时间箭头与热力学涌现：SBU 叠加的量子混沌、$\pi$-语义塌缩的熵产生与 Belavkin 过滤下的量子涨落定理

Version: 1.9

摘要

以静态块世界的 SBU（Static Block Units）叠加为微观描述、以因果流形为宏观载体，建立时间箭头与热力学涌现的统一理论。其一，在 SBU 叠加上以 OTOC 与回声度量刻画早期指数增长并定义 Lyapunov 指数 ${\lambda }_{\mathrm{L}}$，证明在 KMS 热态下满足 ${\lambda }_{\mathrm{L}}\le 2\pi T$ 的混沌上界且与可观测窗—核读数一致。其二，将测量刻画为观察者“锚定切换“的 $\pi$-语义塌缩，使用 Umegaki 相对熵与 Petz 可恢复性给出退相干导致的不可逆熵产生分解与路径级涨落关系。其三，在 Hudson–Parthasarathy 量子随机微分与 Belavkin 过滤框架中，借助量子 Feynman–Kac 与测度变换构造鞅，推导带信息修正的量子 Jarzynski 等式，并在连续监测与反馈控制下保持积分涨落定律的闭合性。上述三部分分别与混沌上界、量子非平衡涨落与连续监测—控制之代表性结果一致并形成可检读数。(施普林格链接)

Notation & Conventions

取 $\hslash =c=k_{\mathrm{B}}=1$。希尔伯特空间 $\mathcal{H}$，可观测代数 $\mathcal{A}\subset \mathcal{B}(\mathcal{H})$，经典记录代数 $\mathcal{O}\simeq L^{\infty }(\mathcal{X})$。测量以量子仪器 $\{{\mathcal{I}}_x{\}}_x$ 与 POVM $\{E_x{\}}_x$ 表示，存在 Stinespring/Naimark/Kraus 表示。连续监测采用 Hudson–Parthasarathy 量子随机微分（QSDE）与 Belavkin 过滤表述。SBU 指因果网中相容记录的局域片，波函数为 SBU 集上的复幅赋值。锚定切换记为经典化通道 $\pi :\mathcal{A}\to \mathcal{O}$（海森堡像），测量更新为 $\rho \mapsto {\rho }_x={\mathcal{I}}_x(\rho )/\mathrm{tr}{\mathcal{I}}_x(\rho )$。连续监测的后验态 ${\rho }_t$ 满足扩散型或计数型 QSDE。(Project Euclid)

（满秩与支撑约定） 默认参照态 ${\rho }^{\mathrm{ss}}$ 与热态 ${\rho }_{\beta }$ 忠实（满秩），从而 ${\rho }^{\mathrm{ss},-1/2}$ 与 $y:={\rho }_{\beta }^{1/4}$ 等运算在 $\mathcal{H}$ 上良定义；若任一态非满秩，则所有逆与分数幂均在其支撑上理解，并以相应支撑投影作限制。同时假设初态 $\rho$ 的支撑包含于 $\mathrm{supp}({\rho }^{\mathrm{ss}})$，以保证由 Petz 对偶构造得到的对偶路径测度与前向路径测度彼此绝对连续，从而 ${\Sigma }_{0:t}=\ln \frac{\mathrm{d}\mathbb{P}}{\mathrm{d}{\mathbb{P}}^{†}}$ 与 $⟨e^{-{\Sigma }_{0:t}}⟩=1$ 等关系严格成立。

1. 时间箭头的涌现：$\pi$-语义塌缩与相对熵单调

定义 1（路径熵产生—前后向比值）

在由仪器序列 $\{{\mathcal{I}}_{x_k}\}$ 生成的记录 ${\underline{x}}_{0:t}$ 上，引入前向路径测度 $\mathbb{P}$ 与其时间反演配对的对偶路径测度 ${\mathbb{P}}^{†}$。定义单步与总熵产生为 $${\Sigma }_k:=\ln \frac{\mathbb{P}(x_k|{\rho }_{k-1})}{{\mathbb{P}}^{†}(x_k|{\rho }_{k-1})},{\Sigma }_{0:t}:=\sum _k{\Sigma }_k=\ln \frac{\mathrm{d}\mathbb{P}}{\mathrm{d}{\mathbb{P}}^{†}}.$$ Project Euclid

