GLS—因果流形—EBOC—RCA—Hilbert—Zeckendorf 统一框架：三位一体母尺、窗化散射—信息几何变分、测量—熵产生、分形—递归—傅里叶—Mellin 融合与范畴严格化（含证明）

版本：v8.2 MSC：83C05；81U15；37B15；46E22；42A38；68Q80；94A17 关键词：GLS（广义光结构）；因果流形；EBOC（静态块）；RCA（可逆元胞自动机）；三位一体母尺；Toeplitz/Berezin 压缩；Hilbert 变换；Hardy/de Branges 空间；Poisson—Euler–Maclaurin（有限阶）；Mellin/小波框架；Zeckendorf/Fibonacci 编码；I-投影；Belavkin 过滤；量子 Jarzynski；分形标度；递归范畴

摘要

以窗化散射读数与因果偏序为共同语法，建立四类对象（窗化散射、因果流形、静态块、可逆元胞自动机）与一类可逆日志对象（Zeckendorf 范畴）的统一体制。刻度由三位一体母尺对齐，即设可微能量依赖散射矩阵满足 $\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E)$，则有统一尺度恒等式 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$；其中 $\phi (E)=\frac{1}{2}\arg \det S(E)$，而 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 为相对态密度，可由 Kreĭn 光谱位移与 Birman–Kreĭn 公式严格钩连（惯例号志对号位移函数存在符号约定差异，本文按上式取向） 。该恒等式与窗口 Toeplitz/Berezin 压缩构成“读数＝谱测度线性泛函“的操作化定义（详见 §1–§3；Birman–Kreĭn 与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 关系参见文献）。

在“前沿时间—群延迟“的双时间分离下，构造函子 $\mathfrak{F}:\mathbf{WScat}\to \mathbf{Cau}$、$\mathfrak{G}:\mathbf{Cau}\to \mathbf{WScat}$，并在规范等价类上给出自然等价，从而实现窗化散射范畴与因果流范畴的等价（§2）。该互构以 Hardy $H^2({\mathbb{C}}^{+})$ 的因果解析性、Kramers–Kronig 的 Hilbert 变换与 Titchmarsh 卷积支撑定理为技术支柱（§3，定理见附录 B），并以 Malament 与 Hawking–King–McCarthy 的因果决定性结果封口（附录 A）。(维基百科)

在信息几何变分原理下，于小球域的广义熵一阶极值导出爱因斯坦场方程，二阶变分给出量子 Null 能量条件（QNEC）及焦散不等式的族（§5；附录 F）。该链路以“真空纠缠平衡假设—模哈密顿量第一定律—几何面积变分“为主骨，使用当代 QNEC 证明作二阶稳定性支撑。(Physical Review)

量子测量统一由“仪器/POVM—Naimark—Stinespring—Lüders/I-投影—Belavkin 过滤—窗化 Birman–Kreĭn“的闭合链条实现（§6；附录 G），连续监测下的熵产生与反馈热力学以 Spohn 单调与量子 Jarzynski（含互信息修正）闭合（§7；附录 H）。(SpringerLink)

在分形—递归—傅里叶—Mellin 部分（§4），以对数尺度配准构造紧帧并讨论自相似谱的标度等变；RCA 的局域可逆更新在散射化后给出频域递归网。Hilbert/de Branges 空间提供“相位—密度—核对角“的函数论锚点（§3）。(math.purdue.edu)

提出 Zeckendorf 可逆日志范畴 $\mathbf{Zec}$：对象为滑窗的 Fibonacci 唯一分解码与其局部进借位增量，态射为可逆滑移更新；给出对称单幺半结构，并构造到 $\mathbf{WScat}$ 与 $\mathbf{RCA}$ 的函子桥接，证明其作为范畴的自洽独立性（§8；附录 D）。唯一分解性与线性时间规范算法支撑了该范畴的可实现性。(维基百科)

Poisson—有限阶 Euler–Maclaurin 的三分误差学作为统一的数值纪律（§9；附录 C），满足“奇性不增，极点＝主尺度“的局部化原则。(维基百科)

