UMMIC–WSIG：窗口化测量—信息几何—Mellin/de Branges—可逆 CA 的统一正式理论（对外版）

作者：Auric（S-series / EBOC） 版本：v1.17（2025-10-29，阿联酋时区） 关键词：窗口化读数；Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin；镜像核；Mellin 完成函数；de Branges–Kreĭn 规范系统；相位密度；Carleson 测度；Toeplitz/Berezin 局域化；Born=I-投影；可逆 CA；信息守恒 MSC：42C15；46E22；47B35；11Mxx；68Q80；81Txx

摘要（定性）

在“有限窗—有限阶 Euler–Maclaurin（EM）—镜像不引入新奇点“的纪律下，本文从母映射—Mellin 嵌入出发构造完成函数 $Z(s)$，在 de Branges–Kreĭn 规范系统与散射词典中，严格建立相位导数 = $(2\pi \times )$相对谱密度的窗口化一致性 ${\phi }^{\prime }(\omega )=2\pi \rho (\omega )$（窗平均意义），其中 $\rho (\omega )=\frac{1}{2\pi }{\partial }_{\omega }\arg \det S(\omega )=-{\partial }_{\omega }\xi (\omega )$，并给出任意有限窗读数的Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPEM）非渐近误差闭合。进一步，以 reproducing-kernel 论证与 Carleson 测度刻画 de Branges 类空间的采样/插值门槛，并在 Toeplitz/Berezin 局域化框架中给出迹—Weyl 型恒等式。信息几何层面，证明“Born 概率 = KL/I-投影；指针基 = 谱统计极小化子；窗口 = 极小极大最优“的三位一体定理，并将“自由意志“刻画为可逆 CA 层间的边界行动，其代价为窗口化分布的 KL 跃迁量，满足全局信息守恒。

0. 公设、记号与对象

A0（有限窗纪律）：可观测量仅通过支持有限或快速衰减的窗 $W$ 读出；只允许有限阶 EM 展开。窗函数正则性：除支持/衰减条件外，本文默认 $W\in W^{1,1}(\mathbb{R})$（或等价地 $W\in C^1$ 且 $W,W^{\prime }\in L^1$），以确保 ${\partial }_u⟨\phi {⟩}_{W,u}=⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_{W,u}$ 的合法性。误差预算由三项封顶：$\mathrm{Err}=\mathrm{Alias}+\mathrm{Poisson}+\mathrm{EM}$，其中 EM 指有限阶 Euler–Maclaurin 的“伯努利层 + 截断尾“（见 §2、§3）。适用域澄清：§2 的滑移窗恒等式 $⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_{W,u}=2\pi ⟨\rho {⟩}_{W,u}$ 为分布作用的精确等式，不含误差；本节误差预算仅用于 §3 中的离散化（采样/求和）与有限阶 EM 截断分析。

A1（相位—密度守恒，滑移窗平均）：归一化相位 $\phi$ 与相对谱密度 $\rho$ 满足

$$⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_{W,u}=2\pi ⟨\rho {⟩}_{W,u}(\forall u\in \mathbb{R}),$$

其中 $\rho =\frac{1}{2\pi }{\partial }_{\omega }\arg \det S=-{\xi }^{\prime }$。其证明见 §2“定理 2“。该等式源于 Birman–Kreĭn 公式与 Wigner–Smith 延迟矩阵的散射理论结构。(arXiv)

A2（镜像核）：存在核 $K$ 与标度 $a$ 使 $K(x)=x^{-a}K(1/x)$。其 Mellin 变换 $\Phi (s)={\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}K(x)dx$ 满足 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$，且镜像不引入新奇点（端点经有限阶 EM 控制）。一般 Mellin 工具见。(people.mpim-bonn.mpg.de)

A3（de Branges–Kreĭn 规范系统）：使用 de Branges 空间 $\mathcal{H}(E)$ 与 Kreĭn–de Branges 规范系统（canonical systems）作为谱模型与采样—插值的 RKHS 载体。(math.purdue.edu)

A4（可逆局域动力学）：计算宇宙以可逆 CA（EBOC）刻画，行动在层切片 ${\mathcal{S}}_L$ 的边界 $B_L$ 上发生；可逆性保证信息守恒（Bennett-Toffoli-Kari 体系）。(mathweb.ucsd.edu)

