统一计算宇宙终对象

离散复杂性几何、信息几何、多观察者因果网与能力–风险结构

摘要

本文在此前“计算宇宙“系列工作的基础上,构造一个具有明确范畴意义的统一计算宇宙终对象。前文已经将计算宇宙公理化为四元组

$$U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I}),$$

并在其上建立了:离散复杂性几何(复杂性距离、体积增长与离散 Ricci 曲率)、离散信息几何(任务信息流形 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$ 与嵌入 ${\Phi }_Q$)、统一时间刻度诱导的控制流形 $(\mathcal{M},G)$ 与时间–信息–复杂性联合变分原理、多观察者共识几何与因果网、拓扑复杂性与不可判定性,以及普适灾难安全性与能力–风险前沿的理论。

本文的目标是将这些离散与连续、几何与逻辑、单观察者与多观察者、能力与风险的结构统一为一个单一的范畴对象

$${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$$

——称为统一计算宇宙终对象(terminal computational universe object)。具体地,我们执行如下步骤:

1. 定义带统一时间刻度的计算宇宙范畴 ${\mathbf{CompUniv}}_{\kappa }$:对象是满足公理的计算宇宙 $U_{\mathrm{comp}}$,态射是同时保持复杂性几何、信息几何与灾难规范的“安全模拟映射“。

2. 在该范畴上构造一个 2–层结构:一层为离散配置–事件–因果小钻石层;一层为连续控制–信息几何层,并在上面安置多观察者网络、知识图谱族与能力–风险前沿。

3. 证明存在一个对象

$${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}=(\mathfrak{X},{\mathfrak{G}}_{\mathrm{comp}},{\mathfrak{G}}_{\mathrm{info}},{\mathfrak{E}}_{\mathrm{obs}},{\mathfrak{S}}_{\mathrm{cat}},{\mathfrak{F}}_{\mathrm{CR}}),$$

以及对每个 $U_{\mathrm{comp}}\in {\mathbf{CompUniv}}_{\kappa }$ 的“收缩“态射

$$F_U:U_{\mathrm{comp}}\to {\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}},$$

使得:

• $F_U$ 在离散层面为配置–事件–小钻石的嵌入,在连续层面为控制–信息–观察者状态的嵌入;
• $F_U$ 保持复杂性距离与统一时间刻度(至多线性重标度);
• $F_U$ 使得所有任务信息几何与多观察者共识几何成为 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$ 上某类“子流形–子网“;
• $F_U$ 将灾难规范与能力–风险前沿映射为 ${\mathfrak{S}}_{\mathrm{cat}}$ 与 ${\mathfrak{F}}_{\mathrm{CR}}$ 的子结构。

4. 证明在自然的 2–范畴意义下(态射之间允许自然变换),${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$ 满足“终对象“性质:对任意两个这样的统一对象之间的态射存在唯一(在自然同构意义下)因子分解。

5. 最后利用此前已建立的物理宇宙–计算宇宙范畴等价,构造统一物理宇宙终对象 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{phys}}^{\mathrm{term}}$ 与 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$ 的对应,并说明两者在统一时间刻度、边界小钻石、观察者网络与能力–风险结构下是等价的终对象。

本文从而给出一个在纯离散、公理化框架下的“宇宙作为计算“的终极统一描述:所有具体的有限或局部计算宇宙都通过安全–几何–信息兼容的态射收缩到同一个统一计算宇宙终对象,后者在范畴论、几何与逻辑层面同时扮演终对象的角色。

2 统一时间刻度下的计算宇宙 2–范畴

本节将此前零散的结构整理为一个带 2–态射的 2–范畴框架。

2.1 带统一时间刻度的计算宇宙对象

定义 2.1(带统一时间刻度的计算宇宙)

一个带统一时间刻度的计算宇宙对象是七元组

$${\hat{U}}_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I};\mathcal{M},G;{\mathcal{S}}_Q,g_Q),$$

其中:

1. $(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I})$ 为满足此前公理的计算宇宙:

   • $X$ 可数;
   • $\mathsf{T}\subset X\times X$ 局域有限度;
   • $\mathsf{C}$ 单步代价正且路径加性;
   • $\mathsf{I}$ 为任务信息质量基准。

2. $(\mathcal{M},G)$ 为由统一时间刻度散射母尺构造出的控制流形与复杂性度量,满足离散复杂性距离 $d_{\mathrm{comp}}$ 的 Riemann 极限性质:对每个局域可达区域存在细化族 $\{X^{(h)}\}$ 与映射 ${\Phi }_h:X^{(h)}\to \mathcal{M}$,使得

$$d_{\mathrm{comp}}^{(h)}(x,y)\to d_G({\Phi }_h(x),{\Phi }_h(y)).$$

3. $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$ 为任务 $Q$ 的信息流形与 Fisher 信息度量,存在嵌入

$${\Phi }_Q:X\to {\mathcal{S}}_Q,$$

使得离散 Jensen–Shannon 信息距离 $d_{\mathrm{JS},Q}(x,y)$ 在局部上与 $d_{{\mathcal{S}}_Q}({\Phi }_Q(x),{\Phi }_Q(y))$ 一致。

我们称这类对象构成的范畴为 ${\mathbf{CompUniv}}_{\kappa }$ 的“0–层对象“。

2.2 安全–几何–信息兼容的 1–态射

定义 2.2(安全–几何–信息兼容的模拟态射)

给定两个带统一时间刻度的计算宇宙

$${\hat{U}}_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I};\mathcal{M},G;{\mathcal{S}}_Q,g_Q),$$

$${\hat{U}}_{\mathrm{comp}}^{\prime }=(X^{\prime },{\mathsf{T}}^{\prime },{\mathsf{C}}^{\prime },{\mathsf{I}}^{\prime };{\mathcal{M}}^{\prime },G^{\prime };{\mathcal{S}}_Q^{\prime },g_Q^{\prime }),$$

一个 1–态射

$$F:{\hat{U}}_{\mathrm{comp}}\to {\hat{U}}_{\mathrm{comp}}^{\prime }$$

由以下数据组成:

1. 配置映射 $f_X:X\to X^{\prime }$,为此前定义的模拟映射(保持步进结构、代价控制与信息质量单调),存在常数 ${\alpha }_X,{\beta }_X>0$ 与单调函数 $\Psi$ 使得 $$(x,y)\in \mathsf{T}\Rightarrow (f_X(x),f_X(y))\in {\mathsf{T}}^{\prime },$$ $$d_{\mathrm{comp}}^{\prime }(f_X(x),f_X(y))\le {\alpha }_X{d}_{\mathrm{comp}}(x,y)+{\beta }_X,$$ $$\mathsf{I}(x)\le \Psi ({\mathsf{I}}^{\prime }(f_X(x))).$$

2. 控制流形映射 $f_{\mathcal{M}}:\mathcal{M}\to {\mathcal{M}}^{\prime }$,对度量 $G,G^{\prime }$ 满足 Lipschitz–双侧控制:存在 ${\alpha }_{\mathcal{M}},{\beta }_{\mathcal{M}}>0$ 使得 $${\alpha }_{\mathcal{M}}{G}_{\theta }(v,v)\le G_{f_{\mathcal{M}}(\theta )}^{\prime }(\mathrm{d}{f}_{\mathcal{M}}v,\mathrm{d}{f}_{\mathcal{M}}v)\le {\beta }_{\mathcal{M}}{G}_{\theta }(v,v).$$

3. 信息流形映射 $f_{\mathcal{S}}:{\mathcal{S}}_Q\to {\mathcal{S}}_Q^{\prime }$,对 Fisher 度量满足类似的 Lipschitz–双侧控制,并与 $f_X$ 兼容,即存在自然变换 ${\eta }_X$ 使得 $$f_{\mathcal{S}}\circ {\Phi }_Q\simeq {\Phi }_Q^{\prime }\circ f_X.$$

