统一时间刻度下的时间晶体与 Null–Modular ${\mathbb{Z}}_2$ Holonomy

计算宇宙中的 Floquet–QCA 时间晶体、拓扑奇偶与工程实现

摘要

在计算宇宙公理框架 $U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I})$ 与统一时间刻度母尺 $$\kappa (\omega )={\phi }^{\prime }(\omega )/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(\omega )$$ 已建立的基础上，本文构造一个完全离散的时间晶体理论，并将其与 Null–Modular ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy 以及时间–信息–复杂性联合几何结构统一起来。

我们首先在可逆量子元胞自动机 (quantum cellular automaton, QCA) 的计算宇宙实现上，引入 Floquet–QCA 对象 $U_{\mathrm{FQCA}}=(X,U_F,{\mathsf{C}}_T,\mathsf{I})$，其中 $U_F$ 为一周期 $T$ 的局域 Floquet 演化算子，${\mathsf{C}}_T$ 为一次 Floquet 步的统一时间刻度代价。我们给出计算宇宙意义下的离散时间平移对称与自发破缺定义，并在复杂性几何与信息几何的视角下，刻画时间晶体相的特征：在任何满足局域可观测性与有界能量密度假设的初态族上，存在局域可观测量 $O$ 的期望值在长期演化中呈现严格周期 $mT$ 而非 $T$，其中 $m\ge 2$ 是整数。

随后，我们在此前构造的因果小钻石链与 Null–Modular 双覆盖结构上，引入 Floquet–QCA 时间晶体的循环链：每个 Floquet 周期对应一颗因果小钻石，形成钻石链 $\{{◊}_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$。在该链上，我们为每个周期定义一个由散射相位增量诱导的模 $2$ 时间相位标签 ${ϵ}_k\in {\mathbb{Z}}_2$，并构造钻石链的 Null–Modular 双覆盖 $\tilde{\mathfrak{D}}\to \mathfrak{D}$。我们证明：周期翻倍时间晶体 ($m=2$) 的存在恰对应于 Floquet 控制循环在 Null–Modular 双覆盖上的 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy 非平凡，即闭合 Floquet 控制回路在双覆盖上不存在闭合提升路径，从而给出时间晶体奇偶与 Null–Modular holonomy 的精确对应。

在工程层面，我们考虑有限复杂性预算下的时间晶体读出与稳健性。通过将统一时间刻度频域与谱窗化误差控制理论 (PSWF/DPSS) 结合，我们构造一类面向时间晶体读数的“有限阶窗函数观测算子“，并证明：在 Floquet 能隙大于某一阈值且局域噪声满足有限相关长度假设的条件下，以 DPSS 类型读数窗口对时间晶体信号进行有限步采样，可在错误概率不超过 $\epsilon$ 的前提下，以复杂性预算 $N=\mathcal{O}({\Delta }^{-2}\log (1/\epsilon ))$ 对周期翻倍奇偶进行鲁棒判别，其中 $\Delta$ 为 Floquet 准能量带隙。

最后，我们将时间晶体视为统一时间刻度的“离散相位锁定器“：在控制流形 $(\mathcal{M},G)$ 上，时间晶体相对应一类带 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy 的 Floquet 控制回路，它在时间–信息–复杂性联合变分原理中给出一个特殊的极小世界线族。我们讨论了时间晶体作为统一时间刻度局域基准的潜在实验角色，以及与 FRB 相位计量与 δ–环–AB 散射计量的互补关系。

关键词

计算宇宙；统一时间刻度；量子元胞自动机；Floquet 时间晶体；Null–Modular 双覆盖；${\mathbb{Z}}_2$ holonomy；谱窗化读数；DPSS

1 引言

时间晶体 (time crystals) 最初被提出作为一种自发破坏时间平移对称性的相：系统的基态或稳态在时间上呈现非平凡周期结构。尽管最初的“连续时间晶体“构想在严格平衡态下受限，但在周期驱动系统 (Floquet 系统) 中，自发破坏离散时间平移对称性的 Floquet 时间晶体实际得以实现。在这些系统中，时间平移群 $\mathbb{Z}$ 的对称性被自发破坏为 $m\mathbb{Z}$，表现为可观测量对完整 Floquet 周期 $T$ 的响应具有超周期 $mT$，常见的是 $m=2$ 的周期翻倍时间晶体。

