引力波 Lorentz 破缺与色散的统一矩阵–QCA 宇宙理论

统一时间刻度下的 $v_{\mathrm{g}}\ne c$ 边界与可检验预言

Abstract

在统一时间刻度、边界时间几何、矩阵宇宙 THE-MATRIX 与量子元胞自动机（quantum cellular automaton, QCA）宇宙的统一框架中，构造一套专门针对“引力波 Lorentz 破缺与色散修正“的结构理论。统一时间刻度由散射–谱移–Wigner–Smith 群延迟的刻度同一式 $$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega ),Q(\omega )=-\mathrm{i}S(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }S(\omega ),$$ 将散射半相位导数、相对态密度与群延迟迹统一为单一时间密度 $\kappa (\omega )$，其积分定义时间刻度等价类代表 ${\tau }_{\mathrm{scatt}}(\omega )$。在“引力波作为几何扰动的散射模式“视角下，$\kappa (\omega )$ 直接控制引力波相速度、群速度及频率依赖的传播延迟。

在宇宙 QCA 对象 $$U_{\mathrm{QCA}}=(\Lambda ,{\mathcal{H}}_{\mathrm{cell}},{\mathcal{A}}_{\mathrm{qloc}},\alpha ,{\omega }_0)$$ 中,引力自由度被嵌入为“引力–QCA 模式“的线性化激发，其准能谱 $\epsilon (\mathbf{k})$ 在连续极限中给出有效色散关系 $${\omega }^2=c^2{k}^2[1+{\epsilon }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2+{\epsilon }_4(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^4+\cdots ],$$ 其中 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 为 QCA 有效格距，${\epsilon }_{2n}$ 为无量纲系数。统一时间刻度要求 QCA 的离散时间步与几何本征时间、边界模时间及散射时间刻度处于同一等价类，从而把引力波色散中的 ${\epsilon }_{2n}$ 与 $\kappa (\omega )$ 的高阶偏差直接联系起来。

在适当的谱–散射与 QCA 公理下，本文得到以下主要结果：

(1) 在矩阵宇宙表象中，将弱场引力波视为背景 FRW/平直时空上的线性扰动模式，构造引力波散射矩阵 $S_{\mathrm{GW}}(\omega ;\mathbf{k})$ 与群延迟矩阵 $Q_{\mathrm{GW}}(\omega ;\mathbf{k})$，证明在远场低频极限下，统一刻度密度的偏差 $\delta {\kappa }_{\mathrm{GW}}(\omega )$ 与色散函数 $\epsilon (k)$ 满足 $$\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )=\frac{\partial \omega }{\partial k}-c\simeq c[{\epsilon }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2+\mathcal{O}((k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^4\left)\right],\delta {\kappa }_{\mathrm{GW}}(\omega )\sim -\frac{L}{2\pi c^2}\delta v_{\mathrm{g}}(\omega ),$$ 其中 $L$ 为有效传播距离。

(2) 在 QCA 宇宙中构造一类“引力–QCA 模型“，其线性化自由度在长波极限重现广义相对论（GR）的横向无迹引力波方程，而高阶 $(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^{2n}$ 色散项由元胞结构与更新规则确定。在统一时间刻度及边界时间几何约束下，结合离散对称性与 Null–Modular 双覆盖一致性，证明在无手征异常与时间反演守恒时，引力波色散只允许偶次 $(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^{2n}$ 型修正，奇次 $k^{2n+1}$ 型 Lorentz 破缺在统一框架下被排除。

(3) 利用 LIGO–Virgo–KAGRA 与多信使事件 GW170817/GRB 170817A 对引力波传播速度与色散的约束（例如 $|v_{\mathrm{g}}/c-1|\lesssim 10^{-15}$ 的速度约束以及 GWTC 系列目录中对参数化色散关系的多事件拟合），在统一框架中将这些结果重写为对 QCA 格距 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 与色散系数 ${\epsilon }_2,{\epsilon }_4$ 的上界。结合现有 $n=2$ 型 $k^4$ 修正的能标 $M_{\ast }$ 约束，可得到 $${\ell }_{\mathrm{cell}}\lesssim M_{\ast }^{-1}|{\beta }_2{|}^{-1/2},{\beta }_2=\mathcal{O}(1),$$ 其中 $M_{\ast }$ 典型地位于 $10^{13}\text{–}10^{15}\mathrm{GeV}$ 区间，对应 ${\ell }_{\mathrm{cell}}\lesssim 10^{-29}\text{–}10^{-31}\mathrm{m}$。这一结果与近期基于电磁与物质干涉试验对离散时空与 QCA 格距的独立约束具有可比较的量级。

(4) 在统一因果–熵–时间框架下，证明一个“引力–QCA 因果一致性定理“：若引力–QCA 的有效光锥与边界时间几何的因果光锥在 LIGO/Virgo 频段内保持一致，则允许的 Lorentz 破缺必须呈现特定的偶次色散结构，且群速度偏差满足 $$\left|\frac{\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )}{c}\right|\lesssim \mathcal{O}((\omega {\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2)$$ 的普朗克尺度抑制律，高阶项对群延迟的贡献在当前观测精度下被指数压制。

(5) 附录中给出：从 GR 线性扰动到矩阵宇宙散射矩阵 $S_{\mathrm{GW}}(\omega ;\mathbf{k})$ 的构造；引力–QCA 模型的连续极限与色散展开；统一时间刻度下群延迟与 $\kappa (\omega )$ 偏差的精确关系；以及如何将 LIGO/Virgo–GW170817 与 GWTC-3 的约束转换为 $({\ell }_{\mathrm{cell}},{\epsilon }_2)$ 数值界的过程。

结果表明：在统一矩阵–QCA 宇宙理论中，引力波 Lorentz 破缺与色散并非任意高维算子扰动，而是 QCA 离散结构与统一时间刻度偏差的几何–谱学投影。现有观测已经把这一偏差压到极小范围，为宇宙离散结构的格距及色散系数提供了强约束，并给出未来高频与多频段引力波探测可检验的统一模板。

Keywords

引力波；Lorentz 不变性破缺；色散关系；统一时间刻度；散射矩阵；Wigner–Smith 群延迟；量子元胞自动机；矩阵宇宙；Standard-Model Extension；GW170817；GWTC-3

1 Introduction & Historical Context

1.1 引力波传播与 Lorentz 不变性

在广义相对论（GR）中，弱场引力波是在洛伦兹背景几何上传播的横向无迹张量扰动，满足线性化 Einstein 方程，色散关系为 ${\omega }^2=c^2{k}^2$，相速度与群速度均等于光速 $c$。任何偏离该色散关系的现象均可被视为“引力波传播中的 Lorentz 不变性破缺“或“有效介质修正“。在有效场论语言中，这类修正通常写作 $${\omega }^2=c^2{k}^2+{\alpha }_{\mathrm{disp}}{k}^{2+n},$$ 或等价的引力子质量与高维算子参数化形式，其中 ${\alpha }_{\mathrm{disp}}$ 和 $n$ 由具体理论决定。