目录（Part I）

1. 记号、母尺与双时间
2. 范畴：$\mathbf{WScat},\mathbf{Cau},\mathbf{EBOC},\mathbf{RCA}$ 与互构定理
3. Hilbert：$H^2$／de Branges、Kramers–Kronig 与 Toeplitz/Berezin 压缩
4. 傅里叶—Mellin—分形与 RCA 的递归
5. 信息几何变分与爱因斯坦方程
6. 测量统一：I-投影、Belavkin 过滤与窗化 BK
7. 时间箭头、熵产生与量子涨落
8. Zeckendorf 可逆日志范畴：定义—性质—桥接
9. 数值 NPE 纪律
10. 案例 附录 A–H（证明）

1. 记号、母尺与双时间

母尺：给定能量可微 $S(E)\in \mathsf{U}(N)$，定义 $\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E)$。记总相位 $\phi (E)=\frac{1}{2}\arg \det S(E)$。本文采用统一刻度等式 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。其与 Kreĭn 光谱位移函数 $\xi (E)$ 的关系由 Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=\exp [-2\pi i\xi (E)]$ 与 $\frac{d}{dE}\log \det S=\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })$ 得到，从而 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-{\xi }^{\prime }$。本文将 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 取为上述等式右端以固定号志。

窗化读数：对窗—核 $(w_R,h)$ 的 Toeplitz/Berezin 压缩 $K_{w,h}$ 所定义的读数阶为 $⟨f{⟩}_{w,h}=\int (w_R\ast \check{h})(E)f(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE$，其正性与有界性可由 Toeplitz/Berezin 论证（§3.2）并依赖 $(w_R\ast \check{h})\ge 0$ 的选择。

双时间分离：以最早到达时间 $t_{\ast }$ 确立因果偏序；群延迟刻度 $T_{\gamma }[w,h]$ 为窗口—操作量，其大小与号志不约束因果律。该分离与 Titchmarsh 卷积支撑定理和 Kramers–Kronig 因果性相容。(维基百科)

2. 范畴：对象—态射—互构

对象与态射： $\mathbf{WScat}$ 的对象 $(\mathcal{H},S,{\rho }_{\mathrm{rel}};{\mathcal{K}}_{w,h})$；态射为保持母尺与窗化读数的 CPTP/幺正型映射，允许能量依赖的双侧规范变换 $S\mapsto U(E)S(E)V(E)$ 且 $\det U\cdot \det V\equiv 1$ 以保持 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$。$\mathbf{Cau}$ 的对象为满足区分性与全局双曲等条件的洛伦兹流形 $(\mathcal{M},g)$，态射为保因果同胚。$\mathbf{EBOC}$ 与 $\mathbf{RCA}$ 分别由全局散射三元与局域可逆更新三元给定。

互构定理（主定理）：存在函子 $\mathfrak{F}:\mathbf{WScat}\to \mathbf{Cau}$、$\mathfrak{G}:\mathbf{Cau}\to \mathbf{WScat}$，使得在能量依赖幺正规范等价类商下，$\mathfrak{F}\circ \mathfrak{G}$ 与 $\mathfrak{G}\circ \mathfrak{F}$ 分别自然等价于对应恒等函子。证明要点： （i）由 $H^2({\mathbb{C}}^{+})$ 的解析性与 Titchmarsh 定位卷积前沿，建立从冲激响应到可达偏序的函子映射；（ii）由 Malament 与 HKM 的因果决定性，从可达偏序与光观测集重构保角类，从而得到 $\mathfrak{F}$；（iii）由散射—辐射场构造 $S(E)$、$\mathsf{Q}(E)$ 并以 Birman–Kreĭn 对齐刻度，给出 $\mathfrak{G}$；（iv）自然变换由规范不变的 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与窗化 BK 恒等式封口。(AIP Publishing)

与 $\mathbf{RCA}$、$\mathbf{EBOC}$ 的桥接：可逆局域更新经 Floquet-散射化给出 $S_{\mathrm{RCA}}(E)$，并在窗口叠加下满足 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 的可加性；全局幺正的 EBOC 在适定限制下诱导几何散射。该两桥接与 $\mathfrak{F},\mathfrak{G}$ 形成可交换图。

