误差几何与因果稳健性：从参数置信椭球到多实验可信区域的统一几何框架

摘要

本文提出一套将统计误差转化为“几何边界“的统一框架，并将其系统嵌入因果推断与实验设计之中。核心思想是：给定参数空间中的估计量及其误差，我们不再将“置信区间/标准误“视为附属信息，而是将其上升为参数空间中的“可信区域“（region of trust），即带有度量结构的几何对象；所有因果结论、稳健性判断与实验规划，均通过这些几何区域之间的包含、交并与线性像来刻画。具体而言，本文首先在一般参数模型下，利用典型的渐近正态性与信息矩阵构造置信椭球，并赋予参数空间局部 Riemann 度量结构；其次，在因果推断中，我们将“可识别集“与“可信区域“统一为同一参数空间中的两类集合，通过它们的交集刻画可证的因果结论与可容许的外推方向；进一步地，在多实验/多模型情形下，我们以可信区域的交、并和映射构造共识区域与冲突区域，形成一种“几何化的元分析“；最后，在实验设计与观测规划中，我们将“收缩可信区域体积/半轴“的目标形式化为设计变量上的优化问题，并给出若干线性模型与工具变量模型下的可解实例。附录中给出主要定理的严格证明，包括置信椭球的覆盖性质、因果效应的稳健性判据以及设计准则与 Fisher 信息之间的等价关系。

关键词：误差几何；置信椭球；因果推断；可识别集；实验设计；Fisher 信息

MSC 2020：62F12, 62K05, 62P25, 62R01

1 引言

统计推断传统上以“点估计 + 置信区间“的形式呈现，而因果推断则以“识别假设 + 点估计 + 灵敏度分析“为基本结构。在实际决策与工程应用中，研究者往往面临如下三类问题：

1. 给定有限样本，哪些因果结论是真正由数据支撑的，而非仅是点估计的幻象？

2. 在多实验、多模型甚至多数据源汇总时，应如何系统地看清各结果之间的共识与冲突？

3. 在资源有限的前提下，如何通过实验设计最大化对特定因果效应或参数方向的“几何可辨率“？

这些问题在形式上各不相同，但有一个共同特征：它们都与“误差“有关，而“误差“的本质不仅是一个方差或一个置信区间，而是一个具有形状、方向与边界的几何对象。本文的目标，就是把这一直观上存在的“几何性“彻底形式化。

我们采纳如下观点：

• 对于参数 $\theta \in \Theta \subset {\mathbb{R}}^d$ 的任何估计 $\hat{\theta }$，其误差自然诱导一个带有度量结构的区域 $\mathcal{R}\subset \Theta$，可称为“可信区域“；

• 因果结论不是关于单点 $\hat{\theta }$ 的声明，而是关于某个函数 $\psi (\theta )$ 在 $\theta \in \mathcal{R}\cap \mathcal{I}$ 上的范围，其中 $\mathcal{I}$ 为可识别集；

• 多实验、多模型、不同假设的结果，可以统一视为在同一参数空间或其射影上的多个可信区域 ${\mathcal{R}}_k$，它们的交集、并集与对称差自然刻画“稳健一致““可争议”“显著冲突“的参数范围；

• 实验设计与观测规划可被视为“主动塑造未来可信区域的几何形状“的优化问题，其目标是对特定方向（例如某个因果效应）收缩可信区域的半轴，或缩小其体积。

在此框架下，“误差几何“不再只是结果的附属物，而成为整个因果—决策流程的核心结构。本论文将从最基本的参数模型出发，构造这一几何框架，并给出可证明的性质与若干具体模型下的可计算实现。

2 参数模型与可信区域的几何结构

2.1 参数模型与估计量

设观测数据为 $X_1,\dots ,X_n$，定义在样本空间 $\mathcal{X}$ 上，假定其分布属于一族概率测度 $\{P_{\theta }:\theta \in \Theta \subset {\mathbb{R}}^d\}$。设 ${\theta }_0\in \Theta$ 为“真参数“，${\hat{\theta }}_n={\hat{\theta }}_n(X_1,\dots ,X_n)$ 为某一估计量。

