有限阶纪律下的误差可控性

——PSWF/DPSS 极值窗的唯一性、整数主项（谱流／投影对指标）与 $10^{-3}$ 级普适常数（统一归一化与常数校准版）

Abstract

在统一的 Fourier 归一化 $\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(t)e^{-2\pi it\xi }dt$（频率以 cycles 计）下，构建围绕时限–带限串联算子的误差纪律：窗化主泄漏、乘法交叉项与“求和–积分差“被组织为“拓扑整数主项 + 解析尾项“的可计算链路。连续端以 $K_c=D_T{B}_{\Omega }{D}_T$（离散端以 $K_{N,W}=T_N{B}_W{T}_N$）给出极值窗的唯一性与泄漏恒等式 $|(I-B_{\Omega })g_{\ast }{|}_2^2=1-{\lambda }_0$；任意长度 1 基本域上，平方和型别名能量恒等于域外能量；乘法交叉项的 Hankel‑型块给出 Hilbert–Schmidt（HS）精确公式；Euler–Maclaurin(EM) 余项的解析尾项由周期 Bernoulli 的上确界常数与 BPW 不等式闭式控制。基于自然对数口径的显式非渐近特征值上界，得到与窗形无关的最小整数 Shannon 数门限 $(\epsilon ,N_0^{\star })=(10^{-3},33),(10^{-6},42),(10^{-9},50)$。在可定义性假设（迹类差与强连续路径）下，谱流等于投影对指标，从而将“误差的整数主项“识别为拓扑不变量。全文给出完整证明与可复算流程。

Keywords

Time–band limiting; Prolate Spheroidal Wave Functions (PSWF); Discrete Prolate Spheroidal Sequences (DPSS); Shannon number; aliasing; Hankel block; Hilbert–Schmidt norm; Euler–Maclaurin remainder; spectral flow; index of a pair of projections; de Branges.

Introduction & Historical Context

时限–带限问题在信号处理与调和分析中处于核心地位。Slepian–Landau–Pollak 体系揭示：在有限时窗 $[-T,T]$ 与有限带宽 $[-\Omega ,\Omega ]$ 的串联约束下，最优能量集中的波形由 PSWF/DPSS 给出，其特征值在 $1$ 与 $0$ 附近呈指数簇集。工程实践常见三类误差——窗化带外泄漏、别名（aliasing）与求和–积分差（Poisson/EM 余项）——历来分而治之，导致门限与常数不可比、不可复算。

本文在统一的 cycles 归一化下，提出一条“可计算—可证明—可复算“的误差纪律链路： （一）以 $K_c=D_T{B}_{\Omega }{D}_T$（离散端 $K_{N,W}=T_N{B}_W{T}_N$）的主特征值 ${\lambda }_0$ 精确刻画窗化主泄漏；（二）以平方和型别名＝域外能量的恒等式将 aliasing 还原为带外能量；（三）对乘法作用后的带外泄漏给出 Hankel‑HS 精确公式与上界；（四）以“谱流＝投影对指标“的框架刻画“整数主项“，以 Vaaler–Littmann 极值与周期 Bernoulli 常数给出 EM 解析尾项的闭式；（五）以自然对数口径的显式非渐近特征值上界生成与窗形无关的最小整数 Shannon 数门限。由此，三块误差均落到三项可计算量：$1-{\lambda }_0$、Hankel–HS 与 EM 尾项；整数主项由谱不变量承担。

Model & Assumptions

Fourier 与单位：$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(t)e^{-2\pi it\xi }dt$，$\xi$ 以 cycles 计；Plancherel：$|f{|}_2=|\hat{f}{|}_2$。

投影：时限 $D_{T}f=1_{[-T,T]}f$；带限 $B_{\Omega }f={\mathcal{F}}^{-1}(1_{[-\Omega ,\Omega ]}\hat{f})$。

串联算子：连续端 $K_c=D_T{B}_{\Omega }{D}_T$；离散端 $K_{N,W}=T_N{B}_W{T}_N$（$T_N$ 为长度 $N$ 的限制，$B_W$ 为 $[-W,W]\subset [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 的带限投影）。

Shannon 数：$c=\pi T\Omega$，$N_0=2T\Omega =2c/\pi$（连续）；$N_0=2NW$（离散）。二端以 $N_0$ 对齐。

BPW：若 $\mathrm{supp}\hat{g}\subset [-\Omega ,\Omega ]$，则 $|g^{(m)}{|}_2\le (2\pi \Omega {)}^m|g{|}_2$。