A5（I-投影与指针）：任何“概率读数“是先验 $p$ 到约束集 $\mathcal{C}(W,T)$ 的 KL/I-投影；指针基为窗口化 Fisher 信息或方差的极小化本征方向（Amari-Csiszár 信息几何）。([pages.stern.nyu.edu][5])

母映射与完成函数：母指数和 $F(\theta ,\rho )={\sum }_j{c}_j{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}$。沿尺度切片得到母核 $f(x)$，定义完成函数

$$Z(s)=({\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}f(x)dx)\Phi (s),$$

并记 $\rho (\omega )$ 为相对谱密度，$⟨X{⟩}_W=\int X(\omega )W(\omega )d\omega$。

记号（傅里叶约定与单位）：采用 $\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(\omega )e^{-i\omega \xi }d\omega$；全篇以角频率 $\omega$ 计，“有效带宽” $B_W$ 指在此约定下 $\hat{W}$ 的能量主支域参数（用于 Nyquist 与别名评估）。

1. 基本构造与词典

定义 1（镜像—Mellin 完成，带正则前提） 设 $K\in L^1({\mathbb{R}}_{+},dx/x)\cap B{V}_{\mathrm{loc}}({\mathbb{R}}_{+})$，并在 $0$ 与 $\infty$ 处具有与所选 EM 阶 $M$ 相匹配的 $2M$ 阶可积渐近展开（使有限阶 EM 余项收敛）。若 $K(x)=x^{-a}K(1/x)$，则在绝对收敛条带内 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$；镜像延拓不新增除端点型外的奇性，端点贡献由有限阶 EM 尾项统一吸收，因而

$$Z(s)=M_f(s)\Phi (s),M_f(s)={\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}f(x)dx.$$

镜像对称的标准推导见 Mellin 变换通论。(people.mpim-bonn.mpg.de)

定义 2（相位—谱词典，含相对归一化） 选定“自由“参考对 $(H_0,f_0,K_0)$，记

$$Z_{\mathrm{rel}}(s):=\frac{Z(s)}{Z_0(s)},Z_0(s):=M_{f_0}(s){\Phi }_0(s).$$

单位模归一化与散射决定子：选择参考使 $|Z_{\mathrm{rel}}(\frac{a}{2}+i\omega )|=1$（a.e.）。据此定义

$$D(\omega ):=Z_{\mathrm{rel}}(\frac{a}{2}+i\omega )(\text{scattering determinant}),$$

并以 $\theta (\omega ):=\arg D(\omega )$ 计量相位。若存在矩阵散射 $S_{\mathrm{mat}}(\omega )$，约定 $\det S_{\mathrm{mat}}(\omega )=D(\omega )$。于是

$$\rho (\omega )=\frac{1}{2\pi }{\partial }_{\omega }\theta (\omega )=-{\partial }_{\omega }\xi (\omega ),$$

而 $Q(\omega )=-i{S}_{\mathrm{mat}}(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }{S}_{\mathrm{mat}}(\omega )$ 满足 ${\partial }_{\omega }\arg \det S_{\mathrm{mat}}(\omega )=\mathrm{Tr}Q(\omega )={\partial }_{\omega }\theta (\omega )$；若仅有决定子通道，则理解为 $\mathrm{Tr}Q={\partial }_{\omega }\theta$。

在 §0 的窗与正则前提下，§2 将证明 $⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_W=2\pi ⟨\rho {⟩}_W$（滑移窗平均）。(arXiv)

相位导数（分布/测度意义）：记 $\theta (\omega ):=\arg D(\omega )$。定义 ${\phi }^{\prime }(\omega ):={\partial }_{\omega }\theta (\omega )$ 为分布（有限符号测度）导数，其 Lebesgue–Radon–Nikodym 分解为 ${\partial }_{\omega }\theta =({\partial }_{\omega }\theta {)}_{\mathrm{ac}}+2\pi {\sum }_j{m}_j\delta (\omega -{\omega }_j)$。令 $\rho :=(1/2\pi ){\partial }_{\omega }\theta =-{\partial }_{\omega }\xi$。于是对任意窗 $W$，$⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_{W,u}:=⟨{\partial }_{\omega }\theta ,W(\cdot -u)⟩=2\pi ⟨\rho {⟩}_{W,u}$，无需另设 ${\mu }_Z$ 审计项。

