时间等价类与广义熵优化：统一交换率、严格公设与面向观测的闭合框架

Abstract 提出并严格化以时间等价类 $[T]$ 为核心的统一框架，使“时间之箭““黑洞信息”“宇宙学红移/常数“与可测的“延迟–相位–谱移“三者处于同一计算/观测平台。第一，给出 $[T]$ 的精确定义，证明等价关系的自反、对称、传递性，并阐明对割面族的协变准则与态/区域改变时的保持性。第二，建立统一交换率同一式 $$\boxed{{\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }{\partial }_{\omega }\varphi (\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}Q(\omega )},$$ 其中 $Q(\omega )=-i{S}^{†}(\omega ){\partial }_{\omega }S(\omega )$ 为 Wigner–Smith 时间延迟算符，$\varphi (\omega )=\arg \det S(\omega )$ 为总散射相位，${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )$ 为由谱移/相对熵定义的谱密度；该等式来自 Birman–Krein 关系与可观测的相位–延迟测量，量纲一致、可反演。第三，在 Hadamard 态与弱曲率的半经典域中，以“相对熵单调 $\Rightarrow$ QNEC $\Rightarrow$ 局域 GSL/QFC“之链证明：沿零测地族的仿射参数 $\lambda$，$S_{\mathrm{gen}}$ 单调；由 $[T]$ 的重参数化得 $S_{\mathrm{gen}}$ 随代表时间 $t$ 单调，时间之箭因此为输出性质。第四，以代数嵌入/纠缠楔语言给出“固定投影不可解码 ≡ 事件视界处的时间映射奇点”，并以岛公式的极值切换实现解析延拓，从而恢复 Page 曲线。第五，把 $\Lambda$ 视为 $[T]$ 的全局校准积分常数（与四形式机制相容），强调其不等同于局域“真空能密度“的可测作用。最后，给出三条可操作的核验路径：曲时空等离子几何光学下**${\omega }^{-2}$** 阶的色散–几何耦合时间延迟（并给出 null‑test 方案），FRB 的“红移–退相干斜率“层级贝叶斯检验，以及低温多模腔的时间延迟 Bell 见证与手性分裂。附录包含：等价关系三性的完整证明；统一交换率同一式的算符–谱移推导；QNEC/GSL 牵引的主定理证明；曲时空–等离子 eikonal 展开（展示无 ${\omega }^{-1}$ 主项的条件）；时间场论的规范化、稳定性与低能约束。

Keywords 时间等价类；模块时间；广义熵；QNEC；QFC；QES/岛公式；Wigner–Smith 时间延迟；Birman–Krein 谱移；等离子几何光学；层级贝叶斯

1. Introduction & Historical Context

广义熵 $S_{\mathrm{gen}}=A/4G\hslash +S_{\mathrm{out}}$ 在半经典量子引力中连接几何与信息。Page 曲线的非微扰重建依赖于量子极值面与岛公式；QNEC 与（局域）QFC 将零方向熵形变与应力能张量、量子聚焦联系起来，并可由相对熵单调性导出。另一方面，Tomita–Takesaki 模块理论把态–代数对 $(\mathcal{A},\omega )$ 的模流 ${\sigma }_s^{\omega }$ 视为“内禀时间“，为“时间来自信息–因果结构“的视角提供数学支点。散射侧，Wigner–Smith 延迟算符与总散射相位 $\varphi$ 直接可测，Krein 谱移函数 $\xi (\omega )$ 与 $\det S(\omega )$ 以 Birman–Krein 公式耦合。本文把这些支点闭合于一体：以 $[T]$ 的等价类结构统摄“时间“，以统一交换率把相位–延迟–谱移纳入可实验的共同刻度。

2. Model & Assumptions

2.1 时间等价类与协变性

对象：全局双曲 $(\mathcal{M},g)$；区域族 $\mathfrak{R}$；态–代数对 $\{(\mathcal{A}(R),{\omega }_R){\}}_{R\in \mathfrak{R}}$；零测地族的截面簇 $\mathfrak{C}$。

