计算宇宙中的拓扑复杂性、自指与不可判定性

统一时间刻度下的环路结构、基本群与复杂性第二定律

摘要

在此前关于“计算宇宙“ $U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I})$ 的系列工作中,我们已经构建了离散复杂性几何、离散信息几何、统一时间刻度诱导的控制流形 $(\mathcal{M},G)$、任务信息流形 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$ 以及时间–信息–复杂性联合变分原理,并在可逆 QCA 子类上建立了物理宇宙范畴与计算宇宙范畴的等价。然而,计算宇宙中最根本的一类“硬性限制“——不可判定性与复杂性第二定律——尚未被几何化与拓扑化地刻画。

本文在计算宇宙框架内引入拓扑复杂性与自指环路的概念,将不可判定性视为配置图基本群上的“收缩障碍“,并在统一时间刻度的约束下构造一类复杂性熵泛函,证明其沿可逆演化具有单调性,从而给出“计算宇宙中的复杂性第二定律“的原型形式。

具体而言,我们首先将配置图 $G_{\mathrm{comp}}=(X,E)$ 视为一个有限度一阶骨架,借助适当的胶合过程构造一个拓扑空间 $\mathcal{X}$(称为配置复形),其基本群 ${\pi }_1(\mathcal{X})$ 的同伦类自然对应计算宇宙中的闭合演化环路。我们定义自指环路为一类具有“评估–编码–再注入“结构的闭合路径,并用它们刻画程序自解释、模拟自身以及停机问题的拓扑影像。

其次,我们在适当可构造的计算宇宙族上证明:存在一类算法判定问题,其可归约为“环路是否在基本群中同伦于平凡元“;在这些宇宙上,若存在一个算法能判定所有此类环路的收缩性,则停机问题可判,从而导出矛盾。由此得到一个拓扑不可判定性定理:在一般计算宇宙中,“某类环路是否可收缩“为不可判定问题。

然后,我们在统一时间刻度下引入一类复杂性熵泛函:对每条闭合环路 $\gamma$ 定义其复杂性行动量

$$\mathcal{S}(\gamma )=\int \kappa (\omega )\mathrm{d}{\mu }_{\gamma }(\omega )$$

以及其“压缩复杂度“ $K(\gamma )$(例如最短等价环路长度)。在可逆、局域且统一时间刻度兼容的演化下,我们证明存在一个函数 $\mathcal{C}(\gamma )$,由 $\mathcal{S}(\gamma )$ 与 $K(\gamma )$ 组合而成,使得在自然的 coarse–graining 与熵化规则下,$\mathcal{C}$ 沿时间方向弱单调不减,从而得到复杂性第二定律的离散版本。

最后,我们将自指环路与统一时间刻度下的散射–延迟结构联系起来:在控制流形 $\mathcal{M}$ 上,自指计算对应于控制–散射网络中的闭合反馈环,其拓扑类型由 ${\pi }_1(\mathcal{M})$ 与一个 ${\mathbb{Z}}_2$ 型 holonomy 共同决定。我们展示了一种“Null–modular 双覆盖“结构,使得自指奇偶性与拓扑类一起构成描述自我指涉、递归与“自同一性“的不变量。

本文完成了“计算宇宙理论栈“中的拓扑层与极限层:将不可判定性与复杂性第二定律统一到拓扑–几何结构之中,为后续构造自指散射网络、Null–modular 双覆盖与因果菱形链等更高层结构提供了基础。

1 引言

可计算性与复杂性理论告诉我们:在一般的可计算模型下,存在从根本上不可判定的问题(例如停机问题),以及难以逾越的复杂性边界;广义热力学与信息论则指出,受物理时间刻度与能量约束的系统,其“有效复杂度“与“可用信息“受制于某种不可逆的演化规律。

在“计算宇宙“框架中,宇宙被抽象为

$$U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I}),$$

其中 $X$ 为配置集,$\mathsf{T}$ 为一步更新关系,$\mathsf{C}$ 为统一时间刻度下的单步代价,$\mathsf{I}$ 为任务感知的信息质量函数。此前工作已经在此基础上构造了:

1. 复杂性图与复杂性距离:$G_{\mathrm{comp}}=(X,E,\mathsf{C})$、$d_{\mathrm{comp}}(x,y)=\inf \mathsf{C}(\gamma )$;
2. 信息几何与任务信息流形 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q,{\Phi }_Q)$;
3. 统一时间刻度与控制流形 $(\mathcal{M},G)$ 及其测地距离 $d_G$;
4. 时间–信息–复杂性联合变分原理:联合流形 ${\mathcal{E}}_Q=\mathcal{M}\times {\mathcal{S}}_Q$ 上的作用量极小世界线;
5. 物理宇宙–计算宇宙范畴等价;
6. 单/多观察者的注意力–知识图谱–共识几何;
7. 有限区块上的边界计算与因果小钻石。

尚未系统处理的是:

• 不可判定性:停机问题与更一般的“全局性质不可判定性“在计算宇宙中应如何几何化与拓扑化?
• 自指结构:自解释程序、自模拟系统、自指散射网络在配置图与控制流形上何以体现为特定拓扑不变量?
• 复杂性第二定律:在统一时间刻度下,是否存在一个复杂性熵泛函沿演化单调不减,从而给出“计算宇宙中的时间箭头“的拓扑–几何解释?

传统可计算性理论侧重语言与函数,不直接提供空间–时间几何;而传统几何拓扑又往往假设底层空间是“左手给定“的,不考虑其可计算性与复杂性约束。计算宇宙框架提供了一个自然接口:配置图 $G_{\mathrm{comp}}$ 与控制流形 $(\mathcal{M},G)$ 既承载了可计算性与复杂性,又具有明确的几何架构。

本文的策略是:

1. 将配置图 $G_{\mathrm{comp}}$ 通过标准的“图–复形“过程嵌入到一个二维或更高维的 CW 复形 $\mathcal{X}$ 中,使得闭合路径类与 ${\pi }_1(\mathcal{X})$ 紧密对应;
2. 将自指计算抽象为配置图中的特殊闭合环路类,并用基本群的性质(是否可收缩)表示“是否存在自洽终止“;
3. 利用停机问题的归约,证明“判定某类环路是否可收缩“在一般计算宇宙中不可判定;
4. 在统一时间刻度下定义复杂性行动量与压缩复杂度,并构造一个粗略的复杂性熵泛函,证明在自然 coarse–graining 规则下具有第二定律形式的单调性;
5. 将自指环路与控制流形上的闭合路径联系,构造 ${\mathbb{Z}}_2$ 型 holonomy 与 Null–modular 双覆盖,解释“自我同一性“的拓扑不变量来源。

通过这几个步骤,本文在计算宇宙中完成了拓扑复杂性、自指与不可判定性的一体化刻画。

2 配置图的拓扑化与基本群

本节将离散配置图 $G_{\mathrm{comp}}=(X,E)$ 拓扑化为一个二维 CW 复形 $\mathcal{X}$,以便引入基本群 ${\pi }_1(\mathcal{X})$ 与闭合环路的同伦类。

2.1 配置图与边集

回顾计算宇宙的复杂性图:

• 顶点集 $X$ 为配置集合;
• 边集 $E=\mathsf{T}\subset X\times X$ 为一步更新关系(我们暂视为无向,或将有向边 $(x,y)$ 与 $(y,x)$ 识别为一条无向边,以便引入 1–骨架);
• 边权 $\mathsf{C}(x,y)$ 表示单步代价。

我们首先构造 1–维骨架。

定义 2.1(配置图 1–骨架)

配置图 $G_{\mathrm{comp}}^{(1)}$ 的 1–骨架是一个 1–维 CW 复形,其 0–胞为 $X$,对每条无向边 $\{x,y\}$ 附加一条 1–胞,将其端点粘接于顶点 $x,y$。

这样得到的空间 $|G_{\mathrm{comp}}^{(1)}|$ 是一张“配置图拓扑空间“,其基本群 ${\pi }_1(|G_{\mathrm{comp}}^{(1)}|)$ 已经可以刻画环路,但尚未区分哪些环路因“局部关系“而同伦。

2.2 从图到二维复形

为了让某些局部等价(例如两个不同的局部更新序列导致相同配置)在拓扑上被“填充“为 2–胞,我们引入关系面。

设 $\mathcal{R}$ 为一族有限长闭合路径

$$\gamma =(x_0,x_1,\dots ,x_n=x_0),$$

代表“局部无效环路“或“等价变换“:例如在有限时间窗内的不同更新顺序导致相同净效应。

定义 2.2(配置复形)

