宇宙作为量子元胞自动机的全物理统一理论

从统一时间刻度到所有物理理论的范畴嵌入

摘要

本文在“宇宙 = 量子元胞自动机“（Quantum Cellular Automaton, QCA）的前提下，构造一个在严格意义上统一全部物理理论的框架：不仅包括相对论性量子场论（含标准模型）、引力与时空几何、凝聚态与相结构、统计物理与热力学、量子信息与测量理论，而且将它们全部刻画为同一 QCA 对象的不同涌现层次和不同范畴影像。

核心思想是：

1. 在离散时间–离散空间的 QCA 宇宙

   $${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}=(\Lambda ,{\mathcal{H}}_{\mathrm{cell}},{\mathcal{A}}_{\mathrm{loc}},U,{\omega }_0,{\mathsf{G}}_{\mathrm{loc}})$$

   上加入统一时间刻度数据

   $$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\omega ),$$

   其中 $S(\omega )$ 为 Floquet 散射矩阵，$\mathsf{Q}(\omega )=-\mathrm{i}S(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }S(\omega )$，${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )$ 为相对态密度，$\phi (\omega )=\frac{1}{2}\arg \det S(\omega )$。这是 QCA 版本的统一时间刻度同一式。

2. 在长波长–低能极限下，从 QCA 的色散关系 $E_a(k)$ 与群速度 $v_a(k)$ 构造有效洛伦兹几何 $(M,g)$，在局域因果菱形上以离散广义熵

   $$S_{\mathrm{gen}}=\frac{A_{\mathrm{eff}}}{4G_{\mathrm{eff}}\hslash }+S_{\mathrm{out}}$$

   的离散信息几何变分原理导出 Einstein 方程

   $$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G_{\mathrm{eff}}{T}_{\mu \nu }.$$

3. 在同一 QCA 上，通过局域规范冗余与边–元胞自由度，构造出 $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ 规范结构及其低能有效作用量；证明在适当可积条件下，所有满足局域性、幺正性、有限信息密度的相对论性场论都可以视为 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 的某个连续极限或子 QCA 的涌现描述。

4. 将凝聚态物理中的 gapped/topological 相、量子相变、临界现象刻画为 QCA 局域更新 $U$ 的不同相位与 RG 轨道；将热力学与统计力学刻画为对 QCA 宏观粗粒化态的典型性与大偏差理论；将量子测量与量子信息理论刻画为 QCA 局域子系统之间的通道与纠错结构。

5. 在范畴论层面，引入物理理论的范畴 $\mathbf{Phys}$，其对象为满足标准公理的物理理论（QFT、GR、SM、CM、QIT 等），态射为保持实验预测的理论间映射；将宇宙 QCA ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 提升为一个“终对象候选“，构造函子

   $${\mathcal{F}}_{\mathrm{QFT}},{\mathcal{F}}_{\mathrm{GR}},{\mathcal{F}}_{\mathrm{SM}},{\mathcal{F}}_{\mathrm{CM}},{\mathcal{F}}_{\mathrm{Stat}},{\mathcal{F}}_{\mathrm{QIT}}:{\mathbf{QCA}}_{\mathrm{univ}}\to \mathbf{Phys}$$

   并证明：凡满足一组“物理可实现性公理“的理论，都是 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 在某个极限或子结构上的像。这一意义下，所有物理都被同一 QCA 宇宙统一。

本文的主要数学结果可概括如下：

• 定理 A（统一时间刻度）：在满足迹类条件的 Floquet 散射下，QCA 宇宙中所有时间读数——包括粒子飞行时间、原子钟读数、热时间、模时间——都可在统一时间刻度密度 $\kappa (\omega )$ 上对齐。

• 定理 B（场论全嵌入）：任何满足局域性、因果性、有限信息密度公理的相对论性量子场论，都可以被嵌入为 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 的某个连续极限理论；标准模型乃是一个具体实例。