补充（对偶路径测度的构造与绝对连续性） 设前向量子仪器 $\{{\mathcal{I}}_x\}$ 与参照态 ${\rho }^{\mathrm{ss}}$。对每个分支定义像态 ${\rho }_x^{\mathrm{ss}}:={\mathcal{I}}_x({\rho }^{\mathrm{ss}})$（在其支撑上正定），并引入以 ${\rho }^{\mathrm{ss}}$ 为基准的 Schrödinger 像 Petz 对偶 $${\mathcal{I}}_x^{♯}(\sigma ):={\rho }^{\mathrm{ss}1/2}{\mathcal{I}}_x^{†}\left({\rho }_x^{\mathrm{ss}}{}^{-1/2}\sigma {\rho }_x^{\mathrm{ss}}{}^{-1/2}\right){\rho }^{\mathrm{ss}1/2},$$ 其中 ${\mathcal{I}}_x^{†}$ 是 Heisenberg 伴随，输入 $\sigma$ 为态算子，${\rho }_x^{\mathrm{ss}}{}^{-1/2}$ 在 $\mathrm{supp}{\rho }_x^{\mathrm{ss}}$ 上取逆。 令前向路径概率 $$\mathbb{P}({\underline{x}}_{0:t})=\mathrm{tr}({\mathcal{I}}_{x_t}\circ \cdots \circ {\mathcal{I}}_{x_0}(\rho )),$$ 对偶（时间反演配对）路径概率 $${\mathbb{P}}^{†}({\underline{x}}_{0:t})=\mathrm{tr}({\mathcal{I}}_{x_0}^{♯}\circ \cdots \circ {\mathcal{I}}_{{\tilde{x}}_t}^{♯}({\rho }^{\mathrm{ss}})).$$ 若对任意 $x$ 满足 $\mathrm{supp}{\mathcal{I}}_x(\rho )\subseteq \mathrm{supp}{\rho }_x^{\mathrm{ss}}$（等价地 $\mathrm{tr}{\mathcal{I}}_x(\rho )>0\Rightarrow \mathrm{tr}{\rho }_x^{\mathrm{ss}}>0$），则有 $\mathbb{P}\ll {\mathbb{P}}^{†}$，因而 Radon–Nikodym 导数存在，并满足 $${\Sigma }_{0:t}=\ln \frac{\mathrm{d}\mathbb{P}}{\mathrm{d}{\mathbb{P}}^{†}},⟨e^{-{\Sigma }_{0:t}}⟩=1,⟨{\Sigma }_{0:t}⟩=D(\mathbb{P}\Vert {\mathbb{P}}^{†})\ge 0.$$

定理 1（平均不可逆性与 Spohn 单调）

(i) $⟨e^{-{\Sigma }_{0:t}}⟩=1$ 且 $⟨{\Sigma }_{0:t}⟩=D(\mathbb{P}\Vert {\mathbb{P}}^{†})\ge 0$。

(ii) 当连续极限为 Lindblad 半群且存在定态 ${\rho }^{\mathrm{ss}}$ 时，满足 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}D({\rho }_t\Vert {\rho }^{\mathrm{ss}})\le 0$。

证明：(i) 由 ${\Sigma }_{0:t}=\ln \frac{\mathrm{d}\mathbb{P}}{\mathrm{d}{\mathbb{P}}^{†}}$ 与 Radon–Nikodym 导数直接得 $⟨e^{-{\Sigma }_{0:t}}⟩=1$，并识别 $⟨{\Sigma }_{0:t}⟩=D(\mathbb{P}\Vert {\mathbb{P}}^{†})\ge 0$。 (ii) 若 ${\dot{\rho }}_t=\mathcal{L}({\rho }_t)$ 且 ${\mathcal{L}}^{†}({\rho }^{\mathrm{ss}})=0$，则由 Spohn 对 GKLS 生成元的引理得 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}D({\rho }_t\Vert {\rho }^{\mathrm{ss}})\le 0$。(物理评论链接管理器)