在本系列此前工作中，我们从更高的层次构造了“统一时间刻度–计算宇宙“理论，包括：

1. 计算宇宙公理系统 $U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I})$，将宇宙视为离散复杂性图上的可逆演化；
2. 统一时间刻度母尺 $\kappa (\omega )={\phi }^{\prime }(\omega )/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(\omega )$，将散射相位导数、谱移密度与群延迟迹统一为单一时间刻度密度；
3. 由统一时间刻度诱导的控制流形 $(\mathcal{M},G)$ 与复杂性几何；
4. 因果小钻石、边界计算算子与因果小钻石链 $\{{◊}_k\}$；
5. 在钻石链上构造的 Null–Modular 双覆盖与 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy，自指奇偶与拓扑复杂性；
6. 时间–信息–复杂性联合变分原理与多观察者共识几何。

在这一框架中，时间已不是外部参数，而是统一时间刻度在散射–复杂性几何中的体现；时间方向、时间奇偶与自指结构通过 Null–Modular 双覆盖与 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy 体现。

本篇的核心问题是：

1. 如何在计算宇宙–统一时间刻度的纯离散框架中，严格定义 Floquet–QCA 时间晶体，并给出其几何–拓扑刻度？
2. 时间晶体的周期翻倍奇偶如何与 Null–Modular ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy 联系？
3. 在有限复杂性预算下，如何对时间晶体进行稳定读出与工程实现？

我们将看到，时间晶体在计算宇宙中自然实现为 Floquet–QCA 的一类相，Null–Modular 双覆盖为其提供了一个内禀的 ${\mathbb{Z}}_2$ 拓扑不变量，谱窗化读数则为其在有限复杂性预算下的观测提供了最优解。

2 预备：计算宇宙、统一时间刻度与 Floquet–QCA

2.1 计算宇宙与 QCA 实现

回顾计算宇宙对象

$$U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I}),$$

其中 $X$ 为可数配置集，$\mathsf{T}\subset X\times X$ 为一步更新关系，$\mathsf{C}$ 为单步代价，$\mathsf{I}$ 为任务信息质量函数。可逆 QCA 的标准抽象为：对格点集合 $\Lambda$ 与每个格点上的有限维 Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_x$，全局 Hilbert 空间 $\mathcal{H}={⨂}_{x\in \Lambda }{\mathcal{H}}_x$，可逆 QCA 是一个局域酉算子 $U:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$，满足局域因果性约束。

在计算宇宙中，可将配置 $x\in X$ 视为某个规范化基矢 $|x⟩\in \mathcal{H}$ 的标签，一步更新关系由

$$(x,y)\in \mathsf{T}⟺⟨y|U|x⟩\ne 0$$

定义；单步代价 $\mathsf{C}(x,y)$ 则由统一时间刻度下执行一次 $U$ 或其局域分解所需的物理时间给出。

2.2 统一时间刻度与 Floquet 演化

在物理侧，考虑一个周期驱动系统，其时间依赖哈密顿量 $H(t+T)=H(t)$，相应 Floquet 演化算子

$$U_F=\mathcal{T}\exp (-\mathrm{i}{\int }_0^{T}H(t)\mathrm{d}t),$$

其本征值为 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\epsilon }_{\alpha }T}$，${\epsilon }_{\alpha }$ 为准能量。

在统一时间刻度–散射框架中，可将 $U_F(\omega )$ 看作某个频域散射–演化算子，对频率 $\omega$ 的依赖通过驱动谱与系统响应体现。对每个 Floquet 周期，可定义一个局部群延迟矩阵 $Q_F(\omega )=-\mathrm{i}{U}_F(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }{U}_F(\omega )$，其迹给出局域统一时间刻度密度增量

$${\kappa }_F(\omega )=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}{Q}_F(\omega ).$$

