EBOC–GLS 等价定理（观察范畴版）

Version: 1.9

摘要

在四条可检条件——全局幺正/可逆化、有限记忆/可马尔可夫化、带限与 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）有限阶闭合、时间账本对齐——之下,构造函子 $\mathfrak{F}:\mathbf{EBOC}\to \mathbf{GLS}$、$\mathfrak{G}:\mathbf{GLS}\to \mathbf{EBOC}$ 与自然变换 $\eta ,ϵ$,证明二者在观察范畴中互为等价。桥梁为母刻度同一式 $\boxed{{\phi }^{\prime }(E)/\pi =\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)}$、$\boxed{{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)={\xi }^{\prime }(E)=-\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)}$，故 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi =-{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$（$\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S$）与窗化迹恒等式；NPE 纪律给出离散化与端点—尾项的非渐近闭合而不引入新奇性。由此,EBOC 的“静态块—因子译码—复杂度/熵账本“与 GLS 的“幺正散射—群延迟—窗化测度“逐窗一致。(ChaosBook)

0. 记号、对象与公理

0.1 EBOC 对象与观察读数

EBOC 对象写作 $$\mathcal{U}=(X_f,G,\rho ,\Sigma ,f,\pi ,\mu ,\nu ).$$ 其中 $X_f\subset {\Sigma }^{{\mathbb{Z}}^{d+1}}$ 为由有限邻域规则 $f$ 定义的 SFT；时间子作用为 ${\sigma }_{\mathrm{time}}$；$\pi$ 为有限厚度的逐叶因子译码；$\mu$ 为 ${\sigma }_{\mathrm{time}}$-不变遍历测度；$\nu$ 为通用半测度。采用四条可检公理：A0（静态块与可扩张）、A1（因果局域；有限传播半径）、A2（观察=因子译码）、A3（信息不增；因子熵单调）。SMB 与 Brudno 等式给出时间片族 $W$ 上以 $L(W)=T$ 归一化的复杂度/熵密度对齐：几乎处处 $$\underset{|W|\to \infty }{\lim }\frac{1}{L(W)}K(\pi (x)\mid W)=h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})\le h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}}).$$ 这在 ${\mathbb{Z}}^d$ 子移位情形可推广。(Project Euclid)

0.2 GLS 对象、母刻度与窗化读数

GLS 对象写作 $$\mathfrak{U}=(\mathcal{H},S(E),\mathcal{W}),$$ 其中 $S(E)\in \mathsf{U}(N)$ 幺正且可微,$\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E)$ 为 Wigner–Smith 群延迟矩阵,总群延迟 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$；密度—延迟—相位满足 $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)},\boxed{{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)={\xi }^{\prime }(E)=-\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)},\text{因而}\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }=-{\rho }_{\mathrm{rel}}(E).$$ 并与谱位移函数 $\xi$ 由 Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 联络,故 ${\xi }^{\prime }(E)=-\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。(ChaosBook) 给定窗—核对 $(w_R,h)\in \mathcal{W}$,定义窗化读数 $$\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E)dE,$$ 其中 $\star$ 表示相关运算：$(h\star \rho )(E):=(\check{h}\ast \rho )(E)={\int }_{\mathbb{R}}h(t-E)\rho (t)dt$，$\check{h}(E)=h(-E)$。 设 $P_{\gamma }$ 为通道 $\gamma$ 的正交投影，定义通道群延迟矩阵 $${\mathsf{Q}}_{\gamma }(E):=P_{\gamma }\mathsf{Q}(E)P_{\gamma },\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\gamma }(E)=\mathrm{Tr}(P_{\gamma }\mathsf{Q}(E)).$$ 由此，沿通道 $\gamma$ 的窗化群延迟 $$T_{\gamma }[w_R,h]={\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\gamma }(E)dE.$$

0.3 NPE 有限阶误差学与采样闭合

若 ${\hat{w}}_R,\hat{h}$ 带限,取 Nyquist 步长 $\Delta$ 使别名归零,则对 $f(E)=w_R(E)(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E)$ 有严格采样 $${\int }_{\mathbb{R}}f(E)dE=\Delta \sum _{n\in \mathbb{Z}}f(E_0+n\Delta ).$$ 近带限时,别名项由 Poisson 求和控制,端点与尾项由有限阶 Euler–Maclaurin（EM）闭合,余项具显式 Bernoulli–$\zeta$ 上界。(webusers.imj-prg.fr)