定义 2.1（等价） 对固定 $(\mathcal{A}(R),{\omega }_R,\mathfrak{C})$，称 $T_1\sim T_2$，若存在外自同构 $\Phi \in \mathrm{Out}(\mathcal{A}(R))$、严格单调 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，使 $$\Phi \circ {\sigma }_s^{{\omega }_R}\circ {\Phi }^{-1}={\sigma }_{f(s)}^{{\omega }_R}\text{且}\mathcal{E}(\mathfrak{C};T_1)=\mathcal{E}(\mathfrak{C};T_2),$$ 其中 $\mathcal{E}$ 表示沿 $\mathfrak{C}$ 之零生成的“广义熵单调/极值结构“（量子膨胀符号与零集）。

命题 2.2（三性） $\sim$ 为等价关系；对态/区域的完全正保迹映射引起的同伦变形，若相对模流外共轭类不变，则 $[T]$ 保持。割面族细化下，若 ${\Theta }_{\mathrm{q}}\ge 0$，则 $\mathcal{E}$ 保持，称 $[T]$ 对该零测地族协变。证明见附录 A.1–A.2。

2.2 统一交换率与量纲一致

Wigner–Smith 与相位：$Q(\omega )=-i{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$，$\mathrm{Tr}Q={\partial }_{\omega }\arg \det S={\partial }_{\omega }\varphi$。 谱移与相位：Birman–Krein：$\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}\Rightarrow {\partial }_{\omega }\varphi =-2\pi {\xi }^{\prime }(\omega )$。 统一交换率： $$\boxed{{\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=-{\xi }^{\prime }(\omega )=\frac{1}{2\pi }{\partial }_{\omega }\varphi (\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}Q(\omega )}.$$ ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 的定义采取局域窗变分，使 $S(\rho |\sigma )=\int {\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )\mathrm{d}\omega$；量纲与 ${\partial }_{\omega }\varphi$、$\mathrm{Tr}Q$ 一致。数值反演时以 Kramers–Kronig 与相位解缠作正则化。推导与反演细节见附录 A.3。

2.3 假设域与失败条件

Hadamard 态、弱曲率、局域 Rindler 近似与可控形变；几何位形限定在量子光片/事件视界等 GSL 适用情形。失败域：强曲率邻域、非 Hadamard 态、UV 主导背离等。

3. Main Results (Theorems and Alignments)

定理 3.1（时间之箭＝广义熵单调的输出）

在 2.3 的域内，沿指定量子光片的仿射参数 $\lambda$：$\mathrm{d}{S}_{\mathrm{gen}}/\mathrm{d}\lambda \ge 0$。任取 $t\in [T]$，若 $t=f(\lambda )$ 且 $f^{\prime }>0$，则 $\mathrm{d}{S}_{\mathrm{gen}}/\mathrm{d}t\ge 0$。证明链条与失败条件详述见附录 B。

定理 3.2（黑洞信息：固定投影不可解码与岛公式解析延拓）

以代数嵌入 $\mathcal{A}({\mathcal{I}}^{+})\subset \mathcal{A}(\mathcal{D})$ 表述外部观测；固定投影对应非可逆 CPTP 降维映射，“信息丢失“仅为该投影下的不可解码。岛公式通过更换驻点（QES）等价于在 $[T]$ 内解析延拓，扩张可重建域 $\Rightarrow$ Page 曲线恢复。附录 C 给出 JT 场景的显式同构。

命题 3.3（红移＝时间单位重标度）

$(1+z)=(k\cdot u{)}_e/(k\cdot u{)}_o$ 为“节奏比“的协变表述，与 FRW $a_0/a_e$ 等价。增量体现在统一交换率把该比值直接联系到 ${\varphi }^{\prime }(\omega )$ 与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 的观测反演。