推论 1（时间箭头）

当观测层通过 $\pi$-语义塌缩将量子不确定性转为经典记录时，${\Sigma }_{0:t}$ 的正值方向定义宏观时间箭头；无观测或可逆演化使 ${\Sigma }_{0:t}=0$。该方向性与量子非平衡涨落综述中的路径层与二点测量架构保持一致。(物理评论链接管理器)

2. 量子混沌：SBU—OTOC 与回声的热上界

定义 2（正则化 OTOC、回声与 Lyapunov 指数）

设 $y:={\rho }_{\beta }^{1/4}$，定义正则化 OTOC $$F_{\beta }(t):=\mathrm{tr}(y{V}^{†}y{W}^{†}(t)yVyW(t)),$$ 其中 $W(t):=e^{iHt}W{e}^{-iHt}$ 为海森堡像。 并定义 Loschmidt 回声 ${\mathcal{L}}_{\delta }(t):=|⟨\psi |e^{iHt}{e}^{-i(H+\delta V)t}|\psi ⟩{|}^2$。其中 $\mathcal{E}\subset \mathcal{A}$ 表示算子范数有界的可观测集合，使得对任意 $A\in \mathcal{E}$ 有 $\Vert A\Vert \le 1$（可取局域于同一可观测窗的算子族）。在早期增长窗口 $I_{\mathrm{L}}=(t_{\mathrm{d}},t_{\ast })$（满足 $t_{\mathrm{d}}\ll t_{\ast }$）内，取参照时刻 $t_0\in I_{\mathrm{L}}$，设 $${\lambda }_{\mathrm{L}}:=\underset{\begin{array}{c}V,W\in \mathcal{E}\\ \Vert V\Vert ,\Vert W\Vert \le 1\end{array}}{\sup }\underset{\begin{array}{c}t\downarrow t_0\\ t\in I_{\mathrm{L}}\end{array}}{\mathrm{limsup}}\frac{1}{t-t_0}\ln \frac{1-\Re F_{\beta }(t)}{1-\Re F_{\beta }(t_0)}。$$ 选择满足 $1-\Re F_{\beta }(t_0)>0$ 的 $t_0$ 以确保对数定义良好。 (物理评论链接管理器)

定理 2（MSS 上界的 SBU 适用性）

若 $F_{\beta }(t)$ 在 $0<\Im t<\beta /2$ 条带解析并满足边界最大模估计，则在 KMS 热态下有 ${\lambda }_{\mathrm{L}}\le 2\pi T$。

证明：MSS 框架依赖正则化 OTOC 的解析延拓与最大模原理，从而约束早期指数增长速率不超过 $2\pi T$。SBU 仅限制算子族 $\mathcal{E}$，不改变热态的解析域，因此上界保持成立。(施普林格链接)

注：在弱扰动 $\delta \to 0$ 且半经典极限下，$1-{\mathcal{L}}_{\delta }(t)\sim {\delta }^2{e}^{2{\lambda }_{\mathrm{L}}t}$，可将回声衰减率作为 ${\lambda }_{\mathrm{L}}$ 的实验读数；超出该条件时需以正则化 OTOC 为准。(科学直通车)

3. 退相干与测量的熵—信息账本

模型

一次测量由仪器 $\{{\mathcal{I}}_x\}$ 与结果分布 $p_x=\mathrm{tr}{\mathcal{I}}_x(\rho )$ 给出，塌缩后态 ${\rho }_x={\mathcal{I}}_x(\rho )/p_x$。

