )}[f]:={\sum }_{\omega \in \mathcal{O}}{J}_{\gamma }(\omega )w(\omega )f(E(\omega ))$（$\gamma \in \{\alpha ,\beta \}$，定义与 §5.1 一致）。则过渡 ${\Psi }_{\alpha \to \beta }$ 对计数/迹泛函的影响满足 $|{\mathcal{R}}^{(\beta )}[f]-{\mathcal{R}}^{(\alpha )}[f]|\le C_{\alpha ,\beta ,m,L}{\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }}$，且若源图主尺度仅出现有限极点，则过渡后不新增主极点，极点阶保持不增。

证明要点。 由 (H${}_{\mathrm{tr}}$) 将过渡等价为半径 $\le L$ 的进/借位卷积；EM 吸收局域扭曲为有限个边界层修正；Poisson 抑制别名；主尺度不可去奇性在有限耦合下保持，且常数对 $L$ 与图册谱半径仅呈多项式依赖。■

4. 窗化 Toeplitz/Berezin 压缩与对数行列式泛函

4.1 定义（算子与泛函）

给定符号 $a$、窗 $w$ 与截断 $R$，压缩 $T_{a,w,R}$ 定义为对 $\mathcal{H}$ 的窗—局域化 Toeplitz/Berezin 算子。设 $T_{a,w,R}$ 为迹类算子，并取参数 $\lambda \in \mathbb{C}$ 使 $I+\lambda T_{a,w,R}$ 可逆（若 $\lambda \ne 0$，等价于 $-1/\lambda \notin \sigma (T_{a,w,R})$）。定义 ${\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda ):=\log \det (I+\lambda T_{a,w,R})$（Fredholm 行列式），并规定以 $\lambda =0$ 为基点的主支解析延拓：若对所有 $t\in [0,1]$ 有 $\det (I+t\lambda T_{a,w,R})\ne 0$，则定义 ${\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )=\mathrm{tr}\log (I+\lambda T_{a,w,R})$。此外，${\mathcal{F}}_R(a,w;0)=0$。

4.2 定理（Gateaux/Fréchet 变分与凹性；强凹的充分条件与 Lipschitz 上界）

设 $T:=T_{a,w,R}$ 为迹类且自伴，取变分方向 $\delta T,\Delta \in {\mathcal{S}}_1(\mathcal{H})$（故亦属 ${\mathcal{S}}_2$），$\lambda \in \mathbb{R}$ 且 $I+\lambda T\succ 0$。则对任意自伴 $\delta T$，$\delta {\mathcal{F}}_R=\mathrm{tr}((I+\lambda T{)}^{-1}\lambda \delta T)$，${\delta }^2{\mathcal{F}}_R=-{\lambda }^2|(I+\lambda T{)}^{-1/2}\delta T(I+\lambda T{)}^{-1/2}{|}_2^2\le 0$，因此 ${\mathcal{F}}_R$ 在自伴迹类方向上为凹且二阶负半定。若满足 (i) 的谱夹条件，则 $I+\lambda T\succ 0$；在 $\lambda \ne 0$ 时可得显式强凹模量。进一步：

(i) 谱夹 + $\lambda \ne 0$ $\Rightarrow$ 强凹。 若存在 $0<\alpha I⪯I+\lambda T⪯\beta I$ 且 $\lambda \ne 0$，则对 Hilbert–Schmidt 范数 ${\delta }^2{\mathcal{F}}_R(T)[\delta T,\delta T]\le -\frac{{\lambda }^2}{{\beta }^2}|\delta T{|}_2^2$，即在该局部区域以模量 ${\lambda }^2/{\beta }^2$ 强凹。（注：当 $\lambda =0$ 时，${\delta }^2{\mathcal{F}}_R\equiv 0$，仅为凹而非强凹。）