定义 3（NPEM 三分解） 任何有限窗读数的误差拆分为

$$\mathrm{Err}=\mathrm{Alias}+\mathrm{Poisson}+\mathrm{EM},$$

其中别名来自欠采样频栅越 Nyquist；Poisson 为格点重排项；EM 为有限阶伯努利层与尾项，常数由 DLMF 的 Bernoulli 多项式与 EM 误差界给出。([DLMF][16])

定义 4（EBOC 边界行动的 KL 度量） 层 $L$ 的行动 $u_L$ 将边界更新为 $B_L^{+}={\mathcal{A}}_L(B_L,u_L)$。以内层观测分布 $p_{L+1}$ 定义

$$\Delta {\mathcal{I}}_L(u_L):=D_{\mathrm{KL}}(p_{L+1}(\cdot \mid B_L^{+})|p_{L+1}(\cdot \mid B_L))$$

（方向固定为“后验对先验“，便于与链式分解一致），并以 KL 链式法则审计跨层守恒。([staff.ustc.edu.cn][7])

定义 5（指针与 I-投影） 给定窗—统计约束 $\mathcal{C}(W,T)$，观测分布为

$$q=\arg \underset{r\in \mathcal{C}(W,T)}{\min }{D}_{\mathrm{KL}}(r\Vert p),$$

指针基为窗口化 Fisher 信息极小的本征方向（dually-flat 几何下的正交投影）。([pages.stern.nyu.edu][5])

2. 主定理与证明

定理 1（镜像功能方程与无新奇点）

若 $K(x)=x^{-a}K(1/x)$ 且 $K\in L^1({\mathbb{R}}_{+},dx/x)$，则 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$。因此

$$Z(s)=M_f(s)\Phi (s),M_f(s):={\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}f(x)dx.$$

一般情形仅有 $\Phi$ 的镜像对称；若另加 $f(x)=x^{-a}f(1/x)$，则关于镜像中心 $\Re s=a/2$ 的临界线有

$$⟨Z(\frac{a}{2}+i\omega ){⟩}_W=⟨Z(\frac{a}{2}-i\omega ){⟩}_W,⟨F{⟩}_W:={\int }_{\mathbb{R}}F(\omega )W(\omega )d\omega ,$$

其中镜像 $s\mapsto a-s$ 将 $a/2+i\omega$ 映至 $a/2-i\omega$；镜像不引入新奇点（端点由有限阶 EM 尾项吸收）。 证明：作变元 $x\mapsto 1/x$，由 $K$ 的镜像对称得到功能方程；端点奇性经有限阶 EM 的伯努利层与尾项控制。(people.mpim-bonn.mpg.de)

定理 2（信息通量连续方程；窗平均一致）

定义（滑移窗平均）：$⟨X{⟩}_{W,u}:={\int }_{\mathbb{R}}X(\omega )W(\omega -u)d\omega$。

解释：下文 $⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_{W,u}$ 以分布导数理解，并与 $\rho =(1/2\pi ){\partial }_{\omega }\theta =-{\xi }^{\prime }$ 的测度定义匹配；因此等式 $⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_{W,u}=2\pi ⟨\rho {⟩}_{W,u}$ 以分布对 $W(\cdot -u)$ 的作用成立。

单位约定：统一以 $\omega$ 为谱参量（或取 $E\equiv \omega$ 的单位化），于是 $Q=-i{S}_{\mathrm{mat}}^{†}{\partial }_{\omega }{S}_{\mathrm{mat}}$ 且 ${\partial }_{\omega }\theta =\mathrm{Tr}Q$；由 Birman–Kreĭn 得 $\rho =(1/2\pi ){\partial }_{\omega }\theta =-{\xi }^{\prime }$。

在 trace-class 散射/规范系统假设下，并要求 $W\in W^{1,1}(\mathbb{R})$（或 $W\in C^1$ 且 $W,W^{\prime }\in L^1$），$\phi \in B{V}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$，且 ${\lim }_{|\omega |\to \infty }\phi (\omega )W(\omega -u)=0$，于是 ${\partial }_u⟨\phi {⟩}_{W,u}=⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_{W,u}$。此处 $B_W$ 为 $\hat{W}$ 的有效带宽（角频率制）。有

$$⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_{W,u}={\partial }_u⟨\phi {⟩}_{W,u}=2\pi ⟨\rho {⟩}_{W,u}(\forall u\in \mathbb{R})\text{（分布恒等式）}.$$