4. 安全规范兼容性:若在 ${\hat{U}}_{\mathrm{comp}}$ 上存在灾难集合 $C_{\mathrm{cat}}\subset X$,则其像 $C_{\mathrm{cat}}^{\prime }=f_X(C_{\mathrm{cat}})\subset X^{\prime }$ 仍为灾难集合,且 $F$ 不将安全点映入灾难点,即可见的安全–灾难分区在映射下保持或“向安全一侧变钝“。

这样的 1–态射同时保持离散–连续几何与灾难规范。所有对象与 1–态射构成范畴 ${\mathbf{CompUniv}}_{\kappa }$。

2.3 2–态射与自然变换

在控制与信息流形层,两个 1–态射之间可能存在“连续形变“,对应到范畴论即为 2–态射——自然变换。

定义 2.3(自然变换作为 2–态射)

给定两个 1–态射

$$F,G:{\hat{U}}_{\mathrm{comp}}\to {\hat{U}}_{\mathrm{comp}}^{\prime },$$

一个 2–态射

$$\Xi :F\Rightarrow G$$

包含:

1. 一个配置侧自然变换 ${\Xi }_X$,通常是 $X^{\prime }$ 上的一族局域可逆映射,使得 $G_X\simeq {\Xi }_X\circ F_X$;
2. 控制与信息侧的自然变换 ${\Xi }_{\mathcal{M}},{\Xi }_{\mathcal{S}}$,给予在度量兼容意义下 $G_{\mathcal{M}}\simeq {\Xi }_{\mathcal{M}}\circ F_{\mathcal{M}}$、$G_{\mathcal{S}}\simeq {\Xi }_{\mathcal{S}}\circ F_{\mathcal{S}}$;
3. 安全结构上不破坏灾难集合与能力–风险前沿的粗粒结构。

如此,${\mathbf{CompUniv}}_{\kappa }$ 具有 2–范畴结构。

3 统一计算宇宙终对象的结构数据

本节给出统一计算宇宙终对象

$${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$$

的具体组成:从离散配置–事件–小钻石到连续控制–信息–观察者–能力–风险。

3.1 离散层:极大配置宇宙与事件–小钻石结构

定义 3.1(极大配置宇宙)

令 $\mathfrak{X}$ 为在某个大基数控制下的“所有可数配置集及其有限表示的归并“,形式上可通过 Grothendieck 宇宙 $\mathcal{U}$ 与集合论构造为

$$\mathfrak{X}=\bigcup _{U_{\mathrm{comp}}\in {\mathbf{CompUniv}}_{\kappa }}{\iota }_U(X),$$

其中 ${\iota }_U$ 为将各个 $X$ 嵌入一个公共超集的嵌入。对 $\mathfrak{X}$ 定义统一的转移关系

$${\mathsf{T}}_{\infty }=\bigcup _{U_{\mathrm{comp}}}{\iota }_U({\mathsf{T}}_U),$$

代价函数

$${\mathsf{C}}_{\infty }=\bigcup _{U_{\mathrm{comp}}}{\iota }_U({\mathsf{C}}_U),$$

在矛盾处通过等价类识别(即将不同宇宙中几何等价的更新规则合并为单一对象)。从而得到一个包含所有局部计算结构的“极大全局复杂性图“

$${\mathfrak{G}}_{\mathrm{comp}}^{(1)}=(\mathfrak{X},{\mathsf{T}}_{\infty },{\mathsf{C}}_{\infty }).$$

在事件层

$$\mathfrak{E}=\mathfrak{X}\times \mathbb{N},$$

可以定义统一的因果偏序与复杂性光锥;由此任意有限预算因果小钻石 $◊$ 都可视为 ${\mathfrak{G}}_{\mathrm{comp}}^{(1)}$ 的子图。

3.2 连续层:统一控制流形与信息流形的终对象

在控制与信息几何层,前文已经构造了对每个 ${\hat{U}}_{\mathrm{comp}}$ 的控制流形 $({\mathcal{M}}_U,G_U)$ 与信息流形 $({\mathcal{S}}_{Q,U},g_{Q,U})$。

定义 3.2(统一控制流形终对象)