3. Hilbert：空间—变换—压缩的一体化

Hardy 与因果：$H^2({\mathbb{C}}^{+})$ 的边值为 $L^2$ 函数且其解析性与时域因果核等值，Kramers–Kronig 给出实/虚的 Hilbert 共轭关系，确保单向支撑与前沿先验。(维基百科)

de Branges 相位锚点：de Branges 空间的再生核对角满足 $K(x,x)\propto {\phi }^{\prime }(x)|E(x){|}^2$，提供“相位导—密度“的函数论刻度，与 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 在窗化 BK 下同向。(math.purdue.edu)

Toeplitz/Berezin 压缩：对 Bergman/Hardy 空间取 $K_{w,h}={\Pi }_w{M}_h{\Pi }_w$，在 $(w_R\ast \check{h})\ge 0$ 与 Carleson 型条件下，读数为谱测度的正线性泛函。相关 Berezin 变换与 Toeplitz 代数性质见函数空间算子论文献。(Taylor & Francis)

4. 傅里叶—Mellin—分形与 RCA 的递归

Mellin 同尺化：在对数尺度 $\omega$ 上以 $E=E(\omega )$ 配准母尺，构造 $\{{\psi }_k\}$ 的对数均匀采样帧，在带限与窗化乘子有界下存在帧界 $A|f{|}^2\le {\sum }_k|⟨f,{\psi }_k⟩{|}^2\le B|f{|}^2$。

分形谱与标度等变：若 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)\sim E^{\alpha -1}$ 或呈自相似嵌套，则 $w_{\lambda }(E)=w(E/\lambda )$ 使读数在标度群下等变。

RCA 递归：可逆局域规则在散射化后形成频域递归网，窗化读数在 Nyquist—Poisson—Euler–Maclaurin（NPE）纪律下具有非渐近误差闭合。(维基百科)

5. 信息几何变分与爱因斯坦方程

于小球 $B_{\ell }(x)$ 上的广义熵 $S_{\mathrm{gen}}(B_{\ell })=A(\partial B_{\ell })/(4G)+S_{\mathrm{out}}$ 在固定体积与真空约束下一阶极值、二阶非负。利用“纠缠第一定律“ $\delta S_{\mathrm{out}}=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}^{(0)}⟩$ 与几何面积变分配对，得出 $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩$。对二阶变分使用 QNEC 的场论证明，给出量子焦散与稳定性条件。该链条与 Jacobson“纠缠平衡“方案一致（非共形场或曲率修正处可并入局域对策项）。(Physical Review)

6. 测量统一：I-投影、Belavkin 过滤与窗化 BK

离散测量：Davies–Lewis 仪器、POVM 与 Naimark 外延统一“选择/非选择“图式；当测量为投影测量（PVM），或约束与先验态/可观测量两两可交换时，极小化相对熵的 I-投影与 Lüders 更新一致；对一般 POVM，二者并不等价，可先取 Naimark 外延为投影测量后再行条件化获得相应更新。(SpringerLink)

连续监测：Belavkin 过滤给出后验态的量子随机微分方程（扩散/计数型），平均后回收 GKSL 主方程；非平衡熵产生由 Spohn 单调正定。(科学直通车)

窗化 BK 恒等式：由 Helffer–Sjöstrand 计算与 Kreĭn 迹公式得 $\mathrm{Tr}f(H)-\mathrm{Tr}f(H_0)=\int f^{\prime }(E)\xi (E)dE=-(2\pi i{)}^{-1}\int f^{\prime }(E)\log \det S(E)dE$，配合窗口与母尺得到可测读数的谱—相位—延迟桥接。(arXiv)

7. 时间箭头、熵产生与量子涨落

对连续监测与反馈控制的通道，路径熵产生 ${\Sigma }_{0:t}$ 满足 $⟨{\Sigma }_{0:t}⟩\ge 0$ 与量子鞅结构的 Jarzynski 等式 $⟨e^{-\beta W_t+\beta \Delta F_t-I_t}⟩=1$，从而 $⟨W_t⟩\ge \Delta F_t-T⟨I_t⟩$。该等式在量子场与一般通道下存在多种扩展形态。(Physical Review)