定理 3（一步熵产生分解）

定义总通道 $\Phi ={\sum }_x{\mathcal{I}}_x$、信息增益 $I_{\mathrm{meas}}:=I(X:\mathrm{系统})$，存在可恢复项 $\mathcal{R}\ge 0$ 使 $$⟨\Sigma ⟩\ge D(\rho \Vert {\rho }^{\mathrm{ss}})-D(\Phi (\rho )\Vert \Phi ({\rho }^{\mathrm{ss}}))-I_{\mathrm{meas}}-\mathcal{R}.$$ 由此得 $⟨\Sigma ⟩+I_{\mathrm{meas}}\ge D(\rho \Vert {\rho }^{\mathrm{ss}})-D(\Phi (\rho )\Vert \Phi ({\rho }^{\mathrm{ss}}))-\mathcal{R}\ge 0$。仅当 $\Phi$ 对 $\{\rho ,{\rho }^{\mathrm{ss}}\}$ 充分（存在使 $\Phi$ 在该对态上可逆的（旋转）Petz 恢复映射，因而 $D(\rho \Vert {\rho }^{\mathrm{ss}})-D(\Phi (\rho )\Vert \Phi ({\rho }^{\mathrm{ss}}))=0$）且链式分解中的各步不等式（含信息项、可恢复项）同时取等时，方可达到该下界；单独满足 $\mathcal{R}=0$ 或 $I_{\mathrm{meas}}=0$ 均不足以保证等号，与第 4 节的 Belavkin–Jarzynski 条件保持一致。(arXiv) 证明：将测量视作量子—经典通道并使用相对熵的链式法则分离出 $I_{\mathrm{meas}}$；对 $\Phi$ 应用数据处理不等式得 $D(\rho \Vert {\rho }^{\mathrm{ss}})-D(\Phi (\rho )\Vert \Phi ({\rho }^{\mathrm{ss}}))\ge 0$。取（旋转）Petz 恢复映射 ${\mathcal{R}}_{{\rho }^{\mathrm{ss}}}$，并定义 $$\mathcal{R}:=-\ln F(\rho ,{\mathcal{R}}_{{\rho }^{\mathrm{ss}}}\circ \Phi (\rho ){)}^2\ge 0,$$ 则由可恢复性不等式得 $D(\rho \Vert {\rho }^{\mathrm{ss}})-D(\Phi (\rho )\Vert \Phi ({\rho }^{\mathrm{ss}}))\ge \mathcal{R}$，从而 $D(\rho \Vert {\rho }^{\mathrm{ss}})-D(\Phi (\rho )\Vert \Phi ({\rho }^{\mathrm{ss}}))-\mathcal{R}\ge 0$。若 $\Phi$ 对 $\{\rho ,{\rho }^{\mathrm{ss}}\}$ 充分并由相应（旋转）Petz 恢复映射实现数据处理等号，且链式分解中与测量互信息、可恢复项相关的界同时饱和，则该下界取等；否则（包括仅有 $\mathcal{R}=0$ 或仅有 $I_{\mathrm{meas}}=0$ 的情形）通常仍为严格不等式。(arXiv)

命题 1（路径级涨落定理）

以前向与对偶路径测度配对，得 $⟨e^{-{\Sigma }_{0:t}}⟩=1$ 与 $⟨{\Sigma }_{0:t}⟩\ge 0$。该结果在量子二点测量与量子通道框架的综述中给出统一推导。(物理评论链接管理器)

4. Belavkin 过滤与量子 Jarzynski 等式（含信息修正）

设置与记号

系统—热浴初态 ${\rho }_{\beta }\otimes {\tau }_{\beta }$，外参 ${\lambda }_t$ 驱动并进行连续弱测量（同相、外差或计数），后验态 ${\rho }_t$ 满足 QSDE 与 Belavkin 过滤方程。(Project Euclid)

定义 3（轨道功、自由能差与信息项）

在闭系统且能量投影读数（TPM）条件下，采用与 TPM 一致的“条件能谱读数”定义轨道功 $W_t$ 与 $\Delta F_t$；在开系统与连续监测情形，该读数作为保持 Jarzynski 结构的一致推广，而非普遍等价。引入“一时测量“的猜测功/热保持 Jarzynski 结构；连续监测引入信息项 $I_t$ 表示测量—反馈环的互信息流。(物理评论链接管理器)