故窗平均意义下 ${\phi }^{\prime }=2\pi \rho$ 为分布恒等式。 证明：Birman–Kreĭn 给出 $D(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}$（或矩阵情形 $\det S_{\mathrm{mat}}(\omega )=D(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}$）。Wigner–Smith 延迟

$$Q(\omega )=-i{S}_{\mathrm{mat}}(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }{S}_{\mathrm{mat}}(\omega )$$

从而 ${\partial }_{\omega }\theta (\omega )=\mathrm{Tr}Q(\omega )=-2\pi {\xi }^{\prime }(\omega )$。据此 $\rho (\omega )=(1/2\pi ){\partial }_{\omega }\theta (\omega )=-{\xi }^{\prime }(\omega )$。因此，在 §0 的正则与窗条件下，上式对任意 $u$ 以分布作用于 $W(\cdot -u)$ 时恰等成立，

$$⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_{W,u}=2\pi ⟨\rho {⟩}_{W,u},$$

不含任何误差项；Poisson 与 EM 仅用于 §3 的离散化/求和近似分析。(arXiv)

定理 3（NPEM 非渐近误差闭合）

设 $W\in C^r$（且 $W,W^{\prime }\in L^1$）且其傅里叶变换 $\hat{W}$ 的有效带宽为 $B_W$（角频率制）。Nyquist 阈值（区分带限/非带限）：若 $\hat{W}$ 带限于 $[-B_W,B_W]$，则定义严格 Nyquist 阈值 $\Delta {\omega }_{\mathrm{Nyq}}:=\pi /B_W$ 并取 $\Delta \omega \le \Delta {\omega }_{\mathrm{Nyq}}$；若 $\hat{W}$ 非带限，则 $\Delta {\omega }_{\mathrm{Nyq}}$ 仅为名义阈值，零别名不被保证，误差由 ${\sum }_{k\ne 0}|\widehat{XW}(2\pi k/\Delta \omega )|$ 项显式控制，并与泄露预算 $L$ 与 $\hat{X}$ 的可积/衰减性共同决定。取 EM 阶 $M\le r/2$，并要求 $X\in C^{2M}$ 且 $X^{(2M)}\in L^1(|W|,d\omega )$。设窗泄露预算 $L>0$，定义 ${\Omega }_W$ 使 ${\int }_{|\omega |>{\Omega }_W}|W(\omega )|d\omega \le L$。另取 $\hat{X}\in L^1$ 以启用别名上界（若仅有 $X\in L^{\infty }$，须附加光滑度并以分部积分获得频域衰减后再求和）。

令 $⟨X{⟩}_W:={\int }_{\mathbb{R}}X(\omega )W(\omega )d\omega$（理想值），$⟨X{⟩}_{\mathrm{disc}}:=\Delta \omega {\sum }_{n\in \mathbb{Z}}X(n\Delta \omega )W(n\Delta \omega )$（离散值）。则

$$|⟨X{⟩}_{\mathrm{disc}}-⟨X{⟩}_W|\le C_1\sum _{k\ne 0}|\widehat{XW}(2\pi k/\Delta \omega )|+C_2\sum _{m=1}^M|B_{2m}||X^{(2m)}{|}_{L^1(|W|)}+C_3{\int }_{|\omega |>{\Omega }_W}|X||W|.$$

其上界可取：若 $\hat{X}\in L^1$，则

$$\sum _{k\ne 0}\left|\widehat{XW}\right(\frac{2\pi k}{\Delta \omega }\left)\right|\le C_1|\hat{X}{|}_{L^1}\underset{\eta \in \mathbb{R}}{\sup }\sum _{k\ne 0}|\hat{W}(\frac{2\pi k}{\Delta \omega }-\eta )|.$$

（如需仅以 $X\in L^{\infty }$ 立界，须附加 $X$ 的平滑度并改用分部积分衰减界。）常数 $C_i$ 仅依赖于 $W$ 的平滑阶、有效带宽 $B_W$ 与泄露预算/衰减常数，以及支集（如适用）。 证明：欠采样导致别名项；Poisson 求和将离散误差重排为频域格点级数；有限阶 EM 以 Bernoulli 多项式与显式余项控制边界与尾项；各项相加即得。([kryakin.site][8])