我们假定存在常规的渐近线性与正态性结构：

$$\sqrt{n}({\hat{\theta }}_n-{\theta }_0)\stackrel{d}{⟶}\mathcal{N}(0,I({\theta }_0{)}^{-1}),$$

其中 $I({\theta }_0)$ 为 Fisher 信息矩阵，正定且连续。进一步假定存在一致估计 ${\hat{I}}_n$ 使得 ${\hat{I}}_n\stackrel{P}{\to }I({\theta }_0)$。

2.2 Fisher 信息诱导的局部度量

在 $\Theta$ 的每一点 $\theta$ 上，定义双线性形式

$$g_{\theta }(u,v):=u^{\top }I(\theta )v,u,v\in {\mathbb{R}}^d,$$

则 $g$ 为 $\Theta$ 上的一个局部 Riemann 度量（在可微性条件下）。直观上，$I(\theta )$ 的特征方向描述了“容易/困难辨识“的参数方向：沿某方向的方差越小，该方向上的“单位长度“在信息度量下越大，反之亦然。

在有限样本 $n$ 下，使用 ${\hat{I}}_n$ 得到经验度量

$${\hat{g}}_n(u,v):=u^{\top }{\hat{I}}_{n}v,$$

其在概率意义下收敛于 $g_{{\theta }_0}$。

2.3 置信椭球作为可信区域

对给定显著性水平 $\alpha \in (0,1)$，定义 $d$ 维卡方分布的分位数 ${\chi }_{d,1-\alpha }^2$，构造可信区域

$${\mathcal{R}}_n(\alpha ):=\{\theta \in \Theta :n(\theta -{\hat{\theta }}_n{)}^{\top }{\hat{I}}_n(\theta -{\hat{\theta }}_n)\le {\chi }_{d,1-\alpha }^2\}.$$

它是以 ${\hat{\theta }}_n$ 为中心，形状由 ${\hat{I}}_n^{-1}$ 决定的椭球，刻画参数的不确定性。经典理论保证：

定理 2.1（渐近覆盖） 在上述正则条件下，对任意固定 $\alpha \in (0,1)$，有

$$P_{{\theta }_0}({\theta }_0\in {\mathcal{R}}_n(\alpha ))⟶1-\alpha ,n\to \infty .$$

该定理在附录 A.1 中证明。

因此，${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 可视作“以 $1-\alpha$ 概率包含真值 ${\theta }_0$ 的可信区域“。在信息度量 $g_{{\theta }_0}$ 下，${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 的半轴长度与 Fisher 信息的特征值成反比，与 $1/\sqrt{n}$ 成正比。

3 误差作为几何边界：可信区域的运算与投影

本节将“误差“系统地转化为“几何边界“，并讨论几种基本运算：投影、线性像与非线性像。

3.1 线性函数的像与椭球投影

设关心的目标为线性函数 $\psi (\theta )=c^{\top }\theta$，其中 $c\in {\mathbb{R}}^d$。在椭球 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 上，$\psi$ 的取值区间为

$${\Psi }_n(\alpha ):=\{\psi (\theta ):\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha )\}=[{\psi }_{\min ,n},{\psi }_{\max ,n}].$$

该区间可解析计算。注意到

$$\psi (\theta )=c^{\top }\theta =c^{\top }{\hat{\theta }}_n+c^{\top }(\theta -{\hat{\theta }}_n),$$

约束为 $n(\theta -{\hat{\theta }}_n{)}^{\top }{\hat{I}}_n(\theta -{\hat{\theta }}_n)\le {\chi }_{d,1-\alpha }^2$。令 $h=\theta -{\hat{\theta }}_n$，问题化为在椭球约束内最大化/最小化线性函数 $c^{\top }h$。经典优化结论给出

$${\psi }_{\max ,n}=c^{\top }{\hat{\theta }}_n+\sqrt{\frac{{\chi }_{d,1-\alpha }^2}{n}{c}^{\top }{\hat{I}}_n^{-1}c},$$

$${\psi }_{\min ,n}=c^{\top }{\hat{\theta }}_n-\sqrt{\frac{{\chi }_{d,1-\alpha }^2}{n}{c}^{\top }{\hat{I}}_n^{-1}c}.$$