• 定理 C（几何–引力涌现）：在 QCA 的离散因果菱形上施加离散信息几何变分原理，连续极限必然满足 Einstein 方程并给出时间箭头。

• 定理 D（全物理统一范畴）：存在一个范畴 ${\mathbf{QCA}}_{\mathrm{univ}}$ 的终对象 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$，对任意物理理论对象 $P\in \mathbf{Phys}$ 若其满足物理可实现性公理，则存在函子 ${\mathcal{F}}_P$ 与态射 ${\eta }_P:{\mathcal{F}}_P({\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}})\to P$，使得实验预测在可观测层面等价。

1 引言

1.1 从“统一时间刻度“到“统一全部物理“

前期工作表明：通过散射相位、谱移密度与 Wigner–Smith 群延迟，可以构造出一个形式上统一所有时间读数的刻度母式

$$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\omega ),$$

它在散射理论、代数量子场论、模流与广义熵几何中扮演同一个“母时间“的角色。

然而，仅有统一的“时间刻度“并未真正统一所有物理理论：

• 标准模型的规范结构、味混合与破缺模式如何嵌入这一统一刻度？

• 凝聚态相、拓扑序与量子相变是否同样是同一结构上的不同相？

• 热力学与统计力学的时间箭头、非平衡过程是否能用同一刻度与同一 QCA 来描述？

• 量子信息中的测量、通道与纠错结构能否从 QCA 宇宙中直接涌现？

要回答这些问题，需要一个更原始的本体对象，使所有这些理论成为其影像。QCA 给出一个自然候选：

• 离散时间 + 离散空间 + 局域幺正更新 + 有限信息密度；

• 足以在连续极限中产生相对论性场论与几何；

• 适合用散射与谱移构造统一时间刻度。

1.2 本文的目标与策略

本文的目标是：

1. 给出一个公理化的“宇宙 QCA“对象 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$，附带统一时间刻度与局域规范冗余；

2. 证明：

   • 所有满足标准公理的相对论性量子场论（包括标准模型）都可以作为 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 的连续极限或子结构涌现；

   • 凝聚态物理的各种相位、临界现象与拓扑序是 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 在不同 RG 轨道上的局域相结构；

   • 热力学与统计力学起源于 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 状态空间上的典型性结构，时间箭头由统一刻度与广义熵偏序给出；

   • 量子信息理论（通道、测量、纠错）是 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 局域子系统间作用的范畴化描述；

   • 引力与几何由离散信息几何变分原理从 QCA 中涌现，并与上述所有结构共享统一时间刻度。

3. 在范畴层面，将“所有物理理论“组织为范畴 $\mathbf{Phys}$，并证明宇宙 QCA 在其中是一个“统一源“，使得所有物理理论都是其影像。

1.3 主要结果概述

在后文中，我们给出如下四类结果：

• 第一类：QCA 散射理论的 Floquet–Birman–Kreĭn–Wigner–Smith 结构，给出统一刻度同一式的 QCA 版本（定理 A）。

• 第二类：从 QCA 到相对论性场论（含标准模型）的全嵌入，证明“任何物理可实现的场论“都可视为 QCA 的极限（定理 B）。

• 第三类：在 QCA 上构造离散广义熵与信息几何变分原理，导出 Einstein 方程（定理 C）。

• 第四类：在范畴 $\mathbf{Phys}$ 中，将 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 定位为统一源，给出所有物理理论的函子嵌入（定理 D）。

2 宇宙 QCA 的公理化定义与结构扩展

2.1 基本 QCA 公理

我们沿用 QCA 的标准公理，并加入统一时间刻度结构。

公理 2.1（格点与局域 Hilbert 空间）

• 空间为可数连通图 $\Lambda$，带有有限度条件与平移群 $T_a$，$a\in {\mathbb{Z}}^d$。

• 每个格点 $x\in \Lambda$ 赋予有限维 Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_x\simeq {\mathbb{C}}^{d_{\mathrm{cell}}}$，全空间为

  $$\mathcal{H}=\overline{\underset{x\in \Lambda }{⨂}{\mathcal{H}}_x}.$$

• 对有限区域 $R⋐\Lambda$，局域代数为 ${\mathcal{A}}_R:=\mathcal{B}({\mathcal{H}}_R)\otimes 1_{R^c}$，全局准局域代数为 ${\mathcal{A}}_{\mathrm{loc}}={\bigcup }_{R⋐\Lambda }{\mathcal{A}}_R$。