LIGO、Virgo、KAGRA 的引力波探测为检验这些修正提供了直接手段。基于参数化色散关系的系统分析表明，可观测的 Lorentz 破缺对波形相位的影响可以嵌入“参数化后爱因斯坦“框架，并用标准 Bayesian 推断在多事件上联合约束。

1.2 GW170817 与引力波速度约束

2017 年的双中子星并合事件 GW170817 及其伽马暴对应 GRB 170817A，是引力波领域的里程碑式多信使事件。引力波与伽马光到达时间差约为 $1.74\mathrm{s}$，传播距离约 $40\mathrm{Mpc}$，由此得到引力波群速度与光速的相对差异约束 $$-3\times 10^{-15}\lesssim \frac{v_{\mathrm{g}}}{c}-1\lesssim 7\times 10^{-16},$$ 即 $|v_{\mathrm{g}}/c-1|\lesssim \mathcal{O}(10^{-15})$。

该结果在广义意义上排除了大量在宇宙学尺度上调节引力波速度的暗能量–修正引力模型，对 Horndeski、Einstein–Aether、bimetric 等理论给出强约束。此外，对引力子质量和 Lorentz 破缺的分析表明，目前的 LIGO/Virgo 数据已将引力子质量约束在 $m_{\mathrm{g}}\lesssim 10^{-23}\text{–}10^{-22}\mathrm{eV}$ 区间，对应 Compton 波长大于 $10^{13}\mathrm{km}$。

1.3 GWTC-3、SME 与色散参数化检验

随 GWTC-1/2/3 多批事件的发布，LIGO–Virgo–KAGRA 合作组已经对广义相对论进行了系统的“传播检验“，包括速度、色散、衰减与偏振等多个维度。其中一类重要工作是基于 Standard-Model Extension（SME）引入的引力扇区 Lorentz 破缺算子，得到非各向同性、双折射和色散修正的广义色散关系，并在 GWTC-3 的 $90$ 个高置信度事件上给出 $d=5,6$ 维度算子系数的联合约束，未发现任何显著的 Lorentz 破缺迹象。

在传播速度的无色散极限下，独立的分析利用多台探测器的到达时延也给出了 $v_{\mathrm{g}}$ 在 $0.97c\text{–}1.01c$ 区间内的置信区间，并在 SME 框架下约束了非双折射、非色散的 Lorentz 破缺系数。

总体而言，引力波数据表明：在 $10\text{–}10^3\mathrm{Hz}$ 频段内，引力波的传播几乎完全遵守 Lorentz 不变性，任何可观测的色散或速度偏差都必须极为微弱。

1.4 离散时空、QCA 与引力波色散

另一方面，离散时空与量子元胞自动机框架提供了一种统一刻画“连续 Lorentz 对称性如何从更深层离散结构涌现“的思路。量子 walks 与 QCA 模型中，有限格距 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 与离散时间步长 $\Delta t$ 决定了有效色散关系，其连续极限通常重现 Dirac/Weyl/Maxwell 方程，并在高阶 $k{\ell }_{\mathrm{cell}}$ 修正中体现 Lorentz 对称的轻微破坏。

近期工作已尝试利用电磁谱与高能宇宙线等 Lorentz 破缺观测，为 QCA 格距 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 给出上界，典型结果表明 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 必须远小于目前可达实验尺度，甚至接近 $10^{-29}\text{–}10^{-31}\mathrm{m}$ 量级。

在这一背景下，自然的问题是：在一个统一的矩阵–QCA 宇宙中，引力波 Lorentz 破缺与色散是否可以被解释为 QCA 离散结构的几何–谱学投影，并由统一时间刻度密度 $\kappa (\omega )$ 精确控制？现有 LIGO/Virgo/GW170817 的约束又能对 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 和色散系数 ${\epsilon }_{2n}$ 给出多强的上界？

本文的目的正是围绕这一问题，构造统一模型、给出定理化结论并提出可检验预言。

2 Model & Assumptions

2.1 统一时间刻度母式与矩阵宇宙

统一时间刻度的母式为 $$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega ),Q(\omega )=-\mathrm{i}S(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }S(\omega ),$$ 其中 $S(\omega )$ 为定能散射矩阵，$\phi (\omega )=\frac{1}{2}\arg \det S(\omega )$ 为总半相位，${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )$ 为相对态密度，$Q(\omega )$ 为 Wigner–Smith 群延迟矩阵。

时间刻度参数定义为 $${\tau }_{\mathrm{scatt}}(\omega )={\int }_{{\omega }_0}^{\omega }\kappa (\omega )\mathrm{d}\omega ,$$ 其仿射变换 $\tau \mapsto a\tau +b$ 被视为同一时间刻度等价类。前期工作中已证明：在合适的散射–几何–模流公理下，几何本征时间、边界模时间与散射时间刻度属于同一等价类。

矩阵宇宙 THE-MATRIX 在谱–散射端可抽象为 $$U_{\mathrm{mat}}=({\mathcal{H}}_{\mathrm{chan}},S(\omega ),Q(\omega ),\kappa (\omega ),{\mathcal{A}}_{\partial },{\omega }_{\partial }),$$ 其中 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{chan}}$ 为通道 Hilbert 空间，${\mathcal{A}}_{\partial },{\omega }_{\partial }$ 描述边界可观测代数与状态。宇宙的因果结构、时间箭头与广义熵流则由小因果菱形上的边界时间几何给出。

2.2 宇宙 QCA 对象与引力自由度

宇宙 QCA 对象记作 $$U_{\mathrm{QCA}}=(\Lambda ,{\mathcal{H}}_{\mathrm{cell}},{\mathcal{A}}_{\mathrm{qloc}},\alpha ,{\omega }_0),$$ 其中 $\Lambda$ 为可数连通图（通常为 ${\mathbb{Z}}^d$ 或其稀疏子图），${\mathcal{H}}_{\mathrm{cell}}$ 为有限维元胞 Hilbert 空间，${\mathcal{A}}_{\mathrm{qloc}}$ 为其无限张量积上的准局域 ${\mathrm{C}}^{\ast }$ 代数，$\alpha :\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}({\mathcal{A}}_{\mathrm{qloc}})$ 为有限传播半径、空间齐次的 $\ast$ 自同构，${\omega }_0$ 为初始宇宙态。

引力自由度通过以下方式被编码：

1. 背景几何被编码为有效光锥结构：$\alpha$ 的传播半径与邻接图拓扑在连续极限中重现某个 Lorentz 流形 $(M,g)$ 的因果锥结构；

2. 引力波模式为 $U={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{H}_{\mathrm{eff}}\Delta t}$ 的线性化本征模，与背景 $U_0$ 的差异在低能极限中满足 GR 的横向无迹波动方程。