1. 观察范畴与主命题

1.1 观察范畴

记 $\mathbf{Obs}$ 之对象为“系统 $+$ 读数字典“；态射为保持读数的因子/共轭（EBOC 侧为因子映射；GLS 侧为幺正共轭）。定义 $${\mathsf{Obs}}_{\mathrm{E}}(\mathcal{U}):=\{{\mathcal{O}}_{\pi ,\varsigma },\text{及其极限统计/熵率}\},{\mathsf{Obs}}_{\mathrm{G}}(\mathfrak{U}):=\{\mathrm{Obs}(w_R,h),T_{\gamma }[w_R,h]\}.$$

1.2 主定理（观察范畴版等价）

在 A0–A3 与“四条件“下,存在函子 $\mathfrak{F}:\mathbf{EBOC}\to \mathbf{GLS}$、$\mathfrak{G}:\mathbf{GLS}\to \mathbf{EBOC}$ 及自然变换 $\eta ,ϵ$,使 $${\mathsf{Obs}}_{\mathrm{G}}(\mathfrak{F}(\mathcal{U}))\cong {\mathsf{Obs}}_{\mathrm{E}}(\mathcal{U}),{\mathsf{Obs}}_{\mathrm{E}}(\mathfrak{G}(\mathfrak{U}))\cong {\mathsf{Obs}}_{\mathrm{G}}(\mathfrak{U}),$$ 从而 $\mathfrak{F},\mathfrak{G}$ 在 $\mathbf{Obs}$ 中互为等价。

2. 技术引理与证明

引理 2.1（母刻度统一式）

若 $S(E)$ 幺正可微,定义 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$。则几乎处处 $${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)={\xi }^{\prime }(E)=-\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }=-{\rho }_{\mathrm{rel}}(E),\det S=e^{2i\phi }.$$ 证明 由 Birman–Kreĭn $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与 ${\partial }_E\log \det S(E)=\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })$,得 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$。令 ${\rho }_{\mathrm{rel}}={\xi }^{\prime }$ 得首式；设 $\phi =\frac{1}{2}\arg \det S$ 则 ${\phi }^{\prime }=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-\pi {\xi }^{\prime }$，故 ${\phi }^{\prime }/\pi =-{\xi }^{\prime }=-{\rho }_{\mathrm{rel}}$ 得次式。(arXiv)

引理 2.2（窗化读数 = 压缩迹恒等式）

设 $(A,B)$ 为自伴算子且 $A-B\in {\mathcal{S}}_1$。令 $f:=-(w_R\ast \check{h})$，并假设 $f\in OL(\mathbb{R})$，并且 $$(w_R\ast \check{h})\in W^{1,1}(\mathbb{R}),(w_R\ast \check{h})(E)\xi (E)\underset{E\to \pm \infty }{\to }0.$$ （例如：$w_R\in L^1\cap W^{1,1}$ 且具紧支撑或快速衰减、$h\in L^1$，则 $(w_R\ast \check{h})\in W^{1,1}$；典型散射情形下 $\xi$ 具有界变差并趋于常数。）定义 $$K_{w,h}:=f(A)-f(B)(\text{其迹与由 }(w_R,h)\text{ 定义的 Toeplitz/Berezin 窗化压缩同值}).$$ 在此条件下分部积分无边界项，故 $$\mathrm{Tr}{K}_{w,h}={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E)dE.$$ 证明 由 Lifshits–Kreĭn 迹公式（$A-B\in {\mathcal{S}}_1,f\in OL$）， $$\mathrm{Tr}(f(A)-f(B))={\int }_{\mathbb{R}}{f}^{\prime }(E)\xi (E)dE.$$ 按 §0.2 定义 $(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})=\check{h}\ast {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}={\xi }^{\prime }$，分部积分给出 $${\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E)dE={\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E){\xi }^{\prime }(E)dE=-{\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h}{)}^{\prime }(E)\xi (E)dE={\int }_{\mathbb{R}}{f}^{\prime }(E)\xi (E)dE,$$ 因而结论成立。幺正规型可由 Aleksandrov–Peller 的单位圆版本处理。(arXiv)

引理 2.3（Poisson–Nyquist 与 EM 闭合）

若 $\hat{f}$ 支持于 $(-\Omega ,\Omega )$ 且 $\Delta \le \pi /\Omega$,则 $$\int f=\Delta \sum _{n\in \mathbb{Z}}f(E_0+n\Delta ).$$ 近带限时,加入 Poisson 别名上界与 EM 有界余项,得非渐近误差预算。(webusers.imj-prg.fr)