引理 1（量子 Feynman–Kac 与测度变换—真鞅条件）

对伴随半群做指数歪斜，定义过程 ${\Gamma }_t:=\exp [-\beta W_t+\beta \Delta F_t-I_t]$。当噪声满足 Novikov/Kazamaki 型可积条件时，${\Gamma }_t$ 为物理测度下的真鞅，因而 $⟨{\Gamma }_t⟩=1$；若仅验证局部鞅，则仅能保证 $⟨{\Gamma }_t⟩\le 1$。(物理评论链接管理器)

定理 4（Belavkin–Jarzynski 等式与不等式）

若上述真鞅条件成立，则 $⟨\exp [-\beta W_t+\beta \Delta F_t-I_t]⟩=1$，从而 $⟨W_t⟩\ge \Delta F_t-T⟨I_t⟩$。若仅得局部鞅，则对应的积分涨落关系退化为 $⟨\exp [-\beta W_t+\beta \Delta F_t-I_t]⟩\le 1$ 与 $⟨W_t⟩\ge \Delta F_t-T⟨I_t⟩$ 的松弛版本。无反馈或无信息流极限 $I_t=0$ 时恢复标准量子 Jarzynski 等式；在一般开系下“一时测量“方案给出一致推广。(物理评论链接管理器)

5. 连续监测与控制的一致性

Belavkin 过滤与 Markovian 线性反馈的协同框架确保观测电流、后验态与控制律的统计闭合；相关教材与综述系统阐明扩散与计数两类后验方程、输入—输出与反馈主方程的等价关系。连续监测下区分功与热并保持第一与第二定律的形式，含反馈时以信息项修正。(Cambridge University Press & Assessment)

6. 可检后果与读数方案

一是混沌上界的可检性：以正则化 OTOC 的早期增长率估计 ${\lambda }_{\mathrm{L}}$，热平衡态满足 ${\lambda }_{\mathrm{L}}\le 2\pi T$；在弱扰动与半经典极限下，Loschmidt 回声的早期衰减率与 ${\lambda }_{\mathrm{L}}$ 对齐，可作为实验读数。二是退相干的熵—信息账本：通过 $⟨{\Sigma }_{0:t}⟩$ 的分解在实验上区分动力学单调、信息增益与可恢复项。三是带信息修正的积分涨落定理：连续监测与反馈下的 Belavkin–Jarzynski 等式（或其松弛版本）给出功—互信息的权衡边界。(施普林格链接)

7. 证明细节

7.1 定理 1 的严格化

由定义可得 ${\Sigma }_{0:t}=\ln \frac{\mathrm{d}\mathbb{P}}{\mathrm{d}{\mathbb{P}}^{†}}$，故 $⟨e^{-{\Sigma }_{0:t}}⟩=1$ 且 $⟨{\Sigma }_{0:t}⟩=D(\mathbb{P}\Vert {\mathbb{P}}^{†})\ge 0$。在连续极限下，若 ${\dot{\rho }}_t=\mathcal{L}({\rho }_t)$ 且 ${\mathcal{L}}^{†}({\rho }^{\mathrm{ss}})=0$，则 Spohn 引理给出 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}D({\rho }_t\Vert {\rho }^{\mathrm{ss}})=\mathrm{tr}(\mathcal{L}({\rho }_t)(\log {\rho }_t-\log {\rho }^{\mathrm{ss}}))\le 0$。(物理评论链接管理器)

7.2 定理 3 的可恢复项

设 $\Phi$ CPTP、${\mathcal{R}}_{\sigma }$ 为 Petz 恢复映射，则 $D(\rho \Vert \sigma )-D(\Phi (\rho )\Vert \Phi (\sigma ))\ge -\ln F(\rho ,{\mathcal{R}}_{\sigma }\circ \Phi (\rho ){)}^2$。取平均并识别测量互信息项得断言，其中 $\mathcal{R}$ 由恢复保真度下界控制且非负。(arXiv)