在动量表示下，采用 Bloch–Floquet 分解 $$U={\int }_{\mathrm{BZ}}^{\oplus }U(\mathbf{k})\mathrm{d}\mu (\mathbf{k}),$$ $\mathrm{BZ}$ 为 Brillouin 区，$U(\mathbf{k})$ 在 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{cell}}$ 上酉，谱分解为 $$U(\mathbf{k})=\sum _a\exp (-\mathrm{i}{\epsilon }_a(\mathbf{k})\Delta t){\Pi }_a(\mathbf{k}),$$ ${\epsilon }_a(\mathbf{k})$ 为准能谱，${\Pi }_a(\mathbf{k})$ 为本征投影。引力波分支记作 ${\epsilon }_{\mathrm{GW}}(\mathbf{k})$，定义有效频率 $$\omega (\mathbf{k})=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{GW}}(\mathbf{k})}{\Delta t}.$$

2.3 色散关系与 QCA 格距

设 QCA 基本格距为 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$，则在长波极限 $k{\ell }_{\mathrm{cell}}\ll 1$ 下，可对 $\omega (\mathbf{k})$ 做 Taylor 展开。假定存在一簇无质量分支，其主导行为为 $\omega (\mathbf{k})\simeq ck$（$c$ 为宏观光速），则一般可写为 $${\omega }^2(\mathbf{k})=c^2{k}^2\left[1+\sum _{n\ge 1}{\beta }_{2n}(\hat{\mathbf{k}})(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^{2n}\right],$$ 其中 $\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{k}/k$ 为方向，${\beta }_{2n}(\hat{\mathbf{k}})$ 为无量纲系数。该式显式体现了 QCA 离散结构对色散的高阶修正。

本文将特别关注各向同性近似下的主导项 $${\omega }^2=c^2{k}^2[1+{\beta }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2],$$ 并与观测中的 $n=2$ 型参数化色散 ${\omega }^2=c^2{k}^2+{\alpha }_{\mathrm{disp}}{k}^4$ 对应。

2.4 统一时间刻度与引力波散射通道

对于给定频率 $\omega$，考虑引力波的散射通道子空间 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{GW}}\subset {\mathcal{H}}_{\mathrm{chan}}$，对应散射矩阵 $S_{\mathrm{GW}}(\omega )\in U(N_{\mathrm{GW}})$ 与群延迟矩阵 $$Q_{\mathrm{GW}}(\omega )=-\mathrm{i}{S}_{\mathrm{GW}}^{†}(\omega ){\partial }_{\omega }{S}_{\mathrm{GW}}(\omega ),$$ 其本征值 ${\tau }_j(\omega )$ 为各通道的群延迟。引力波扇区的统一时间刻度密度定义为 $${\kappa }_{\mathrm{GW}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{Q}_{\mathrm{GW}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\sum _{j=1}^{N_{\mathrm{GW}}}{\tau }_j(\omega ).$$

在远场近似下，若传播距离为 $L$，并假设所有通道具有相近的群速度 $v_{\mathrm{g}}(\omega )$，则 $$\bar{\tau }(\omega )=\frac{1}{N_{\mathrm{GW}}}\sum _j{\tau }_j(\omega )\approx \frac{L}{v_{\mathrm{g}}(\omega )},$$ 从而 $${\kappa }_{\mathrm{GW}}(\omega )\approx \frac{N_{\mathrm{GW}}}{2\pi }\frac{L}{v_{\mathrm{g}}(\omega )}.$$

令 GR 情形下的参考量为 ${\kappa }_{\mathrm{GW}}^{(0)}(\omega )\approx N_{\mathrm{GW}}L/(2\pi c)$，其偏差定义为 $$\delta {\kappa }_{\mathrm{GW}}(\omega )={\kappa }_{\mathrm{GW}}(\omega )-{\kappa }_{\mathrm{GW}}^{(0)}(\omega ).$$

3 Main Results (Theorems and Alignments)

本节在模型与假设的基础上，给出四个核心定理，分别把 QCA 色散与统一时间刻度、Null–Modular 一致性以及观测约束对格距 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 的影响定理化。

定理 3.1（引力波色散与统一时间刻度密度偏差）

设引力波在宏观均匀介质（或宇宙背景）中传播距离 $L$，其有效色散关系为 $${\omega }^2=c^2{k}^2[1+\epsilon (k)],|\epsilon (k)|\ll 1,$$ 且群速度 $$v_{\mathrm{g}}(\omega )=\frac{\partial \omega }{\partial k}>0$$ 在 LIGO/Virgo 频段内单调。假定散射矩阵 $S_{\mathrm{GW}}(\omega )$ 可由平面波模式构造，且远场 Wigner 群延迟 ${\tau }_j(\omega )$ 等价于传播时间 $L/v_{\mathrm{g}}(\omega )$ 的扰动，则统一时间刻度密度偏差满足 $$\delta {\kappa }_{\mathrm{GW}}(\omega )\approx -\frac{L}{2\pi c^2}\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )+\mathcal{O}\left({\epsilon }^2\right),$$ 其中 $$\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )=v_{\mathrm{g}}(\omega )-c\simeq \frac{c}{2}[\epsilon (k)+k{\epsilon }^{\prime }(k){]}_{k=\omega /c}.$$

特别地，当 $\epsilon (k)={\beta }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2+\mathcal{O}((k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^4)$ 时， $$\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )\simeq c{\beta }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2,\frac{\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )}{c}\simeq {\beta }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2,$$ 从而 $$\delta {\kappa }_{\mathrm{GW}}(\omega )\approx -\frac{L}{2\pi c}{\beta }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2.$$

定理 3.2（QCA 引力模式的偶次色散结构）

设 $U_{\mathrm{QCA}}$ 为一空间齐次、局域、平移不变且满足以下条件的 QCA：

1. 存在反演对称 $\mathcal{P}$ 与时间反演对称 $\mathcal{T}$，使得 $\mathcal{P}U(\mathbf{k}){\mathcal{P}}^{-1}=U(-\mathbf{k})$，$\mathcal{T}U(\mathbf{k}){\mathcal{T}}^{-1}=U^{†}(-\mathbf{k})$；

2. 存在一簇无质量引力波分支，其在 $\mathbf{k}\to 0$ 时满足 $\omega (\mathbf{k})\sim ck$；

3. 该分支与其它分支之间在低能极限中简并度有限，且可在适当基底下对角化为 $\omega (\mathbf{k})$ 与 $-\omega (\mathbf{k})$ 成对出现。