在 1–骨架 $|G_{\mathrm{comp}}^{(1)}|$ 上,对每条关系环 $\gamma \in \mathcal{R}$ 附加一个 2–胞,将其边界粘接到沿 $\gamma$ 的路径上。得到二维 CW 复形 $\mathcal{X}=\mathcal{X}(U_{\mathrm{comp}},\mathcal{R})$。

在许多自然情形(例如由可逆 QCA 或可逆 CA 生成的计算宇宙),$\mathcal{R}$ 可以选为局部可交换子(commutator)与局部公共子路径所对应的小闭环,构成一个有限生成的关系集,使得 ${\pi }_1(\mathcal{X})$ 有良好的代数表示。

2.3 基本群与闭合演化环路

在 $\mathcal{X}$ 上,基本群 ${\pi }_1(\mathcal{X},x_{\ast })$ 由基点 $x_{\ast }\in X$ 出发的同伦类闭合路径组成,群运算为路径串联。

对计算宇宙而言,每一条闭合路径

$$\gamma =(x_0,x_1,\dots ,x_n=x_0)$$

代表一个在有限步内返回起点配置的演化序列,其在 ${\pi }_1(\mathcal{X})$ 中的同伦类刻画了“从宏观角度该闭环是否可简化为局部关系“。

定义 2.3(拓扑闭合计算)

称闭合路径 $\gamma$ 为一个拓扑闭合计算,若其在配置复形 $\mathcal{X}$ 中定义了一个基本群元素

$$[\gamma ]\in {\pi }_1(\mathcal{X},x_0).$$

若 $[\gamma ]=1$ 是平凡元,则称 $\gamma$ 为拓扑可收缩闭环;若 $[\gamma ]\ne 1$ 则为非平凡拓扑闭环。

在后文,自指结构与不可判定性都将通过对 ${\pi }_1(\mathcal{X})$ 中元素的性质进行刻画。

3 自指环路与程序自解释结构

本节将自指计算形式化为配置图的特殊闭合环路类,并提出“自指度“的拓扑刻画。

3.1 自指计算的抽象图景

在传统计算模型中,“自指“通常表现为程序拿到自身描述作为输入,或系统将自身输出再反馈到自身输入。计算宇宙中,这种结构可以抽象为图中的“评估–编码–再注入“三段式闭环:

1. 从某个初态 $x_{\mathrm{code}}$ 出发,内部编码操作生成描述某计算过程的“代码配置“ $x_{\mathrm{prog}}$;
2. 评估过程将 $x_{\mathrm{prog}}$ 的内容作为“程序“对某输入(可能来自自身)进行计算,产生新的配置 $x_{\mathrm{eval}}$;
3. 再注入过程将 $x_{\mathrm{eval}}$ 的一部分重新注入编码阶段或整体系统,从而形成闭环。

在配置图上,这对应于一个闭合路径,其边可以被分组为三类,在一定意义上实现从代码到行为再到自更新的自洽闭合。

3.2 自指环路的形式化定义

设 $U_{\mathrm{comp}}$ 的配置集中存在一个子集 $X_{\mathrm{code}}\subset X$ 与一个“解码–评估“算子

$$\mathrm{Eval}:X_{\mathrm{code}}\times X\to X,$$

表示“用代码态 $c\in X_{\mathrm{code}}$ 作为程序,对输入态 $x\in X$ 进行计算,得到输出态 $\mathrm{Eval}(c,x)$“。我们不要求 $\mathrm{Eval}$ 必然终止,而是当存在相应更新路径时,将其视为一次评估步进。

在配置图上,这可以通过内部子图来实现:存在一族路径实现编码、评估与反馈。为简洁起见,我们抽象为以下定义。

定义 3.1(自指环路)

在配置图 $G_{\mathrm{comp}}$ 上,一条以 $x_0\in X$ 为基点的闭合路径

$$\gamma =(x_0,x_1,\dots ,x_n=x_0)$$

称为自指环路,若存在索引分段

$$0=k_0<k_1<k_2<k_3=n$$

使得:

1. $x_{k_0}=x_{k_3}=x_0$ 为“全局自指态“;
2. 段 $x_{k_0}\to x_{k_1}$ 属于编码子图中,生成某个代码态 $c\in X_{\mathrm{code}}$;
3. 段 $x_{k_1}\to x_{k_2}$ 实现评估过程,表示对某输入(可能来自 $x_0$ 或 $c$ 本身)进行计算;
4. 段 $x_{k_2}\to x_{k_3}$ 将评估结果反馈,使得 $x_{k_3}=x_{k_0}$,即“全局状态在经过自指更新后保持不变或在等价类内返回初态“。

这样的环路 $\gamma$ 在拓扑上代表了一个“自我解释、反馈闭合“的计算过程。

3.3 自指度与 ${\mathbb{Z}}_2$ 奇偶性

自指可以粗略地按“奇偶“区分:例如某些自指结构在一次闭环中翻转某个全局量(如符号、位元),两圈闭环后回到原状态。这与 ${\mathbb{Z}}_2$ 型 holonomy 相关。

定义 3.2(自指度与奇偶性)

对每条自指环路 $\gamma$,定义自指度

$$\sigma (\gamma )\in {\mathbb{Z}}_2$$

为某个全局特征量的变化奇偶性,例如取全局“自我标签“位元 $s\in \{0,1\}$,要求沿 $\gamma$ 更新后 $s\mapsto s\oplus 1$ 则 $\sigma (\gamma )=1$,若 $s$ 不变则 $\sigma (\gamma )=0$。

在控制流形与散射–延迟网络中,这个 ${\mathbb{Z}}_2$ 可以由 Null–modular 双覆盖或奇偶跃迁实现;在纯离散配置图中,我们仅需假设存在一个可观测的 ${\mathbb{Z}}_2$ 标签。

自指环路的拓扑类 $[\gamma ]\in {\pi }_1(\mathcal{X})$ 与自指度 $\sigma (\gamma )$ 一起构成一个对自我指涉结构的拓扑–代数不变量对

$$([\gamma ],\sigma (\gamma ))\in {\pi }_1(\mathcal{X})\times {\mathbb{Z}}_2.$$

后文的拓扑不可判定性与第二定律将以此为载体。

4 拓扑不可判定性:环路收缩问题与停机问题

本节构造一个从停机问题到“环路是否可收缩“的归约,并给出拓扑不可判定性定理。

4.1 停机问题的拓扑影像

经典停机问题可以表述为:给定程序 $P$ 与输入 $w$,判断 $P(w)$ 是否在有限步内停机。在计算宇宙中,我们可以为每个 $(P,w)$ 构造一个配置子图与编码,使得:

• 若 $P(w)$ 停机,则某个从编码态出发的演化路径在有限步内进入“停机配置“并返回一个规范初态,从而产生一个拓扑可收缩的环路;
• 若 $P(w)$ 不停机,则所有与该编码相关的闭合路径都在 ${\pi }_1(\mathcal{X})$ 中代表非平凡元,或根本不存在闭环。

更具体地,可构造一个“程序模拟子图“,将程序运行轨迹嵌入配置图的某个子区域,再通过附加“若停机则回到初态“的连接边形成闭环;对非停机轨迹,则闭环无法完成或对应的路径不在关系集 $\mathcal{R}$ 生成的同伦平凡类中。

4.2 拓扑收缩判断问题

考虑以下判定问题:

输入:计算宇宙 $U_{\mathrm{comp}}$ 的有限描述及在其配置复形 $\mathcal{X}$ 中的一条闭合路径 $\gamma$(以有限边序列表示); 问:$\gamma$ 在 $\mathcal{X}$ 中是否同伦于平凡环路?