8. Zeckendorf 可逆日志范畴 $\mathbf{Zec}$

对象：给定窗 $W=[\tau ,\tau +L)$ 的载荷和 $S(W)\in \mathbb{N}$，其 Zeckendorf 展开为 $S(W)={\sum }_{k\ge 2}{b}_k(\tau )F_k$ 且 $b_k\in \{0,1\}$、$b_k{b}_{k+1}=0$。对象取三元 $(W,\mathbf{b},\Delta \mathbf{b})$，其中 $\Delta \mathbf{b}$ 为滑移步长下的进借位增量。

态射与张量：态射为可逆滑移 $u_{\delta }:(W,\mathbf{b})\mapsto (W+\delta ,{\mathbf{b}}^{\prime })$；张量为不相交窗的并置 $(W_1,{\mathbf{b}}^{(1)})\otimes (W_2,{\mathbf{b}}^{(2)})=(W_1\bigsqcup W_2,{\mathbf{b}}^{(1)}\oplus {\mathbf{b}}^{(2)})$，空窗为单位。由局部进借位算法的唯一性与可逆性，$\mathbf{Zec}$ 为严格对称单幺半范畴。

桥接：函子 $\mathfrak{Z}:\mathbf{Zec}\to \mathbf{WScat}$ 以 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 与 $(w_R,h)$ 映出窗化读数；$\mathfrak{U}:\mathbf{Zec}\to \mathbf{RCA}$ 将进借位规则视作局域可逆更新。定义仅依赖 Zeckendorf 唯一性与局部更新，故 $\mathbf{Zec}$ 为独立范畴。(维基百科)

9. 数值 NPE 纪律

所有窗化积分—求和的差额写作 ${\epsilon }_{\mathrm{total}}={\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$。Poisson 将采样旁瓣搬移至频域（带限与 Nyquist 条件下 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$）；有限阶 Euler–Maclaurin 给出端点修正与余项上界；尾项以窗口衰减与母尺正则性控制。(维基百科)

10. 案例

一维势台阶：对台阶势的 $S(E)$、${\phi }^{\prime }(E)$、$\mathsf{Q}(E)$ 可显式求得，阈值附近出现峰—谷的群延迟结构；$\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与相位导在窗化 BK 下对齐。负群延迟并不违反因果，因为前沿由 $t_{\ast }$ 限定，群延迟仅为能量刻度的读数；该区分与隧穿时间争论中的“Hartman 饱和“一致。(Herbert Winful)

两能级持续同相监测：后验态服从扩散型 Belavkin 方程；定义 ${\Gamma }_t=\exp [-\beta W_t+\beta \Delta F_t-I_t]$ 为量子鞅，得 $⟨e^{-\beta W_t+\beta \Delta F_t-I_t}⟩=1$。(Physical Review)

附录 A：$\mathbf{WScat}\rightleftarrows \mathbf{Cau}$ 互构与自然等价（证明要点）

A.1 前沿构造与因果偏序：若响应核之频域边值在 ${\mathbb{C}}^{+}$ 解析，则时域支撑单向；由 Titchmarsh 卷积支撑定理得 $\inf \mathrm{supp}(f\ast g)=\inf \mathrm{supp}f+\inf \mathrm{supp}g$，多段线路的最早到达时间满足次可加，从而可达关系为偏序。(维基百科)

A.2 光观测集重构：在区分性假设下，从光观测集可重构传播域的拓扑与保角类；因果同构蕴含保角同构（Malament 与 HKM）。据此构造 $\eta :\mathrm{Id}\Rightarrow \mathfrak{F}\circ \mathfrak{G}$。(AIP Publishing)

A.3 散射—位移—延迟的同一：由 Birman–Kreĭn $\det S=\exp [-2\pi i\xi ]$ 与 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 得 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-{\xi }^{\prime }$；配合窗化 BK 可在读数层面对齐。

A.4 规范协变与 $\epsilon$：若 $\tilde{S}=USV$ 且 $\det U\cdot \det V\equiv 1$，则 $\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}=\mathrm{tr}\mathsf{Q}$，窗化读数不变，由此给出 $\mathfrak{G}\circ \mathfrak{F}\simeq \mathrm{Id}$ 的自然变换 $\epsilon$。