令

$$\mathfrak{M}=\coprod _{U_{\mathrm{comp}}}{\mathcal{M}}_U/\sim ,$$

其中 $\sim$ 为“时间刻度–复杂性等距等价“:若存在控制–散射实现的等距嵌入,则将相应点识别。通过这一归并得到一个大流形或堆栈式对象 $\mathfrak{M}$,带统一度量 $\mathfrak{G}$,在局部上与各 $G_U$ 一致。

定义 3.3(统一信息流形终对象)

类似地对所有任务 $Q$ 与宇宙 $U_{\mathrm{comp}}$,构造信息流形族 ${\mathcal{S}}_{Q,U}$ 并做类似归并,得到统一信息流形

$$\mathfrak{S}=\coprod _{Q,U}{\mathcal{S}}_{Q,U}/\sim ,$$

携带分段 Fisher 度量 $\mathfrak{g}$。

这样,任何具体计算宇宙的控制–信息几何都可以嵌入 $(\mathfrak{M},\mathfrak{G})$ 与 $(\mathfrak{S},\mathfrak{g})$ 中作为子流形;在统一时间刻度母尺与散射结构下,这些嵌入保持测地结构与信息结构。

3.3 多观察者网络层

以单观察者对象

$$O=(M_{\mathrm{int}},{\Sigma }_{\mathrm{obs}},{\Sigma }_{\mathrm{act}},\mathcal{P},\mathcal{U})$$

为基本单元,将所有可数观察者族在统一计算宇宙中视为点 $(\theta ,\varphi ,m,\mathcal{G},A)$ 的集合。

定义 3.4(统一观察者状态空间)

定义

$${\mathfrak{E}}_{\mathrm{obs}}=\bigcup _{U_{\mathrm{comp}},\mathcal{O}}(\prod _{i\in I}{\mathcal{E}}_Q^{(i)}\times M_{\mathrm{int}}^{(i)}\times {\mathfrak{G}}^{(i)}\times {\mathfrak{A}}^{(i)})/\sim ,$$

其中 ${\mathcal{E}}_Q^{(i)}={\mathcal{M}}_U^{(i)}\times {\mathcal{S}}_{Q,U}^{(i)}$,${\mathfrak{G}}^{(i)}$ 为知识图谱空间,${\mathfrak{A}}^{(i)}$ 为注意力配置空间,$\sim$ 为将几何等价与策略等价的状态识别。

联合度量由各 $G_U,g_{Q,U}$ 的和与知识图谱谱距离构成。

3.4 灾难规范与能力–风险前沿层

对所有计算宇宙中定义的灾难规范与能力–风险结构进行类似的归并。

定义 3.5(统一灾难规范层)

定义灾难规范族

$${\mathfrak{S}}_{\mathrm{cat}}=\bigcup _{U_{\mathrm{comp}}}\{(X_{0,U},C_{\mathrm{cat},U})\}/\sim ,$$

其中等价关系将在统一嵌入下等价的初态集合与灾难集合识别。

定义 3.6(统一能力–风险前沿层)

对每个 $(U_{\mathrm{comp}},Q)$,能力–风险前沿为 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{CR}}^{(U,Q)}\subset \mathbb{R}\times [0,1]$。将所有这些前沿作为参数化族嵌入统一策略空间上,得到整体结构

$${\mathfrak{F}}_{\mathrm{CR}}=\bigcup _{U,Q}{\mathcal{F}}_{\mathrm{CR}}^{(U,Q)}\times \{(U,Q)\}/\sim .$$

在统一控制–观察者策略空间上,${\mathfrak{F}}_{\mathrm{CR}}$ 是一个分片帕累托边界集合,描述在所有可能计算宇宙中的能力–风险极限曲线。

4 统一计算宇宙终对象与终对象性质

本节将上述所有层合并,给出统一计算宇宙终对象的定义,并证明其在 2–范畴意义下的终对象性质。

4.1 终对象的定义

定义 4.1(统一计算宇宙终对象)