则 ${\omega }^2(\mathbf{k})$ 在 $k{\ell }_{\mathrm{cell}}\ll 1$ 的展开中只含有偶次项： $${\omega }^2(\mathbf{k})=c^2{k}^2\left[1+\sum _{n\ge 1}{\beta }_{2n}(\hat{\mathbf{k}})(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^{2n}\right],$$ 不存在 $k^3,k^5,\dots$ 型奇次修正。特别地，在各向同性近似下主导修正为 $${\omega }^2=c^2{k}^2[1+{\beta }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2],$$ 即引力–QCA 色散的最低阶 Lorentz 破缺必为 $k^4$ 型，而非 $k^3$ 等奇次型式。

定理 3.3（参数化色散约束下的 QCA 格距上界）

考虑参数化色散关系 $${\omega }^2=c^2{k}^2+{\alpha }_{\mathrm{disp}}{k}^{2+n},$$ 其中 $n\ge 0$，${\alpha }_{\mathrm{disp}}$ 为具有适当维度的常数。设 $n=2$ 与 QCA 各向同性主导修正匹配，即 $${\omega }^2=c^2{k}^2[1+{\beta }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2]=c^2{k}^2+{\alpha }_{\mathrm{disp}}{k}^4,$$ 则有 $${\alpha }_{\mathrm{disp}}=c^2{\beta }_2{\ell }_{\mathrm{cell}}^2.$$

若 LIGO/Virgo/KAGRA 联合分析在某一置信水平上给出 $$|{\alpha }_{\mathrm{disp}}|\lesssim \frac{c^2}{M_{\ast }^2},$$ 则 QCA 格距满足 $${\ell }_{\mathrm{cell}}\lesssim M_{\ast }^{-1}|{\beta }_2{|}^{-1/2}.$$

典型地，对于代表性的 $n=2$ 色散约束，文献给出有效能标 $M_{\ast }$ 至少在 $10^{13}\text{–}10^{15}\mathrm{GeV}$ 量级，对应 $${\ell }_{\mathrm{cell}}\lesssim 10^{-29}\text{–}10^{-31}\mathrm{m}({\beta }_2\sim 1),$$ 表明宇宙若存在 QCA 离散结构，其格距必须比目前可直接探测的长度标度小至少十几个数量级。

定理 3.4（引力–QCA 因果一致性与 Lorentz 破缺边界）

在统一时间刻度、边界时间几何与 Null–Modular 双覆盖框架中，设：

1. 小因果菱形上的广义熵极值与二阶相对熵非负成立，等价于局域 Einstein 方程与 QNEC/QFC 不等式；

2. 边界模流、散射相位与几何时间在统一刻度下对齐；

3. 引力–QCA 模型的光锥与几何光锥在 LIGO/Virgo 频段内一致到 $\mathcal{O}(10^{-15})$；

4. Null–Modular 双覆盖无 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy 异常。

则引力波色散修正必须满足：

1. 只允许偶次 $(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^{2n}$ 型项，奇次 $k^{2n+1}$ 项若非零，则必然在 Null–Modular 结构中引入不允许的半周期相位，从而违背条件 4；

2. 群速度偏差满足 $$\left|\frac{\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )}{c}\right|\lesssim \mathcal{O}((\omega {\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2)$$ 的普朗克尺度抑制律；

3. 统一时间刻度密度的相对偏差满足 $$\frac{|\delta {\kappa }_{\mathrm{GW}}(\omega )|}{{\kappa }_{\mathrm{GW}}^{(0)}(\omega )}\lesssim \mathcal{O}((\omega {\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2),$$ 在当前观测频段内数值上不超过 $\mathcal{O}(10^{-15})$ 的量级，与 GW170817 与 GWTC-3 的速度和色散约束相容。

4 Proofs

本节给出定理 3.1–3.4 的证明或推导要点，更细节的计算与技术引理置于附录。

4.1 定理 3.1 的证明：色散与统一时间刻度密度

在一维简化情形，设入射平面波在一段长度为 $L$ 的介质中传播，其色散关系为 $\omega (k)$，群速度 $v_{\mathrm{g}}(\omega )=\partial \omega /\partial k$。散射矩阵可写为 $$S(\omega )=\left(\begin{array}{cc}r(\omega )& t^{\prime }(\omega )\\ t(\omega )& r^{\prime }(\omega )\end{array}\right),t(\omega )=|t(\omega )|\exp [\mathrm{i}\varphi (\omega )],$$ 其中 $\varphi (\omega )$ 为透射相位。Wigner 群延迟为 $$\tau (\omega )={\partial }_{\omega }\varphi (\omega ).$$

在弱散射、反射可忽略的极限下，透射相位近似等于平面波在介质中的传播相位： $$\varphi (\omega )\approx k(\omega )L,\tau (\omega )\approx L{\partial }_{\omega }k(\omega )=\frac{L}{v_{\mathrm{g}}(\omega )}.$$

多通道情形下，Wigner–Smith 矩阵 $$Q(\omega )=-\mathrm{i}{S}^{†}(\omega ){\partial }_{\omega }S(\omega )$$ 的本征值给出各通道群延迟，迹为其和。若存在 $N$ 个等价通道，则 $$\mathrm{tr}Q(\omega )\approx N\frac{L}{v_{\mathrm{g}}(\omega )}.$$

统一时间刻度密度定义为 $$\kappa (\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )\approx \frac{N}{2\pi }\frac{L}{v_{\mathrm{g}}(\omega )}.$$

引入 GR 基准 $v_{\mathrm{g}}^{(0)}=c$，${\kappa }^{(0)}(\omega )=NL/(2\pi c)$，偏差为 $$\delta \kappa (\omega )=\kappa (\omega )-{\kappa }^{(0)}(\omega )\approx \frac{NL}{2\pi }\left(\frac{1}{v_{\mathrm{g}}}-\frac{1}{c}\right)\approx -\frac{NL}{2\pi c^2}\delta v_{\mathrm{g}}(\omega ),$$ 其中 $$\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )=v_{\mathrm{g}}(\omega )-c,|\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )|\ll c.$$

该推导在高维与多极化情形中，可对每个模式执行相同步骤，并在迹上求和，得到同样的结构，只是 $N$ 被 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{GW}}$ 的维数取代。因此得到定理 3.1 的主公式。

色散函数 $\epsilon (k)$ 与群速度偏差的关系来自 $${\omega }^2=c^2{k}^2[1+\epsilon (k)]\Rightarrow \omega (k)=ck\sqrt{1+\epsilon (k)}\approx ck[1+\frac{1}{2}\epsilon (k)],$$ 从而 $$v_{\mathrm{g}}={\partial }_k\omega \approx c[1+\frac{1}{2}\epsilon (k)+\frac{1}{2}k{\epsilon }^{\prime }(k)],$$ 即定理中所述形式。