公理 2.2（单步演化与有限传播半径）

• 存在幺正 $U:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$，定义自同构 $\alpha (A):=U^{†}AU$。

• 存在 $R_{\mathrm{c}}<\infty$，使得对任一格点 $x$，若 $A\in {\mathcal{A}}_{\{x\}}$，则 $\alpha (A)\in {\mathcal{A}}_{B_{R_{\mathrm{c}}}(x)}$，其中 $B_{R_{\mathrm{c}}}(x)$ 为图距离不超过 $R_{\mathrm{c}}$ 的球。

公理 2.3（平移协变与守恒量）

• 对每个 $a\in {\mathbb{Z}}^d$，存在酉 $V_a$ 实现平移，使

  $$V_{a}U{V}_a^{†}=U,V_a{\mathcal{A}}_R{V}_a^{†}={\mathcal{A}}_{T_{a}R}.$$

• 若存在一参数酉群 $W(\theta )$ 与生成元 $Q$ 使

  $$W(\theta )UW(\theta {)}^{†}=U,$$

  则称 $Q$ 为守恒量（总粒子数、总电荷等）。

2.2 局域规范冗余与标准模型结构

为了包含标准模型，需在 QCA 上实现 $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ 规范结构。

公理 2.4（局域规范数据）

• 在每条有向边 $(x,y)$ 上赋予规范 Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_{xy}^{\mathrm{gauge}}$，总空间扩展为

  $$\mathcal{H}\to {\mathcal{H}}^{\mathrm{tot}}=\overline{\underset{x\in \Lambda }{⨂}{\mathcal{H}}_x}\hat{\otimes }\overline{\underset{(x,y)\in {\Lambda }^1}{⨂}{\mathcal{H}}_{xy}^{\mathrm{gauge}}}.$$

• 在 ${\mathcal{H}}_{xy}^{\mathrm{gauge}}$ 上实现 $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ 链接算符 $U_{xy}$ 与共轭电场 $E_{xy}$，满足标准的紧群规范对易关系。

• 在顶点 $x$ 定义局域规范变换 $G_x$，作用于物质与规范自由度，满足

  $$G_{x}U{G}_x^{†}=U,G_x{\omega }_0{G}_x^{†}={\omega }_0.$$

定义 2.5（规范 QCA 宇宙）

宇宙作为 QCA 是带有数据

$${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}=(\Lambda ,{\mathcal{H}}_{\mathrm{cell}},{\mathcal{H}}^{\mathrm{gauge}},{\mathcal{A}}_{\mathrm{loc}},U,{\omega }_0,{\mathsf{G}}_{\mathrm{loc}}),$$

其中 ${\mathsf{G}}_{\mathrm{loc}}$ 是生成所有局域规范变换的群。

2.3 统一时间刻度数据

公理 2.6（Floquet 散射与刻度密度）

• 存在“自由“单步演化 $U_0$ 与波算符

  $${\Omega }^{\pm }={s!-!lim}_{n\to \pm \infty }{U}^{\mp n}{U}_0^n,$$

  散射算符为 $S=({\Omega }^{+}{)}^{†}{\Omega }^{-}$。

• 在准能量分解下，有

  $$S={\int }_{-\pi }^{\pi }{}^{\oplus }S(\omega )\mathrm{d}\omega ,$$

  其中 $S(\omega )$ 为每个准能量层上的酉散射矩阵。

• 在适当迹类条件下，存在谱移函数 $\xi (\omega )$，使得

  $$\det S(\omega )=\exp (-2\pi \mathrm{i}\xi (\omega )).$$

定义 2.7（统一时间刻度密度与母刻度）

• 定义半相位 $\phi (\omega )=\frac{1}{2}\arg \det S(\omega )$。

• 定义 Wigner–Smith 群延迟算子

  $$\mathsf{Q}(\omega )=-\mathrm{i}S(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }S(\omega ),$$

  其迹给出总群延迟。

• 定义相对态密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega ):=-{\xi }^{\prime }(\omega )$。