引理 2.4（SMB/Brudno 与因子熵单调）

对遍历 $(X_f,\mu )$ 与因子 $\pi$ 几乎处处 $$\underset{|W|\to \infty }{\lim }\frac{1}{L(W)}K(\pi (x)\mid W)=h_{{\pi }_{\ast }\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}})\le h_{\mu }({\sigma }_{\mathrm{time}}).$$ 证明 SMB 与其多维推广给出熵率；Brudno 等式识别复杂度密度；因子熵单调来自滑块码理论（Lind–Marcus）。(Project Euclid)

引理 2.5（可马尔可夫化与 SFT 覆盖）

有限记忆（或经高阶块化后有限记忆）的观测序列形成 sofic 子移位；任一 sofic 移位均是某 SFT 的因子,因此存在 SFT 覆盖以局域约束实现该观测。(Cambridge University Press & Assessment)

引理 2.6（可逆化与 QCA 结构定理）

任意可逆经典 CA（或经 Bennett 寄存器扩张后的可逆化系统）可量子化为具有严格有限传播速度的 QCA 幺正 $U$,并可作广义 Margolus 分块；其逆仍为邻近耦合的 QCA。故存在 Floquet 单位步与散射表述。(mathweb.ucsd.edu)

3. 函子 $\mathfrak{F}:\mathbf{EBOC}\to \mathbf{GLS}$ 的构造与证明

3.1 可逆化与散射化

对 $\mathcal{U}$ 施 Bennett 式“历史寄存器“扩张得可逆 CA；按 Schumacher–Werner 量子化为有限传播的 QCA 幺正 $U$。在适当的定域—外域分解下构造散射矩阵族 $S(E)$ 与 Wigner–Smith 矩阵 $\mathsf{Q}(E)$。由 QCA 的结构定理,$U$ 可写成两步分块幺正,保证有限传播与结构可逆。(arXiv)

3.2 逐叶译码—窗核对齐

选取叶族 $\varsigma$ 与有限厚度译码 $\pi$,以核厚度匹配叶步长,建立字典 $$(\pi ,\varsigma )⟷(w_R,h).$$ 由引理 2.1–2.2,逐窗读数满足 $${\mathcal{O}}_{\pi ,\varsigma }=\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E)dE,$$ 且所有读数以母刻度 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi =-({\rho }_{\mathrm{rel}}(E))=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 统一。(arXiv)

3.3 NPE 闭合与“无新奇性“

若 ${\hat{w}}_R,\hat{h}$ 带限且 Nyquist 采样,Poisson 混叠为零；近带限时以有限阶 EM 关闭端点与尾项。引理 2.3 确保余项具显式上界,函数类的解析/整性不劣化,满足“奇性不增“。(Massachusetts Institute of Technology)

3.4 时间账本与无信号

有限传播 $+$ 幺正性给出无超锥传播（无信号）；窗化时间 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 仅为刻度读数,因果偏序由前沿时间决定。由 SMB/Brudno 与因子熵单调,EBOC 时间片账本与 GLS 密度—延迟账本对齐。(ChaosBook)

定义 $\mathfrak{F}(\mathcal{U}):=(\mathcal{H},S(E),\mathcal{W})$ 并约定 ${\mathsf{Obs}}_{\mathrm{G}}(\mathfrak{F}(\mathcal{U}))={\mathsf{Obs}}_{\mathrm{E}}(\mathcal{U})$。

4. 函子 $\mathfrak{G}:\mathbf{GLS}\to \mathbf{EBOC}$ 的构造与证明

4.1 带限离散化与压缩迹

设 $f(E)=w_R(E)(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E)$。带限+Nyquist 时 $$\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )=\int f(E)dE=\Delta \sum _{n\in \mathbb{Z}}f(E_0+n\Delta ).$$ 近带限时加上有限阶 EM 余项闭合。算子层面,窗化压缩 $K_{w,h}$ 满足 $\mathrm{Tr}{K}_{w,h}=\int f$（引理 2.2）。(webusers.imj-prg.fr)

4.2 SFT 化与有限记忆译码

将采样值 $f(E_0+n\Delta )$ 量化为有限字母,辅以长度 $M$ 的线性一致性约束（卷积/预测残差）得到 sofic 子移位；取其 SFT 覆盖并获得有限厚度译码 $\pi$。由 SMB/Brudno 与因子熵单调,时间片极限统计与 $\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )$ 对齐。(Cambridge University Press & Assessment)