因此，线性目标的置信区间自然由椭球与方向向量 $c$ 的几何关系给出。

命题 3.1（线性目标的最优界） 对任意 $c\in {\mathbb{R}}^d$，$\psi (\theta )=c^{\top }\theta$ 在 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 上的最小值与最大值分别如上式所示，且该区间在渐近意义下具有 $1-\alpha$ 的覆盖概率。

证明见附录 A.2。

3.2 非线性函数的局部线性近似

若 $\psi :\Theta \to {\mathbb{R}}^k$ 可微，则在 ${\hat{\theta }}_n$ 附近可作一阶近似

$$\psi (\theta )\approx \psi ({\hat{\theta }}_n)+D\psi ({\hat{\theta }}_n)(\theta -{\hat{\theta }}_n),$$

其中 Jacobian 矩阵 $D\psi ({\hat{\theta }}_n)\in {\mathbb{R}}^{k\times d}$ 的第 $i$ 行为 $\nabla {\psi }_i({\hat{\theta }}_n{)}^{\top }$。于是 $\psi ({\mathcal{R}}_n(\alpha ))$ 在一阶近似下为 ${\mathbb{R}}^k$ 中的椭球：

$${\mathcal{S}}_n(\alpha ):=\left\{y\in {\mathbb{R}}^k:n(y-\psi ({\hat{\theta }}_n){)}^{\top }(D\psi ({\hat{\theta }}_n){\hat{I}}_n^{-1}D\psi ({\hat{\theta }}_n{)}^{\top }{)}^{-1}(y-\psi ({\hat{\theta }}_n))\le {\chi }_{k,1-\alpha }^2\right\},$$

其中逆矩阵存在需假定 $D\psi ({\hat{\theta }}_n)$ 的行向量在信息度量下线性独立。该结果本质上是 Delta 方法在几何语言下的重述。

3.3 多参数与多目标的支持函数形式

在更一般情形，我们可使用支持函数刻画任意凸目标集。在凸椭球 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 上，其支持函数为

$$h_{{\mathcal{R}}_n(\alpha )}(u):=\underset{\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha )}{\sup }{u}^{\top }\theta =u^{\top }{\hat{\theta }}_n+\sqrt{\frac{{\chi }_{d,1-\alpha }^2}{n}{u}^{\top }{\hat{I}}_n^{-1}u}.$$

因而任何由线性泛函集合 $\{u:u\in \mathcal{U}\}$ 定义的目标集，都可以通过支持函数直接计算边界。其在因果推断场景中的一个重要应用是：当我们关心的是一簇线性因果效应（例如多群体异质性效应）时，可以通过支持函数统一地给出它们在可信区域上的最坏/最好情形。

4 因果推断中的可识别集与可信区域

4.1 因果模型与可识别集

在因果推断中，参数 $\theta$ 通常带有结构性解释，例如潜在结果模型中的平均处理效应，结构方程模型中的路径系数，工具变量模型中的局部平均处理效应等。在存在不可识别或部分识别的情形下，数据与假设所能确定的只是一个 可识别集

$$\mathcal{I}:=\{\theta \in \Theta :\theta \text{ 与观测分布及因果假设相容}\}.$$

例如，在违反某些排除限制或存在选择偏差时，可识别集往往是一个凸集、半代数集或一般闭集，而非单点。

4.2 数据驱动的可识别集估计

在有限样本下，我们通常通过估计不等式来近似 $\mathcal{I}$。例如，如果因果约束可以表述为参数上的约束

$$g_j(\theta )\le 0,j=1,\dots ,m,$$

而我们只能估计 $g_j(\theta )$ 的经验版本 ${\hat{g}}_{j,n}(\theta )$，则常见做法是使用“松弛不等式“

$${\hat{g}}_{j,n}(\theta )\le b_{j,n},$$

其中 $b_{j,n}$ 是上界（例如多重检验校正后的阈值），从而得到数据驱动的可识别集估计

$${\hat{\mathcal{I}}}_n:=\{\theta \in \Theta :{\hat{g}}_{j,n}(\theta )\le b_{j,n},j=1,\dots ,m\}.$$