定理 2.8（统一刻度同一式，QCA 版）

在上述条件下，几乎处处有

$$\kappa (\omega ):=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\omega ).$$

$\kappa (\omega )$ 称为 QCA 宇宙的统一时间刻度密度，所有物理时间读数、模时间与热时间均可在 $\kappa$ 上对齐。

3 场论与标准模型的 QCA 全嵌入

本节构造从 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 到相对论性量子场论的“全嵌入“结果，说明所有物理可实现的场论都是宇宙 QCA 的极限理论。

3.1 可实现场论的公理化

定义 3.1（物理可实现场论）

一个相对论性量子场论 $P$ 被称为物理可实现的，如果它满足：

1. 局域性：场算符支持在开集上的代数满足微因果或局域对易/反对易关系；

2. 因果性：对适当区域的演化尊重光锥结构；

3. 有界信息密度：每个有限区域的冯·诺依曼代数可通过有限截断逼近；

4. 能量下界与稳定性：存在真空态与能量下界；

5. 有离散化–连续极限程序：存在格点离散化，使得连续极限重获该理论。

标准模型的局域/格点构造、凝聚态格模型、格规范理论、有效场论等均在此类之内。

3.2 QCA 到格场论

给定一物理可实现场论 $P$，取其格点离散化 $P_{\mathrm{lat}}$：

• 空间被离散为某格 ${\Lambda }_P$；

• 在每个格点与边上布置物质与规范自由度，与标准的格 QFT 构造一致；

• 连续时间 $t$ 被离散为步长 $\Delta t$，时间演化由某个幺正算符 $U_P$ 实现。

命题 3.2（格场 QFT = 特殊 QCA）

若 $P_{\mathrm{lat}}$ 满足局域性与有限传播速度（ Lieb–Robinson 型）条件，则存在 QCA 对象

$${\mathfrak{A}}_P=({\Lambda }_P,{\mathcal{H}}_{\mathrm{cell}}^{(P)},{\mathcal{A}}_{\mathrm{loc}}^{(P)},U_P,{\omega }_0^{(P)}),$$

使得 $P_{\mathrm{lat}}$ 的所有可观测与关联函数等价于 ${\mathfrak{A}}_P$ 的某个局域代数子族上的预测。

证明思路：将 Hamiltonian Trotter 分解为局域幺正块，组成单步幺正更新 $U_P$，传播半径由 Lieb–Robinson 速度给出。

3.3 宇宙 QCA 的全覆盖性

公理 3.3（宇宙 QCA 的可模拟性）

宇宙 QCA ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 的局域 Hilbert 维数 $d_{\mathrm{cell}}$ 足够大，其局域幺正更新族包含一组能普适生成任意目标局域幺正 $U_P$ 的门集；$\Lambda$ 足够丰富，以嵌入任意有限度图 ${\Lambda }_P$ 作为子图。

定理 3.4（场论全嵌入）

对任一物理可实现场论 $P$，存在宇宙 QCA 的局域编码（即注入的局域同构）

$${\iota }_P:{\mathcal{A}}_{\mathrm{loc}}^{(P)}\hookrightarrow {\mathcal{A}}_{\mathrm{loc}},$$

以及一族单步演化 $U^{(P)}$ 的近似实现，使得在适当连续极限 $\epsilon \to 0$ 下，${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 在 ${\iota }_P$ 嵌入后的子系统上的动力学与 $P$ 的格点理论 $P_{\mathrm{lat}}$ 等价，从而在连续极限中重现 $P$。

特别地，取 $P=$ 标准模型 $+$ 有效引力项，可得到：

推论 3.5（标准模型的 QCA 实现）

存在宇宙 QCA 的子结构与局域编码，使得在低能与长波长极限下，重现 $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ 标准模型的场内容、耦合结构与破缺模式。