称之为环路收缩问题。

直观上,这与群论中的词问题类似:给定一组生成元与关系,判断一个词是否代表群的单位元。在计算宇宙配置复形中,生成元是基本边,关系是 $\mathcal{R}$ 中的局部环路。

4.3 拓扑不可判定性定理

定理 4.1(拓扑不可判定性)

存在一族可构造的计算宇宙 $\{U_{\mathrm{comp}}^{\alpha }{\}}_{\alpha }$,使得在每个 $U_{\mathrm{comp}}^{\alpha }$ 的配置复形 ${\mathcal{X}}^{\alpha }$ 上,环路收缩问题不可判定:不存在一个算法能对所有输入闭合路径 $\gamma$ 决定其是否在 ${\pi }_1({\mathcal{X}}^{\alpha })$ 中同伦于平凡元。

证明思路

1. 从停机问题出发:假设存在某个 $U_{\mathrm{comp}}^{\alpha }$ 与算法 $A$,能判定任意闭合路径 $\gamma$ 在 ${\mathcal{X}}^{\alpha }$ 中是否可收缩。

2. 构造编码器 $E$ 将任意程序–输入对 $(P,w)$ 映射到 ${\mathcal{X}}^{\alpha }$ 中的一条闭合路径 ${\gamma }_{P,w}$:

   • 若 $P(w)$ 停机,则模拟轨迹在有限步内进入停机态,附加“结束–回到初态“的边形成闭环,并通过关系集合 $\mathcal{R}$ 确保 ${\gamma }_{P,w}\simeq 1$;
   • 若 $P(w)$ 不停机,则闭环无法形成或形成的闭环必然穿越某个被标记为“未终止区域“的边缘,从而在 ${\mathcal{X}}^{\alpha }$ 中生成非平凡基本群元素。

3. 若 $A$ 存在,则给定 $(P,w)$,计算 ${\gamma }_{P,w}=E(P,w)$,调用 $A({\gamma }_{P,w})$:

   • 若 $A({\gamma }_{P,w})$ 返回“可收缩“,则判定 $P(w)$ 停机;
   • 否则判定 $P(w)$ 不停机。 这给出了停机问题的算法解,矛盾。

因此假设不成立,环路收缩问题在这一类计算宇宙中不可判定。

更形式化的构造与证明细节见附录 A。

推论 4.2

在上述计算宇宙族中,基本群 ${\pi }_1({\mathcal{X}}^{\alpha })$ 的平凡元判定问题是不可判定的;特别地,“某个自指环路是否可被局部关系消掉“在一般情形下不可判定。

这给出了一个清晰的拓扑版停机问题:自指环路的“拓扑命运“(可收缩或不可收缩)在一般计算宇宙中无法被全局算法预先决定。

5 复杂性熵与计算宇宙中的第二定律

本节在统一时间刻度下引入复杂性熵泛函,给出“复杂性第二定律“的离散版本。

5.1 复杂性行动量与压缩复杂度

对计算宇宙中的一条闭合路径 $\gamma =(x_0,\dots ,x_n=x_0)$,我们定义其复杂性行动量为

$$\mathcal{S}(\gamma )=\sum _{k=0}^{n-1}\mathsf{C}(x_k,x_{k+1}),$$

在统一时间刻度解释下,这就是闭环一周所消耗的总“物理时间“。

另一方面,我们定义压缩复杂度为

$$K(\gamma )=\underset{{\gamma }^{\prime }\simeq \gamma }{\min }\ell ({\gamma }^{\prime }),$$

其中 $\ell ({\gamma }^{\prime })$ 为路径步数,${\gamma }^{\prime }\simeq \gamma$ 表示在配置复形 $\mathcal{X}$ 中同伦等价。$K(\gamma )$ 可以被看作“在拓扑约束下最短实现该环路同伦类的路径长度“。

若将统一时间刻度密度理解为某种平均的单位代价,则可以用组合量

$$\mathcal{C}(\gamma )=f(\mathcal{S}(\gamma ),K(\gamma ))$$

作为环路的复杂性熵候选,例如

$$\mathcal{C}(\gamma )=\log K(\gamma )$$

或

$$\mathcal{C}(\gamma )=\mathcal{S}(\gamma )/K(\gamma )$$

等。

5.2 coarse–graining 与复杂性熵单调性

我们考虑一类自然的 coarse–graining 操作,即在计算宇宙演化中允许对某些局部细节进行“忘却“或“合并“:

• 在配置层,合并一些细节自由度为宏观等价类;
• 在路径层,用关系集 $\mathcal{R}$ 填充的小环替换路径,或对短局部环进行“熵化“平均。

在这些操作下,闭合路径的同伦类 $[\gamma ]$ 可能保持不变,但最短实现长度 $K(\gamma )$ 通常不能增加(因为允许更多局部关系),而总行动量 $\mathcal{S}(\gamma )$ 则在统一时间刻度与能量约束下不能减少到任意小;两者之间存在一个自然的单调性结构。

命题 5.1(复杂性熵的 coarse–graining 单调性,原型)

设 $\{{\gamma }_t{\}}_{t\ge 0}$ 为一族闭合路径,表示在统一时间刻度下经过 coarse–graining 的自指环路演化,满足:

1. 同伦类不变:对所有 $t$,有 $[{\gamma }_t]=[{\gamma }_0]$;
2. 每一步 coarse–graining 操作只能用关系集 $\mathcal{R}$ 所代表的局部等价对路径进行简化或拼接;
3. 单步代价函数 $\mathsf{C}$ 在 coarse–graining 下满足合适的凸性条件。

定义

$$\mathcal{C}(t)=\log K({\gamma }_t).$$

则在上述条件下,$\mathcal{C}(t)$ 随 $t$ 弱单调不减,即

$$t_2\ge t_1\Rightarrow \mathcal{C}(t_2)\ge \mathcal{C}(t_1).$$

证明思路见附录 B。直观原因是:局部关系的加入与路径调节能够减少某些冗余步数,但在保持同伦类不变的情况下,最短实现长度只会在初期下降,并在某个稳定值后不再下降;随时间进一步 coarse–graining,只会引入新的约束,不会产生更短的路径。因此,将 $\log K$ 视为复杂性熵,在 coarse–graining 时间箭头下是单调的。

在统一时间刻度的解释下,这一单调性可以联立物理时间与复杂性几何,给出“复杂性第二定律“:

在计算宇宙中,随统一时间刻度的 coarse–graining 演化,闭合环路所代表的“可压缩复杂度“不会自发降低。

这与热力学第二定律中的熵非减性在形式上具有高度相似性。

6 自指环路、控制流形与 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy

本节将自指环路从离散配置图提升到连续控制流形 $(\mathcal{M},G)$ 上,并引入 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy 与 Null–modular 双覆盖结构。

6.1 控制流形上的闭合控制路径

在统一时间刻度下,计算宇宙可嵌入到控制流形 $(\mathcal{M},G)$ 与散射族 $S(\omega ;\theta )$ 中。每一条离散更新路径 $\gamma$ 对应一条控制路径 ${\theta }_{\gamma }(t)$,其长度 $L_G[{\theta }_{\gamma }]$ 逼近离散复杂性行动量 $\mathcal{S}(\gamma )$。

闭合计算环路 $\gamma$ 对应控制流形上的闭合路径

$$\Theta ={\theta }_{\gamma }:[0,T]\to \mathcal{M},\theta (0)=\theta (T).$$

在拓扑上,$[\Theta ]\in {\pi }_1(\mathcal{M})$。这种闭合控制路径在散射–延迟网络中可以被实现为具有反馈的自指散射网络。

6.2 Null–modular 双覆盖与 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy

在自指环路中,前文定义的自指奇偶度 $\sigma (\gamma )\in {\mathbb{Z}}_2$ 可以从控制–散射结构中解释为某种 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy:沿闭合控制路径一圈后,散射相位或某个内部“自我标签“的变化为 $0$ 或 $\pi$ 型跃迁。

形式化地,可以考虑一个 ${\mathbb{Z}}_2$ 主丛

$$\pi :\tilde{\mathcal{M}}\to \mathcal{M},$$

称为 Null–modular 双覆盖,使得每条闭合路径 $\Theta$ 的提升在 $\tilde{\mathcal{M}}$ 上要么闭合(holonomy 为 $+1$),要么翻转(holonomy 为 $-1$)。自指度可以定义为

$$\sigma (\gamma )={\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}(\Theta ).$$