范数：$|\cdot {|}_2,|\cdot {|}_{\infty }$；对任意有界算子 $|A{|}_{\mathrm{op}}\le |A{|}_{\mathrm{HS}}$。

基本域：任意长度 1 的 $I=[a,a+1)$，用于别名能量的归一化。

Main Results (Theorems and Alignments)

Theorem 1（极值窗唯一性与泄漏恒等）

设 $K_c=D_T{B}_{\Omega }{D}_T$ 为作用在 $L^2(\mathbb{R})$ 上的紧自伴正算子。其最大特征值 ${\lambda }_0\in (0,1)$ 为单重，相应特征函数 $g_{\ast }$（$|g_{\ast }{|}_2=1$）唯一（除相位），并满足

$$|B_{\Omega }{g}_{\ast }{|}_2^2={\lambda }_0,|(I-B_{\Omega })g_{\ast }{|}_2^2=1-{\lambda }_0.$$

离散端 $K_{N,W}=T_N{B}_W{T}_N$ 完全平行，主向量为第一条 DPSS，亦为单重。

Alignment 1（平方和型别名＝域外能量）

对任意 $w\in L^2(\mathbb{R})$ 与任取长度 1 的基本域 $I=[a,a+1)$，有

$${\int }_I\sum _{k\ne 0}|\hat{w}(\xi +k){|}^{2}d\xi ={\int }_{\mathbb{R}\setminus I}|\hat{w}(\eta ){|}^{2}d\eta .$$

当 $I$ 与物理带通 $[-\Omega ,\Omega ]$（经平移／缩放）一致时，右端即“相对该带通的域外能量“；取 $w=g_{\ast }$ 得 $\mathsf{Aliasing}(g_{\ast };I)=1-{\lambda }_0$。

Theorem 2（乘法交叉项的 HS 精确公式与上界）

对 $x\in L^{\infty }\cap L^2$ 与 $W\in (0,\frac{1}{2}]$，

$$|(I-B_W)M_x{B}_W{|}_{\mathrm{HS}}^2={\int }_{\mathbb{R}}|\hat{x}(\delta ){|}^2{\sigma }_W(\delta )d\delta ,{\sigma }_W(\delta )=\min (2W,|\delta |).$$

进而对任意 $w\in L^2$ 有

$$|(I-B_W)M_{x}w{|}_2\le |(I-B_W)M_x{B}_W{|}_{\mathrm{op}}|w{|}_2+|x{|}_{\infty }|(I-B_W)w{|}_2,$$

从而对极值窗 $g_{\ast }$（Theorem 1）：

$$|(I-B_W)M_x{g}_{\ast }{|}_2\le |(I-B_W)M_x{B}_W{|}_{\mathrm{HS}}+|x{|}_{\infty }\sqrt{1-{\lambda }_0}.$$

此外，$(I-B_W)M_x{B}_W\equiv 0$ 当且仅当 $x$ a.e. 为常数。

Theorem 3（EM 余项的解析尾项上界）

对 $g\in W^{2p,1}(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$，有

$$|R_{2p}(g)|\le \frac{2\zeta (2p)}{(2\pi {)}^{2p}}|g^{(2p)}{|}_{L^1}.$$

若再假设 $\mathrm{supp}\hat{g}\subset [-\Omega ,\Omega ]$ 且在长度 $L$ 的时域局部评估，则

$$\frac{|R_{2p}(g)|}{|g{|}_2}\le 2\zeta (2p)\sqrt{L}{\Omega }^{2p}.$$

达到 $|R_{2p}(g)|/|g{|}_2\le 10^{-3}$ 的充分门限为

$$\sqrt{L}{\Omega }^4\le 4.6197\times 10^{-4},\sqrt{L}{\Omega }^6\le 4.9148\times 10^{-4},\sqrt{L}{\Omega }^8\le 4.9797\times 10^{-4}.$$