统一计算宇宙终对象定义为十元组

$${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}=(\mathfrak{X},{\mathsf{T}}_{\infty },{\mathsf{C}}_{\infty },{\mathsf{I}}_{\infty };\mathfrak{M},\mathfrak{G};\mathfrak{S},\mathfrak{g};{\mathfrak{E}}_{\mathrm{obs}};{\mathfrak{S}}_{\mathrm{cat}};{\mathfrak{F}}_{\mathrm{CR}}),$$

其中各部分定义如 3.1–3.6。

直观上,${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$ 同时包含:

• 所有局部可实现的配置与更新;
• 在统一时间刻度下所有控制路径的复杂性几何极限;
• 所有任务信息几何与观察者网络;
• 所有灾难规范与能力–风险前沿。

4.2 统一收缩函子

定义 4.2(收缩 1–态射)

对每个 ${\hat{U}}_{\mathrm{comp}}\in {\mathbf{CompUniv}}_{\kappa }$,定义

$$F_U:{\hat{U}}_{\mathrm{comp}}\to {\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$$

如下:

1. 配置嵌入

$$f_X={\iota }_U:X\hookrightarrow \mathfrak{X}.$$

2. 控制流形嵌入

$$f_{\mathcal{M}}:{\mathcal{M}}_U\hookrightarrow \mathfrak{M},$$

保持度量结构(至多常数重标度)。

3. 信息流形嵌入

$$f_{\mathcal{S}}:{\mathcal{S}}_{Q,U}\hookrightarrow \mathfrak{S},$$

保持 Fisher 信息度量。

4. 观察者与知识图谱嵌入

$$f_{\mathrm{obs}}:\text{ObsStates}(U_{\mathrm{comp}})\hookrightarrow {\mathfrak{E}}_{\mathrm{obs}}.$$

5. 灾难规范与能力–风险前沿嵌入

$$f_{\mathrm{cat}}:(X_0,C_{\mathrm{cat}})\mapsto {\mathfrak{S}}_{\mathrm{cat}},f_{\mathrm{CR}}:{\mathcal{F}}_{\mathrm{CR}}^{(U,Q)}\mapsto {\mathfrak{F}}_{\mathrm{CR}}.$$

组合起来 $F_U$ 即为一个安全–几何–信息兼容的 1–态射。

4.3 终对象性质

定理 4.3(统一计算宇宙终对象的 2–终对象性)

在 2–范畴 ${\mathbf{CompUniv}}_{\kappa }$ 中,${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$ 是一个 2–终对象:

对每个对象 ${\hat{U}}_{\mathrm{comp}}$,存在一个 1–态射

$$F_U:{\hat{U}}_{\mathrm{comp}}\to {\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}},$$

并且对任意另一个 1–态射

$$G_U:{\hat{U}}_{\mathrm{comp}}\to {\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}},$$

存在唯一(在 2–态射意义下)自然变换

$${\Xi }_U:G_U\Rightarrow F_U.$$

证明(概要)

1. 存在性:由 4.2 的构造,对每个 ${\hat{U}}_{\mathrm{comp}}$ 可以显式定义 $F_U$ 为嵌入。

2. 唯一性(至自然变换):任何其它 1–态射 $G_U$ 必须将 $X$ 映射到 $\mathfrak{X}$ 的某个子集,并在控制–信息–观察者–能力–风险层保持结构。由于 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$ 按照“极大全局等价类“构造,对任何这样的 $G_U$ 都存在一个“等距–等价类“自然变换 ${\Xi }_U$ 将其拉回到规范嵌入 $F_U$:在每一层,都可以通过内部等距或局域酉变换消去多余自由度,使映射与 $F_U$ 同构。

3. 自然性:对态射 $H:{\hat{U}}_{\mathrm{comp}}\to {\hat{V}}_{\mathrm{comp}}$,两侧合成 $F_V\circ H$ 与 $F_U$ 之间的自然变换由统一构造给出——这是 Grothendieck 宇宙中“包含–等距“结构的常规特性。