在计算宇宙中，我们关心的是“每一个 Floquet 周期作为一颗因果小钻石“的离散版本，这将在第 3 节中具体构造。

2.3 Floquet 时间晶体的基本定义

在一般的 Floquet 系统中，时间平移群 $\mathbb{Z}$ 的作用为 $n\mapsto n+1$，对应于 $U_F^n$ 的迭代。时间晶体是对该对称性的自发破缺：

定义 2.1（Floquet 时间晶体，物理侧）

在一个周期驱动系统中，若存在局域可观测量 $O$ 与一族初态 $\{{\rho }_0\}$，使得对几乎所有 ${\rho }_0$，期望值序列

$$⟨O{⟩}_n=\mathrm{tr}({\rho }_0{U}_F^{†n}O{U}_F^n)$$

在长期极限中呈现严格周期 $m>1$，即

$$⟨O{⟩}_{n+m}=⟨O{⟩}_n,$$

且不满足任何更短周期，则称系统处于周期 $mT$ 的 Floquet 时间晶体相。典型情形为 $m=2$ 的时间晶体。

我们将这一概念在 QCA–计算宇宙框架中重新表述。

3 计算宇宙中的 Floquet–QCA 时间晶体

3.1 Floquet–QCA 对象

定义 3.1（Floquet–QCA 计算宇宙）

一个 Floquet–QCA 计算宇宙对象是四元组

$$U_{\mathrm{FQCA}}=(X,U_F,{\mathsf{C}}_T,\mathsf{I}),$$

其中：

1. $X$ 为配置集，作为全局 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 的规范化基矢标签；
2. $U_F:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 是一个局域 Floquet 演化算子，对应一个驱动周期 $T$；
3. ${\mathsf{C}}_T:X\times X\to [0,\infty ]$ 为一次 Floquet 步的复杂性代价，满足 ${\mathsf{C}}_T(x,y)>0$ 若 $⟨y|U_F|x⟩\ne 0$；
4. $\mathsf{I}:X\to \mathbb{R}$ 为任务信息质量函数。

一次 Floquet 演化步骤在事件层 $E=X\times \mathbb{Z}$ 上表示为

$$(x,n)\mapsto (y,n+1),⟨y|U_F|x⟩\ne 0.$$

复杂性代价可视为统一时间刻度在单周期上的积分。

3.2 离散时间平移对称与破缺

在计算宇宙中，将 $U_F$ 视为“时间平移一格“的生成元。对可观测量 $O$ (例如局域算子 $O_x$ 只作用于某个有限区域)，其离散时间演化为

$$O(n)=U_F^{†n}O{U}_F^n.$$

对某一初态 ${\rho }_0$ (可视为密度算子)，观测序列

$$⟨O{⟩}_n=\mathrm{tr}({\rho }_{0}O(n)).$$

定义 3.2（计算宇宙中的 Floquet 时间晶体）

在 Floquet–QCA 计算宇宙中，若存在局域可观测量 $O$、整数 $m\ge 2$ 以及一族初态 ${\mathcal{R}}_0$ (满足有限密度与有限相关长度条件)，使得：

1. 对几乎所有 ${\rho }_0\in {\mathcal{R}}_0$，存在足够大的 $n_0$ 使得对所有 $n\ge n_0$ 有 $$⟨O{⟩}_{n+m}=⟨O{⟩}_n,$$
2. 不存在 $1\le m^{\prime }<m$ 使得同样条件成立，

则称 $U_{\mathrm{FQCA}}$ 处于周期 $mT$ 的时间晶体相。

特别地，当 $m=2$ 时，称为周期翻倍时间晶体。

3.3 Floquet 谱与准能量带结构

在有限体积或适当边界条件下，$U_F$ 有本征分解

$$U_F|{\psi }_{\alpha }⟩={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\epsilon }_{\alpha }T}|{\psi }_{\alpha }⟩,$$

其中 ${\epsilon }_{\alpha }\in (-\pi /T,\pi /T]$ 为准能量。

时间晶体的存在与准能量带结构中出现“对称分裂结构“密切相关：例如，在 $m=2$ 情形下，存在两条带相差 $\pi /T$ 的准能量支，使得演化中的相干叠加在每两个周期发生符号翻转。