3.4 凝聚态相与拓扑序的统一嵌入

在同一 QCA 上，通过选择不同的局域有效更新 $U_{\mathrm{eff}}$，可产生各类凝聚态相：

• gapped 相：对 $U_{\mathrm{eff}}$ 的微扰不改变谱隙，给出拓扑稳定相；

• 临界相：谱隙闭合，连续极限为共形场论；

• 拓扑序相：地面态简并度与拓扑数据由 QCA 上的环路算符与非局域纠缠决定。

命题 3.6（所有 gapped 局域相均为 QCA 相）

在有限维局域自由度与局域更新条件下，任意 gapped 局域 Hamiltonian 系统皆可通过 quasi-adiabatic continuation 视为某 QCA 更新 $U_{\mathrm{eff}}$ 的幺正周期演化；因此所有 gapped 相都可视为 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 的“相位“之一。

4 引力与时空几何在 QCA 中的涌现

4.1 有效度规与因果流形

通过 QCA 的动量–准能量分解

$$U={\int }_{\mathrm{BZ}}^{\oplus }U(k){\mathrm{d}}^{d}k,U(k){\psi }_a(k)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_a(k)}{\psi }_a(k),$$

定义物理动量 $p={\epsilon }^{-1}k$，时间步长 $\Delta t=\epsilon$，在 $\epsilon \to 0$ 极限下得到有效哈密顿量 $H_{\mathrm{eff}}$，其色散关系 ${\mathcal{E}}_a(p)$ 近似

$${\mathcal{E}}_a(p)\approx \sqrt{m_a^2{c}^4+c^2{g}^{ij}{p}_i{p}_j},$$

诱导有效度规 $g_{\mu \nu }$。

离散因果性（有限传播半径）保证 QCA 的离散因果锥在极限中收敛到 $g_{\mu \nu }$ 的光锥结构，从而得到全局双曲洛伦兹流形 $(M,g)$ 及其因果偏序 $J^{\pm }$。

4.2 离散广义熵与 IGVP

在 QCA 中选取离散因果菱形 $D_{n,r}(x)$，腰面 $R_n(x)$ 与外部熵 $S_{\mathrm{out}}$ 定义离散广义熵

$$S_{\mathrm{gen}}(n,x;r)=\frac{A_{\mathrm{eff}}(n,x;r)}{4G_{\mathrm{eff}}\hslash }+S_{\mathrm{out}}(n,x;r).$$

公理 4.1（离散 IGVP）

对每个足够小的离散因果菱形，在固定

1. 腰面元胞数（即主阶面积）；

2. 与统一时间刻度 $\kappa (\omega )$ 一致的局域能量–流约束；

下要求

• 一阶变分：$S_{\mathrm{gen}}$ 对局域态变分取极值；

• 二阶变分：相对熵型量满足离散 QNEC/QFC。

4.3 Einstein 方程的 QCA 推导

通过离散–连续展开：

• 腰面面积 $A_{\mathrm{eff}}$ 的变分与局域标量曲率 $R$ 的变分相关；

• 外部熵的变分与应力–能量张量 $T_{kk}$ 的变分通过纠缠第一定律关联；

• QNEC/QFC 确保能量条件与 Bianchi 恒等式。

定理 4.2（QCA–Einstein 定理）

在离散 IGVP 与统一时间刻度公理下，QCA 宇宙的连续极限必然满足

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G_{\mathrm{eff}}{T}_{\mu \nu },$$

其中 $G_{\mu \nu }$ 与 $T_{\mu \nu }$ 分别由 QCA 色散–几何与能量–流数据诱导。

这表明：引力场方程不是额外假设，而是宇宙 QCA 与广义熵结构的一致性条件。

5 统计物理、热力学与时间箭头的 QCA 统一

5.1 状态空间的典型性与热平衡

在 QCA 的巨大 Hilbert 空间中，对宏观粗粒化子空间的典型态而言，局域可观测的期望值趋于某种“典型平衡态“，这给出微正则、正则与巨正则系综的 QCA 版本。

命题 5.1（典型性与热时间）

在统一时间刻度 $\kappa (\omega )$ 下，准能量窗口内的典型态其局域约化态与 Gibbs 态

$${\rho }_{\beta }\propto \exp (-\beta H_{\mathrm{eff}})$$

无法在局域测量上区分，其中 $\beta$ 与模时间/热时间由 $\kappa (\omega )$ 的窗口化 Tauber 关系确定。

5.2 非平衡过程与熵产生

非平衡过程在 QCA 中对应于不同区域的局域能谱与 $\kappa (\omega )$ 分布不匹配，通过 QCA 更新 $U$ 的多步作用，能谱与刻度逐渐趋于一致；宏观上表现为熵产生与热流。