在合适条件下可证明 ${\hat{\mathcal{I}}}_n$ 以适当的意义收敛到 $\mathcal{I}$。

4.3 可识别集与可信区域的交集

本文提出：因果结论应基于 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )\cap {\hat{\mathcal{I}}}_n$ 而非仅仅基于 ${\hat{\theta }}_n$。对于给定的因果函数 $\psi :\Theta \to {\mathbb{R}}^k$，我们关心的是

$${\mathcal{C}}_n(\alpha ):=\{\psi (\theta ):\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha )\cap {\hat{\mathcal{I}}}_n\}.$$

若 ${\mathcal{C}}_n(\alpha )$ 在某个方向或某个分量上具有一致符号或被限制在某个期望区间内，则我们可以说该因果结论在显著性水平 $\alpha$ 下是“几何稳健“的。

定义 4.1（几何稳健性） 设 $\psi :\Theta \to \mathbb{R}$ 为一标量因果目标，${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 为 $1-\alpha$ 级别可信区域，${\hat{\mathcal{I}}}_n$ 为可识别集的样本近似。若存在区间 $[L,U]\subset \mathbb{R}$，使得

$${\mathcal{C}}_n(\alpha )=\{\psi (\theta ):\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha )\cap {\hat{\mathcal{I}}}_n\}\subset [L,U],$$

则称“在水平 $\alpha$ 下，因果结论 $\psi (\theta )\in [L,U]$ 是几何稳健的“。

特别地，当 $L>0$（或 $U<0$）时，可以对效应方向做出稳健判断。

4.4 一个典型判据：线性因果效应

设 $\psi (\theta )=c^{\top }\theta$ 为线性因果效应（例如多参数模型中某线性组合对应于平均处理效应），且可识别集可表示为一组线性不等式

$$A\theta \le b,$$

则 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )\cap {\hat{\mathcal{I}}}_n$ 为椭球与多面体的交集，为凸集。因果效应的极值可由如下凸优化问题给出：

$${\psi }_{\max ,n}^{\ast }:=\sup \{c^{\top }\theta :\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha ),A\theta \le b\},$$

$${\psi }_{\min ,n}^{\ast }:=\inf \{c^{\top }\theta :\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha ),A\theta \le b\}.$$

在许多应用中，该问题可通过二次规划或半正定规划高效求解。显然，

$${\mathcal{C}}_n(\alpha )=[{\psi }_{\min ,n}^{\ast },{\psi }_{\max ,n}^{\ast }].$$

定理 4.2（线性因果效应的几何稳健判据） 在上述设定下，若对某个 $\delta >0$ 有

$${\psi }_{\min ,n}^{\ast }\ge \delta >0,$$

则在显著性水平 $\alpha$ 下，可得出因果结论“效应为正，且至少为 $\delta$“，且该结论对所有 $\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha )\cap {\hat{\mathcal{I}}}_n$ 都成立。

证明见附录 A.3。

这一判据将“点估计显著“提升为“在全部可信候选参数上均显著“，自然排除了仅靠点估计而忽略参数相关性时可能出现的虚假显著。

5 多实验与多模型：可信区域的交、并与冲突结构

在现实中，我们常常需要将不同实验、不同数据源甚至不同模型的结果进行综合。本文主张：多实验汇总的自然对象不是“若干个点估计“，而是“若干个可信区域“。

5.1 多个可信区域的交集与共识

设有 $K$ 个实验/数据源/模型，它们在同一参数空间 $\Theta$ 上给出可信区域 ${\mathcal{R}}_{n_k}^{(k)}({\alpha }_k)$，$k=1,\dots ,K$。定义整体共识区域

$${\mathcal{R}}_{\mathrm{cons}}:=\bigcap _{k=1}^K{\mathcal{R}}_{n_k}^{(k)}({\alpha }_k).$$

若我们关心的因果函数为 $\psi :\Theta \to {\mathbb{R}}^d$，则其在共识区域上的像为

$${\mathcal{C}}_{\mathrm{cons}}:=\{\psi (\theta ):\theta \in {\mathcal{R}}_{\mathrm{cons}}\}.$$

若 ${\mathcal{R}}_{\mathrm{cons}}$ 非空且“较小“，则说明不同实验之间存在高度一致性；反之，若 ${\mathcal{R}}_{\mathrm{cons}}$ 为空，则可以明确地说“这些实验/模型之间存在根本冲突“，而非模糊地依赖“某些估计差异“。