定理 3.4（时间全息与时间量子纠错）

JLMS 与纠缠楔嵌套蕴含：$[T(p)]=\Pi (s,{\gamma }_p)$；$[T]$ 的投影族在编码子空间 $\mathcal{C}$ 上满足 Knill–Laflamme 条件，故“择时误差“可被等价类冗余校正。附录 D 给出模块 Berry 曲率与路径依赖的可测位相。

定理 3.5（$\Lambda$ 的刻度—积分常数与四形式离散化）

迹自由/Unimodular 与四形式机制使 $\Lambda$ 成为积分常数；在热时间规范下其语义为 $[T]$ 的全局校准，且与轴子–四形式量子化导致的近离散谱相容。附录 E 给出作用与变分。

4. Proofs

4.1 时间之箭（定理 3.1） 相对熵单调 $\Rightarrow$ ANEC/QNEC；结合量子 Raychaudhuri 得零方向的量子膨胀不增，$S_{\mathrm{gen}}$ 单调。由 $t=f(\lambda )$ 的严格单调得对任意代表时间的单调性。失败域包括强曲率与非 Hadamard 态。详见附录 B。

4.2 黑洞信息的坐标无关表述（定理 3.2） 以相对熵与 Petz‑恢复刻画“不可解码“；岛公式的极值切换等价于更改 $[T]$ 的代表并扩张纠缠楔。JT 模型中以复制几何展示该等价。

4.3 统一交换率（式 2.2） Birman–Krein：$\det S=e^{-2\pi i\xi }\Rightarrow {\partial }_{\omega }\varphi =-2\pi {\xi }^{\prime }$；多道下 $\mathrm{Tr}Q={\partial }_{\omega }\varphi$。定义 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }$ 得所述同一式。数值反演以相位解缠与 Kramers–Kronig 正则化控制噪声放大。

5. Model Apply：两类最小模型

5.1 1+1 维 CFT–Rindler 单道散射 $S=e^{i\varphi }\Rightarrow Q={\partial }_{\omega }\varphi$；把相对熵拆分为谱窗积分验证 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}{\partial }_{\omega }\varphi$。KMS 标度与模流重标度一致。

5.2 JT 重力 + 自由场 Page 转折对应 QES 驻点切换；在 $[T]$ 中的解析延拓把外部投影的“不可解码“转为扩张重建域的“可解码“。附录 C 给出方程族与示意曲线。

6. Engineering Proposals（量级、系统学与 Null‑Tests）

6.1 深空多频链路：曲时空–等离子 eikonal 的时间延迟

几何光学：静态弱场 $\Phi /c^2\ll 1$、各向同性等离子： $$n(\omega ,x)=\sqrt{1-{\omega }_p^2(x)/{\omega }^2},\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\ell }\simeq \frac{1}{c}(1+\frac{2\Phi }{c^2})(1+\frac{{\omega }_p^2}{2{\omega }^2}).$$ 路径变分给出 $$\Delta t(\omega )=\Delta t_{\mathrm{Shapiro}}+\int \frac{{\omega }_p^2}{2{\omega }^2}\frac{\mathrm{d}\ell }{c}+\int \frac{\Phi }{c^2}\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}K(x)\frac{\mathrm{d}\ell }{c}+O({\omega }^{-4}).$$ 结论：主导耦合项为 ${\omega }^{-2}$ 而非 ${\omega }^{-1}$；${\omega }^{-1}$ 仅在各向异性介质或强非绝热流体中可能出现。 量级与系统学：Ka/X（8–32 GHz）在冲角 $5^{\circ }-15^{\circ }$ 可达皮秒级差异；主要系统误差为电离层/日球层建模与硬件非线性。 Null‑tests：几何换向（冲角翻转）应保 ${\omega }^{-2}$ 标度而改变几何权重号；同一几何的昼夜差分消去电离层主项。 设施：DSN X/Ka 与 DSAC 稳定度链路。