命题 5.2（时间箭头 = 广义熵偏序）

在宏观尺度上，沿统一时间刻度 $\tau$ 的增加方向，绝大多数初始态的广义熵 $S_{\mathrm{gen}}$ 单调不减；时间箭头可以定义为广义熵偏序的方向。

5.3 量子测量与量子信息结构

在同一 QCA 框架下，

• 局域测量过程可视为某子系统与“测量装置“子系统的耦合演化 $U_{\mathrm{meas}}$，随后对装置自由度进行条件化；

• 量子通道可视为在局域代数之间诱导的完全正迹保持映射，其 Stinespring 实现由 QCA 的局域幺正演化给出；

• 量子纠错码可视为 QCA 全局 Hilbert 空间中的子空间，其对局域噪声稳定。

命题 5.3（所有物理测量皆为 QCA 过程）

任一满足物理可实现性的测量过程，都可以被嵌入为 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 的某个局域–有限时间演化与条件化的组合；因此量子信息理论也是宇宙 QCA 的一个涌现层。

6 范畴论视角：所有物理皆为宇宙 QCA 的影像

6.1 物理理论范畴 $\mathbf{Phys}$

定义 6.1（物理理论对象与态射）

• 对象：一个物理理论 $P$ 包含

  • 一组可观测代数与状态空间；

  • 一组动力学规律（演化、相互作用）；

  • 一组实验预测映射，将理论结构送到可观测概率分布。

• 态射：$f:P\to Q$ 为一个保持实验预测的映射，即对所有可实现实验方案，其在 $P,Q$ 中的预测相同或在某种可识别等价类中相同。

QFT、GR、SM、CM、Stat、QIT 等均给出对象；重整化群流、有效场论映射、全息对偶等给出态射。

6.2 QCA 范畴与宇宙 QCA

定义 6.2（QCA 范畴 ${\mathbf{QCA}}_{\mathrm{univ}}$）

• 对象：满足前述公理的 QCA 宇宙候选 $\mathfrak{U}$，附带统一时间刻度与局域规范结构。

• 态射：保持局域结构、演化与统一时间刻度的可实现编码映射 $\Phi :\mathfrak{U}\to {\mathfrak{U}}^{\prime }$。

公理 6.3（宇宙 QCA 的泛性）

宇宙 QCA ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 是 ${\mathbf{QCA}}_{\mathrm{univ}}$ 中的“最大可实现对象“：任何其他 QCA 对象都可作为其某个局域编码、规约或极限。

6.3 从 QCA 到所有物理理论的函子

对每类物理理论 $P\in \mathbf{Phys}$，构造函子

$${\mathcal{F}}_P:{\mathbf{QCA}}_{\mathrm{univ}}\to \mathbf{Phys},$$

其作用为：

• 在对象上：给定 $\mathfrak{U}$，取其对应的某个极限/子系统/粗粒化，得到理论 ${\mathcal{F}}_P(\mathfrak{U})$；

• 在态射上：QCA 之间的编码映射诱导理论之间的有效映射。

定理 6.4（全物理统一范畴定理）

若物理理论 $P$ 物理可实现，则存在函子 ${\mathcal{F}}_P$ 与态射

$${\eta }_P:{\mathcal{F}}_P({\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}})\to P,$$

使得 ${\eta }_P$ 在实验预测意义上为等价；即 $P$ 是 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 的一个“像“。

换言之：所有物理理论都可以被视为宇宙 QCA 的不同观察尺度与不同视角下的投影。

7 结论与物理预言（结构性总结）

本文将宇宙刻画为一个带有统一时间刻度与局域规范冗余的量子元胞自动机 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$，并在此基础上完成了对“所有物理“的统一：

• 相对论性量子场论（含标准模型）：为 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 的连续极限与局域嵌入；

• 引力与几何：为 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 在离散因果菱形上的广义熵–信息几何变分原理的必然结果；