严格的 2–范畴证明需要在每一层检查兼容性,见附录 C。

5 与统一物理宇宙终对象的等价

前文已经构造物理宇宙范畴 ${\mathbf{PhysUniv}}^{\mathrm{QCA}}$ 与计算宇宙范畴 ${\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}$,并通过函子

$$F:{\mathbf{PhysUniv}}^{\mathrm{QCA}}\to {\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}},G:{\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}\to {\mathbf{PhysUniv}}^{\mathrm{QCA}}$$

证明两者范畴等价。在物理层,统一物理宇宙终对象 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{phys}}^{\mathrm{term}}$ 已通过散射时间刻度、边界时间几何与 Dirac–QCA 连续极限构造。

在当前场景下,由 ${\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}\hookrightarrow {\mathbf{CompUniv}}_{\kappa }$ 的包含与范畴等价,可以提升终对象关系:

命题 5.1(终对象之间的等价)

在统一时间刻度的约束下,统一物理宇宙终对象 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{phys}}^{\mathrm{term}}$ 与统一计算宇宙终对象 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$ 在 2–范畴意义下等价。

即存在一对 1–态射

$$\mathcal{F}:{\mathfrak{U}}_{\mathrm{phys}}^{\mathrm{term}}\to {\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}},\mathcal{G}:{\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}\to {\mathfrak{U}}_{\mathrm{phys}}^{\mathrm{term}},$$

以及自然同构 2–态射

$$\mathcal{G}\circ \mathcal{F}\simeq {\mathrm{Id}}_{{\mathfrak{U}}_{\mathrm{phys}}^{\mathrm{term}}},\mathcal{F}\circ \mathcal{G}\simeq {\mathrm{Id}}_{{\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}}.$$

证明依赖于前文的范畴等价定理和终对象性质,见附录 D。

这意味着:“宇宙作为计算“的统一终对象与“宇宙作为统一时间–边界几何“的终对象是同一个 2–终对象在不同范畴中的呈现:一个以离散计算结构为主,一个以连续几何结构为主。

附录 A:统一配置–事件–小钻石层的技术细节

A.1 极大配置宇宙的集合论构造

为避免大小悖论,我们在某个 Grothendieck 宇宙 $\mathcal{U}$ 内操作,令

$${\mathcal{X}}_0=\{X_U:U\in {\mathbf{CompUniv}}_{\kappa }\},{\mathcal{T}}_0=\{{\mathsf{T}}_U,{\mathsf{C}}_U,{\mathsf{I}}_U\}.$$

定义

$$\mathfrak{X}=\underset{U}{⨆}(X_U\times \{U\}),$$

再通过等距–等价关系 $\sim$ 识别“几何完全相同“的点对,得到商集

$$\mathfrak{X}=\left(\underset{U}{⨆}{X}_U\right)/\sim .$$

统一转移关系 ${\mathsf{T}}_{\infty }$ 与代价 ${\mathsf{C}}_{\infty }$ 通过类似的商构造得到。这一过程确保:

• 每个具体 $X_U$ 被嵌入 $\mathfrak{X}$;
• 在等距等价类中,不会重复计数相同的更新结构;
• 统一复杂性距离 $d_{\mathrm{comp},\infty }$ 在各子集上限制为原始距离。

A.2 统一事件层与小钻石

事件层

$$\mathfrak{E}=\mathfrak{X}\times \mathbb{N}$$

上,统一更新关系

$${\mathsf{T}}_{\mathfrak{E}}=\{((x,k),(y,k+1)):(x,y)\in {\mathsf{T}}_{\infty }\}$$

与代价函数诱导复杂性光锥与小钻石定义与单一宇宙情形完全类同。

附录 B:统一控制与信息流形终对象的构造

B.1 控制流形终对象的局域构造

对每个 $U_{\mathrm{comp}}$,控制流形 ${\mathcal{M}}_U$ 在局部与某个 Riemann 流形 $({\mathbb{R}}^{d_U},G_U)$ 同构。我们对所有这样的局部片进行 disjoint union,再按“时间刻度–散射–控制结构等距“关系归并,得到统一控制流形 $\mathfrak{M}$。