5.2 并集与可容许集合

另一方面，定义可容许区域为

$${\mathcal{R}}_{\mathrm{perm}}:=\bigcup _{k=1}^K{\mathcal{R}}_{n_k}^{(k)}({\alpha }_k),$$

它刻画“至少被某一个实验支持“的参数集。在某些决策问题中（例如容忍部分实验失败或模型 misspecification），我们可能只要求结论在 ${\mathcal{R}}_{\mathrm{perm}}$ 上成立。

5.3 冲突区域与不确定性分解

定义冲突区域为对称差

$${\mathcal{R}}_{\mathrm{conflict}}:=\left(\bigcup _{k=1}^K{\mathcal{R}}_{n_k}^{(k)}\right)\setminus \left(\bigcap _{k=1}^K{\mathcal{R}}_{n_k}^{(k)}\right),$$

其中若某点 $\theta$ 只被部分实验支持（而被其他实验排除），则属于该区域。通过将参数空间可视化为“共识—冲突—未约束“的分区，可以直观识别哪些参数方向的结论对实验选择最敏感。

6 实验设计与观测规划：可信区域作为目标函数

在上述框架中，实验设计的本质是：通过选择实验方案或观测策略，来塑造未来可信区域的形状与大小。本节我们在经典线性模型与一般 Fisher 信息背景下给出形式化刻画。

6.1 Fisher 信息与区域体积

在正则模型中，样本量为 $n$ 的情况下，信息矩阵通常可表示为

$$I_n(\theta )=n{I}_1(\theta ),$$

其中 $I_1(\theta )$ 为单个观测的信息。对给定设计参数 $\xi$（如样本在不同处理/协变量配置上的分布），单观测信息可写作 $I_1(\theta ;\xi )$。因此，

$$I_n(\theta ;\xi )=n{I}_1(\theta ;\xi ).$$

椭球可信区域的体积与 $\det (I_n({\theta }_0;\xi ){)}^{-1/2}$ 成正比。更准确地说，当 ${\mathcal{R}}_n(\alpha ;\xi )$ 是基于 $I_n({\theta }_0;\xi )$ 的椭球时，其 Lebesgue 体积为

$$\mathrm{Vol}({\mathcal{R}}_n(\alpha ;\xi ))=C_{d,\alpha }(\det I_n({\theta }_0;\xi ){)}^{-1/2},$$

其中常数 $C_{d,\alpha }$ 仅依赖于维数 $d$ 和 $\alpha$。因此，最小化区域体积等价于最大化 $\det I_n({\theta }_0;\xi )$。

定义 6.1（D-最优设计的误差几何刻画） 若设计 ${\xi }^{\ast }$ 使得

$$\det I_n({\theta }_0;{\xi }^{\ast })=\underset{\xi }{\sup }\det I_n({\theta }_0;\xi ),$$

则称 ${\xi }^{\ast }$ 为 D-最优设计。几何上，它在给定 $n$ 下使可信区域的体积达到最小，从而整体上最紧缩。

经典 D-最优性结论在附录 A.4 中以误差几何语言重述。

6.2 定向可辨率：A-最优与 c-最优

若关注的是特定线性因果效应 $\psi (\theta )=c^{\top }\theta$，则其渐近方差为

$$\mathrm{Var}\left(\hat{\psi }\right)\approx \frac{1}{n}{c}^{\top }{I}_1({\theta }_0;\xi {)}^{-1}c.$$

从误差几何角度看，这正是可信椭球在方向 $c$ 上的主半轴长度平方（忽略常数）。因此，最小化该方差等价于在方向 $c$ 上最大化可辨率。

定义 6.2（c-最优设计） 若设计 ${\xi }^{\ast }$ 使得

$$c^{\top }{I}_1({\theta }_0;{\xi }^{\ast }{)}^{-1}c=\underset{\xi }{\inf }{c}^{\top }{I}_1({\theta }_0;\xi {)}^{-1}c,$$