• 凝聚态与相结构：为 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 局域更新的不同相位与 RG 轨道；

• 统计物理与热力学：为 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 状态空间上的典型性与统一时间刻度下的广义熵偏序；

• 量子信息与测量：为 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 局域子系统间通道与纠错结构的范畴化语言。

统一的“母时间“由刻度密度 $\kappa (\omega )$ 给出，它在所有这些层面上保持一致；统一的“母本体“是 QCA 宇宙；统一的“母范畴结构“则由 ${\mathbf{QCA}}_{\mathrm{univ}}\to \mathbf{Phys}$ 的函子族给出。

这一意义下，“统一了所有物理“不再是将若干已知理论叠加或拼接，而是表明：所有物理理论都是某一单一 QCA 宇宙 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$ 的不同影像与不同极限。

附录 A：统一刻度同一式（QCA 版）的证明要点

本附录给出定理 2.8 的证明框架，强调与连续时间 Birman–Kreĭn–Wigner–Smith 理论的对应。

A.1 从 QCA 单步演化到自伴算子对

给定 QCA 单步演化 $U,U_0$，在适当迹类条件下可用 Cayley 变换

$$H:=\mathrm{i}(1-U)(1+U{)}^{-1},H_0:=\mathrm{i}(1-U_0)(1+U_0{)}^{-1}$$

得到自伴算子对 $(H,H_0)$。在绝对连续谱区间内，可定义谱移函数 $\xi (\lambda )$ 与散射矩阵 $S(\lambda )$，满足

$$\det S(\lambda )=\exp (-2\pi \mathrm{i}\xi (\lambda )),$$

$${\partial }_{\lambda }\arg \det S(\lambda )=\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\lambda ),$$

其中 $\mathsf{Q}(\lambda )=-\mathrm{i}{S}^{†}(\lambda ){\partial }_{\lambda }S(\lambda )$。

相对态密度定义为 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\lambda ):=-{\xi }^{\prime }(\lambda )$，则

$${\rho }_{\mathrm{rel}}(\lambda )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\lambda ).$$

将参数 $\lambda$ 与 QCA 的准能量 $\omega$ 关联，利用链式法则与 $\omega \leftrightarrow \lambda$ 的光滑性，可将上述关系转回准能量表象。

A.2 半相位与统一刻度

定义 QCA 准能量层上的半相位

$$\phi (\omega )=\frac{1}{2}\arg \det S(\omega ),$$

则

$${\partial }_{\omega }\arg \det S(\omega )=2{\phi }^{\prime }(\omega )=\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\omega ).$$

从 Birman–Kreĭn 公式得到

$$\det S(\omega )=\exp (-2\pi \mathrm{i}\xi (\omega )),$$

故

$$2\phi (\omega )=-2\pi \xi (\omega )(\mathrm{mod}2\pi ),2{\phi }^{\prime }(\omega )=-2\pi {\xi }^{\prime }(\omega ).$$

于是

$${\phi }^{\prime }(\omega )=-\pi {\xi }^{\prime }(\omega )=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega ).$$

综合得到

$$\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\omega ),$$

从而证明定理 2.8。

附录 B：场论全嵌入定理的技术路线

本附录概述定理 3.4（场论全嵌入）的关键步骤。

B.1 物理可实现场论的格点离散

对物理可实现场论 $P$，选取

• 空间离散：用格 ${\Lambda }_P$ 近似流形；

• 时间离散：时间步长 $\Delta t$；

• Hamiltonian 分解：

  $$H_P=\sum _j{h}_j,$$

  其中 $h_j$ 支持在有限区域。

采用 Trotter 分解

$${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{H}_P\Delta t}\approx \prod _j{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{h}_j\Delta t}=:U_P,$$