定理 4（三位一体：Born = I-投影；Pointer = 谱极小；Window = 极小极大）

设可行窗集 $\mathcal{W}$ 为凸且在所用拓扑下（例如 $L^1\cap L^2$ 的弱拓扑）相对紧，误差泛函 $W\mapsto {\sup }_X|\mathrm{Err}(W;X)|$ 对 $W$ 上半连续并凸，对 $X$ 凹（或采用等价的 Fenchel 对偶刻画）。对约束集 $\mathcal{C}(W,T)$： (i) 观测分布等价为先验到 $\mathcal{C}$ 的 I-投影（存在唯一且 Pythagoras 等式成立）； (ii) 指针基为窗口化 Fisher 信息/方差的极小化本征方向（dually-flat 正交性）； (iii) 窗族 $\mathcal{W}$ 上极小极大问题

$$\underset{W\in \mathcal{W}}{\min }\underset{X}{\sup }|\mathrm{Err}(W;X)|$$

存在最优解 $W^{\star }$，并存在对偶证书（KKT 条件）保证强对偶；在 WH/Gabor 框架下，$W^{\star }$ 与其对偶 $W^{♯}$ 满足近-tight 的 Wexler–Raz 双正交关系。 证明：Csiszár 的 I-投影与信息几何的广义勾股定理给出 (i)；Fisher-Rao 度量下的本征方向最小化给出 (ii)；Gabor/WH 框架中，Wexler–Raz 与密度门槛控制别名，实现 $(W,W^{♯})$ 的近紧折中以最小化最坏误差，参见 Gröchenig 与 Wexler–Raz 文献。([pages.stern.nyu.edu][5])

定理 5（Toeplitz/Berezin 局域化的迹—Weyl 型恒等）

在 de Branges 或其等价 RKHS 上，记核 $K(\omega ,\xi )$，定义 $T_{W,\sigma }=P{M}_{\sigma W}P$（$P$ 为正交投影）。若 ${\int }_{\mathbb{R}}|\sigma (\omega )W(\omega )K(\omega ,\omega )|d\omega <\infty$（从而 $T_{W,\sigma }=P{M}_{\sigma W}P$ 为迹类），则

$$\mathrm{Tr}{T}_{W,\sigma }=\int \sigma (\omega )W(\omega )K(\omega ,\omega )d\omega .$$

上述可积条件为实现上的充分条件。充分但不必要的检验：若 $M_{\sigma W}P\in {\mathcal{S}}_1$（或 $P{M}_{\sigma W}\in {\mathcal{S}}_1$），则 $T_{W,\sigma }\in {\mathcal{S}}_1$ 并满足上式；一般 RKHS 中二者不必等价，需按具体核与权衡量核查。 证明：迹类积分算子之迹等于核的对角积分（Brislawn 与 Simon 的迹理想理论）；此处核为投影核经乘法符号件的压缩；可由 Berezin 变换视角理解为“符号在核对角上的加权积分“。([projecteuclid.org][9])

定理 6（采样—插值的 Carleson 判据）

在 de Branges 空间（或相应模型空间 $K_{\Theta }$）且相位导数给出 doubling 测度时，实轴采样/插值序列的几何密度刻画成立（Landau-型密度门槛），并与再生核—Carleson 测度条件等价。 证明：Marzo–Nitzan–Olsen 在相位导数为 doubling 的 de Branges 空间给出采样/插值的密度刻画；对更广 RKHS 的 reproducing-kernel thesis（RKT）提供算子有界/紧性与 Carleson 测度之间的桥梁。([SpringerLink][10])

定理 7（EBOC 的边界—因果等价与守恒）

可逆 CA 的层切片模型中，行动 $u_L$ 的效应等价为谱密度的窗口化形变

$$\Delta ⟨\rho {⟩}_W=⟨(\partial \rho /\partial B_L),\Delta B_L{⟩}_W,$$

在可逆动力学与一致传播假设下，

$$\sum _{L=L_0}^{L_1}\Delta {\mathcal{I}}_L=D_{\mathrm{KL}}(p_{L_1+1}(\cdot \mid B_{L_1}^{+})|p_{L_1+1}(\cdot \mid B_{L_1}))-D_{\mathrm{KL}}(p_{L_0+1}(\cdot \mid B_{L_0}^{+})|p_{L_0+1}(\cdot \mid B_{L_0})).$$

若两端边界固定（或周期闭合），则上式为 $0$。 证明：可逆性（Toffoli–Margolus）确保全局雅可比为 1；信息仅在层间再分配；Cover–Thomas 的 KL 链式分解给出总信息的守恒。([people.csail.mit.edu][11])