Theorem 4（谱流＝投影对指标：整数主项的拓扑化）

取平滑频域乘子 $\varphi \in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$，令 $\Pi ={\mathcal{F}}^{-1}{M}_{\varphi }\mathcal{F}$ 与正交投影 $P=1_{[1/2,\infty )}(\Pi )$。设调制群 $U_{\theta }f(t)=e^{2\pi i\theta t}f(t)$，$P_{\theta }=U_{\theta }P{U}_{\theta }^{\ast }$。若 (i) $P-P_{\theta }\in {\mathcal{S}}_1$；(ii) $\theta \mapsto U_{\theta }$ 强连续， 则自伴路径 $A(\theta )=2P_{\theta }-I$ 可定义谱流，且

$$\mathrm{Sf}(A(\theta ){)}_{\theta \in [{\theta }_0,{\theta }_1]}=\mathrm{ind}(P,P_{{\theta }_1})-\mathrm{ind}(P,P_{{\theta }_0})\in \mathbb{Z}.$$

由此可将“求和–积分差“的整数主项识别为与路径相关的相对指标；解析尾项由 Theorem 3 控制。

Theorem 5（KRD 非渐近主值上界与最小整数门限）

令 $N_0=2T\Omega$（连续）或 $N_0=2NW$（离散），则主值满足

$$1-{\lambda }_0\le 10\exp (-\frac{(\lfloor N_0\rfloor -7{)}^2}{{\pi }^2\log (50N_0+25)}),$$

并据此定义达到泄漏上界 $\epsilon$ 的最小整数门限

$$N_0^{\star }(\epsilon ):=\min \{n\in \mathbb{N}:10\exp (-\frac{(n-7{)}^2}{{\pi }^2\log (50n+25)})\le \epsilon \}.$$

数值（自然对数，指数内取整）：

$$(\epsilon ,N_0^{\star },c^{\star },N{W}^{\star })=(10^{-3},33,\frac{\pi }{2}\cdot 33,16.5),(10^{-6},42,\frac{\pi }{2}\cdot 42,21.0),(10^{-9},50,\frac{\pi }{2}\cdot 50,25.0).$$

Proofs

Proof of Theorem 1

紧性与自伴。$B_{\Omega }$ 与 $D_T$ 为正交投影，$(D_T{B}_{\Omega })(t,s)=1_{[-T,T]}(t)\frac{\sin (2\pi \Omega (t-s))}{\pi (t-s)}$ 在 $[-T,T{]}^2$ 上平方可积，故 $D_T{B}_{\Omega }$ 为 Hilbert–Schmidt，进而 $K_c=D_T{B}_{\Omega }{D}_T$ 紧自伴。

可交换与单重性。令 $x=t/T\in [-1,1]$、$c=\pi T\Omega$。经典 PSWF 满足

$$(1-x^2)y^{\prime \prime }(x)-2x{y}^{\prime }(x)+(\chi -c^2{x}^2)y(x)=0.$$

记 $L_{c}y:=-\frac{d}{dx}\left((1-x^2)\frac{dy}{dx}\right)+c^2{x}^{2}y$，把上式改写为 $L_{c}y=\chi y$。$L_c$ 是 $[-1,1]$ 上的自伴 Sturm–Liouville 算子，端点为正则奇点，谱纯离散且各本征值单重；其本征函数零点数与编号一致（振荡定理）。Slepian 可交换性给出 $K_c$ 与 $L_c$ 可同时对角化，故 ${\lambda }_0$ 的几何重数等于对应 ${\chi }_0$ 的重数，因而为 1，主特征函数唯一（除相位）。

泄漏恒等。由 $B_{\Omega }$ 的正交投影性与 $|g_{\ast }{|}_2=1$，

$${\lambda }_0=⟨K_c{g}_{\ast },g_{\ast }⟩=⟨B_{\Omega }{g}_{\ast },g_{\ast }⟩=|B_{\Omega }{g}_{\ast }{|}_2^2,|(I-B_{\Omega })g_{\ast }{|}_2^2=1-{\lambda }_0.$$

离散端 $K_{N,W}$ 与可交换的二阶差分算子构成离散 Sturm 理论，主值亦单重。

Proof of Alignment 1

$\mathbb{R}\setminus I={⨆}_{k\ne 0}(I+k)$ 为可数不交分解。由于 $\hat{w}\in L^2$， ${\sum }_{k\ne 0}{\int }_I|\hat{w}(\xi +k){|}^{2}d\xi \le |\hat{w}{|}_2^2<\infty$，Tonelli 可用。变量代换 $\eta =\xi +k$ 即得

$${\int }_I\sum _{k\ne 0}|\hat{w}(\xi +k){|}^{2}d\xi =\sum _{k\ne 0}{\int }_{I+k}|\hat{w}(\eta ){|}^{2}d\eta ={\int }_{\mathbb{R}\setminus I}|\hat{w}(\eta ){|}^{2}d\eta .$$