(ii) Neumann 区间 $\Rightarrow$ 局部梯度 Lipschitz（对称半径），对任意 $\Delta \in {\mathcal{S}}_1$。 若 $r:=\max \{\Vert \lambda T{\Vert }_{\mathrm{op}},\Vert \lambda (T+\Delta ){\Vert }_{\mathrm{op}}\}<1$，则有 $|\nabla {\mathcal{F}}_R(T+\Delta )-\nabla {\mathcal{F}}_R(T){|}_2\le \frac{{\lambda }^2}{(1-r{)}^2}|\Delta {|}_2$。（此处 $\nabla {\mathcal{F}}_R(T)=\lambda (I+\lambda T{)}^{-1}$，差分项属于 ${\mathcal{S}}_2$，可用 HS 范数度量。）证明用两侧 Resolvent 恒等式与 Neumann 级数，常数对称依赖 $T$ 与 $T+\Delta$，从而刻画真实的“局部“适用域。

证明。 由 $\log \det (I+\lambda T)=\mathrm{tr}\log (I+\lambda T)$ 与 Fréchet 微分规则；(i) 以 $A:=(I+\lambda T{)}^{-1}\lambda$ 得 ${\delta }^2{\mathcal{F}}_R=-\mathrm{tr}(A\delta TA\delta T)\le -s_{\min }(A{)}^2|\delta T{|}_2^2\le -({\lambda }^2/{\beta }^2)|\delta T{|}_2^2$；(ii) 以 Neumann 展开与 Schatten 范数收敛判据得梯度 Lipschitz 常数。■

4.3 定理（位层扰动的 Lipschitz—强稳定界）

设 $a={\sum }_k{a}_k$、$w={\sum }_k{w}_k$ 为位层分块，且对某 $K$ 有 $\delta a={\sum }_{k>K}\delta a_k$、$\delta w={\sum }_{k>K}\delta w_k$，并取参数 $\lambda$，使对所有 $t\in [0,1]$ 有 $\det (I+t\lambda T_{a,w,R})\ne 0$ 且 $\det (I+t\lambda T_{a+\delta a,w+\delta w,R})\ne 0$，从而二者的 $\log \det$ 可在同一主支上解析定义。（注：端点 $I+\lambda T$、$I+\lambda (T+\Delta )$ 的可逆性本身不足以保证上述沿径条件，故在本定理中将其作为独立假设列出。）则存在 $C,\eta >0$ 与窗带限相容的 Banach 范数 $|\cdot {|}_X,|\cdot {|}_Y$ 使 $$|{\mathcal{F}}_R(a+\delta a,w+\delta w;\lambda )-{\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )|\le C(|\delta a{|}_X+|\delta w{|}_Y){\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }}$$ 其中 $K_{\ast }$ 按“Notation 8“定义（本定理为单图册情形，故 $K_{\ast }=K$），且 $C$ 至多多项式依赖 $R$。

证明要点。 以位层分块写出 $\delta T={\sum }_{k>K}\delta T_k$。令 $\Delta :=T_{a+\delta a,w+\delta w,R}-T_{a,w,R}=\delta T$。用迹范数次可加性与 $\Vert (I+\lambda T{)}^{-1}{\Vert }_{\mathrm{op}}$ 的有界性得到 Lipschitz 界；有限阶 EM 吸收层差，Poisson 抑制带外 alias，给出 ${\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }}$ 的指数衰减。常数 $C$ 可取与 $\max \{\Vert (I+\lambda T{)}^{-1}{\Vert }_{\mathrm{op}},\Vert (I+\lambda (T+\Delta ){)}^{-1}{\Vert }_{\mathrm{op}}\}$ 多项式相关的量，使 resolvent 有界性进入估计。■