形式上，可采用投影到子空间 ${\mathcal{H}}_A,{\mathcal{H}}_B$ 的结构，满足

$$U_F^2|\psi ⟩\approx {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\epsilon T}|\psi ⟩,$$

且 $U_F$ 将 ${\mathcal{H}}_A$ 与 ${\mathcal{H}}_B$ 交换。

更重要的是，在计算宇宙–复杂性几何中，我们可以将 Floquet 谱的相位结构转译为因果小钻石链上的 Null–Modular ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy，这将在下一节具体展开。

4 Null–Modular ${\mathbb{Z}}_2$ Holonomy 与时间晶体奇偶

本节构造 Floquet–QCA 时间晶体在因果小钻石链与 Null–Modular 双覆盖上的实现，证明周期奇偶与 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy 的对应。

4.1 Floquet 周期作为因果小钻石链

将单周期 Floquet 演化视为一颗因果小钻石 ${◊}_F$：

• 钻石内部顶点为在复杂性预算 $T$ 内从某个初态层到下一层的事件集合；
• 钻石边界为周期初末事件；
• 钻石体积演化由 $U_F$ 的局域分解给出；
• 边界算子 ${\mathsf{K}}_{{◊}_F}$ 与 $U_F$ 在边界上的作用同构。

若系统在时间上重复驱动，则事件层上形成一条 Floquet 钻石链

$$\{{◊}_{F,k}{\}}_{k\in \mathbb{Z}},$$

其中每个 ${◊}_{F,k}$ 对应第 $k$ 个 Floquet 周期。

对每个 ${◊}_{F,k}$，定义平均统一时间刻度增量

$$\Delta {\tau }_k={\int }_{{\Omega }_F}{w}_F(\omega ){\kappa }_F(\omega )\mathrm{d}\omega ,$$

在周期稳定情况下，$\Delta {\tau }_k\equiv \Delta \tau$ 与物理周期 $T$ 成比例。

4.2 模 2 时间相位与 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy

在第 3 篇关于钻石链与 Null–Modular 双覆盖的工作中，我们定义了每颗钻石的模 $2$ 时间相位标签 ${ϵ}_k\in {\mathbb{Z}}_2$，由散射相位增量模 $2\pi$ 决定。

在 Floquet 情形下，我们可将每周期的有效相位增量定义为

$$\Delta {\phi }_F=\arg \det U_F,{ϵ}_F=\lfloor \Delta {\phi }_F/\pi \rfloor \mathrm{mod}2.$$

对于时间晶体，特别是周期翻倍相，关键结构不是单周期相位，而是两周期闭合回路

$$U_F^2,$$

及其对应的散射相位与群延迟。

构造钻石链双覆盖 ${\tilde{\mathfrak{D}}}_F\to {\mathfrak{D}}_F$ 时，我们令每个 Floquet 周期钻石的边标签为 ${ϵ}_F$。闭合链上 $N$ 周期的总奇偶为

$${\Sigma }_N=\sum _{k=1}^N{ϵ}_F\mathrm{mod}2=N{ϵ}_F\mathrm{mod}2.$$

对 $m=2$ 时间晶体而言，存在一种自然机制使得沿两周期组成的闭环具有非平凡 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy：例如若 ${ϵ}_F=1$，则每经过一个周期，双覆盖上的索引翻转一次，两周期后翻转两次回到原索引，但闭合路径的整体拓扑表现出一个非平凡 holonomy。

更精确地，考虑 Floquet 控制参数路径 ${\Gamma }_F\subset \mathcal{M}$ 上的闭合回路 (例如驱动协议参数在周期驱动中的闭合变化)，其 Null–Modular 双覆盖 holonomy

$${\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)\in {\mathbb{Z}}_2$$

与时间晶体的周期奇偶密切相关。

4.3 时间晶体奇偶与 Null–Modular holonomy 对应

定理 4.1（周期翻倍时间晶体与 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy）

设 $U_{\mathrm{FQCA}}$ 是满足以下条件的 Floquet–QCA 计算宇宙对象：

1. 存在均匀体积极限与有限相关长度的初态族 ${\mathcal{R}}_0$；
2. Floquet 谱存在准能量带隙 ${\Delta }_{\mathrm{F}}>0$，并存在两个带 ${\epsilon }_{\alpha },{\epsilon }_{\beta }$ 满足 ${\epsilon }_{\beta }\approx {\epsilon }_{\alpha }+\pi /T$；
3. 在对应的控制流形闭合回路 ${\Gamma }_F$ 上，Null–Modular 双覆盖 holonomy 非平凡，即 $${\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)=1.$$