则称 ${\xi }^{\ast }$ 为 c-最优设计。

从几何视角：c-最优设计不追求整体椭球体积最小，而是专门压缩在方向 $c$ 上的半轴，即集中提升该因果效应的几何可辨率。

7 典型模型中的误差几何实例

本节简要展示几类常见模型下误差几何框架的具体形式，以便读者获得直观印象。

7.1 线性回归模型中的置信椭球与效应区间

考虑线性回归模型

$$Y_i=x_i^{\top }\beta +{\epsilon }_i,{\epsilon }_i\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2),$$

其中 $x_i\in {\mathbb{R}}^p$ 为已知协变量，$\beta \in {\mathbb{R}}^p$ 为回归系数。设 $X$ 为设计矩阵，OLS 估计为

$$\hat{\beta }=(X^{\top }X{)}^{-1}{X}^{\top }Y.$$

经典结果给出

$$\hat{\beta }\sim \mathcal{N}\left(\beta ,{\sigma }^2(X^{\top }X{)}^{-1}\right).$$

因此，信息矩阵为 $I(\beta )={\sigma }^{-2}{X}^{\top }X$，可信椭球为

$$\mathcal{R}(\alpha )=\{\beta :(\beta -\hat{\beta }{)}^{\top }{X}^{\top }X(\beta -\hat{\beta })\le {\sigma }^2{\chi }_{p,1-\alpha }^2\}.$$

对任意线性预测 $\psi (\beta )=x_{\text{new}}^{\top }\beta$，其在 $\mathcal{R}(\alpha )$ 上的区间为

$$x_{\text{new}}^{\top }\hat{\beta }\pm \sqrt{{\chi }_{p,1-\alpha }^2{\sigma }^2{x}_{\text{new}}^{\top }(X^{\top }X{)}^{-1}{x}_{\text{new}}},$$

这与经典线性回归置信区间完全一致，但在本框架下被解释为“可信椭球在 $x_{\text{new}}$ 方向上的几何投影“。

7.2 工具变量模型中的可识别集与椭球约束

在简单线性 IV 模型中，存在弱工具或违背排除假设时，结构参数可能只部分可识别。此时可识别集 $\mathcal{I}$ 通常为某个多面体或更复杂的凸集。将其与置信椭球 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 相交，可以得到结构参数的几何约束，从而对局部平均处理效应的取值范围给出稳健区间。

在许多情况下，该问题可化为“椭球与多面体的交集上的线性函数极值“，可以使用二次规划求解，其本质即为第 4.4 节所述的几何稳健判据。

8 讨论与展望

本文提供了一种将“误差“上升为“几何边界“的统一视角，并在此基础上系统重述了置信区间、因果可识别集、多实验汇总与实验设计等经典主题。其核心要点可概括为：

1. 可信区域 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 是参数空间中的椭球或更一般的凸集，携带由 Fisher 信息诱导的局部度量结构；

2. 因果结论应当在 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )\cap {\hat{\mathcal{I}}}_n$ 上检验，而非仅仅依赖点估计；

3. 多实验与多模型自然诱导可信区域的交、并与对称差，其几何分解刻画共识、冲突与不确定性结构；

4. 实验设计可以被视为“塑造未来可信区域几何“的优化问题，与 D-最优、A-最优与 c-最优等经典准则在形式上完全等价。

更进一步的方向包括：将本文的误差几何框架与信息几何（Fisher–Rao 度量）、泛函参数（例如密度曲线或响应曲面）、高维稀疏结构（例如 ${\ell }_1$ 约束下的多面体区域）、以及动态因果结构（时间序列与事件史模型）结合；在这些扩展中，“可信区域“将不再是有限维椭球，而是 Banach 空间或流形上的复杂集合，但其作为“误差边界“的本质仍保持不变。

附录 A：主要定理与命题的证明

A.1 定理 2.1 的证明（置信椭球的渐近覆盖）

定理重述 在正则条件下，设 ${\hat{\theta }}_n$ 满足

$$\sqrt{n}({\hat{\theta }}_n-{\theta }_0)\stackrel{d}{\to }\mathcal{N}(0,I({\theta }_0{)}^{-1}),$$