Proof of Theorem 2

HS 精确公式。频域核

$$K(\xi ,\eta )=1_{|\xi |>W}{1}_{|\eta |\le W}\hat{x}(\xi -\eta ).$$

HS 范数平方

$$\iint |K{|}^2={\int }_{|\eta |\le W}{\int }_{|\xi |>W}|\hat{x}(\xi -\eta ){|}^{2}d\xi d\eta ={\int }_{\mathbb{R}}|\hat{x}(\delta ){|}^2{m}_W(\delta )d\delta ,$$

其中 $m_W(\delta )=\mathrm{meas}\{\eta \in [-W,W]:|\eta +\delta |>W\}$。 几何上为长度 $2W$ 的区间与其平移之补交测度： $m_W(\delta )=\min (2W,|\delta |)$。得所述公式。

上界。分解

$$(I-B_W)M_x=(I-B_W)M_x{B}_W+(I-B_W)M_x(I-B_W),$$

再用 $|A{|}_{\mathrm{op}}\le |A{|}_{\mathrm{HS}}$、$|(I-B_W)|\le 1$ 与三角不等式，得到一般上界；取 $w=g_{\ast }$ 并用 Theorem 1 的 $|(I-B_W)g_{\ast }{|}_2\le \sqrt{1-{\lambda }_0}$ 即得陈述式。若 $(I-B_W)M_x{B}_W\equiv 0$，则对任意带限输入 $B_{W}w$，$\hat{x}\ast (\hat{w}\cdot 1_{[-W,W]})$ 支撑仍在 $[-W,W]$，这迫使 $\mathrm{supp}\hat{x}\subset \{0\}$；与 $x\in L^{\infty }$ 合并仅余常数函数。

Proof of Theorem 3

周期 Bernoulli 的 Fourier 展开给出

$${\left|\frac{B_{2p}(\cdot )}{(2p)!}\right|}_{\infty }=\frac{2\zeta (2p)}{(2\pi {)}^{2p}}.$$

EM 余项公式

$$R_{2p}(g)={\int }_{\mathbb{R}}{g}^{(2p)}(t)\frac{B_{2p}(\{t\})}{(2p)!}dt,$$

从而

$$|R_{2p}(g)|\le \frac{2\zeta (2p)}{(2\pi {)}^{2p}}|g^{(2p)}{|}_{L^1}.$$

若 $\mathrm{supp}\hat{g}\subset [-\Omega ,\Omega ]$，则 $|g^{(2p)}{|}_{L^1}\le \sqrt{L}|g^{(2p)}{|}_{L^2}\le \sqrt{L}(2\pi \Omega {)}^{2p}|g{|}_2$。分母的 $(2\pi {)}^{2p}$ 与 BPW 的 $(2\pi {)}^{2p}$ 完全抵消，得陈述式与门限数值。

Proof of Theorem 4

定 $A(\theta )=2P_{\theta }-I$。由假设 (i)–(ii) 与谱投影的正则性，$A(\theta )$ 为自伴 Fredholm 的强连续路径。谱流定义为零穿越的有符号计数；另一方面，相对指标 $\mathrm{ind}(P,Q)$ 在 $P-Q\in {\mathcal{S}}_1$ 时可由相对维数定义，并满足加法性与同伦不变性。把 $[{\theta }_0,{\theta }_1]$ 细分为若干小区间，使 $0$ 成为各段上的正则值，局部地，谱流等于 $\mathrm{rank}(P_{\theta }{|}_{\mathrm{ran}P})$ 的跳变数；相对指标亦记录相同的跳变。拼接并用同伦不变性得

$$\mathrm{Sf}(A(\theta ){)}_{{\theta }_0}^{{\theta }_1}=\mathrm{ind}(P,P_{{\theta }_1})-\mathrm{ind}(P,P_{{\theta }_0}).$$

频域平滑 $\varphi \in C_c^{\infty }$ 与（必要时）时域局域化保证 $P-P_{\theta }\in {\mathcal{S}}_1$；在强算子拓扑下让 $\varphi \to 1_{[-W,W]}$，整数不变，从而建立“整数主项“的拓扑来源。

Proof of Theorem 5

离散端原式以 $NW$ 为参量：

$$1-{\lambda }_0\le 10\exp \left(-\frac{(\lfloor 2NW\rfloor -7{)}^2}{{\pi }^2\log (100NW+25)}\right).$$