4.3 因果与无信号的离散实现

带宽 $\Rightarrow$ 有限相关长度 $\Rightarrow$ 有限传播半径,可在 SFT 规则中以局域排他性与邻域约束实现因果偏序与无信号。 定义 $\mathfrak{G}(\mathfrak{U}):=(X_f,G,\rho ,\Sigma ,f,\pi ,\mu ,\nu )$ 且 ${\mathsf{Obs}}_{\mathrm{E}}(\mathfrak{G}(\mathfrak{U}))={\mathsf{Obs}}_{\mathrm{G}}(\mathfrak{U})$。

5. 自然变换与范畴等价

自然变换 $\eta :{\mathrm{Id}}_{\mathbf{EBOC}}\Rightarrow \mathfrak{G}\circ \mathfrak{F}$ 对每个 $\mathcal{U}$,令 ${\eta }_{\mathcal{U}}$ 使对任意对齐字典 $(\pi ,\varsigma )\leftrightarrow (w_R,h)$ 有 $${\mathcal{O}}_{\pi ,\varsigma }=\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho ).$$ 该同一在 NPE 预算内逐窗成立,并对因子态射交换。

自然变换 $ϵ:\mathfrak{F}\circ \mathfrak{G}\Rightarrow {\mathrm{Id}}_{\mathbf{GLS}}$ 对每个 $\mathfrak{U}$,取去规范相位后的群延迟密度同一： $$\boxed{-\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\mathfrak{F}(\mathfrak{G}(\mathfrak{U}))}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)},$$ 故一切 $\mathrm{Obs}(w_R,h)$、$T_{\gamma }[w_R,h]$ 值保持。

等价性 由引理 2.1–2.3 的不变性与引理 2.4–2.6 的存在性,$\eta ,ϵ$ 为自然同构,故 $\mathfrak{F},\mathfrak{G}$ 在 $\mathbf{Obs}$ 上互为等价。(arXiv)

6. 关键步骤的详细证明

6.1 EBOC $\to$ GLS：核算一致性的全细节

取任意带限 $(w_R,h)$。由引理 2.1,母刻度同一式给出 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=-\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 且 $\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }=-{\rho }_{\mathrm{rel}}$。 由引理 2.2, $$\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )=\mathrm{Tr}{K}_{w,h}.$$ EBOC 侧，$\pi$ 为有限厚度译码，$\mu$ 遍历且 $L(W)=T$ 为时间长度。由 Birkhoff/SMB 与 Brudno，$\mu$-几乎处处有（假设 ${\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)dE\ne 0$） $$\underset{|W|\to \infty }{\lim }\frac{1}{L(W)}\sum _{t\in W}{\mathcal{O}}_{\pi ,\varsigma }\left({\sigma }_{\mathrm{time}}^{t}x\right)=\frac{1}{{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)dE}\mathrm{Tr}{K}_{w,h}=\frac{1}{{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)dE}{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E)dE.$$ 于是 ${\mathsf{Obs}}_{\mathrm{G}}(\mathfrak{F}(\mathcal{U}))\cong {\mathsf{Obs}}_{\mathrm{E}}(\mathcal{U})$ 在时间密度刻度上逐窗一致。 (arXiv)

6.2 GLS $\to$ EBOC：SFT 化的构造细节

令 $f(E)=w_R(E)(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E)$。带限+Nyquist： $$\int f=\Delta \sum _{n\in \mathbb{Z}}f(E_0+n\Delta ).$$ 近带限时，有 $${\int }_{\mathbb{R}}f(E)dE=\Delta \sum _{|n|\le N}f(E_0+n\Delta )-2\pi \sum _{k\ne 0}\hat{f}\left(\frac{2\pi k}{\Delta }\right)e^{i2\pi k{E}_0/\Delta }+R_{\mathrm{EM}}^{(m)},$$ 其中 $R_{\mathrm{EM}}^{(m)}$ 为用 Euler–Maclaurin 将 $\Delta {\sum }_{n\in \mathbb{Z}}f(E_0+n\Delta )$ 关闭到 $|n|\le N$ 的端点与尾项余量；若 $\hat{f}$ 支持于 $(-\pi /\Delta ,\pi /\Delta )$，则别名项为 $0$，退化为严格采样恒等式。将有限精度的采样值 $f(E_0+n\Delta )$ 量化为字母,在线性滤波一致性（长度 $M$）下定义 sofic 子移位；取 SFT 覆盖得 $X_f$ 与有限厚度译码 $\pi$。由引理 2.2, $$\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )=\mathrm{Tr}{K}_{w,h}=\underset{k\to \infty }{\lim }{\mathcal{O}}_{\pi ,\varsigma }\left(x{\mid }_{W_k}\right),$$ 遂得 ${\mathsf{Obs}}_{\mathrm{E}}(\mathfrak{G}(\mathfrak{U}))\cong {\mathsf{Obs}}_{\mathrm{G}}(\mathfrak{U})$。(webusers.imj-prg.fr)