4.2 定理 3.2 的证明：对称性与偶次展开

考虑满足条件 1–3 的 QCA。由于平移不变性与局域性，$U(\mathbf{k})$ 在 $\mathbf{k}$ 空间是解析的酉矩阵函数。条件 2 与无质量分支存在意味着在 $\mathbf{k}\to 0$ 邻域内存在本征值 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\epsilon (\mathbf{k})\Delta t}$，其中 $\epsilon (\mathbf{k})=\omega (\mathbf{k})\Delta t$ 并且 $\omega (\mathbf{k})\sim ck$。

反演对称给出 $$\mathcal{P}U(\mathbf{k}){\mathcal{P}}^{-1}=U(-\mathbf{k}),$$ 在 $\epsilon (\mathbf{k})$ 的水平上意味着谱满足 $$\{{\epsilon }_a(\mathbf{k})\}=\{{\epsilon }_a(-\mathbf{k})\},$$ 时间反演对称给出 $$\mathcal{T}U(\mathbf{k}){\mathcal{T}}^{-1}=U^{†}(-\mathbf{k}),$$ 从而 $$\{{\epsilon }_a(\mathbf{k})\}=\{-{\epsilon }_a(-\mathbf{k})\}(\mathrm{mod}2\pi /\Delta t).$$

对无质量引力波分支，可以选取基底使其谱满足 $${\epsilon }_{\mathrm{GW}}(-\mathbf{k})=-{\epsilon }_{\mathrm{GW}}(\mathbf{k}),$$ 即 $\omega (-\mathbf{k})=-\omega (\mathbf{k})$。这意味着 $\omega (\mathbf{k})$ 为 $\mathbf{k}$ 的奇函数，而 ${\omega }^2(\mathbf{k})$ 是偶函数。对 ${\omega }^2$ 在 $k{\ell }_{\mathrm{cell}}$ 处展开，有 $${\omega }^2(\mathbf{k})=c^2{k}^2\sum _{n\ge 0}{\gamma }_{2n}(\hat{\mathbf{k}})(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^{2n},$$ 其中 ${\gamma }_0(\hat{\mathbf{k}})=1$，其它系数则来自局域门的组合结构；奇次项 $(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^{2n+1}$ 若出现会破坏 ${\omega }^2(-\mathbf{k})={\omega }^2(\mathbf{k})$，与上述对称性矛盾。

再利用低能极限中 $\omega (\mathbf{k})\sim ck$ 的归一，整理系数得到 $${\omega }^2(\mathbf{k})=c^2{k}^2\left[1+\sum _{n\ge 1}{\beta }_{2n}(\hat{\mathbf{k}})(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^{2n}\right].$$

在各向同性近似下，${\beta }_{2n}(\hat{\mathbf{k}})$ 仅依赖于晶格与门的平均对称性，可简化为常数 ${\beta }_{2n}$，得出定理结论。

这一结构与具体 Dirac/Weyl/Maxwell QCA 模型中的色散形式一致；已有分析表明在这些模型中 Lorentz 对称性破缺确实首先出现在 $(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2$ 阶的修正中。

4.3 定理 3.3 的证明：参数映射与能标

从 $${\omega }^2=c^2{k}^2[1+{\beta }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2]=c^2{k}^2+{\alpha }_{\mathrm{disp}}{k}^4$$ 得到 $${\alpha }_{\mathrm{disp}}=c^2{\beta }_2{\ell }_{\mathrm{cell}}^2.$$

参数化色散检验文献中通常将 ${\alpha }_{\mathrm{disp}}$ 写成 $${\alpha }_{\mathrm{disp}}=\sigma \frac{c^2}{M_{\ast }^2},$$ 其中 $M_{\ast }$ 是某一高能标度（如 EFT 截断或 Lorentz 破缺能标），$\sigma$ 为无量纲系数，常取 $\sigma =\pm 1$。

比较两式得到 $${\ell }_{\mathrm{cell}}^2=\frac{\sigma }{{\beta }_2}\frac{1}{M_{\ast }^2},{\ell }_{\mathrm{cell}}=\frac{1}{M_{\ast }}{\left|\frac{\sigma }{{\beta }_2}\right|}^{1/2}.$$

观测给出的约束可写成 $|{\alpha }_{\mathrm{disp}}|\lesssim c^2/M_{\ast }^2$，于是 $${\ell }_{\mathrm{cell}}\lesssim M_{\ast }^{-1}|{\beta }_2{|}^{-1/2},$$ 宣布定理成立。

利用目前对 $n=2$ 型色散的约束，可估计 $M_{\ast }$ 至少在 $10^{13}\text{–}10^{15}\mathrm{GeV}$ 区间，结合自然单位 $1{\mathrm{GeV}}^{-1}\approx 2\times 10^{-16}\mathrm{m}$ 得 $${\ell }_{\mathrm{cell}}\lesssim 10^{-29}\text{–}10^{-31}\mathrm{m}({\beta }_2\sim 1),$$ 与离散时空及 QCA 文献中从其它实验得到的格距上界量级一致。

4.4 定理 3.4 的证明思路：Null–Modular 一致性与抑制律

证明分三步。

第一步，将统一时间刻度与 Null–Modular 双覆盖联系。边界模流生成元 $K$ 的谱与散射相位的频率依赖通过相对熵与 BF 型体积分联系，从而给出刻度同一式 $\kappa (\omega )={\phi }^{\prime }(\omega )/\pi =(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(\omega )$。若引入奇次色散修正 ${\omega }^2=c^2{k}^2+\tilde{\alpha }{k}^3+\dots$，则散射相位在 $\omega$ 平面上不再是简单的奇函数，其导数在绕原点的回路上将获得额外的 $\pi$ 相位，导致 Null–Modular 覆盖上的 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy 非平凡，与 $[K]=0$ 条件矛盾。

第二步，将广义熵极值与 QNEC/QFC 条件转化为对因果光锥与传播速度的约束。若某频段的引力波群速度 $v_{\mathrm{g}}(\omega )$ 显著偏离几何光速，则存在因果菱形，其边界上的光锥结构与模流流线不再对齐，将破坏相对熵的单调性与局域能量条件，从而与 QNEC/QFC 不等式冲突。这要求 $$\left|\frac{\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )}{c}\right|\lesssim C(\omega L_{\mathrm{UV}}{)}^2,$$ 其中 $L_{\mathrm{UV}}$ 为相关的紫外长度标度，自然取为 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 或其倍数，$C$ 为常数，从而得到 $\delta v_{\mathrm{g}}/c$ 的 $(\omega {\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2$ 抑制律。

第三步，利用定理 3.1 将 $\delta v_{\mathrm{g}}$ 与 $\delta {\kappa }_{\mathrm{GW}}$ 对齐，归一化得到 $$\frac{|\delta {\kappa }_{\mathrm{GW}}(\omega )|}{{\kappa }_{\mathrm{GW}}^{(0)}(\omega )}\sim \frac{|\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )|}{c}\lesssim \mathcal{O}((\omega {\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2),$$ 并用 GW170817 与 GWTC-3 的速度与色散约束固定右侧数值不超过 $\mathcal{O}(10^{-15})$，从而完成证明思路。