置 $N_0=2NW$ 得

$$1-{\lambda }_0\le 10\exp \left(-\frac{(\lfloor N_0\rfloor -7{)}^2}{{\pi }^2\log (50N_0+25)}\right).$$

连续端以 $c$ 表示的界经 $N_0=2c/\pi$ 得相同统一形式。对给定 $\epsilon$ 扫描最小整数 $n$ 使右端 $\le \epsilon$ 即得 $N_0^{\star }(\epsilon )$。数值如陈述。

Model Apply

连续–离散映射：$(T,\Omega )\leftrightarrow (N,W)$ 以 $N_0=2T\Omega =2NW$ 对齐；通常取 $N\approx 2T$、$W\approx \Omega$（单位一致时）。

两套口径一致性：$D_T{B}_{\Omega }{D}_T$ 与 $B_{\Omega }{D}_T{B}_{\Omega }$ 非零谱一致（命题 $AB$ 与 $BA$ 非零谱一致）。在频域泄漏：$|(I-B_{\Omega })g_{\ast }{|}_2^2=1-{\lambda }_0$；在时域泄漏：$|(I-D_T)w_{\ast }{|}_2^2=1-{\lambda }_0$。

基本域一致性：选取与 $[-\Omega ,\Omega ]$ 同类的基本域（平移／缩放一致），Alignment 1 的右端即“相对该带通的域外能量“，从而对 $w=g_{\ast }$，别名能量等于 $1-{\lambda }_0$。

Engineering Proposals

（一）门限驱动的选参 给定泄漏容限 $\epsilon \in \{10^{-3},10^{-6},10^{-9}\}$，查 Theorem 5 得最小整数 $N_0^{\star }$，据此设置 $(T,\Omega )$ 或 $(N,W)$。

（二）交叉项的可计算上界 一次 FFT 得 $\hat{x}$，计算

$${\Xi }_W(x):={\left({\int }_{\mathbb{R}}|\hat{x}(\delta ){|}^2\min (2W,|\delta |)d\delta \right)}^{1/2}.$$

预算式

$$|(I-B_W)M_x{g}_{\ast }{|}_2\le {\Xi }_W(x)+|x{|}_{\infty }\sqrt{1-{\lambda }_0}.$$

若 $\hat{x}$ 经预滤而窄带，${\Xi }_W(x)$ 显著减小。

（三）EM 选阶 给定 $(L,\Omega )$，选择 $p\in \{2,3,4\}$ 中最小者，使 $\sqrt{L}{\Omega }^{2p}\le 10^{-3}/(2\zeta (2p))$。

（四）多锥／多通带 取前 $K\approx \lfloor N_0\rfloor$ 条 DPSS 做多锥；别名预算沿 Alignment 1 逐锥叠加，交叉项按 Theorem 2 以 $\hat{x}$ 的能量分配分块估计。

Discussion (risks, boundaries, past work)

可定义性边界：谱流＝投影对指标依赖 $P-P_{\theta }\in {\mathcal{S}}_1$。尖锐带限投影与纯调制差值一般非迹类，需先频域平滑并（必要时）时域局域化，再取谱投影，最后在强算子拓扑下趋向极限；整数主项对正则化细节不敏感。

尺度与常数：cycles 归一化下，BPW 的 $(2\pi {)}^m$ 与 EM 常数分母 $(2\pi {)}^{2p}$ 完全抵消；KRD 门限以自然对数与 $\log (50N_0+25)$ 表示，并以指数内取整给出最小整数。

保守与紧致：可按 Theorem 5 的紧版本生成门限（$33,42,50$），亦可在极端风险规避下选更大整数，形成保守冗余。

历史脉络：时–带极值、Toeplitz 指数／绕数、谱流／相对指标与一侧极值构成理论脊梁；非渐近门限将经典渐近论与工程参数化联通。

Conclusion

在统一归一化与参数映射下，三类误差——主泄漏、乘法交叉项与求和–积分差——被纳入“整数主项 + 解析尾项“的算子化纪律：

• 主泄漏由 ${\lambda }_0$ 精确刻画，并由显式非渐近上界生成与窗形无关的最小整数门限；
• 交叉项由 Hankel‑HS 精确公式量化，给出无需启发式常数的可计算上界；
• EM 余项在 cycles 归一化下呈现“$(2\pi )$ 完全抵消“，常数闭式且与时–带参数直接对接；
• 整数主项（谱流／投影对指标）提供拓扑来源。 由此形成的“有限阶纪律“既能工程落地，又具完备的数学锚点。