5. 与 WSIG 三位一体刻度的一致性

5.1 定理（换元一致性）

在 §3.3 的 (H${}_{\mathrm{tr}}$)（有限半径进/借位过渡）与 §1.4 的 (H1)–(H3) 的相应假设下（对任一图册以其 ${\rho }_{\alpha }>1$ 取代 ${\rho }_{\mathrm{Z}}$），记 $\mathcal{R}[f{]}_{\alpha }:={\sum }_{\omega \in \mathcal{O}}{J}_{\alpha }(\omega )w(\omega )f(E(\omega ))$，$J_{\alpha }(\omega )=C_{\alpha }{\rho }_{\alpha }^{-{\sum }_{k}k{\epsilon }_k^{(\alpha )}(\omega )}$，其中 ${\epsilon }_k^{(\alpha )}(\omega ):=1\{d_k^{(\alpha )}(\omega )\ne 0\}$，$C_{\alpha }$ 由归一化 ${\sum }_{\omega }{J}_{\alpha }(\omega )w(\omega )=\int w(E)\mathrm{d}{\mu }_{\mathrm{rel}}(E)$ 确定。则任意过渡 ${\Psi }_{\alpha \to \beta }$ 下有 $\mathcal{R}[f{]}_{\alpha }=\mathcal{R}[f{]}_{\beta }+O\left({\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }}\right)$，其中误差由过渡雅可比 $J_{\alpha \to \beta }$ 与有限阶 EM 边界层给出，其常数 $C_{\alpha ,\beta ,m,L}$ 仅依赖于窗的带限/指数参数、正则性阶 $m$、过渡的有限半径常数 $L$ 及图册对 $(\alpha ,\beta )$ 的谱半径数据（如 ${\rho }_{\alpha },{\rho }_{\beta }$），与图规模无关。

记号补充（坐标串）。 对 $\omega \in \mathcal{U}$，写 $d^{(\gamma )}(\omega ):={\Phi }^{(\gamma )}(\omega )$（$\gamma \in \{\alpha ,\beta \}$）。过渡 ${\Psi }_{\alpha \to \beta }$ 作用于 $\alpha$-坐标串，满足 ${\Psi }_{\alpha \to \beta }(d^{(\alpha )}(\omega ))=d^{(\beta )}(\omega )$。

定义（过渡雅可比）。 $J_{\alpha \to \beta }(\omega ):=\frac{J_{\beta }(\omega )}{J_{\alpha }(\omega )}=\frac{C_{\beta }}{C_{\alpha }}{\rho }_{\beta }^{-{\sum }_{k}k{\epsilon }_k^{(\beta )}(\omega )}{\rho }_{\alpha }^{+{\sum }_{k}k{\epsilon }_k^{(\alpha )}(\omega )}$，其中 $J_{\gamma }(\omega )=C_{\gamma }{\rho }_{\gamma }^{-{\sum }_{k}k{\epsilon }_k^{(\gamma )}(\omega )}$（见本节开头），且 $d^{(\beta )}(\omega )={\Psi }_{\alpha \to \beta }(d^{(\alpha )}(\omega ))$ 仅用于指明两图册坐标的一致对应关系。

证明要点。 将读数重写为对 ${\mu }_{\mathrm{rel}}$ 的线性泛函后，坐标变化仅改变计数密度；雅可比修正配合有限阶 EM 校正使差异降为指数小量。■

5.2 推论（窗—群延迟比的坐标独立性）

对任意观测三元 $(\mathcal{H},w,S)$，其窗—群延迟读数与相位—密度—延迟三位一体的比值类在图册选择下保持不变，误差仅为 $O({\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }})$ 的指数级小量。

6. 复杂度几何与测地

6.1 定义（操作复杂度与测地）

在 $G(\mathcal{O},\mathcal{E})$ 上，以最小合法步数定义从基准态到目标态的操作复杂度 $\mathcal{C}$，或采用位层带权 $L^1/L^2$/Bregman 代价；相应最小代价路径称为测地。

6.2 命题（曲率直觉与坐标弯曲）

若坐标过渡 ${\Psi }_{\alpha \to \beta }$ 系统性引入长程进/借位并导致描述长度放大，可解释为正曲率效应；有限阶 EM 与 Poisson 给出该弯曲对窗化读数的可积上界，从而复杂度度量在图册间保持准等距。