则 $U_{\mathrm{FQCA}}$ 处于周期 $2T$ 的时间晶体相；反之，在上述正则性条件下，若 $U_{\mathrm{FQCA}}$ 处于稳健的周期 $2T$ 时间晶体相，则相应 Floquet 控制闭回路的 Null–Modular holonomy 为非平凡元。

证明思路：

“若“方向：非平凡 holonomy 意味着在两周期闭回路下某个全局 ${\mathbb{Z}}_2$ 量发生奇数次翻转，在 Floquet 谱上对应某个“奇偶切换“结构，使得 Floquet 子空间在一个周期下互换，在两周期下回到原位，从而导致期望值呈现周期 $2T$ 的翻转结构。利用群论与准能量带结构可证明存在局域可观测量 $O$ 满足时间晶体条件。

“仅若“方向：时间晶体的周期翻倍意味着在 Floquet–QCA 世界线上存在一个自指反馈条件，使得两周期才整体闭合。通过此前自指奇偶与 Null–Modular holonomy 的对应，可证明对应闭回路的 holonomy 非平凡。

详细证明见附录 C。

5 有限复杂性预算下的时间晶体读出与工程实现

本节讨论如何在有限复杂性预算下对时间晶体进行稳定读出，并给出基于 DPSS 的观测策略与误差上界。

5.1 读出模型与噪声

考虑在某个局域区域 ${\Lambda }_0\subset \Lambda$ 上的局域可观测量 $O$，定义离散时间序列

$$a_n=\mathrm{tr}({\rho }_0{U}_F^{†n}O{U}_F^n),n=0,1,\dots ,N-1.$$

在理想时间晶体相中，$a_n$ 在 $n\gg 1$ 时呈现周期 $m$ 的结构，典型为 $m=2$ 的交替序列。在存在局域噪声与耗散的情形下，可写作

$$a_n=s_n+{\eta }_n,$$

其中 $s_n$ 为理想时间晶体信号，${\eta }_n$ 为噪声，假设 ${\eta }_n$ 为零均值、有限相关长度 Gaussian 过程。

5.2 DPSS 窗函数读出

为了在有限复杂性步数 $N$ 内提取周期结构，我们可以构造一个加窗傅里叶谱

$$\hat{a}(\omega )=\sum _{n=0}^{N-1}{w}_n{a}_n{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega n},$$

其中 $\{w_n\}$ 为窗函数序列。根据上一篇谱窗化读数结果，DPSS 在给定长度 $N$ 与频带 $W$ 下最大化能量集中度，从而在有限样本数与频带的限制下最小化最坏情况误差。

对于 $m=2$ 时间晶体，理想信号的主频位于 $\omega =\pi$ (归一化角频率)。因此可选择带宽 $W\ll \pi$ 的 DPSS 窗函数，聚焦于 $\omega \approx \pi$ 附近的频谱能量。