且 ${\hat{I}}_n\stackrel{P}{\to }I({\theta }_0)$，则对任意固定 $\alpha \in (0,1)$，

$$P_{{\theta }_0}({\theta }_0\in {\mathcal{R}}_n(\alpha ))\to 1-\alpha .$$

证明 记

$$Z_n:=\sqrt{n}({\hat{\theta }}_n-{\theta }_0),I_0:=I({\theta }_0),$$

则 $Z_n\stackrel{d}{\to }Z\sim \mathcal{N}(0,I_0^{-1})$。注意到事件 ${\theta }_0\in {\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 等价于

$$n({\theta }_0-{\hat{\theta }}_n{)}^{\top }{\hat{I}}_n({\theta }_0-{\hat{\theta }}_n)\le {\chi }_{d,1-\alpha }^2,$$

即

$$Z_n^{\top }{\hat{I}}_n{Z}_n\le {\chi }_{d,1-\alpha }^2.$$

根据 Slutsky 定理，${\hat{I}}_n\stackrel{P}{\to }{I}_0$，所以 $Z_n^{\top }{\hat{I}}_n{Z}_n\stackrel{d}{\to }{Z}^{\top }{I}_{0}Z$。而对 $Z\sim \mathcal{N}(0,I_0^{-1})$，有

$$Z^{\top }{I}_{0}Z\sim {\chi }_d^2.$$

因此，

$$P_{{\theta }_0}({\theta }_0\in {\mathcal{R}}_n(\alpha ))=P(Z_n^{\top }{\hat{I}}_n{Z}_n\le {\chi }_{d,1-\alpha }^2)⟶P(Z^{\top }{I}_{0}Z\le {\chi }_{d,1-\alpha }^2)=1-\alpha .$$

证毕。

A.2 命题 3.1 的证明（线性目标的最优界）

命题重述 在 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 上，线性函数 $\psi (\theta )=c^{\top }\theta$ 的最小值与最大值为

$${\psi }_{\max ,n}=c^{\top }{\hat{\theta }}_n+\sqrt{\frac{{\chi }_{d,1-\alpha }^2}{n}{c}^{\top }{\hat{I}}_n^{-1}c},$$

$${\psi }_{\min ,n}=c^{\top }{\hat{\theta }}_n-\sqrt{\frac{{\chi }_{d,1-\alpha }^2}{n}{c}^{\top }{\hat{I}}_n^{-1}c}.$$

证明 令 $h=\theta -{\hat{\theta }}_n$，约束变为

$$n{h}^{\top }{\hat{I}}_{n}h\le {\chi }_{d,1-\alpha }^2.$$

目标函数为

$$\psi (\theta )=c^{\top }{\hat{\theta }}_n+c^{\top }h.$$

因此最大化 $\psi (\theta )$ 等价于在椭球

$$\mathcal{E}:=\{h:h^{\top }{\hat{I}}_{n}h\le {\chi }_{d,1-\alpha }^2/n\}$$

上最大化 $c^{\top }h$。标准的二次约束线性规划结论或 Cauchy–Schwarz 不等式给出

$$\underset{h\in \mathcal{E}}{\sup }{c}^{\top }h=\sqrt{{\chi }_{d,1-\alpha }^2/n}\sqrt{c^{\top }{\hat{I}}_n^{-1}c},$$

最小值则为相反数。因此

$${\psi }_{\max ,n}=c^{\top }{\hat{\theta }}_n+\sqrt{\frac{{\chi }_{d,1-\alpha }^2}{n}{c}^{\top }{\hat{I}}_n^{-1}c},$$

$${\psi }_{\min ,n}=c^{\top }{\hat{\theta }}_n-\sqrt{\frac{{\chi }_{d,1-\alpha }^2}{n}{c}^{\top }{\hat{I}}_n^{-1}c}.$$

证毕。

A.3 定理 4.2 的证明（线性因果效应的几何稳健判据）

定理重述 设 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 为可信椭球，${\hat{\mathcal{I}}}_n=\{\theta :A\theta \le b\}$ 为线性可识别集，$\psi (\theta )=c^{\top }\theta$。若

$${\psi }_{\min ,n}^{\ast }:=\inf \{c^{\top }\theta :\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha ),A\theta \le b\}\ge \delta >0,$$

则在显著性水平 $\alpha$ 下，可以断言对所有 $\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha )\cap {\hat{\mathcal{I}}}_n$ 有 $\psi (\theta )\ge \delta >0$，即“因果效应为正且至少为 $\delta$“是几何稳健的。