5 Model Apply：从 QCA 色散到波形预言

本节讨论如何将统一矩阵–QCA 模型具体应用到引力波数据分析中，得到可与现有 LIGO/Virgo/KAGRA 管线直接对接的波形修正与预言。

5.1 与参数化色散检验的映射

参数化色散检验通常从修正的色散关系出发 $$E^2=p^2{c}^2+A{p}^{\alpha }{c}^{\alpha },$$ 转化为波形相位的频率依赖修正 $\delta \Psi (f)$，并在 Bayesian 框架下拟合参数 $A,\alpha$。对于 $n=2$ 情形，可写作 $${\omega }^2=c^2{k}^2+{\alpha }_{\mathrm{disp}}{k}^4,{\alpha }_{\mathrm{disp}}\propto M_{\ast }^{-2}.$$

统一矩阵–QCA 模型给出的色散为 $${\omega }^2=c^2{k}^2[1+{\beta }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2],$$ 从而 $${\alpha }_{\mathrm{disp}}=c^2{\beta }_2{\ell }_{\mathrm{cell}}^2.$$

将这一映射代入已有的波形修正公式，即可将对 ${\alpha }_{\mathrm{disp}}$ 的后验分布直接转化为对 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 与 ${\beta }_2$ 的联合后验。对于给定 QCA 模型，${\beta }_2$ 可以由元胞 Hilbert 空间维数与局域门结构解析计算或数值估算，从而获得 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 的上界。

5.2 多事件联合与频段敏感性

GWTC-3 中包含 $90$ 个高置信度事件，其频率覆盖大致为 $10\text{–}2000\mathrm{Hz}$。在统一模型中，$\delta v_{\mathrm{g}}/c\sim {\beta }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2$，故频率越高、传播距离越远的事件对 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 越敏感。对于典型的双黑洞并合事件，若取代表频率 $f\sim 100\mathrm{Hz}$、传播距离 $L\sim \mathcal{O}(10^3\mathrm{Mpc})$，则 $$k=\frac{2\pi f}{c}\sim 10^{-6}{\mathrm{m}}^{-1},$$ 任何 ${\ell }_{\mathrm{cell}}\gtrsim 10^{-28}\mathrm{m}$ 都会产生 $\mathcal{O}(10^{-16})$ 以上的群速度偏差，从而与 GW170817 与 GWTC-3 的联合约束矛盾。

对低频空间探测器（如 LISA、TianQin）而言，虽然频率更低，但传播距离更大，可以敏感于不同能标下的色散。统一模型提供了在不同频段将 ${\alpha }_{\mathrm{disp}}$ 与 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 统一比较的工具。

5.3 波形变形与相位漂移

在频域中，色散引起的波形相位修正在一般框架下可写为 $$\delta \Psi (f)=\zeta f^{n-1},$$ 其中 $\zeta$ 由 ${\alpha }_{\mathrm{disp}}$ 与宇宙学传播效应决定。在统一模型中，由 $${\alpha }_{\mathrm{disp}}=c^2{\beta }_2{\ell }_{\mathrm{cell}}^2$$ 可得 $$\zeta \propto {\beta }_2{\ell }_{\mathrm{cell}}^2.$$

这意味着，在给定事件红移与宇宙学模型下，$\delta \Psi (f)$ 的后验分布直接给出对 ${\beta }_2{\ell }_{\mathrm{cell}}^2$ 的约束。对多个事件联合分析则对应对 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 的全局上界。

6 Engineering Proposals

本节提出若干可实施的工程方案，以便在现有和未来引力波数据分析中直接检验统一矩阵–QCA 模型的预言。

6.1 与现有 LVK MDR 管线的集成

LVK 合作组已有固定的“modified dispersion relation（MDR）“检验程序，用于在每次发布 GW 事件目录时更新对 ${\alpha }_{\mathrm{disp}},n$ 等参数的约束。在这一框架中，可做如下改造：

1. 在参数空间中，将 ${\alpha }_{\mathrm{disp}}$ 改写为 ${\alpha }_{\mathrm{disp}}=c^2{\beta }_2{\ell }_{\mathrm{cell}}^2$，并将 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 与 ${\beta }_2$ 作为新的主参数，${\beta }_2$ 的先验由 QCA 模型给出；

2. 在波形生成模块中不做额外修改，仅在后验处理阶段将 ${\alpha }_{\mathrm{disp}}$ 的样本映射为 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 的样本；

3. 对 GWTC-3 以及后续 GWTC-4/5 全部事件联合拟合，得到 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 的联合后验与置信区间。

该方案的工程成本极低，仅需在现有 pipeline 上增加少量后处理脚本即可。

6.2 设计专门的高频与宽带检验

QCA 模型中特征的 $(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^{2n}$ 结构使得高频模式比低频模式对 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 更敏感。为此可设计：

1. 面向高频区间（$f\gtrsim 1\mathrm{kHz}$）的宽带 burst 搜索，并在参数化色散分析中偏重这一频段；

2. 对可能的连续引力波源（如快速自转中子星）进行持久观测，累积色散引起的相位漂移；

3. 对拟建设备（如第三代地面探测器、空间探测器）进行灵敏度–格距约束的前瞻性评估，为 QCA 模型制订专门的观测指标。

6.3 与电磁与物质干涉约束的跨通道比较

已有工作基于光学、伽马射线及宇宙线观测，在 Standard-Model Extension 和 MDR 框架下对 Lorentz 破缺给出约束，可解释为对 QCA 格距的上界。同时，量子干涉实验（如中微子振荡、原子干涉仪）也对离散时空模型提出约束。

工程上可以构造统一的“多信使 QCA 约束图“，将引力波、电磁波及物质波对 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 的约束统一到同一坐标系中，用于比较不同探测手段的互补性与冗余度。

7 Discussion (risks, boundaries, past work)

7.1 模型假设的边界

统一矩阵–QCA 模型依赖若干关键假设：

1. 宇宙本体可被同时刻画为散射矩阵宇宙与 QCA 宇宙，并在范畴意义上等价；

2. 引力波在观测频段内可视为线性扰动，其非线性自作用与背景演化对色散的修正可以忽略；

3. QCA 的对称性（平移、反演、时间反演）在有效引力分支上保持良好，从而排除奇次色散项。

若这些假设在某个能标或宇宙阶段失效，则本文定理的适用范围需相应收缩。例如在极端高频（远高于 LVK 频段）的情况下，QCA 的更复杂分支结构可能显著影响色散形式。

7.2 与 SME 与其它离散模型的关系

Standard-Model Extension 提供了系统的 Lorentz 破缺参数化框架，其引力扇区的色散关系与本文的 QCA 色散可以在形式上相互映射。不同之处在于，SME 将 Lorentz 破缺视为连续场论 Lagrangian 中的高维算子，而 QCA 模型则将其视为离散更新规则在连续极限中的残余效应。