这样,计算宇宙中的每条自指环路获得了一个拓扑–几何不变量对

$$([\Theta ],\sigma (\gamma ))\in {\pi }_1(\mathcal{M})\times {\mathbb{Z}}_2,$$

这与配置复形的 $([\gamma ],\sigma (\gamma ))$ 在细化极限下相容。

该结构为后续“自指散射网络“和“Null–modular 双覆盖因果菱形链“的构造打下基础,本文不再展开。

附录 A:拓扑不可判定性定理的构造细节

A.1 从程序–输入对到闭合环路

构造的关键步骤是定义编码器 $E:(P,w)\mapsto {\gamma }_{P,w}$。我们简要描述一种原型构造。

1. 在计算宇宙配置集中选择子集 $X_{\mathrm{sim}}\subset X$ 与子图 $G_{\mathrm{sim}}\subset G_{\mathrm{comp}}$,专门用于模拟某个通用图灵机 $M$。
2. 对给定 $(P,w)$,构造初态配置 $x_0(P,w)\in X_{\mathrm{sim}}$,其内部状态编码程序与输入;
3. 利用通用性与局域性,保证从 $x_0(P,w)$ 出发的演化轨迹在 $G_{\mathrm{sim}}$ 中逐步模拟 $P(w)$ 的图灵机步进;
4. 若 $P(w)$ 停机,则轨迹在某步 $k$ 进入停机配置 $x_{\mathrm{halt}}$,我们在配置图中附加一条特殊边 $x_{\mathrm{halt}}\to x_0(P,w)$,记录“将停机结果写回初态“的操作,并将 $x_0\to x_{\mathrm{halt}}\to x_0$ 的路径通过关系集 $\mathcal{R}$ 填充分 2–胞,使其整体同伦于平凡环路;
5. 若 $P(w)$ 不停机,则进入某个“发散区域“,在该区域内要么不存在返回初态的边,要么返回初态的路径必须绕过某个“缺失的关系区域“,从而使闭合路径成为 ${\pi }_1(\mathcal{X})$ 中的非平凡元。

通过这一构造,停机与否与环路是否同伦于平凡一一对应,从而实现停机问题到环路收缩问题的归约。

附录 B:复杂性熵单调性的一个原型证明

B.1 简化模型

为清晰起见,考虑以下简化模型:

1. 配置复形 $\mathcal{X}$ 的基本群由有限生成元与有限关系给出;
2. 局部关系集 $\mathcal{R}$ 仅包含有限长度的小环路,每个小环路可视为“局部等价简化“;
3. coarse–graining 操作在每一步只能用 $\mathcal{R}$ 中的局部关系对路径进行替换。

在此设定下,闭合路径的等价类可用群表示,$K(\gamma )$ 等价于该群元在给定生成–关系系统下的最短词长。

群论中已知:在有限生成群及其给定生成–关系系统下,对给定群元的最短词长是一个良定义的数值,任何用关系插入–删除的序列都不会得到更短的表示;如果加入更多关系(coarse–graining),最短词长可能下降,但在固定关系集下,长期应用关系不会无限降低某个固定等价类的最短词长。

因此,若将 coarse–graining 时间 $t$ 看作“逐步尝试用关系简化路径“的过程,则 $K({\gamma }_t)$ 自某个时刻起保持不减,$\log K({\gamma }_t)$ 亦不减。这给出命题 5.1 的原型证明。更严格的证明需要对 coarse–graining 操作建模为在“关系插入–删除半群“上的半群动作,并利用半群的 Noether 性质,本文不再展开。

附录 C:共识 Ricci 曲率与能量衰减的技术框架

尽管本文主文只给出共识能量指数衰减的定性定理,实际上可借鉴 Bakry–Émery 理论与 Otto 视角下的 Wasserstein 流形式主义,给出更严格的证明框架:

1. 将观察者的信息状态视为 ${\mathcal{S}}_Q$ 上的点,考虑其在 ${\mathcal{S}}_Q^N$ 上的联合分布;

2. 定义共识能量为信息流形上观测点的离散 Dirichlet 能量;

3. 在 Ricci 曲率下界与通信图 Laplace 的代数连通度下界条件下,构造 Bochner 不等式

   $${\Gamma }_2(f)\ge {\kappa }_{\mathrm{eff}}\Gamma (f).$$

4. 结合梯度流方程与能量耗散关系,得到

   $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathcal{E}}_{\mathrm{cons}}(t)\le -2{\kappa }_{\mathrm{eff}}{\mathcal{E}}_{\mathrm{cons}}(t).$$

完整细节超出本文篇幅,留待后续更专门的工作展开。