Appendix — Detailed Proofs and Calculus

A.1 记号、单位与基本工具

• 归一化：$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(t)e^{-2\pi it\xi }dt$，$\xi$ 以 cycles 计。
• 投影：$D_{T}f=1_{[-T,T]}f$，$B_{\Omega }={\mathcal{F}}^{-1}{1}_{[-\Omega ,\Omega ]}\mathcal{F}$。
• 范数：$|A{|}_{\mathrm{op}}\le |A{|}_{\mathrm{HS}}$，Plancherel：$|f{|}_2=|\hat{f}{|}_2$。
• Shannon 数：$N_0=2T\Omega =2NW$。

A.2 $AB$ 与 $BA$ 非零谱一致

若 $ABx=\lambda x$ 且 $\lambda \ne 0$，则 $Bx\ne 0$ 且 $BA(Bx)=\lambda (Bx)$；反向同理。由此 $D_T{B}_{\Omega }{D}_T$ 与 $B_{\Omega }{D}_T{B}_{\Omega }$ 非零谱一致，两个口径的泄漏恒等式等价。

A.3 PSWF 的 Sturm–Liouville 结构与主值单重性

变量 $x=t/T\in [-1,1]$、$c=\pi T\Omega$。PSWF 满足

$$(1-x^2)y^{\prime \prime }(x)-2x{y}^{\prime }(x)+(\chi -c^2{x}^2)y(x)=0.$$

记

$$L_{c}y:=-\frac{d}{dx}\left((1-x^2)\frac{dy}{dx}\right)+c^2{x}^{2}y,$$

则 $L_c$ 为 $[-1,1]$ 上自伴的二阶微分算子。端点 $x=\pm 1$ 为正则奇点，谱纯离散且各本征值简单；本征函数零点数与编号一致。Slepian 可交换性给出 $K_c$ 与 $L_c$ 共享正交本征系，故 $K_c$ 的主特征值几何重数为 1。

离散端：Toeplitz 型 prolate 矩阵与三对角差分算子可交换，离散 Sturm 振荡定理保证主值简单。

A.4 平方和型别名＝域外能量的细节

对 $I=[a,a+1)$，有 $\mathbb{R}\setminus I={⨆}_{k\ne 0}(I+k)$（不交）。对任意 $w\in L^2$，

$$\sum _{k\ne 0}{\int }_I|\hat{w}(\xi +k){|}^{2}d\xi =\sum _{k\ne 0}{\int }_{I+k}|\hat{w}(\eta ){|}^{2}d\eta ={\int }_{\mathbb{R}\setminus I}|\hat{w}(\eta ){|}^{2}d\eta .$$

“平方和型“指在积分前对各平移通道取模平方后求和；与“先周期化再取模平方“的工程度量（含交叉项）区分。

A.5 Hankel‑HS 几何测度的分段计算

对固定 $\delta$，集合

$$S(\delta )=\{\eta \in [-W,W]:|\eta +\delta |>W\}.$$

若 $|\delta |\le 2W$，则 $S(\delta )$ 为两端各长 $|\delta |/2$ 的并，测度 $|\delta |$；若 $|\delta |>2W$，则 $S(\delta )=[-W,W]$ 全部，测度 $2W$。故

$$m_W(\delta )=\mathrm{meas}S(\delta )=\min (2W,|\delta |),$$

从而得 Theorem 2 的 HS 精确公式。

A.6 EM 余项与“$(2\pi )$ 抵消“细节

周期 Bernoulli 的 sup 常数

$${\left|\frac{B_{2p}(\cdot )}{(2p)!}\right|}_{\infty }=\frac{2\zeta (2p)}{(2\pi {)}^{2p}}.$$

若 $\mathrm{supp}\hat{g}\subset [-\Omega ,\Omega ]$，则

$$|g^{(2p)}{|}_{L^1}\le \sqrt{L}|g^{(2p)}{|}_{L^2}\le \sqrt{L}(2\pi \Omega {)}^{2p}|g{|}_2,$$