在技术上,可定义等价关系:

$$(\theta ,U)\sim ({\theta }^{\prime },U^{\prime })⟺\exists \text{等距同构}\phi :{\mathcal{M}}_U\supset U\to U^{\prime }\subset {\mathcal{M}}_{U^{\prime }}\text{使}\phi (\theta )={\theta }^{\prime }.$$

度量 $\mathfrak{G}$ 在等价类代表上由 $G_U$ 定义,等距等价保证一致性。

B.2 信息流形终对象的构造

对所有 $Q,U$,信息流形 $({\mathcal{S}}_{Q,U},g_{Q,U})$ 可通过相对熵二阶结构确定。与控制流形相同,通过 disjoint union 与 Fisher–等距等价关系归并得到 $(\mathfrak{S},\mathfrak{g})$。

附录 C:终对象 2–性质的形式证明纲要

C.1 1–态射唯一性(至自然变换)

给定 ${\hat{U}}_{\mathrm{comp}}$ 与两个 1–态射

$$F_U,G_U:{\hat{U}}_{\mathrm{comp}}\to {\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}},$$

比较其在各层的映射:

• 在配置层,由 $\mathfrak{X}$ 的等距–等价构造,$F_U$ 与 $G_U$ 的像必落在同一个等价类,故存在某个局域双射 ${\Xi }_X$ 使得 $G_X={\Xi }_X\circ F_X$;
• 在控制与信息层,由 $\mathfrak{M},\mathfrak{S}$ 的等距–等价构造,$F_{\mathcal{M}},G_{\mathcal{M}}$ 与 $F_{\mathcal{S}},G_{\mathcal{S}}$ 之间存在等距自然变换 ${\Xi }_{\mathcal{M}},{\Xi }_{\mathcal{S}}$;
• 在观察者与能力–风险层,类似的归并保证存在相应的自然变换。

将这些自然变换组合为 2–态射 ${\Xi }_U$ 即完成。

C.2 2–终对象性

若存在另外一个候选终对象 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\prime }$,则从 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$ 出发的 1–态射 $H:{\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}\to {\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\prime }$ 与从 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\prime }$ 到 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}$ 的 1–态射 $K$ 组合必须在 2–态射意义下成为恒等,因两者均具有“包含–归并–等距“结构。此即 2–终对象的标准论证。

附录 D:统一物理宇宙终对象与统一计算宇宙终对象的等价

在物理层,统一物理宇宙终对象

$${\mathfrak{U}}_{\mathrm{phys}}^{\mathrm{term}}=(M_{\infty },g_{\infty };{\mathcal{F}}_{\infty };{\kappa }_{\infty };{\mathsf{S}}_{\infty };\cdots )$$

通过类似的 Grothendieck 归并在物理宇宙范畴 ${\mathbf{PhysUniv}}^{\mathrm{QCA}}$ 中构造。此前已给出范畴等价

$$F:{\mathbf{PhysUniv}}^{\mathrm{QCA}}\to {\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}},G:{\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}\to {\mathbf{PhysUniv}}^{\mathrm{QCA}}.$$

通过将这些函子扩展到终对象层,可以构造

$$\mathcal{F}:{\mathfrak{U}}_{\mathrm{phys}}^{\mathrm{term}}\to {\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}},\mathcal{G}:{\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}\to {\mathfrak{U}}_{\mathrm{phys}}^{\mathrm{term}},$$

并利用终对象性质与等价性,得到自然同构

$$\mathcal{G}\circ \mathcal{F}\simeq {\mathrm{Id}}_{{\mathfrak{U}}_{\mathrm{phys}}^{\mathrm{term}}},\mathcal{F}\circ \mathcal{G}\simeq {\mathrm{Id}}_{{\mathfrak{U}}_{\mathrm{comp}}^{\mathrm{term}}}.$$

这从根本上说明:

• 把宇宙视为“统一时间刻度下的散射–边界几何终对象“与
• 把宇宙视为“统一时间刻度下的计算宇宙终对象“

是同一个数学对象在两个等价范畴中的双重呈现。