6.3 时间账本与无信号的保持

QCA 之有限传播与幺正性确保无超锥传播；窗化顺序仅影响刻度,不改变母刻度密度。EBOC$\leftrightarrow$GLS 往返中,因果前沿与偏序保持,而 $T_{\gamma }$ 仅作操作化刻度。(arXiv)

7. 必要—充分性论证

充分性 (a) 可逆化与量子化生成 $S(E)$、$\mathsf{Q}(E)$（引理 2.6）； (b) 窗—核读数与译码读数在母刻度上线性一致（引理 2.1–2.2）； (c) Poisson+EM 的 NPE 闭合给出非渐近误差预算且不引入新奇性（引理 2.3）； (d) SMB/Brudno 与因子熵单调使复杂度/熵账本与密度—延迟账本对齐（引理 2.4）。

必要性 若无全局幺正/可逆化,则 $S(E),\mathsf{Q}(E)$ 不可良好定义；若无有限记忆/可马尔可夫化,则无法以有限厚度译码对齐窗—核字典；若失带限或违 Nyquist,Poisson 混叠破坏逐窗一致；若不进行 $L(W)=T$ 的账本对齐,SMB/Brudno 不能与窗化迹匹配。

8. 误差预算（NPE Discipline）

对任意 $(w_R,h)$ 与近带限 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$,令 $f=w_R\cdot (h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})$，取采样步长 $\Delta$、截断 $N$、EM 阶数 $m$，并设 $$[a,b]=[E_0-(N+\frac{1}{2})\Delta ,E_0+(N+\frac{1}{2}\left)\Delta \right],f\in C^{2m}([a,b]),\hat{f}\in L^1(\mathbb{R}).$$ 则有下述别名+EM 上界： $$|\int f-\Delta \sum _{|n|\le N}f(E_0+n\Delta )|\le 2\pi \sum _{k\ne 0}\left|\hat{f}\right(\frac{2\pi k}{\Delta }\left)\right|+\frac{|B_{2m}|}{(2m)!}|f^{(2m-1)}(b)-f^{(2m-1)}(a)|+\frac{2\zeta (2m)}{(2\pi {)}^{2m}}{\int }_a^b|f^{(2m)}(E)|dE.$$ 选择 $\Delta ,N,m$ 以达目标精度阈值。(Massachusetts Institute of Technology)

9. 结论性定理（形式陈述）

定理 在 A0–A3 与“四条件“之下,$\mathfrak{F},\mathfrak{G}$ 与自然变换 $\eta ,ϵ$ 使 $$\boxed{\mathfrak{F}:\mathbf{EBOC}\rightleftarrows \mathbf{GLS}:\mathfrak{G}\text{在}\mathbf{Obs}\text{中互为范畴等价}}.$$ 其核心恒等为 $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}},\boxed{{\rho }_{\mathrm{rel}}={\xi }^{\prime }=-\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}}，并由此\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }=-{\rho }_{\mathrm{rel}};\boxed{\mathrm{Tr}{K}_{w,h}=\int w_R(E)(h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})(E)dE}.$$ 第一式由 Birman–Kreĭn 与 Wigner–Smith 结构推出,第二式由 Lifshits–Kreĭn 迹公式与窗化压缩导出；NPE 纪律提供非渐近闭合并避免新奇性。(arXiv)

参考锚点（可核查）

• Wigner–Smith 群延迟矩阵、总延迟与态密度的联系；教材/综述亦述及 ${\tau }_W=\mathrm{tr}\mathsf{Q}/N$ 的统计性质。(ChaosBook)
• Birman–Kreĭn 公式 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$ 与 ${\xi }^{\prime }=-(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 的一般性。(arXiv)
• Lifshits–Kreĭn 迹公式与单位圆情形的 Kreĭn–Peller 扩展（算子 Lipschitz 类）。(arXiv)
• Poisson 求和与 EM 余项的显式上界及教材化推导。(webusers.imj-prg.fr)
• SMB 与 Brudno 等式的多维推广；因子熵单调与 sofic/SFT 覆盖。(Project Euclid)
• 可逆计算与 QCA 结构定理（广义 Margolus 分块、有限传播）。(mathweb.ucsd.edu)