代入 EM 余项上界，分母的 $(2\pi {)}^{2p}$ 与 BPW 的 $(2\pi {)}^{2p}$ 完全抵消，得到

$$\frac{|R_{2p}(g)|}{|g{|}_2}\le 2\zeta (2p)\sqrt{L}{\Omega }^{2p}.$$

A.7 谱流＝投影对指标的构造与证明

正交投影的正则化。取 $\varphi \in C_c^{\infty }$ 满足 $\varphi \equiv 1$ 于 $[-{\Omega }_0,{\Omega }_0]\subset (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$\Pi ={\mathcal{F}}^{-1}{M}_{\varphi }\mathcal{F}$，$P=1_{[1/2,\infty )}(\Pi )$。对调制 $U_{\theta }$ 定义 $P_{\theta }=U_{\theta }P{U}_{\theta }^{\ast }$。

迹类差。$\Pi$ 的核快衰，$[U_{\theta },\Pi ]$ 为 Hilbert–Schmidt；谱投影的函数演算给出 $P-P_{\theta }\in {\mathcal{S}}_1$。

谱流与指标。路径 $A(\theta )=2P_{\theta }-I$ 自伴、Fredholm、强连续。局部把 $0$ 作为正则值，谱流等于零穿越计数；相对指标 $\mathrm{ind}(P,P_{\theta })$ 由 ${\mathcal{S}}_1$ 差可定义。局部—全局拼接与同伦不变性给出

$$\mathrm{Sf}(A(\theta ){)}_{{\theta }_0}^{{\theta }_1}=\mathrm{ind}(P,P_{{\theta }_1})-\mathrm{ind}(P,P_{{\theta }_0}).$$

尖锐带限极限。取 ${\varphi }_n\to 1_{[-W,W]}$ 于 $L^{\infty }$ 与强算子拓扑，定义 $P^{(n)}$，上述等式对每个 $n$ 成立；谱流与相对指标在 ${\mathcal{S}}_1$ 近似下保持不变，极限得结论。由此整数主项对平滑细节不敏感。

A.8 KRD 门限换元与数值

离散端以 $NW$ 表示：

$$1-{\lambda }_0\le 10\exp \left(-\frac{(\lfloor 2NW\rfloor -7{)}^2}{{\pi }^2\log (100NW+25)}\right).$$

置 $N_0=2NW$ 得统一式

$$1-{\lambda }_0\le 10\exp \left(-\frac{(\lfloor N_0\rfloor -7{)}^2}{{\pi }^2\log (50N_0+25)}\right).$$

连续端 $c$ 版本经 $N_0=2c/\pi$ 得同上。最小整数门限

$$N_0^{\star }(\epsilon )=\min \{n\in \mathbb{N}:10\exp (-\frac{(n-7{)}^2}{{\pi }^2\log (50n+25)})\le \epsilon \}.$$

对应数值：$(10^{-3},33),(10^{-6},42),(10^{-9},50)$。

A.9 统一误差预算的严式

对极值窗 $g_{\ast }$ 与 $x\in L^{\infty }\cap L^2$，选与 $[-\Omega ,\Omega ]$ 一致的基本域 $I$，有

$$\underset{\text{别名}=\text{域外}}{\underbrace{{\int }_I\sum _{k\ne 0}|\widehat{(x{g}_{\ast })}(\xi +k){|}^{2}d\xi }}\le |x{|}_{\infty }^2(1-{\lambda }_0)+|x{|}_{\infty }{\Xi }_W(x),$$

其中 ${\Xi }_W(x)=|(I-B_W)M_x{B}_W{|}_{\mathrm{HS}}$。若再附加带限与局域化，EM 余项满足

$$|R_{2p}(x{g}_{\ast })|\le 2\zeta (2p)\sqrt{L}{\Omega }^{2p}|x{g}_{\ast }{|}_2.$$

三项可加给出完整预算。

A.10 可复算清单（伪代码）

KRD 门限（自然对数）

def N0_star(eps):
    n = 1
    while True:
        U = 10*exp(- (n-7)**2 / (pi**2*log(50*n + 25)) )
        if U <= eps:
            return n, (pi*n/2), (n/2)  # (N0*, c*, NW*)
        n += 1

Hankel–HS 交叉项

# xhat: Fourier samples on grid delta with spacing ddelta
XiW_sq = sum( abs(xhat)**2 * minimum(2*W, abs(delta)) ) * ddelta
XiW = sqrt(XiW_sq)

EM 余项门限

# choose smallest p in {2,3,4} with sqrt(L) * Omega**(2*p) <= 1e-3/(2*zeta(2*p))

（正文与附录完）