附录 B：Hilbert—Kramers–Kronig—Toeplitz/Berezin

B.1 因果与 Hilbert 共轭：稳定系统的因果性等价于频域上半平面解析，实/虚部由 Hilbert 变换互定（Kramers–Kronig）。(维基百科)

B.2 压缩与正性：在 Bergman/Hardy 空间，$K_{w,h}$ 的正性随 $(w_R\ast \check{h})\ge 0$ 与 Carleson 性质而得；Berezin 变换将局部符号映到核平均，保正。(科学空间)

附录 C：Poisson—Euler–Maclaurin（有限阶）误差闭合

C.1 Poisson 侧写：采样—周期化互为傅里叶对偶，旁瓣能量在带限与 Nyquist 条件下消失。(维基百科)

C.2 Euler–Maclaurin：写作有限阶端点校正与余项上界，余项以 Bernoulli 多项式与被积函数导数控制。(维基百科)

附录 D：Zeckendorf 范畴化与桥接（详细证明）

D.1 唯一分解与局部更新：任意正整数的 Fibonacci 非相邻和表示唯一（Zeckendorf 定理）；贪婪进位与本地化进/借位规则产生有限支撑的比特更新，故滑窗映射为双射。(维基百科)

D.2 范畴结构：对象、态射、张量与单位按 §8 定义。结合律与对称性由直和与比特拼接的可交换性给出。

D.3 算法与复杂度：线性时间的加减实现与组合逻辑网络深度为对数（进位有界），保证工程可行性。(fq.math.ca)

附录 E：Mellin 紧框架（帧界证明）

将能量轴映至对数尺度，使用 Parseval 与 Poisson 求和，结合带限与窗乘子有界性，构造上/下界常数并给出帧不等式。

附录 F：信息几何变分（IGVP）的完整推导

F.1 小球展开：面积与体积的曲率展开。 F.2 第一定律：$\delta S_{\mathrm{out}}=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}^{(0)}⟩$ 的算子证明。 F.3 场方程：极值条件推出 $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩$。 F.4 二阶稳定性：沿零测地的二阶变分非负性与 QNEC。(Physical Review)

附录 G：测量统一与窗化 BK

G.1 仪器—外延—I-投影：Davies–Lewis 仪器与 Naimark 外延；I-投影＝相对熵极小。(SpringerLink) G.2 Helffer–Sjöstrand 与 Kreĭn 迹公式：给出窗化 BK 的严格形式。(arXiv) G.3 de Branges 锚点：核对角＝相位导密度比例的函数论解释。(math.purdue.edu)

附录 H：时间箭头与量子涨落

H.1 路径测度：定义 ${\Sigma }_{0:t}=\ln \frac{d\mathbb{P}}{d{\mathbb{P}}^{†}}$。 H.2 Spohn 单调：Lindblad 半群的熵产生正定。(Inspire) H.3 量子 Jarzynski：含反馈互信息与场论扩展。(Physical Review) H.4 两能级示例：同相监测下的 QSDE 与鞅构造。

参考（代表性）

Birman–Kreĭn、Kreĭn 迹公式与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$：Pushnitski（2010），Strohmaier（2022），Shimamura（2006）；Hilbert/Kramers–Kronig 与 Titchmarsh：Carcione（2022），维基条目与教材综述；因果决定性：Malament（1977），HKM（1976）；IGVP 与 QNEC：Jacobson（2015/2016），Bousso 等（2016），Balakrishnan 等（2019）；测量与过滤：Davies–Lewis（1970），Stinespring（1955），Belavkin（1989/1992），Bouten–van Handel–James（2007）；Jarzynski 与反馈：Sagawa–Ueda（2010）及其量子扩展；Poisson 与 Euler–Maclaurin：经典条目与当代分析文献；de Branges 与函数空间算子：de Branges（1968）及后续综述；Zeckendorf：定理与算法化研究。

注：本文所有数学表达式均以行内形式呈现，符合统一刻度与窗化读数的操作化体例；证明细节在附录各节给出，数值实现遵循 NPE 有限阶纪律与“奇性不增“原则。