3. 门槛、不可兼得与最优窗

采样下界（Landau 型）：若 $\mathrm{supp}\hat{\rho }\subset [-B,B]$（$\xi$ 域），则必要样本密度 ${\delta }_{\omega }:=1/\Delta \omega \ge B/\pi$（等价于 $\Delta \omega \le \pi /B$）。若以 Hz 计的带宽 $B_{\mathrm{Hz}}=B/2\pi$，则必要采样率 $f_s\ge 2B_{\mathrm{Hz}}$。否则 $\mathrm{Alias}$ 主导误差。([numdam.org][12])

Balian–Low 不可能性：时频紧集中与正交紧帧不可兼得，需以 $(W,W^{♯})$ 的近紧折中实现稳定—分辨率平衡。([科学直通车][13])

等波纹（Chebyshev/Dolph）窗：在固定旁瓣预算下实现最小最大（equiripple）误差，满足极小极大意义的频域最坏情形最优；配合 Wexler–Raz 对偶可在近紧框架中抑制别名。([journals.ametsoc.org][14])

4. 实施规范（非渐近、可复现）

S1（窗族与对偶）：取 ${\mathcal{W}}_{r,\Omega ,L}$（平滑阶 $r$、名义带宽 $\Omega$、泄露 $L$）；为每个 $W$ 构造对偶 $W^{♯}$ 以满足 Wexler–Raz 双正交与近-tight。([sites.math.duke.edu][15])

S2（EM 阶与常数）：EM 取 $M\le r/2$；伯努利常数 $B_{2m}$ 与余项界据 DLMF 明确评定。([DLMF][16])

S3（镜像核设计）：以 $K(x)=x^{-a}K(1/x)$ 产生 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$；对数值近似配合凸正则以免端点假奇性。(people.mpim-bonn.mpg.de)

S4（局域化算子审计）：构造 $T_{W,\sigma }$，以 $\mathrm{Tr}{T}_{W,\sigma }=\int \sigma WK(\omega ,\omega )$ 审计局域谱质量。([projecteuclid.org][9])

S5（EBOC 两层账本）：记录 $\Delta B_0,\Delta {\mathcal{I}}_0$ 与 $\Delta ⟨\rho {⟩}_W$。在两端边界固定或周期闭合时验证 ${\sum }_L\Delta {\mathcal{I}}_L=0$；一般情形核对 $D_{\mathrm{KL}}(p_{L_1+1}(\cdot \mid B_{L_1}^{+})|p_{L_1+1}(\cdot \mid B_{L_1}))-D_{\mathrm{KL}}(p_{L_0+1}(\cdot \mid B_{L_0}^{+})|p_{L_0+1}(\cdot \mid B_{L_0}))$。(mathweb.ucsd.edu)

5. 例证（最小可核验）

E1（有限支撑谱）：设 $\rho (\omega )=1_{[-B,B]}$。取 Chebyshev 窗，按数值实验选择 $\Delta \omega$（别名不可为零，仅由窗抑制）；验证 $⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_W=2\pi ⟨\rho {⟩}_W$ 及定理 3 的非渐近上界。若需零别名之 Nyquist 结论，则改用带限假设 $\mathrm{supp}\hat{\rho }\subset [-B,B]$，并取 $\Delta \omega \le \pi /B$。([journals.ametsoc.org][14])

E2（母映射—Mellin）：由母指数和取片得到 $f$，构造 $Z(s)$ 与镜像核 $\Phi (s)$，检验 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$ 与临界线相位—谱一致性。(people.mpim-bonn.mpg.de)

E3（EBOC 边界行动）：在一对层切片上比较不同 $u_0$ 的 $\Delta {\mathcal{I}}_0$ 与 $\Delta ⟨\rho {⟩}_W$，展示“行动 = 边界形变 = 谱密度改写“，并核对信息守恒。([people.csail.mit.edu][11])

6. 一致性清单（必须满足）

1. 指定 EM 阶 $M$（禁止 $M\to \infty$）。
2. 镜像不引入新奇点（端点由 EM 尾项吸收）。
3. 采样步长不越 Nyquist；越界时别名项为主误差并据此预算。
4. I-投影、指针极小与窗极小极大之间给出 KKT/对偶证书。([pages.stern.nyu.edu][5])
5. 可逆 CA 的 ${\sum }_L\Delta {\mathcal{I}}_L=0$ 与 KL 链式法则一致。([staff.ustc.edu.cn][7])