证明 由定义，${\mathcal{R}}_n(\alpha )\cap {\hat{\mathcal{I}}}_n$ 中任意 $\theta$ 都满足 $A\theta \le b$ 且 $\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha )$。因此，对任意 $\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha )\cap {\hat{\mathcal{I}}}_n$，有

$$\psi (\theta )=c^{\top }\theta \ge \inf \{c^{\top }\theta :\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha ),A\theta \le b\}={\psi }_{\min ,n}^{\ast }\ge \delta .$$

也即

$${\mathcal{C}}_n(\alpha )=\{\psi (\theta ):\theta \in {\mathcal{R}}_n(\alpha )\cap {\hat{\mathcal{I}}}_n\}\subset [\delta ,\infty ).$$

由于 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 的构造保证其渐近覆盖概率为 $1-\alpha$，在常规条件下可认为“真参数 ${\theta }_0$“以概率约 $1-\alpha$ 落在 ${\mathcal{R}}_n(\alpha )$ 内；若 ${\theta }_0\in \mathcal{I}$ 且 ${\hat{\mathcal{I}}}_n$ 为良好近似，则上述结论可以在渐近意义下解释为水平 $\alpha$ 的显著结论。严格的概率陈述需引入联合覆盖与一致收敛，这里不再赘述。证毕。

A.4 D-最优设计与可信区域体积的等价性

命题 A.1（D-最优设计的误差几何刻画） 设在正则模型中，样本量为 $n$，信息矩阵为 $I_n({\theta }_0;\xi )=n{I}_1({\theta }_0;\xi )$，基于 $I_n({\theta }_0;\xi )$ 构造的置信椭球 ${\mathcal{R}}_n(\alpha ;\xi )$ 的体积满足

$$\mathrm{Vol}({\mathcal{R}}_n(\alpha ;\xi ))=C_{d,\alpha }(\det I_n({\theta }_0;\xi ){)}^{-1/2},$$

其中 $C_{d,\alpha }$ 与 $\xi$ 无关。因此，最大化 $\det I_n({\theta }_0;\xi )$ 等价于最小化 $\mathrm{Vol}({\mathcal{R}}_n(\alpha ;\xi ))$。

证明 令 $A(\xi ):=I_n({\theta }_0;\xi )$，则椭球定义为

$${\mathcal{R}}_n(\alpha ;\xi )=\{\theta :(\theta -{\hat{\theta }}_n{)}^{\top }A(\xi )(\theta -{\hat{\theta }}_n)\le c\},$$

其中 $c={\chi }_{d,1-\alpha }^2$ 为常数。令 $y=A(\xi {)}^{1/2}(\theta -{\hat{\theta }}_n)$，则映射 $\theta \mapsto y$ 为线性同胚，其 Jacobian 为 $\det A(\xi {)}^{1/2}$。在 $y$-空间中，椭球变为半径为 $\sqrt{c}$ 的欧氏球 $B_d(\sqrt{c})$，其体积为

$$\mathrm{Vol}(B_d(\sqrt{c}))=\frac{{\pi }^{d/2}{c}^{d/2}}{\Gamma (d/2+1)}.$$

因此

$$\mathrm{Vol}({\mathcal{R}}_n(\alpha ;\xi ))=\frac{\mathrm{Vol}(B_d(\sqrt{c}))}{\det A(\xi {)}^{1/2}}=C_{d,\alpha }(\det A(\xi ){)}^{-1/2},$$

其中 $C_{d,\alpha }:=\mathrm{Vol}(B_d(\sqrt{c}))$ 与 $\xi$ 无关。于是最小化体积等价于最大化 $\det A(\xi )=\det I_n({\theta }_0;\xi )$。证毕。

参考文献（示意）

1. Bickel, P. J., & Doksum, K. A. (2015). Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics.

2. van der Vaart, A. W. (1998). Asymptotic Statistics.

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4. Pukelsheim, F. (2006). Optimal Design of Experiments.

5. Manski, C. F. (2003). Partial Identification of Probability Distributions.

6. Imbens, G. W., & Rubin, D. B. (2015). Causal Inference for Statistics, Social, and Biomedical Sciences.

7. Pearl, J. (2009). Causality: Models, Reasoning, and Inference.