7. EBOC 与 RCA 的语义对位

1. EBOC（永恒静态块·观察—计算）。 位层坐标是“叶层日志“的规范账本；读数作为对 ${\mu }_{\mathrm{rel}}$ 的泛函只依赖母尺，坐标仅改变计数权，不改变刻度同一式。

2. RCA（可逆元胞自动机）。 将“激活 $F_k$ 层“解释为打开第 $k$ 层可逆门；合法加法—进位—回滚构成可逆滑动块，测地对应最小门列；位层受限扰动等价于高层稀疏门的微扰，其对 ${\mathcal{F}}_R$ 的影响由 ${\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }}$ 统御。

3. WSIG（窗化散射与信息几何）。 窗—群延迟读数以位层计数实现后与三位一体母尺严格对齐，框架提供非渐近误差预算与坐标独立的稳定性陈述。

8. 标准化“卡片“（正文内可即取即用）

• 刻度卡。 ${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$；任何坐标/图册变换只经由雅可比修正作用于计数密度，不触动母尺。

• 误差卡。 位层型和/迹遵循“Nyquist 主项 + 有限阶 Bernoulli 边界层 + 带外尾项“，并满足“奇性不增/极点=主尺度“；对最深主尺度 $K_{\ast }$ 给出 $O({\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }})$ 尾界。

• 稳定卡。 $\left|\Delta {\mathcal{F}}_R\right|\le C(|\delta a{|}_X+|\delta w{|}_Y){\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }}$，$C$ 至多多项式依赖 $R$ 与窗带限参数。

• 过渡卡。 在 (H${}_{\mathrm{tr}}$) 下，任意图册过渡 ${\Psi }_{\alpha \to \beta }$ 等价于半径 $\le L$ 的卷积型进/借位，从而“奇性不增“，主尺度极点阶保持；若 (H${}_{\mathrm{tr}}$) 不满足，则不主张上述性质与界。

9. 主要定理的证明纲要（可扩展为长证）

1. Zeckendorf 唯一性。 贪婪选择最大 $F_k$ 并以无相邻约束阻止进位回流，给出唯一最简形；该过程在 $G(\mathcal{O},\mathcal{E})$ 的局域生成元语义下可视作可逆规范化。

2. 有限阶 EM–Poisson。 将位层 $k$ 看作准连续变量，对层内平滑项施 EM 至阶 $m$，边界层系数由 Bernoulli 数决定；别名项由 Poisson 求和以窗带限衰减抑制，获得 $O({\rho }_{\ast }^{-\eta K_{\ast }})$。

3. 凹性与强凹。 由 $f(T)=\log \det (I+\lambda T)$ 的算子凸性—凹性理论及 Fréchet 微分，二阶式为负半定；当 $\Vert \lambda T{\Vert }_{\mathrm{op}}<1$ 时 Neumann 收敛给出显式模量。

4. 奇性不增。 以 Mellin/拉普拉斯符号化描述主尺度极点来源，过渡仅改变有限层耦合，不产生新的主极点；极点阶由主项的不可去分量决定并在过渡下保持不增。

5. 换元一致性。 读数重写为对 ${\mu }_{\mathrm{rel}}$ 的线性泛函；图册过渡的雅可比修正与有限阶 EM 校正相抵至指数小量，留存母尺不动点。

10. 结论要点（形式化摘述）

本文以 Zeckendorf 及其递推/$\beta$-扩展图册为观察者—状态离散流形之对数—稀疏坐标，并在 WSIG–EBOC–RCA 框架与母尺 ${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 下，给出：$(1)$ 坐标唯一与对数尺度雅可比；$(2)$ 坐标过渡的有限阶 EM 控制与“奇性不增/极点=主尺度“；$(3)$ 窗化对数行列式泛函的凹性与位层扰动的指数稳定；$(4)$ 与三位一体母尺一致的换元不变性与非渐近误差闭合。上述结果为将“坐标选择—窗化读数—散射刻度“粘合为一体的几何—算子—测度三重一致性提供了公理化与可检核的误差预算。