7. 适用边界与不可化约性

• 所有结论局限于“有限窗—有限阶 EM—非渐近常数“纪律；超出不保证闭合。
• 若 $f$ 或 $K$ 破坏“无新奇点“，需正则化或收缩窗域。
• Balian–Low 强制时频—正交不可兼得，必须结构性折中。([科学直通车][13])

8. 结论

UMMIC–WSIG 在可检验、可复现的有限窗纪律下，将散射相位—谱密度一致性、NPEM 非渐近误差闭合与信息几何/可逆 CA统一为单一框架：镜像核确保功能方程而不引入新奇点；Carleson/RKT 与 Toeplitz/Berezin 把采样—插值与局域谱计数联入同一再生核机制；三位一体定理以凸对偶把 Born 概率、指针与最优窗连接起来。该体系提供了跨数学物理—信号处理—可计算宇宙的“可测—可算—可审计“统一叙事。

附：可直接引用的最小公式块

• 镜像与完成：$K(x)=x^{-a}K(1/x)\Rightarrow \Phi (s)=\Phi (a-s)$, $Z(s)=({\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}f(x)dx)\Phi (s)$。(people.mpim-bonn.mpg.de)
• 相位—谱一致：$⟨{\phi }^{\prime }{⟩}_W=2\pi ⟨\rho {⟩}_W$，且 $\rho =\frac{1}{2\pi }{\partial }_{\omega }\theta =-{\xi }^{\prime }$（窗平均，一致性由“定理 2“给出）。并且

$$Q(\omega )=-i{S}_{\mathrm{mat}}(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }{S}_{\mathrm{mat}}(\omega ),{\partial }_{\omega }\theta (\omega )=\mathrm{Tr}Q(\omega ),$$

与 $D(\omega )=e^{-2\pi i\xi }$（或 $\det S_{\mathrm{mat}}=e^{-2\pi i\xi }$）一致，从而 $\rho =(1/2\pi ){\partial }_{\omega }\theta =-{\xi }^{\prime }$。(arXiv)

• NPEM 误差界：见定理 3（Poisson + EM + 别名）。([kryakin.site][8])
• I-投影：$q=\arg {\min }_{r\in \mathcal{C}(W,T)}{D}_{\mathrm{KL}}(r\Vert p)$，Pythagoras 成立。([pages.stern.nyu.edu][5])
• Wexler–Raz 对偶：近-tight 对偶窗最小化最坏误差。([sites.math.duke.edu][15])
• Toeplitz/Berezin 迹：$\mathrm{Tr}{T}_{W,\sigma }=\int \sigma WK(\omega ,\omega )d\omega$。([projecteuclid.org][9])
• 采样密度：Landau 必要密度条件（及其广义）。([numdam.org][12])

参考（选）

• Birman–Kreĭn：$\det S=e^{-2\pi i\xi }$ 与谱移函数综述。(arXiv)
• Wigner–Smith 延迟矩阵与相位导数。([rottergroup.itp.tuwien.ac.at][17])
• de Branges–Kreĭn 规范系统与 $\mathcal{H}(E)$。(math.purdue.edu)
• Carleson/采样—插值（de Branges 空间，doubling 相位）。([SpringerLink][10])
• RKT 与 Bergman/Fock 空间的算子判据。([arXiv][18])
• Toeplitz/Berezin 与“迹 = 对角核积分“。([projecteuclid.org][9])
• Poisson 与 EM（显式常数）。([kryakin.site][8])
• Landau 密度与其近年推广。([numdam.org][12])
• Wexler–Raz、Balian–Low 与时频帧。([sites.math.duke.edu][15])
• Chebyshev/Dolph 与窗的等波纹最优。([journals.ametsoc.org][14])
• I-投影与信息几何的勾股定理。([pages.stern.nyu.edu][5])
• 可逆计算与可逆 CA。(mathweb.ucsd.edu)

注：以上各处“证明“均给出从属到公开判据/文献的推理路径；所需技术前提（trace-class、doubling 相位、窗的平滑与带限、帧密度等）在引用文献中明示。若在具体应用中某前提不满足，可按 §4 的实施规范（正则化、窗族收缩、近-tight 对偶）恢复可行性。

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