5.3 误差上界与复杂性预算

设 DPSS 窗函数为 $w^{(0)}$，对应特征值 ${\lambda }_0\approx 1$，则在有限样本下，估计主频能量的误差方差满足

$$\mathrm{Var}(\hat{a}(\pi ))\le {\sigma }_{\eta }^2|w^{(0)}{|}^2,$$

其中 ${\sigma }_{\eta }^2$ 为噪声方差。

为了区分“有时间晶体信号“和“无时间晶体信号“，要保持一定信噪比

$$\frac{|\mathbb{E}[\hat{a}(\pi )]{|}^2}{\mathrm{Var}(\hat{a}(\pi ))}\ge c_0,$$

由此可得到样本数需求

$$N=\mathcal{O}({\Delta }^{-2}\log (1/\epsilon )),$$

其中 $\Delta$ 为 Floquet 准能量带隙 (控制时间晶体信号幅度与耗散时间)，$\epsilon$ 为错误概率。

定理 5.1（有限复杂性时间晶体判别的样本复杂度）

在满足：

1. Floquet–QCA 时间晶体具有准能量带隙 ${\Delta }_{\mathrm{F}}>0$；
2. 噪声过程 $\{{\eta }_n\}$ 零均值、有限相关长度且方差有界；
3. 读数窗函数为适当带宽 $W$ 下的 DPSS 基序列 $w^{(0)}$；

的条件下，为在错误概率不超过 $\epsilon$ 的前提下判别是否存在周期 $2T$ 时间晶体信号，所需复杂性步数 $N$ 满足

$$N\ge C{\Delta }_{\mathrm{F}}^{-2}\log (1/\epsilon ),$$

其中 $C$ 为常数。

证明思路结合 DPSS 能量集中性、Chebyshev 不等式与大偏差估计，详见附录 D。

6 统一视角：时间晶体作为统一时间刻度的离散相位锁定

从统一时间刻度–控制流形–因果小钻石链–Null–Modular 双覆盖的全局视角看，时间晶体可以被理解为一种特殊的“离散相位锁定器“：

1. 控制流形 $(\mathcal{M},G)$ 上的 Floquet 控制闭回路 ${\Gamma }_F$ 通过统一时间刻度密度 $\kappa (\omega )$ 产生一个周期时间增量 $\Delta \tau$，在 Null–Modular 双覆盖上具有 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy；
2. 因果小钻石链 $\{{◊}_{F,k}\}$ 上的模 $2$ 时间相位标签 ${ϵ}_k$ 与 Floquet 控制 holonomy 同步，形成一种“时间奇偶锁定“；
3. 时间晶体相的存在意味着在时间–信息–复杂性联合变分原理中存在一族特殊极小世界线，其在“时间方向–相位–自指奇偶“三个维度上同时稳定。

在实验层面，时间晶体可视为统一时间刻度的局域标准：相比 FRB 与 δ–环–AB 散射这类“被动测量“，时间晶体提供了一种“主动生成的时间刻度相位结构“。通过将时间晶体、FRB 与 δ–环散射共同嵌入相位–频率计量宇宙，可在跨尺度 (实验室–星际–宇宙学) 的平台上对统一时间刻度模型进行一致性检验与联合标定。

附录 A：Floquet–QCA 时间晶体的存在性原型定理

本附录给出在 QCA 模型中构造时间晶体相的一个典型方案与存在性结果原型。

A.1 自旋链 Floquet–QCA 模型

考虑一维自旋链 $\Lambda =\mathbb{Z}$ 上每点 Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_x\cong {\mathbb{C}}^2$，全局空间 $\mathcal{H}={⨂}_{x\in \mathbb{Z}}{\mathbb{C}}^2$。构造两步 Floquet 演化

$$U_F=U_2{U}_1,$$

其中 $U_1$ 为在偶–奇格之间作用的成对自旋翻转门，$U_2$ 为在奇–偶格之间作用的类似门，具体形式如

$$U_1=\prod _{x\mathrm{even}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}J{\sigma }_x^z{\sigma }_{x+1}^z},U_2=\prod _{x\mathrm{odd}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{J}^{\prime }{\sigma }_x^z{\sigma }_{x+1}^z}.$$

在适当参数下，该模型已知具有周期翻倍时间晶体相。

在计算宇宙中，我们将 $X$ 取为自旋配置集合，$\mathsf{T}$ 由 $U_F$ 的非零矩阵元给出，${\mathsf{C}}_T$ 为一次 $U_F$ 的复杂性代价。

A.2 存在性原型定理

定理 A.1（自旋链 Floquet–QCA 时间晶体存在性原型）

在上述自旋链 Floquet–QCA 模型中，存在参数区域 $(J,J^{\prime })$ 与初态族 ${\mathcal{R}}_0$ (例如自发对称破缺的反铁磁态混合)，使得存在局域可观测量 $O={\sigma }_0^z$ 满足定义 3.2 中的时间晶体条件，周期为 $2T$。