6.2 FRB “红移–退相干斜率“层级贝叶斯

模型：$W\sim W_0(1+z{)}^{\alpha }(\nu /{\nu }_0{)}^{-\beta }$，宿主/IGM/仪器分量置于层级先验；选择函数基于通道化阈值与 DM–$z$ 反演不确定度。 功效：Catalog‑1 与后续本地化样本在 $N\sim 10^2-10^3$ 下即可 5σ 区分 $\alpha =0$ 的无效假设；随机打乱 $z$ 的 null‑test 应抹平斜率。

6.3 低温多模腔：时间延迟的 Bell 见证与手性分裂

Bell‑时延见证：$\mathcal{W}=|\mathrm{Tr}{Q}_A\otimes \mathrm{Tr}{Q}_B-\mathrm{Tr}{Q}_{AB}|$，经典 $\le 0$，量子耦合下 $\mathcal{W}>0$。 手性分裂：受控微扭曲与引力–电磁弱耦合使 $\Delta t_{\mathrm{chiral}}\propto \omega$ 线性劈裂。 噪声预算：相位白噪声、TLS $1/f$、热致频移、机械微音、计数死区等的贡献与目标亚皮秒灵敏度在附录 G 给出公式/数表。

7. Time‑Field Theory：规范化、稳定性与低能约束

引入“钟 1‑形式“ $$u_{\mu }=\frac{{\partial }_{\mu }T}{\sqrt{-{\partial }_{\alpha }T{\partial }^{\alpha }T}},$$ 构造最小作用 $${\mathcal{L}}_T=\frac{M_T^2}{2}[c_1{\nabla }_{\mu }{u}_{\nu }{\nabla }^{\mu }{u}^{\nu }+c_2({\nabla }_{\mu }{u}^{\mu }{)}^2+c_3{a}_{\mu }{a}^{\mu }]+V(T)+{\mathcal{L}}_{\mathrm{matter}}(\psi ;u_{\mu }),$$ 以 Stückelberg 处理 $T\mapsto f(T)$ 的重参数化冗余。无幽灵与因果稳定域、PPN 与引力切伦科夫约束给出 $(c_i)$ 的可行子空间；区别于 æther/khronon 的要点在于：这里的“优选方向“仅为等价类规范代表，观测性集中于 ${\partial }_{\omega }\varphi$、$\mathrm{Tr}Q$ 的交换率不变量而非各向异性。

8. Discussion（一致性、边界与联系）

• 一致性：主定理严格限定于 Hadamard/弱曲率与量子光片/事件视界几何；超出域时仅保留猜想力度。
• 黑洞信息：代数–岛公式的同构避免坐标依赖；JT 场景给出可检查的实例。
• $\Lambda$：作为刻度积分常数并不等于“真空能密度“；与四形式离散化/轴子机制兼容。
• 可检验性：深空链路与 FRB 管线给出可复现实作要素与 null‑tests；低温腔实验提供室内可重复的验证平台。

9. Conclusion

确立 $[T]$ 的严格等价结构与统一交换率，给出时间之箭、黑洞信息、红移与 $\Lambda$ 的共同语义，并以可实施的观测/实验路径把“时间–因果–信息“的统一落到数据层。该框架在“可证—可量—可核验“的三重标准下闭合。

Acknowledgements, Code Availability

感谢关于 QNEC/QFC、QES/岛公式、模块理论、谱移–散射理论与曲时空等离子几何光学的公开文献与资料。附录给出从相位数据到 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 的反演与 FRB 层级贝叶斯的最小化实现准则。