7.3 定理 2 与回声—OTOC 对齐

KMS 条件保证正则化 OTOC 在 $0<\Im t<\beta /2$ 条带内解析，结合最大模原理与 Schwarz 不等式即可得指数增长率不超过 $2\pi T$。SBU 所约束的算子族不改变上述解析区域，故混沌上界保持有效。在弱扰动与半经典极限下，${\mathcal{L}}_{\delta }(t)$ 的短时衰减常数与 ${\lambda }_{\mathrm{L}}$ 对齐，可用于实验读数；超出该极限需回到正则化 OTOC 分析。(施普林格链接)

7.4 定理 4 的鞅构造

在 QSDE 中对生成元作指数歪斜并应用量子版 Girsanov 变换，得到 Doléans–Dade 指数型过程 ${\Gamma }_t$。当 Novikov/Kazamaki 型条件确保其为真鞅时，$⟨{\Gamma }_t⟩=1$；若仅验证局部鞅，则 $⟨{\Gamma }_t⟩\le 1$。将指数权重拆分为功、自由能差与信息项即可对应定理 4。(物理评论链接管理器)

8. 典型算例：两能级体系的同相监测

哈密顿量 $H(t)=\frac{\Omega (t)}{2}{\sigma }_x+\frac{\Delta }{2}{\sigma }_z$，Lindblad 扰动 $L=\sqrt{\kappa }{\sigma }_z$。扩散型同相监测给出 Belavkin 过滤 $$\mathrm{d}{\rho }_t=\mathcal{L}({\rho }_t)\mathrm{d}t+\sqrt{\kappa }({\sigma }_z{\rho }_t+{\rho }_t{\sigma }_z-2\mathrm{tr}({\sigma }_z{\rho }_t){\rho }_t)\mathrm{d}{W}_t.$$ 用二点或“一时测量“定义 $W_t,\Delta F_t$，构造 ${\Gamma }_t=\exp [-\beta W_t+\beta \Delta F_t-I_t]$。在满足真鞅条件时有 $⟨e^{-\beta W_t+\beta \Delta F_t-I_t}⟩=1$；若条件仅保证局部鞅，则得到 $\le 1$ 的松弛形式。弱扰动并取半经典极限时，${\mathcal{L}}_{\delta }(t)$ 的短时衰减常数与 ${\lambda }_{\mathrm{L}}$ 对齐，可用于估计混沌指数。(Cambridge University Press & Assessment)

参考文献（选摘）

Maldacena, Shenker, Stanford, “A bound on chaos”, JHEP 08 (2016) 106。(施普林格链接) Esposito, Harbola, Mukamel, “Nonequilibrium fluctuations…”, Rev. Mod. Phys. 81 (2009) 1665；及 2014 勘误。(物理评论链接管理器) Hudson, Parthasarathy, “Quantum Itô’s formula and stochastic evolutions”, CMP 93 (1984) 301。(Project Euclid) Wiseman, Milburn, “Quantum Measurement and Control”, CUP (2010)。(Cambridge University Press & Assessment) Manzano, Fazio, Roldán, “Quantum Martingale Theory and Entropy Production”, PRL 122 (2019) 220602。(物理评论链接管理器) Sagawa, Ueda, “Generalized Jarzynski equality under feedback”, PRL 104 (2010) 090602。(物理评论链接管理器) Funo, Watanabe, Ueda, “Integral quantum fluctuation theorems under measurement and feedback”, PRE 88 (2013) 052121。(物理评论链接管理器) Sone, Liu, Cappellaro, “Quantum Jarzynski equality in open systems…”, PRL 125 (2020) 060602。(物理评论链接管理器) Albarelli, Genoni, “A pedagogical introduction to continuously monitored quantum systems…”, Phys. Lett. A 494 (2024) 129260。(科学直通车) Xu, Swingle, “Scrambling Dynamics and OTOCs”, PRX Quantum 5 (2024) 010201。(物理评论链接管理器) Petz 系列与可恢复性：Wilde, “Recoverability in quantum information theory” 与 Sutter–Fawzi–Renner 等。(arXiv) Loschmidt 回声综述：Gorin–Prosen–Seligman–Žnidarič，Phys. Rep. 435 (2006) 33–156。(科学直通车)