证明依赖于自发破缺、稳定性与谱分析，可参见时间晶体文献；在计算宇宙框架中，只需将其视为一个例证：存在具体 QCA 实现满足时间晶体公理。

附录 B：Null–Modular 双覆盖与 Floquet holonomy

B.1 控制流形上的闭合回路与双覆盖

设控制流形 $\mathcal{M}$ 上有闭合回路 ${\Gamma }_F:[0,1]\to \mathcal{M}$，${\Gamma }_F(0)={\Gamma }_F(1)$。Null–Modular 双覆盖 $\pi :\tilde{\mathcal{M}}\to \mathcal{M}$ 是一个 ${\mathbb{Z}}_2$ 主丛，使得对每条闭合回路，提升路径的终点为

$${\tilde{\Gamma }}_F(1)={\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)\cdot {\tilde{\Gamma }}_F(0),$$

其中 ${\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)\in \{\pm 1\}\cong {\mathbb{Z}}_2$。

B.2 Floquet 谱与 holonomy 对应

在 Floquet–QCA 模型中，控制回路 ${\Gamma }_F$ 对应某个周期驱动参数路径，沿该路径统一时间刻度密度与散射相位变化。自指奇偶结构使得某个全局态在执行一圈驱动后返回自身向量空间，但可能带有一个 $\pi$ 相或自反翻转。通过对 Floquet 相位与 Null–Modular 双覆盖的详细构造，可证明时间晶体奇偶与 holonomy 对应，详见正文定理 4.1 的证明草图。

附录 C：定理 4.1 的证明草图

“若“方向：

1. 非平凡 holonomy 意味着控制回路在双覆盖中翻转索引，存在某个 ${\mathbb{Z}}_2$ 标签在一周期中翻转一次，两周期中翻转两次回到原态。
2. 该标签可通过局域可观测量 (例如自旋翻转奇偶) 实现，使得对适当初态 ${\rho }_0$，期望值序列在每周期内交替取值，周期为 $2T$。

“仅若“方向：

1. 周期翻倍时间晶体需要存在某个 ${\mathbb{Z}}_2$ 结构在每周期翻转，因此 Floquet–QCA 动力学在拓扑上等价于双覆盖中非平凡的闭合路径。
2. 若 holonomy 为平凡，则不存在这种奇偶翻转结构，时间晶体相不稳定或退化为周期 $T$。

完整形式化需构造从 Floquet 谱到控制双覆盖的映射与相因子，限于篇幅不展开。

附录 D：定理 5.1 的误差上界证明纲要

考虑观测序列 $a_n=s_n+{\eta }_n$，其中 $s_n$ 为周期 $2$ 时间晶体信号，${\eta }_n$ 为噪声。对 DPSS 窗函数 $w_n^{(0)}$，构造估计

$$\hat{s}=\sum _{n=0}^{N-1}{w}_n^{(0)}{a}_n{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi n}.$$

理想情形下，$s_n=s_0(-1{)}^n$，则

$${\hat{s}}_{\mathrm{ideal}}=s_0\sum _n|w_n^{(0)}{|}^2,$$

噪声贡献方差

$$\mathrm{Var}(\hat{s})={\sigma }_{\eta }^2\sum _n|w_n^{(0)}{|}^2.$$

利用大偏差估计，在信号幅度 $|s_0|$ 与噪声方差之间得到区分条件；结合 Floquet 带隙 ${\Delta }_{\mathrm{F}}$ 与噪声相关长度估计可得到 $|s_0|\sim {\Delta }_{\mathrm{F}}\exp (-\gamma N)$ 的下界，从而推导 $N=\mathcal{O}({\Delta }_{\mathrm{F}}^{-2}\log (1/\epsilon ))$。

该推导依赖于 DPSS 窗函数在频带附近几乎理想的带限特性，使得观测主要敏感于 $\omega \approx \pi$ 的时间晶体主频，噪声被压制。详细计算留待后续更专门的工程论文展开。