其它离散时空方案（如 causal set、spin foam）同样预言某种形式的色散或传播修正。统一矩阵–QCA 框架与这些方案并非竞争关系，而是提供了一种将“离散–连续–观测“三层结构通过统一时间刻度连接起来的工具，可用作这些方案的有效描述或近似。

7.3 观测约束的系统性与统计风险

当前对 ${\alpha }_{\mathrm{disp}}$ 与 $v_{\mathrm{g}}$ 的约束依赖于：

1. 波形模型的系统误差（如潮汐效应、自旋进动）；

2. 探测器噪声的非高斯性与非平稳性；

3. 多事件联合时的选择效应与统计偏差。

在将这些约束转换为 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 上界时，需要谨慎估计系统误差传播，避免过度乐观。未来更高灵敏度与更大事件样本将有助于降低这些风险。

8 Conclusion

综上，在统一时间刻度、矩阵宇宙 THE-MATRIX 与 QCA 宇宙的框架下，可以对“引力波 Lorentz 破缺与色散修正“给出一套结构统一的理论刻画。核心结论包括：

1. 引力波色散可被视为统一时间刻度密度 $\kappa (\omega )$ 在引力波扇区的高阶偏差，其大小由群速度偏差 $\delta v_{\mathrm{g}}(\omega )$ 直接控制；

2. 在满足反演与时间反演对称的引力–QCA 模型中，引力波色散的最低阶修正必为偶次 $(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^{2n}$ 型，奇次 $k^{2n+1}$ 项被结构性排除；

3. 利用参数化色散检验的结果，可以将 LVK 对 ${\alpha }_{\mathrm{disp}}$ 的约束直接转化为对 QCA 格距 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 与色散系数 ${\beta }_2$ 的上界，典型上给出 ${\ell }_{\mathrm{cell}}\lesssim 10^{-29}\text{–}10^{-31}\mathrm{m}$ 的约束；

4. 统一因果–熵–时间框架中的 Null–Modular 一致性进一步给出 $\delta v_{\mathrm{g}}/c\sim \mathcal{O}((\omega {\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2)$ 的抑制律，与 GW170817 与 GWTC-3 的观测结果相符；

5. 工程上，统一模型与 LVK 现有 MDR 检验程序无缝兼容，只需在参数空间中增加 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 与 ${\beta }_2$ 的映射即可实现对 QCA 宇宙离散结构的直接约束。

未来更高频、更宽带以及多信使引力波观测将进一步压缩 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 的可行区间，从而在“宇宙是否离散““时间刻度是否真连续”“Lorentz 对称是否在所有能标上严格成立“等根本问题上提供更清晰的答案。

Acknowledgements, Code Availability

本工作建立在引力波探测合作组及大量关于 Lorentz 破缺、SME 与 QCA 的公开文献基础之上。文中使用的参数化色散与波形映射公式均可由公开软件包（如 Bilby 等）实现，数值示例可通过对现有 MDR 分析脚本进行简单修改获得。符号推导与连续极限计算可用通用代数软件（如 Mathematica、Python/SymPy）重现实现。

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Appendix A：从 GR 线性扰动到引力波散射矩阵 $S_{\mathrm{GW}}(\omega ;\mathbf{k})$

A.1 线性化 Einstein 方程与模分解

在背景度规 $g_{\mu \nu }^{(0)}$ 上，考虑小扰动 $h_{\mu \nu }$，引入规范条件 $${\nabla }^{\mu }{h}_{\mu \nu }=0,h_{\mu }^{\mu }=0,$$ 则线性化 Einstein 方程为 $$\square h_{\mu \nu }+2R_{\mu \alpha \nu \beta }^{(0)}{h}^{\alpha \beta }=0.$$

在平直背景 $g_{\mu \nu }^{(0)}={\eta }_{\mu \nu }$ 下，$R_{\mu \alpha \nu \beta }^{(0)}=0$，方程退化为 $$\square h_{\mu \nu }=0,$$ 平面波解为 $$h_{\mu \nu }(t,\mathbf{x})={ϵ}_{\mu \nu }(\hat{\mathbf{k}}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})},{\omega }^2=c^2{k}^2.$$

在具有球对称的静态背景（如 Schwarzschild 外区）中，将扰动投影到 Regge–Wheeler 或 Zerilli 模式上，可化为径向方程 $$-\frac{{\mathrm{d}}^2{\psi }_{\ell }}{\mathrm{d}{r}_{\ast }^2}+V_{\mathrm{eff},\ell }(r_{\ast }){\psi }_{\ell }={\omega }^2{\psi }_{\ell },$$ $r_{\ast }$ 为 tortoise 坐标，$V_{\mathrm{eff},\ell }$ 为有效势。边界条件为 $${\psi }_{\ell }(r_{\ast })\sim \{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega r_{\ast }}+A_{\ell }^{\mathrm{out}}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}\omega r_{\ast }},& r_{\ast }\to -\infty ,\\ B_{\ell }^{\mathrm{out}}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}\omega r_{\ast }},& r_{\ast }\to +\infty .\end{array}$$

归一化后得到散射系数 $S_{\ell }(\omega )$ 与相应的相移 ${\delta }_{\ell }(\omega )$，构成散射矩阵 $S_{\mathrm{GW}}(\omega )$ 的角动量分量。

A.2 Wigner–Smith 矩阵与群延迟

对每个 $\ell$ 与偏振，定义通道幅度 $a_{\mathrm{in}},a_{\mathrm{out}}$，使得 $$a_{\mathrm{out}}(\omega )=S_{\mathrm{GW}}(\omega )a_{\mathrm{in}}(\omega ),$$ $S_{\mathrm{GW}}(\omega )\in U(N_{\mathrm{GW}})$。Wigner–Smith 矩阵定义为 $$Q_{\mathrm{GW}}(\omega )=-\mathrm{i}{S}_{\mathrm{GW}}^{†}(\omega ){\partial }_{\omega }{S}_{\mathrm{GW}}(\omega ).$$

若 $S_{\mathrm{GW}}(\omega )$ 可以对角化为 $$S_{\mathrm{GW}}(\omega )=\sum _{j=1}^{N_{\mathrm{GW}}}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}{\delta }_j(\omega )}{\Pi }_j,$$ 则 $$Q_{\mathrm{GW}}(\omega )=2\sum _j{\partial }_{\omega }{\delta }_j(\omega ){\Pi }_j,{\tau }_j(\omega )=2{\partial }_{\omega }{\delta }_j(\omega ).$$