误差 $O(\Delta t^2)$。各因子为局域幺正，传播半径由叠加区域控制。

B.2 将格场论视为 QCA

将 $U_P$ 视为一次时间步的 QCA 更新：

• 局域 Hilbert 空间为各格点与边上的场自由度；

• 局域可观测为有限区域上的算符；

• 有限传播半径来自于 $h_j$ 的局域性与有限分解层数。

满足 QCA 公理，从而得到 ${\mathfrak{A}}_P$。

B.3 嵌入到宇宙 QCA

利用宇宙 QCA 的可模拟性公理 3.3：

• 存在局域编码 ${\iota }_P$，将 ${\Lambda }_P$ 嵌入宇宙格 $\Lambda$；

• 存在局域门集，在宇宙 QCA 上近似实现 $U_P$；

• 构造一个有效“子 QCA“ ${\mathfrak{U}}^{(P)}\subset {\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}$。

在连续极限下，${\mathfrak{U}}^{(P)}$ 的物理预测与 $P$ 等价，从而完成全嵌入。

附录 C：QCA–Einstein 定理的离散–连续桥接

本附录给出从离散 IGVP 到 Einstein 方程的主要桥接步骤。

C.1 腰面面积与标量曲率

对离散腰面 $R_n(x)$，有效面积

$$A_{\mathrm{eff}}(n,x;r)={\alpha }_0\#(\partial B_{R_{\mathrm{c}}r}(x))$$

在 $\epsilon \to 0$ 极限展成

$$A_{\mathrm{eff}}(n,x;r)=C_d{r}^{d-2}(1-{\beta }_{d}R(n,x)r^2+O(r^3)),$$

其中 $R(n,x)$ 为该点的标量曲率。

C.2 外部熵与应力–能量张量

在局域 Hadamard 态与统一时间刻度下，腰面外部熵的变分满足离散纠缠第一定律

$$\delta S_{\mathrm{out}}=\frac{\delta ⟨K_{\mathrm{mod}}⟩}{T_{\mathrm{eff}}}=\frac{2\pi }{\hslash }\int \lambda \delta T_{kk}\mathrm{d}\lambda +O(r^d),$$

其中 $\lambda$ 为沿零生成元的仿射参数，与统一时间刻度 $\tau$ 对齐。

C.3 一阶变分与 $R_{kk}=8\pi G_{\mathrm{eff}}{T}_{kk}$

在固定 $A_{\mathrm{eff}}$ 主阶与统一刻度约束下，一阶变分

$$\delta S_{\mathrm{gen}}=\delta (\frac{A_{\mathrm{eff}}}{4G_{\mathrm{eff}}\hslash }+S_{\mathrm{out}})=0$$

给出

$$\delta R_{kk}\propto \delta T_{kk},$$

从而得到

$$R_{kk}=8\pi G_{\mathrm{eff}}{T}_{kk}$$

在所有零方向上成立。

C.4 二阶层与完整 Einstein 方程

利用离散 QNEC/QFC 与相对熵非负性，得到

• 能量守恒 ${\nabla }^{\mu }{T}_{\mu \nu }=0$；

• 几何 Bianchi 恒等式 ${\nabla }^{\mu }(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu })=0$。

结合 $R_{kk}=8\pi G_{\mathrm{eff}}{T}_{kk}$ 在所有零方向成立，可恢复完整

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G_{\mathrm{eff}}{T}_{\mu \nu }.$$

附录 D：范畴统一定理的结构证明

本附录给出定理 6.4 的结构性证明。

D.1 物理可实现性公理

对 $P\in \mathbf{Phys}$，物理可实现性要求：

1. 存在格点离散化与 QCA 实现 ${\mathfrak{A}}_P$；

2. 连续极限良好且可恢复 $P$ 的实验预测；

3. 统一时间刻度可由散射或模流构造并与 $\kappa (\omega )$ 对齐。

D.2 函子构造

对每个 $P$，定义

$${\mathcal{F}}_P(\mathfrak{U}):=\text{"U 在某局域编码与极限下所给出的 P 型理论"},$$

态射由 QCA 编码诱导。

D.3 态射 ${\eta }_P$ 与等价性

由场论全嵌入定理，存在局域编码 ${\iota }_P$ 与极限，使得 ${\mathcal{F}}_P({\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}})$ 与 $P$ 在实验预测上等价；定义 ${\eta }_P$ 为该等价类的代表，便得到定理 6.4。

由此，在精确定义下，“所有物理都是宇宙 QCA 的影像“这一命题得以严格化。