References

[1] Bousso, Fisher, Leichenauer, Wall. “Quantum focussing and inequalities,” Phys. Rev. D 93 (2016). [2] Faulkner et al. “Modular Hamiltonians for deformed half-spaces and the ANEC,” JHEP (2016). [3] Engelhardt & Wall. “Quantum extremal surfaces,” JHEP 01 (2015) 073. [4] Almheiri et al. “Replica wormholes and the entropy of Hawking radiation,” JHEP 05 (2020) 013. [5] Connes & Rovelli. “Von Neumann algebra automorphisms and the thermal time hypothesis,” (1994). [6] Smith. “Lifetime matrix in collision theory,” Phys. Rev. 118 (1960). （Wigner–Smith） [7] Birman & Krein. “On wave and scattering operators,” Sov. Math. Dokl. (1962). [8] Perlick. “Ray optics in a plasma on a GR spacetime,” and related works. [9] Bisnovatyi‑Kogan & Tsupko. “Gravitational lensing in plasma,” reviews (2015–2022). [10] Rogers. “Frequency‑dependent lensing in plasma,” MNRAS 451 (2015). [11] JLMS and successors: boundary–bulk relative entropy equivalence. [12] Standard cosmology texts for redshift–projection identity. [13] DSN/DSAC capability briefs. [14] CHIME/FRB Collaboration. “The first catalog,” ApJS 257 (2021).

Appendices

A. 等价关系与统一交换率的证明

A.1 三性与外共轭 $\mathcal{G}=\mathrm{Out}(\mathcal{A})⋊{\mathrm{Diff}}_{+}(\mathbb{R})$ 的群作用与序保持给出自反–对称–传递；态/区域同伦类下的保持由外共轭不变性保证。

A.2 割面族协变 QNEC 充要条件域内，割面细化对应子代数限制，$S_{\mathrm{gen}}$ 的序性质保持。

A.3 Birman–Krein $\Rightarrow$ 统一交换率 $\det S=e^{-2\pi i\xi }\Rightarrow {\partial }_{\omega }\varphi =-2\pi {\xi }^{\prime }$；多道下 $\mathrm{Tr}Q={\partial }_{\omega }\varphi$，得 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=-({\xi }^{\prime })=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{Tr}Q$。$\varphi$ 的解缠与 Kramers–Kronig 给出稳健反演。

B. 相对熵 $\Rightarrow$ QNEC $\Rightarrow$ GSL 局域形式

B.1 数据处理不等式与子代数限制； B.2 半空间形变的模块哈密顿量二阶公式导出 ANEC/QNEC； B.3 量子 Raychaudhuri 合并得 ${\Theta }_{\mathrm{q}}\le 0$，进而 $\mathrm{d}{S}_{\mathrm{gen}}/\mathrm{d}\lambda \ge 0$。

C. 黑洞信息的代数命题与 JT 例证

C.1 固定投影对应非可逆 CPTP，Petz‑恢复度量化“不可解码“； C.2 岛公式驻点切换等价于在 $[T]$ 中改变代表元并扩张纠缠楔； C.3 JT 场景：复制几何的鞍点切换对 ${\varphi }^{\prime }(\omega )$ 的谱窗投影示例图。

D. 模块 Berry 与时间量子纠错

D.1 $[T(p)]=\Pi (s,{\gamma }_p)=\mathrm{P}\exp {\int }_{{\gamma }_p}{\mathcal{A}}_{\mathrm{mod}}$； D.2 Knill–Laflamme 条件在“择时误差“噪声模型下的满足与阈值。

E. $\Lambda$ 的刻度—积分常数与四形式

E.1 作用与变分； E.2 量子化/轴子耦合下的近离散谱； E.3 与等价类校准零点的语义对应。

F. FRB 层级贝叶斯管线（可复现实作骨架）

似然、先验、选择函数、posterior‑predictive 与 null‑tests 的最小化流程。

G. 低温腔实验噪声预算

相位白噪声、TLS $1/f$、热致频移、机械微音、读出死区的贡献公式、代表参数与达成亚皮秒的配置表。

符号表：$[T]$；${\sigma }_s^{\omega }$；$\varphi (\omega )$；$Q(\omega )$；${\rho }_{\mathrm{rel}}$；${\Theta }_{\mathrm{q}}$；$\lambda$；$\mathcal{C}$。