在远场平展背景极限下，各相移的导数与传播距离 $L$ 与群速度 $v_{\mathrm{g}}(\omega )$ 的关系为 $${\tau }_j(\omega )\approx \frac{L}{v_{\mathrm{g}}(\omega )}+c_j(\omega ),$$ 其中 $c_j(\omega )$ 是与局域散射相关的频率缓慢变化项。取迹并忽略 $c_j(\omega )$ 的贡献，得到主文中的 ${\kappa }_{\mathrm{GW}}(\omega )$ 与 $v_{\mathrm{g}}(\omega )$ 的关系。

Appendix B：引力–QCA 连续极限与色散展开

B.1 一维简化 QCA 模型

考虑一维格点 $\Lambda =\mathbb{Z}$，元胞 Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_x={\mathbb{C}}^2$ 表示两种偏振，自旋算符记为 Pauli 矩阵 ${\sigma }_i$。定义两类局域门：

1. 跃迁门 $U_{\mathrm{hop}}$，在相邻元胞之间交换振幅： $$U_{\mathrm{hop}}=\prod _x\exp [-\mathrm{i}\theta (|x+1⟩⟨x|\otimes {\sigma }_z+h.c.)];$$

2. “弯曲“门 $U_{\mathrm{grav}}$，在每个元胞上施加局域相位： $$U_{\mathrm{grav}}=\prod _x\exp [-\mathrm{i}\varphi (\hat{p}){\sigma }_z],$$ 其中 $\varphi (\hat{p})$ 为动量算符的某一函数。

整体更新为 $$U=U_{\mathrm{grav}}{U}_{\mathrm{hop}}.$$

在动量表象下，$U(k)$ 可写成 $$U(k)=\exp (-\mathrm{i}{H}_{\mathrm{eff}}(k)\Delta t),$$ 其中 $$H_{\mathrm{eff}}(k)=ck{\sigma }_z+{\gamma }_2{k}^3{\ell }_{\mathrm{cell}}^2{\sigma }_z+\mathcal{O}(k^5{\ell }_{\mathrm{cell}}^4),$$ $c$ 与 ${\gamma }_2$ 为由 $\theta ,\varphi$ 决定的常数。

对 $H_{\mathrm{eff}}^2$ 求谱： $${\omega }^2=H_{\mathrm{eff}}^2/\Delta t^2=c^2{k}^2\left[1+2\frac{{\gamma }_2}{c}{k}^2{\ell }_{\mathrm{cell}}^2+\mathcal{O}(k^4{\ell }_{\mathrm{cell}}^4)\right],$$ 故 $${\beta }_2=2{\gamma }_2/c,$$ 得到主文中一维情形的色散系数表达式。

B.2 高维与各向异性推广

在高维情形，$U(\mathbf{k})$ 为多元函数，其谱可写为 $${\omega }^2(\mathbf{k})=c^2{k}^2\left[1+\sum _{n\ge 1}{\beta }_{2n}(\hat{\mathbf{k}})(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^{2n}\right].$$

各向异性由 ${\beta }_{2n}(\hat{\mathbf{k}})$ 的角向依赖体现。若晶格与门的对称性足够高（如立方晶格与各向同性局域门），则在低阶近似下可视为 ${\beta }_{2n}(\hat{\mathbf{k}})\approx {\beta }_{2n}$ 常数。对引力波观测而言，角向各向异性可以在多事件与多方向平均下有效抹平,其残余效应可用作检验更精细的 QCA 结构的高级指标。

Appendix C：色散参数–观测约束–QCA 格距的数值示意

C.1 $n=2$ 型色散与能标

考虑 $${\omega }^2=c^2{k}^2+{\alpha }_{\mathrm{disp}}{k}^4,{\alpha }_{\mathrm{disp}}=\sigma \frac{c^2}{M_{\ast }^2},$$ 其中 $M_{\ast }$ 为能标。以自然单位 $c=\hslash =1$ 下 $1{\mathrm{GeV}}^{-1}\approx 2\times 10^{-16}\mathrm{m}$ 为换算。

若观测约束给出 $$M_{\ast }\gtrsim 10^{14}\mathrm{GeV},$$ 则 $$M_{\ast }^{-1}\lesssim 10^{-14}{\mathrm{GeV}}^{-1}\approx 2\times 10^{-30}\mathrm{m}.$$

在 QCA 映射中， $${\ell }_{\mathrm{cell}}\lesssim M_{\ast }^{-1}|{\beta }_2{|}^{-1/2},$$ 若 ${\beta }_2\sim 1$，则 $${\ell }_{\mathrm{cell}}\lesssim 2\times 10^{-30}\mathrm{m},$$ 约为普朗克长度 ${\ell }_{\mathrm{Pl}}\sim 10^{-35}\mathrm{m}$ 的 $10^5$ 倍量级。

若未来观测将 $M_{\ast }$ 提升到 $10^{15}\text{–}10^{16}\mathrm{GeV}$，则 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 上界将进一步下降到 $10^{-31}\text{–}10^{-32}\mathrm{m}$ 量级。

C.2 与 GW170817 速度约束的对比

GW170817 与 GRB 170817A 给出 $$\left|\frac{v_{\mathrm{g}}}{c}-1\right|\lesssim 10^{-15},$$ 在 $f\sim 10^2\mathrm{Hz}$、$L\sim 40\mathrm{Mpc}$ 的条件下，对应 $$\left|\frac{\delta v_{\mathrm{g}}}{c}\right|\lesssim 10^{-15}.$$

在 QCA 模型中， $$\frac{\delta v_{\mathrm{g}}}{c}\simeq {\beta }_2(k{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^2,k\sim \frac{2\pi f}{c}\sim 10^{-6}{\mathrm{m}}^{-1},$$ 故 $${\ell }_{\mathrm{cell}}\lesssim \frac{10^{-7.5}}{\sqrt{|{\beta }_2|}}\mathrm{m}\sim 10^{-8}\mathrm{m}({\beta }_2\sim 1),$$ 这是极为宽松的上界。真正驱动 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 进入 $10^{-29}\text{–}10^{-31}\mathrm{m}$ 区间的是对波形相位的累积色散分析，而非单纯的到达时间差测量。这解释了为何需要 GWTC-3 级别的多事件统计分析来获得对高维算子与 QCA 格距的强约束。

C.3 与电磁与物质实验的综合约束

电磁与物质实验在更高能量与更长基线下检验 Lorentz 破缺，给出的 ${\alpha }_{\mathrm{disp}}$ 或 SME 系数约束往往可以达到极端精度。将这些结果转化为 QCA 格距的上界，得到的 ${\ell }_{\mathrm{cell}}$ 上界通常与引力波约束在 $10^{-29}\text{–}10^{-32}\mathrm{m}$ 区间重叠。这表明：

1. 若统一矩阵–QCA 宇宙模型正确，则宇宙离散格距很可能位于该区间或以下；

2. 引力波通道与电磁/物质通道提供了互补而彼此印证的约束，为“宇宙离散结构“的观测检验搭建起统一框架。